PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 3, A Story of Numbers
यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.
Sign in with Google11 min.
इस chapter में अपनी जगह बनाए रखिए — sign in करें, यह free है.Sign in करें
कक्षा 8 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos
बहुत दूर, बिना किसी संपर्क के बनी एक पद्धति भी स्थानीय मान तक पहुँची, और उसने ख़ाली जगह के लिए एक सीप भी बनाई। पर उसके पड़ाव 1, 20, 360, 7200 हैं, कदम 20, 18, 20, 20, और 400 सूची में है ही नहीं।
मुख्य idea
Maya लोग place value तक और 'कुछ नहीं' के लिखे हुए निशान तक अपने दम पर पहुँचे, एक दूसरे महाद्वीप पर, बिना किसी संपर्क के — और यह chapter का सबसे मज़बूत सबूत है कि ये संख्याओं के बारे में खोजें हैं, किसी एक संस्कृति के संयोग नहीं। पर उनका तीसरा landmark 360 है, 400 नहीं, इसलिए उनकी landmarks की सूची किसी भी संख्या की घातें नहीं है, और base-n की परिभाषा दूसरे ही क़दम पर टूट जाती है। इसलिए संख्याएँ लिखने के लिए place value जो कुछ देता है, वह सब उनके पास रहता है, और उनसे हिसाब करने के लिए base जो कुछ देता है, वह सब छिन जाता है। place value और base दो अलग विचार हैं, और Maya इसका सबूत हैं कि एक के बिना दूसरा हो सकता है।
आपको क्या आना चाहिए
- बिंदुओं और रेखाओं से 1 से 19 तक की कोई भी संख्या बनाना
- छपे हुए Mayan landmark numbers गिनाना और उन्हें base-n की परिभाषा पर परखना
- हर पंक्ति को उसके landmark से जोड़कर ऊपर-नीचे लिखा Mayan numeral पढ़ना
- समझाना कि यहाँ 20 x 20 landmark क्यों नहीं है, और इसकी क़ीमत क्या है
- किसी दी गई संख्या को Mayan रूप में लिखना, उनमें से एक ऐसी जिसे बीच में शंख चाहिए और एक ऐसी जिसे आख़िर में
- बताना कि Maya ने ऐसा क्या योगदान दिया जो Mesopotamia ने नहीं दिया
- किसी छपे हल किए उदाहरण में हिसाब की चूक को बताए गए कुल से मिलाकर पकड़ना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| placeholder | वह निशान जो दिखाता है कि कोई स्थान ख़ाली है | स्थानधारक | इसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.74) |
| place value system | ऐसा system जिसमें किसी चिह्न की जगह तय करती है कि वह किस landmark को गिनता है | स्थानीय मान पद्धति | इसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.73) |
| landmark numbers | वे संख्याएँ जिनसे कोई system समूह बनाता है और जिनके लिए स्थान लिखता है | संदर्भ संख्याएँ | इसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.58) |
| Mayan civilisation | मध्य अमेरिका की वह सभ्यता जिसका समय chapter 3rd से 10th centuries CE तक बताता है | मय सभ्यता | इसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.74) |
| seashell | वह आकृति जिससे chapter zero के Mayan निशान का वर्णन करता है | शंख | इसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.74) |
| base-20 | वह base जो Mayan system के पास लगभग होने की बात कही गई है | आधार-20 | इसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.76) |
| dot, bar | वे दो निशान जिनसे 1 से 19 बनते हैं | बिंदु, रेखा | इसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.76) |
| vertical stacking | स्थानों को अगल-बगल के बजाय एक के ऊपर एक लिखना | ऊर्ध्वाधर क्रम | इस पाठ का अपना वाक्यांश; chapter इस बनावट का वर्णन करता है पर उसे नाम नहीं देता |
| broken ladder | landmarks की ऐसी सूची के लिए इस पाठ का नाम जिसके सारे अनुपात बराबर नहीं हैं | असमान सीढ़ी | इस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "Mayan system base 20 है।" पट्टिका ख़ुद लगभग कहती है। landmarks की सूची पढ़ो: 20 x 18 360 है, 400 नहीं, इसलिए दूसरे और तीसरे landmark के बीच का अनुपात 18 है। एक बेढंगा डंडा पूरी सीढ़ी तोड़ देता है।
- "तो उन्होंने बस हिसाब में ग़लती कर दी।" नहीं — तीसरा landmark जान-बूझकर है, और chapter उसे उनके calendars से जोड़ता है। यह एक क़ीमत वाला design का चुनाव है, ग़लती नहीं।
- "zero के लिए शंख का मतलब है कि उनके पास संख्या zero थी।" यह एक ख़ाली स्थान को चिह्नित करता है। वहाँ zero को पूरी संख्या माना जाता था या नहीं, यह अलग सवाल है, और chapter वह क़दम Indian system के लिए बचाकर रखता है।
- "इतने मिलते-जुलते दो systems का स्रोत ज़रूर एक होगा।" chapter कहता है कि Mayan design पर एशियाई systems का कोई असर नहीं था। यही स्वतंत्रता इस section की सबसे दिलचस्प बात है।
- "ऊपर-नीचे लिखना बस एक शैली है।" यह बाएँ से दाएँ लिखने वाला ही विचार है — जगह landmark तय करती है। सिर्फ़ दिशा अलग है, और यह कहना ज़रूरी है क्योंकि पहली बार देखने पर students ढेर को उलटी तरफ़ से पढ़ते हैं।
- "base के बिना हिसाब किया ही नहीं जा सकता।" किया जा सकता है; बस गुणा अब landmarks के हिसाब-किताब तक नहीं सिमटता, क्योंकि दो landmarks का गुणनफल landmark हो, यह ज़रूरी नहीं। 20 x 20 = 400 सबसे सस्ता उलटा उदाहरण है।
Ask your teacher a person
Your teacher reads this and writes back, usually within a day. For an instant answer, use Ask the video in the sidebar.
Your class sees the question and the answer. Only your teacher sees that it was you.
No questions on this topic yet.
Worked answers to this chapter’s exercises
पूरा transcript1,694 शब्द
अब तक के सारे विचार एक दूसरे तक पहुँच सकते थे, एक पद्धति दूसरी से सीख सकती थी। पर ये वाली पद्धति बहुत दूर, बिना किसी संपर्क के, अपने आप बनी। और उसमें भी वही विचार पहुँचा, निशान की जगह बताती है कि वो किस पड़ाव को गिनता है। ये सबसे मज़बूत सबूत है कि स्थानीय मान एक खोज है, किसी एक जगह की आदत नहीं। और इन्होंने एक कदम आगे भी रखा, ख़ाली जगह को उसका अपना निशान दिया।
एक सीप, जो कुछ नहीं के लिए खड़ी है, बिल्कुल साफ़ दिखने वाली। तो ये कहानी का सुखद अंत होना चाहिए था, पर है नहीं, और वजह है एक सूची की एक संख्या। ये रही उन पड़ावों की सूची जिनके गट्ठर ये पद्धति बनाती थी। पड़ाव हैं 1, 20, 360, 7200, और सबसे ऊपर 1 लाख 44000 वाला पड़ाव। अब एक एक करके देखिए, हर पड़ाव से अगले तक का कदम क्या है?
देखिए, 1 से 20 तक 20 गुना, 20 से 360 तक 18 गुना, फिर 20 गुना, और फिर 20 गुना। यानी 20, 18, 20 और 20, और इनमें से एक बाक़ियों जैसा नहीं, दूसरा वाला कदम। आधार के लिए हर कदम एक ही संख्या होना चाहिए, और यहाँ वो लगभग एक ही है। अब सोचिए, 20 के 20 गट्ठर 400 बनते हैं, पर 400 सूची में है ही नहीं, उसकी जगह 360 बैठा है।
असल में 360 तो 20 के 18 गट्ठर है, यानी 400 से पूरे 40 कम। गड़बड़ी बस इतनी सी है, और वो बहुत चुपचाप होती है। शुरू करें उससे जो इन्हें बनाना पड़ता था, बोर्ड पर देखिए, बस 3 निशान। पहला, एक सीप, जो शून्य गिनी जाती है। दूसरा, एक बिंदु, जो 1 गिना जाता है। और तीसरा, एक डंडी, जो 5 गिनी जाती है। पहले 1, 2, 3 और 4, यानी उतने ही बिंदु, एक कतार में।
फिर 5 एक डंडी है, 6 एक डंडी और एक बिंदु, और 10 के लिए 2 डंडियाँ। और यहाँ 19 है 3 डंडियाँ और 4 बिंदु, यानी कुल 7 निशान। किसी भी एक जगह को 7 से ज़्यादा निशान कभी नहीं चाहिए, क्योंकि 19 से बड़ी संख्या एक जगह में आती ही नहीं। किसी जगह में 3 से ज़्यादा डंडियाँ या 4 से ज़्यादा बिंदु कभी नहीं आते। अब देखिए, 1 से 19 तक की सारी संख्याएँ इन्हीं निशानों से बनाइए।
इनमें से 4 संख्याएँ सिर्फ़ बिंदुओं से बनती हैं, यानी 1 से 4 तक की। फिर 3 संख्याएँ सिर्फ़ डंडियों से बनती हैं, 5, 10 और 15, और बाक़ी 12 में दोनों। शून्य समेत हर संख्या बनाकर वापस पढ़िए, सभी 20 सही लौटती हैं, और कोई भी 2 एक सी नहीं दिखतीं। कोई चाहे तो डंडी छोड़कर सिर्फ़ बिंदु लगाए, वापस पढ़ना तब भी सही होगा। पर तब यहाँ 19 के लिए 19 बिंदु लगते, 7 निशानों की जगह।
तो डंडी बस एक सुविधा नहीं, वो हर जगह को छोटा और पढ़ने लायक रखती है। बस 3 निशान, और एक जगह में आने वाली हर संख्या उन्हीं से। अब जगहें, इन्होंने जगहें अगल बगल नहीं, एक के ऊपर एक लिखीं। सबसे नीचे की पंक्ति इकाइयाँ गिनती है, उसके ऊपर वाली 20 के गट्ठर, और उसके ऊपर 360 के। विचार वही है, बस घुमा दिया गया, जगह अब भी पड़ाव बताती है, बस अब वो ऊँचाई है।
पंक्तियों पर एक ही नियम चलता है, कोई जगह अगले पड़ाव तक के कदम जितना नहीं रख सकती। इकाइयों की जगह 19 पर रुकती है, और 20 वाली जगह 17 पर, क्योंकि 20 के 18 गट्ठर तो ख़ुद एक पड़ाव है। जाँच के लिए 1 लाख 44000 से नीचे की हर संख्या ऐसे लिखकर वापस पढ़ी, सब सही लौटीं, और कोई जगह ज़्यादा नहीं भरी। तो लिखना ठीक चलता है, अब एक असली संख्या देखिए।
यहाँ 3 पंक्तियाँ हैं, ऊपर से, 4 बिंदु, फिर 2 डंडियों के ऊपर एक बिंदु, फिर एक सीप। एक एक पंक्ति लीजिए, और नीचे से शुरू कीजिए। सीप बताती है कि इकाइयों की जगह ख़ाली है, वहाँ कुछ नहीं। बीच की पंक्ति 2 डंडियाँ और एक बिंदु, यानी 11, और वो 20 के गट्ठर गिनती है, तो 11 गुणा 20, यानी 220 बनते हैं। ऊपर की पंक्ति 4 बिंदु है, और वो 360 गिनती है, तो 4 गुणा 360, यानी 1440 बनते हैं।
अब तीनों पंक्तियाँ जोड़िए, तो कुल 1660 बनता है। और ठीक यही संख्या इसके बगल में कुल के तौर पर लिखी है, पंक्तियाँ और कुल दोनों मेल खाते हैं। पंक्तियों में 4, 3 और एक निशान लगे, बस इतने ही। अब मान लीजिए किसी ने इसके नीचे हिसाब लिखा, और उसका एक टुकड़ा ग़लत है। पहले 2 टुकड़े सही हैं, 4 गुणा 360, और 11 गुणा 20 वाला टुकड़ा। तीसरा टुकड़ा शून्य गुणा 1 होना चाहिए, क्योंकि नीचे की पंक्ति में सीप है।
पर उसकी जगह लिखा है 3 गुणा 10 का टुकड़ा। इस एक टुकड़े के दोनों हिस्से ग़लत हैं, गिनती भी, और पड़ाव भी, क्योंकि 10 इस सीढ़ी पर है ही नहीं। इस हिसाब को जैसा लिखा है वैसा जोड़िए, तो 1690 आता है। जो बगल में लिखे कुल से पूरे 30 ज़्यादा है। रुककर देखिए कि ये ग़लती पकड़ी कैसे, क्योंकि तरीका ग़लती से ज़्यादा काम का है। आपको सही जवाब पहले से पता होना ज़रूरी नहीं था।
बस 2 चीज़ें चाहिए थीं जो एक ही संख्या बतानी चाहिए थीं, और आपने जाँचा कि बताती हैं या नहीं। बोर्ड पर देखिए, पंक्तियाँ 1660 कहती हैं, कुल 1660 कहता है, और हिसाब 1690 कहता है। यानी 3 में से 2 मिलते हैं, तो ग़लत वाला हिसाब है, और अब उसका ग़लत टुकड़ा ढूँढा जा सकता है। जो संख्या 2 अलग रास्तों से लिखी गई हो, उसे जाँचा जा सकता है।
ये ग़लती पकड़ने की कोई चाल नहीं, जाँच करना ज़्यादातर यही होता है। अब वापस उस एक संख्या पर जो सूची में सबसे अलग है। जो पद्धति सच में 20 के गट्ठर बनाती, उसमें तीसरा पड़ाव 20 गुणा 20, यानी 400 होता। यहाँ वो 360 है, तो फिर 400 जाता कहाँ है? वो तीसरे पड़ाव पर नहीं बैठता, उसके पार जाता है, एक 360 और 20 के 2 गट्ठर, और इकाइयाँ ख़ाली।
असली 20 आधार में 400 ख़ुद एक पड़ाव होता, ऊपर एक बिंदु और नीचे 2 सीपें। यहाँ किसी ने ग़लती नहीं की, ये सोचा समझा फ़ैसला है, कुछ लोग इसे उनके कैलेंडर से जोड़ते हैं, पर ये बस एक सुझाव है। ये एक फ़ैसला है जिसका नुक़सान भी है, और अब वही नुक़सान देखिए। आधार एक ऐसी चीज़ देता है जो और कोई चीज़ नहीं देती। किसी संख्या की हर जगह एक पायदान ऊपर खिसकाइए, और नीचे एक ख़ाली जगह रखिए।
असली 20 आधार में ये हमेशा 20 से गुणा है, बिना कोई गुणा किए, बस निशान खिसकाकर। पर यहाँ ऐसा नहीं होता, हर जगह अपने अपने कदम से गुणा होती है, और कदम सब एक से नहीं। कुछ संख्याओं के लिए खिसकाना 20 से गुणा है, और कुछ के लिए 18 से। मसलन 4000 से नीचे 239 संख्याओं के लिए ये 20 से गुणा है, और 17 के लिए 18 से।
बाक़ी 3743 संख्याओं के लिए निशान खिसकाना किसी पूरी संख्या से गुणा है ही नहीं। एक पायदान अपनी जगह से हटा, और निशान खिसकाने का एक मतलब नहीं रहा। यही गड़बड़ी वहाँ भी दिखती है जहाँ पड़ावों को आपस में गुणा करना पड़ता है। यहाँ 5 पड़ाव हैं, तो 2 पड़ावों को गुणा करने के 25 तरीके हैं। असली 20 आधार में 25 में से 15 गुणनफल फिर से पड़ाव होते हैं।
इस सीढ़ी पर 25 में से सिर्फ़ 13 वापस सीढ़ी पर पड़ते हैं। और 20 गुणा 20 तो पहला ही गुणनफल है जो कोई आज़माएगा, और वही चूक जाता है। तो 2 संख्याओं का गुणा अब पड़ावों का हिसाब किताब नहीं रहता, असली मेहनत बन जाता है। हिसाब अब भी हो सकता है, बस आसान नहीं रहता, और आसानी ही तो आधार का पूरा मतलब थी। अब ख़ुद लिखिए, क्या आप 77, 100, 361 और 721 को इस पद्धति में लिख सकते हैं?
पहली, 77 यानी 20 के 3 गट्ठर और 17 इकाइयाँ, तो ऊपर 3 बिंदु और नीचे 3 डंडियाँ और 2 बिंदु। फिर 100 यानी 20 के 5 गट्ठर और इकाइयाँ ख़ाली, तो ऊपर एक डंडी और नीचे सीप। और 361 यानी एक 360, 20 का कोई गट्ठर नहीं, और एक इकाई, तो बीच में सीप। और 721 यानी 360 के 2 गट्ठर, बीच ख़ाली, और एक इकाई, तो फिर बीच में सीप।
निशान गिनें तो 8, 2, 3 और 4 निशान लगते हैं, बहुत कम। इन 4 में से 3 में ख़ाली जगह है, एक में नीचे और 2 में बीच में। सीप हटा दीजिए, तो 100 बिल्कुल 5 जैसा दिखता है, 361, 21 जैसा, और 721, 41 जैसा। और बिना ख़ाली जगह वाला 77 तक किसी दूसरी संख्या, 1097, से मिल जाता है। पड़ावों की इस गड़बड़ी से सीप पर कोई असर नहीं पड़ता, और सीप को अलग से नापना बनता है।
तो 7200 से नीचे की हर संख्या 3 तरह से लिखिए। हर ख़ाली जगह में सीप हो, तो कोई 2 संख्याएँ एक सी नहीं दिखतीं, एक भी टकराव नहीं। अब यहाँ ख़ाली जगहें छोड़ दीजिए, तो 1058 संख्याएँ किसी दूसरी संख्या जैसी दिखने लगती हैं। और सारे निशान बिना किसी बँटवारे के साथ चला दीजिए, तो 4540 संख्याएँ टकराती हैं। कुल 7199 संख्याओं में से 720 में कहीं न कहीं ख़ाली जगह है, और उन्हें बचाने वाली बस सीप है।
तो कुछ नहीं का निशान सजावट नहीं, उसी से जगहें पढ़ी जा सकती हैं। तो बोर्ड पर 2 अलग चीज़ें बचती हैं, जो अब तक आपस में उलझती रहीं। स्थानीय मान एक विचार है, जगह बताती है कि निशान किस पड़ाव को गिनता है, और ख़ाली जगह का अपना निशान होता है। आधार दूसरा विचार है, हर पड़ाव अपने नीचे वाले से एक ही कदम ऊपर होता है। और देखिए, पहला दूसरे के बिना हो सकता है, और ये पद्धति इसका सबूत है, जिसने अपनी ज़रूरत की हर संख्या लिखी।
इन्होंने लिखना नहीं खोया, वो सब खोया जो बराबर कदमों से आता है। इन 2 विचारों को अलग पहचानने का एक ही तरीका है, कुछ ऐसा ढूँढिए जिसमें एक हो और दूसरा नहीं। ये पद्धति ठीक वही चीज़ है जो हमें चाहिए थी। और ये एक सवाल छोड़ जाती है, जब किसी पद्धति में दोनों हों, तब क्या होता है?
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Mesopotamian base-60: place value in a sexagesimal systemकक्षा 8 · Ch 3, A Story of Numbers
- What "base n" means, and why ten is a choice not a lawकक्षा 8 · Ch 3, A Story of Numbers
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Chinese rod numerals: base-10 place value, one symbol shortकक्षा 8 · Ch 3, A Story of Numbers