PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 3, A Story of NumbersPrepShorts

Chapter 3 · A Story of Numbers

अकेले base के भी symbols आख़िर कम क्यों पड़ जाते हैं

The idea of a base10 मिनट

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10 वाले निशानों में कोई निशान कभी 10 बार नहीं खड़ा होता, 10000 से नीचे की सभी 9999 संख्याओं में ज़्यादा से ज़्यादा 9। फिर भी पद्धति 99999999 पर रुक जाती है, किसी निशान के कम पड़ने से नहीं, एक नई किस्म कम पड़ने से।

मुख्य idea

base एक ख़र्च को बाँधता है, दूसरे को नहीं। वह यह सीमा तय कर देता है कि कोई एक चिह्न कितनी बार आ सकता है — base 10 में कभी दस बार नहीं — इसलिए numerals छोटे रहते हैं। पर इस बारे में वह कुछ भी नहीं करता कि system को कितने अलग-अलग चिह्न चाहिए, क्योंकि base की हर नई घात एक बिल्कुल नया चिह्न माँगती है। इसलिए Egyptian system वहीं रुक जाता है जहाँ उसके बनाने वालों ने चिह्न गढ़ना बंद किया, 10⁷ पर, और chapter साफ़ कहता है: पुरानी समस्या नए कपड़े पहनकर लौट आई है। इसका इलाज एक और चिह्न नहीं हो सकता, और यही chapter के आख़िरी विचार को ज़रूरी बना देता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • आठ छपे Egyptian चिह्नों से लिखी जा सकने वाली सबसे बड़ी संख्या बताना, और क्यों
  • समझाना कि base-10 system में किसी भी चिह्न की कभी दस या उससे ज़्यादा बार ज़रूरत क्यों नहीं पड़ती
  • numeral की लंबाई और उसके चिह्नों के set के आकार में फ़र्क़ करना, और बताना कि हर एक कैसे बढ़ता है
  • standard नियम से base-4 system बनाना, और उसमें 1 से 16 तक लिखना
  • किसी भी base में वह बिंदु पहचानना जहाँ नया चिह्न ज़रूरी हो जाता है
  • base-5 system में base से गुणा करने का नियम बताना, और यह कहना कि यह आख़िर में zero लगाने वाला ही नियम क्यों है
  • अपने शब्दों में वह समस्या बताना जिसे place value हल करने वाला है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
landmark numbersवे संख्याएँ जिन्हें कोई system मूल चिह्न देता है और जिनसे समूह बनाता हैसंदर्भ संख्याएँइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.58)
base-n number systemऐसा system जिसके landmarks किसी तय संख्या n की घातें हैंआधार-n संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.3, p.63)
crore10⁷, सबसे ऊँची घात जहाँ तक Egyptian चिह्नों का set पहुँचता हैकरोड़इसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.69)
numeralsकिसी number system के लिखे हुए चिह्नअंक / संख्यांकइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.1, p.54)
Egyptian numeralsbase-10 system के चिह्न, जो §3.3 I का हैमिस्री अंकइसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.69)
number representationकिसी संख्या को लिखने के काम के लिए chapter का वाक्यांशसंख्या निरूपणइसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.69)
symbol inventoryकिसी system को कितने अलग-अलग चिह्न चाहिए, बनाम कोई numeral कितने निशान इस्तेमाल करता हैप्रतीक-संग्रहइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इस चीज़ पर तर्क करता है पर इसे नाम नहीं देता
ceiling of a systemवह सबसे बड़ी संख्या जहाँ तक कोई system कुछ नया गढ़े बिना पहुँचता हैपद्धति की ऊपरी सीमाइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "base का मतलब है कि तुम कोई भी संख्या लिख सकते हो।" ऐसे system में नहीं जहाँ हर landmark को अपना चिह्न चाहिए। Base-10 वाला समूह बनाना ठीक है; कम पड़ता है हर घात का अपना चिह्न।
  • "बस और चिह्न गढ़ लो।" यही वह चाल है जिसे chapter ठुकराता है, और मेहनत के आधार पर नहीं, सिद्धांत के आधार पर ठुकराता है: घातों का कोई अंत नहीं, इसलिए चिह्नों का कोई अंत नहीं, इसलिए समस्या हल नहीं होती, बस टल जाती है।
  • "किसी चिह्न के दस लिखना चलता है, बस थोड़ा बेतरतीब है।" system के अपने नियम से वह numeral है ही नहीं। किसी भी चिह्न के दस अगले चिह्न का एक हैं, और जो लिखने वाला दस को वैसे ही छोड़ दे, वह आधे रास्ते में रुक गया।
  • "लंबे numerals मतलब चिह्नों का बड़ा set।" ये दोनों स्वतंत्र हैं। 1111 का numeral चार निशानों का है और चार चिह्नों से बनता है; 9999 का numeral छत्तीस निशानों का है और उन्हीं चार चिह्नों से बनता है। जो नौ गुना बदलता है वह निशानों की गिनती है; चिह्नों का set स्थानों की संख्या से तय होता है, जो ऊपर निकाला गया नियम है।
  • "Egyptians के चिह्न इसलिए कम पड़े कि वे बहुत पहले के थे।" वे बनावट की वजह से कम पड़े। जो भी system हर घात को अपना चिह्न देता है, उसके चिह्न कम पड़ेंगे, चाहे वह किसी भी समय का हो।
  • "Base-4 को कम चिह्न चाहिए होंगे क्योंकि 4 छोटा है।" उसे ज़्यादा चाहिए, और जल्दी: base-4 अपने तीसरे landmark पर 16 पर पहुँचता है, जबकि base-10 अपने तीसरे पर 100 पर। छोटा base, एक ही चिह्न के छोटे सिलसिले, और चिह्नों के set में तेज़ बढ़त। यह सौदा बनाकर दिखाने लायक़ है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q2, Figure it Out · 7 Q1, Figure it Out · 7 Q2, Figure it Out · 7 Q3

पूरा transcript1,460 शब्द

पिछली बार हमने आकार एक नियम से बनाए, हर आकार का एक निशान, और जोड़ने का एक ही निर्देश। ये पद्धति चलती है, और जो बात इसे चलाती है वो आसानी से नज़र से छूट जाती है। कभी सोचा है, क्या कोई निशान कभी 10 बार खड़ा होता है? नहीं, और किसी ने इसे मना भी नहीं किया, बस किसी निशान के 10 ही अगले निशान का एक हैं, इसलिए 10 छोड़ देने वाले ने अपना काम आधा छोड़ा है।

अब 10000 से नीचे की हर संख्या लिखकर जाँचिए, किसी में भी कोई निशान 10 बार नहीं है, और 9 बार सच में आता है। तो किसी भी एक आकार पर अंक कभी 9 निशानों से आगे नहीं बढ़ता, संख्या कितनी भी बड़ी हो। ये एक असली सीमा है, और इस पद्धति के पास बस यही एक सीमा है। क्योंकि एक दूसरी चीज़ भी है, और उस पर कोई सीमा नहीं है।

निशान गिनिए, कुल 8 हैं, और सबसे बड़ा निशान 1 करोड़ का है। अब हर निशान को नियम की इजाज़त जितना भर दीजिए, हर एक के 9 निशान। वो अंक 72 निशान लंबा है, और उसकी हर जगह पर 9 खड़ा है। यानी 10 करोड़ से ठीक 1 कम। उससे नीचे सब ठीक है, अंक छोटे हैं, और हिसाब आसान है। उस संख्या पर पद्धति रुक जाती है, धीमी नहीं होती, सीधे रुक जाती है।

और रुकना असल में कैसा दिखता है, वो अंदाज़े से अलग है। अब 10 करोड़ मांगिए, तो लिखने वाला हार नहीं मानता, वो वही करता है जो हमेशा करता है, सबसे बड़ा निशान जितनी बार समाए उतना। और वो पूरे 10 बार समाता है। तो जवाब आता है सबसे बड़े निशान के 10, और कुछ भी नहीं। जोड़ें तो ये ठीक सही संख्या बनती है, ये गलत नहीं है। ये अधूरा है, किसी निशान के 10 को अगले निशान का एक बनना है, और अगला निशान है ही नहीं।

इस पद्धति का हर दूसरा अंक पूरा किया जा सकता है, ये वाला नहीं, और लिखावट से ये पता भी नहीं चलता। पद्धति की संख्याएँ ख़त्म नहीं हुईं, उसकी तस्वीरें ख़त्म हुईं। वहीं क्यों, कहीं और क्यों नहीं? क्योंकि आकारों की सीढ़ी कभी नहीं रुकती, नियम से 1 करोड़ के बाद का आकार पूछिए, तो जवाब तुरंत आता है, 10 करोड़। नियम ठीक है, ख़त्म तो तस्वीर बनाना हुआ है।

हर नए आकार को एक बिल्कुल नया निशान चाहिए, और आकारों का कोई अंत नहीं, इसलिए निशानों का भी कोई अंत नहीं। आप हमेशा एक और निशान बना सकते हैं, फिर उसके बाद एक और चाहिए। ये हल नहीं, ये वही समस्या है, बस एक निशान आगे खिसकाई हुई। छोटे सेट के साथ यही दीवार पहले आती है, 10 वाले 3 निशान 999 पर रुकते हैं, और 4 वाले 3 निशान 63 पर।

तो देखने लायक चीज़ आठवाँ निशान नहीं, वो कीमत है जिसने आठवाँ निशान ज़रूरी बनाया। किसी संख्या को लिखने की 2 कीमतें होती हैं, और इन्हें अलग रखना ज़रूरी है। पहली कीमत, कागज़ पर कुल कितने निशान लगे। दूसरी कीमत, लिखना शुरू करने से पहले पद्धति के पास निशानों की कितनी किस्में होनी चाहिए थीं। अब 9, 99, 999 और 9999 लीजिए। कुल निशान 9, फिर 18, फिर 27, फिर 36, हर बार 9 ज़्यादा।

और निशानों की किस्में 1, फिर 2, फिर 3, फिर 4 होती हैं। दोनों बढ़ रही हैं, तो लगता है कि एक ही कीमत को 2 बार नापा गया, पर ऐसा नहीं है। एक कीमत संख्या के बारे में है, दूसरी इस बारे में कि संख्या आपको सीढ़ी पर कितना ऊपर ले गई। अब संख्या बदलिए, पर उसकी लंबाई वही रखिए। इस बार 1, 11, 111 और 1111 लीजिए। कुल निशान 1, 2, 3 और 4, यानी 9 वाली संख्याओं का नौवाँ हिस्सा।

और निशानों की किस्में 1, 2, 3 और 4, ठीक 9 वाली संख्याओं जितनी। तो 1111 से 9999 तक कुल निशान 9 गुना बढ़ जाते हैं, और किस्में ज़रा भी नहीं हिलतीं। कुल निशान अंकों के जोड़ पर टिके हैं, और किस्में सिर्फ़ इस पर कि संख्या में कितनी जगहें हैं। और 10000 से नीचे की सभी 9999 संख्याओं पर ये दोनों नियम सही निकलते हैं। लंबा अंक यानी ज़्यादा किस्में नहीं, और ज़्यादा किस्में यानी लंबा अंक नहीं, ये 2 कीमतें अलग अलग चलती हैं।

अब सीमा को इन दोनों के पास रखकर जाँचिए। मसलन 1 से 19999 तक की हर संख्या में किसी एक आकार पर सबसे ज़्यादा निशान गिनिए, जवाब 9 आता है। अब सिर्फ़ 10 के गुणज लीजिए, जिनकी इकाई में कुछ भी नहीं, ऐसी 2000 संख्याएँ, फिर भी 9, बस सीढ़ी पर और ऊपर। और आगे जाइए, फिर भी 9, क्योंकि अदला बदली के नियम का मतलब यही है। अब यही किस्मों के लिए कीजिए, उन्हीं संख्याओं में किस्में 5 तक पहुँचती हैं, क्योंकि 5 आकार चाहिए थे।

बड़ी संख्या मांगिए, तो वो छठी किस्म मांगेगी, फिर सातवीं। एक कीमत पर हमेशा के लिए ढक्कन है, दूसरी को कुछ भी नहीं रोकता, और पद्धति दूसरी कीमत की वजह से रुकती है, क्योंकि निशान ही बनाने पड़ते हैं। इसे एक इतनी छोटी पद्धति में देखिए, जिसे पूरा देखा जा सके। इस बार 10 की जगह 4 के गट्ठर, तो आकार 1, 4 और 16 के बनते हैं। निशान रखिए, 1 के लिए बिंदु, 4 के लिए हीरा, और 16 के लिए तारा।

पहले 1, 2 और 3, सिर्फ़ बिंदु, और किसी चीज़ की ज़रूरत नहीं। फिर 4 पर पहला निशान भर जाता है, और दूसरा निशान आता है। अब 5 है एक हीरा और एक बिंदु, 6 है एक हीरा और 2 बिंदु, और 11 है 2 हीरे और 3 बिंदु। और 15 है 3 हीरे और 3 बिंदु, 2 किस्मों से जितना भरा जा सकता है। फिर 16 पर 2 किस्में काफ़ी नहीं, और तीसरी किस्म ठीक वहीं आती है।

यानी 1 से 16 तक, 3 संख्याओं को एक किस्म, 12 को 2 किस्में, और सिर्फ़ 16 को 3 किस्में चाहिए। सिर्फ़ 15 संख्याओं में किस्में 2 बार बढ़ीं, जबकि 10 आधार में यहाँ तक पहुँचने के लिए 100 तक जाना पड़ता। ये 16 कोई संयोग नहीं, वो 4 गुणा 4 है। आधार 10 में भी यही होता है, बस देर से, दूसरी किस्म 10 पर और तीसरी 100 पर।

आधार 2 दूसरी किस्म 2 पर मांगता है, और तीसरी 4 पर। आधार 2 से आधार 10 तक क्रम से रखिए, तो तीसरी किस्म आती है 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 और 100 पर। सभी 9 आधारों में ये आधार गुणा आधार ही है। तो आधार जितना छोटा, नई किस्म उतनी जल्दी, आधार 4 को तीसरी किस्म आधार 10 से 84 संख्याएँ पहले चाहिए। और निशान उलटी तरफ़ चलते हैं, गिनकर देखें तो आधार 2 में कोई निशान एक से ज़्यादा बार नहीं खड़ा होता, और आधार 10 में 9 बार तक।

ये एक असली सौदा है, और इसे साफ़ साफ़ कहना चाहिए। छोटा आधार अंकों को पतला रखता है, किसी एक निशान के कम, पर आकार जल्दी जल्दी खर्च करता है। बड़ा आधार एक ही निशान की लंबी कतार की छूट देता है, और सीढ़ी धीरे धीरे चढ़ता है। मसलन 4 जगहों वाली संख्याओं में, आधार 4 में सबसे ज़्यादा 12 निशान, आधार 10 में 36, और दोनों में 4 किस्में।

कोई नहीं बचता, दोनों को हर नए आकार पर नया निशान चाहिए, हमेशा। आधार चुनना कीमत को इधर उधर करता है, उसे हटाता नहीं। और गट्ठर बनाना कभी इस समस्या का हल था ही नहीं। हल से पहले, एक आख़िरी चीज़ जो नियम मुफ़्त में देता है। आधार से गुणा, 5 वाले निशानों में 43 लीजिए। यानी 3 तिकोने, 3 चौकोर और एक षट्भुज। अब 5 से गुणा कीजिए, और हर निशान ठीक एक पायदान चढ़ता है, 3 चौकोर, 3 षट्भुज और एक गोला।

यानी 215, बिना कोई गुणा किए। ये वही बात है जो दशमलव में अंत में शून्य लगाना है, 43 से 430, बस यहाँ वो शून्य जैसा दिखता नहीं। एक नियम, कोई भी आधार, 5 आधार में जाँची गई 599 संख्याओं में से हर एक पर सही, और ये आकारों की वजह से चलता है, निशानों की वजह से नहीं। तो सब कुछ यहाँ आकर मिलता है। गट्ठरों ने कुल निशानों पर ढक्कन दिया, किसी भी आकार पर आधार जितने कभी नहीं।

किस्मों पर कुछ नहीं दिया, हर नए आकार को नया निशान चाहिए, और हमेशा चाहिए होगा। तो 10 करोड़ से ठीक पहले वाली दीवार कल्पना की कमी नहीं, वो बनावट का नतीजा है। और इलाज कोई नया निशान नहीं हो सकता, नया निशान बस दीवार को खिसका देता है। जो बदलना है, वो ये सोच है कि हर आकार की तस्वीर बनानी पड़ेगी। अगर निशान की जगह ही बता दे कि वो किस आकार का है, तो किस्में बढ़ना बंद हो जाएँगी, और अगली बार यही बनाना है।

बस 10 निशान, और ग्यारहवाँ कभी नहीं, 1 लाख तक की हर संख्या इन्हीं 10 अंकों से लिखी जाती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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