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Chapter 3 · A Story of Numbers

Hindu number system, और 0 को एक digit मानने से सब कुछ क्यों बदल गया

Place value13 मिनट

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375 को आप बिना सोचे पढ़ लेते हैं, पर ये एक लंबी बहस का आख़िरी पड़ाव है। जगह से मान का विचार एक से ज़्यादा बार मिला, आख़िरी कदम था शून्य, और उसका 2 बार उन्नयन।

मुख्य idea

place value भारत की उपलब्धि नहीं है — chapter अभी दिखा चुका है कि Mesopotamia, मध्य अमेरिका और China उस तक अलग-अलग अपने दम पर पहुँचे। भारत की उपलब्धि एक तरक़्क़ी (promotion) है, जो दो बार हुई। पहले 0 को ख़ाली जगह दिखाने वाले निशान से उठाकर बाक़ी नौ के साथ कतार में खड़ा एक digit बनाया गया, और इसी से आख़िरकार हर संख्या एक ही तरह, और सिर्फ़ एक ही तरह, लिखी जा सकी। फिर उसे दोबारा उठाया गया, एक ऐसी संख्या बनाकर जिससे तुम जोड़, घटाव और गुणा कर सको — और यही दूसरी तरक़्क़ी एक notation को ऐसे system में बदल देती है जिस पर algebra खड़ा किया जा सके।

आपको क्या आना चाहिए

  • chapter की अपनी बनावट से Hindu numeral को digits गुणा दस की घातों के जोड़ की तरह पढ़ना
  • उन चार सभ्यताओं के नाम लेना जिन्हें chapter place value वाले निरूपणों का श्रेय देता है
  • 0 को उदाहरण बनाकर placeholder और digit में, और digit और संख्या में फ़र्क़ करना
  • chapter Bakhshali manuscript, Aryabhata और Brahmagupta को क्या श्रेय देता है, यह तारीख़ों के साथ बताना
  • बताना कि जोड़, घटाव और गुणा के तहत संवृतता (closure) का मतलब क्या है, और इसके लिए 0 और negatives क्यों ज़रूरी हैं
  • chapter के विचारों के विकास के पाँच क़दम क्रम से बताना, हर क़दम के एक उदाहरण के साथ
  • दी गई संख्या को base 8, base 5 और base 2 में लिखना, और बताना कि अगर इंसानों की आठ उँगलियाँ होतीं तो क्या बदलता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Hindu number systembase-10 place value system, जिसमें 0 समेत दस digits हैंहिंदू / भारतीय संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.78)
Hindu-Arabic number systemउसी system के लिए बीच के दौर का वह नाम जो chapter दर्ज करता हैहिंदू-अरबी संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, SUMMARY, p.81)
place value systemऐसा system जिसमें किसी चिह्न की जगह तय करती है कि वह किस landmark को गिनता हैस्थानीय मान पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.73)
placeholderवह निशान जो दिखाता है कि कोई स्थान ख़ाली हैस्थानधारकइसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.74)
digitउन दस चिह्नों में से एक जिनसे numeral लिखा जाता है, 0 समेतअंकइसी chapter में छपा (Part I, §3.4, pp.78–79)
ringसंख्याओं का ऐसा set जिससे जोड़, घटाव और गुणा कभी बाहर नहीं ले जातेवलयइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.79)
Aryabhataवह गणितज्ञ जिसे chapter 0 के गुणों से हिसाब करने का श्रेय देता है, 499 CE मेंआर्यभटइसी chapter में छपा (Part I, §3.1, p.49 और §3.4, p.79)
Brahmaguptaवह गणितज्ञ जिसे chapter 0 को एक संख्या के रूप में नियमबद्ध करने का श्रेय देता है, 628 CE मेंब्रह्मगुप्तइसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.79)
Bakhshali manuscriptवह पांडुलिपि जिसमें दस digits वाली लिखावट का सबसे पुराना ज्ञात रूप है, और जिसमें zero एक बिंदु हैबख्शाली पांडुलिपिइसी chapter में छपा (Part I, §3.1, p.49)
promotion of zeroदोनों क़दमों के लिए इस पाठ का नाम — ख़ाली जगह के निशान से digit, digit से संख्याशून्य का उन्नयनइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो दोनों क़दम उठाता है पर किसी का नाम नहीं लेता

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "place value का आविष्कार भारत ने किया।" chapter की अपनी summary चार सभ्यताओं को श्रेय देती है। यह कहना कि भारत ने place value का आविष्कार किया, दावे को बढ़ा-चढ़ाकर भी कहता है और असली दावे को छिपा भी देता है, जो ज़्यादा मज़बूत और ज़्यादा ठोस है।
  • "zero का आविष्कार भारत ने किया।" chapter सावधान है: placeholder वाला निशान Mesopotamia में और Maya के बीच था। भारतीय गणित ने जो किया, वह था 0 को बाक़ियों की तरह एक digit मानना, और फिर बाक़ियों की तरह एक संख्या।
  • "placeholder और digit एक ही चीज़ हैं।" placeholder बताता है कि कोई स्थान ख़ाली है। digit एक मान है जो किसी स्थान में बैठता है और हिसाब में हिस्सा लेता है। यही फ़र्क़ ठीक वह क़दम है जिसके बारे में यह topic है।
  • "zero का मतलब है कुछ नहीं, इसलिए 0 असल में संख्या नहीं है।" chapter उसके arithmetic वाले गुण साफ़-साफ़ बताता है, और वही गुण उसे संख्या बनाते हैं। संख्या वह है जिससे हिसाब किया जा सके।
  • "ring इतना ऊँचा विचार है कि students कक्षा 8 में उससे नहीं मिल सकते।" chapter इसे एक उपवाक्य में देता है: किन्हीं भी दो सदस्यों को जोड़ो, घटाओ और गुणा करो, और तुम set से कभी बाहर नहीं जाओगे। इसे अकेले whole numbers पर परखो, जो नाकाम रहते हैं — 3 − 7 whole number नहीं है — और Brahmagupta को negatives क्यों चाहिए थे, यह साफ़ हो जाता है।
  • "Base 10 स्वाभाविक है।" chapter ख़ुद पूछता है कि आठ उँगलियों के साथ क्या बदलता, और जवाब है: numerals, संख्याएँ नहीं। 25, 25 ही है, चाहे तुम उसे किसी भी base में लिखो।
  • "यहाँ Hindu नाम धार्मिक है।" chapter साफ़ कहता है कि यह एक भूगोल और एक जनसमूह की बात करता है, किसी धर्म की नहीं।

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पूरा transcript2,013 शब्द

एक संख्या है 375, जिसे आप बिना सोचे पढ़ लेते हैं। यहाँ 3, 7 और 5 हैं, बायाँ सैकड़े गिनता है, बीच वाला दहाई, और दायाँ इकाई। इसमें कुछ भी खोज जैसा नहीं लगता, लगता है संख्याएँ बस ऐसी ही होती हैं। पर ऐसा नहीं है, ये एक लंबी बहस का आख़िरी पड़ाव है, और आख़िरी कदम वो है जिसकी किसी को उम्मीद नहीं होती। आज लिखा जाने वाला हर हिसाब इसी आख़िरी कदम पर टिका है।

क्योंकि जगह से निशान का मान तय होना, ये विचार एक से ज़्यादा बार, अलग अलग, बिना किसी संपर्क के पहुँचा गया। तो आख़िरी कदम ये विचार नहीं था, इसके ऊपर कुछ और जोड़ा गया, और वो भी 2 बार। आगे हम देखेंगे कि उन 2 कदमों में से हर एक से असल में क्या मिला। अब इसी संख्या 375 को धीरे धीरे पढ़ते हैं, एक एक जगह करके। यहाँ 5 इकाई की जगह पर बैठा है, तो उसका मान 5 है।

फिर 7 दहाई की जगह पर बैठा है, तो उसका मान 70 है। और 3 सैकड़े की जगह पर बैठा है, तो उसका मान 300 है। अब 300, 70 और 5 को जोड़ें, तो हम वापस 375 पर पहुँच जाते हैं। बस इतना ही है, और ध्यान दीजिए कि कहीं भी कोई नई चीज़ नहीं चाहिए थी। इस संख्या की हर जगह भरी है, इसलिए खोज ढूँढने के लिए ये सही जगह नहीं है।

खोज तभी दिखती है जब कोई जगह ख़ाली हो, तो अब वहीं चलते हैं। जब किसी जगह में कुछ नहीं होता, तब वहाँ क्या लिखा जाए? सबसे पहला जवाब यही सूझता है कि कुछ मत लिखो, बस एक फ़ासला छोड़ दो। तो हर संख्या, 1 से लेकर 9999 तक, ऐसे बनाते हैं, जिसमें ख़ाली जगहें बस छोड़ दी जाएँ। इनमें से 3438 संख्याएँ किसी दूसरी संख्या से अलग नहीं पहचानी जातीं।

मसलन पहले 2 और फिर 5 वाली तस्वीर, वो 25 हो सकती है, या 205, 250, 2005, 2050 और 2500 में से कोई। मसलन 1, 10, 100 और 1000, चारों का एक ही अकेला निशान बनता है। कुल 9999 संख्याएँ सिमटकर 7380 तस्वीरें रह जाती हैं। और बोर्ड पर कुछ नहीं बताता कि आप इनमें से कौन सी संख्या देख रहे हैं। तो अगला विचार है, ख़ाली जगह को उसका अपना एक निशान दे दिया जाए।

ये कोई अंक नहीं, बस एक निशान है जो जगह घेरता है, ताकि जगहें गिनी जा सकें। अब वही सारी संख्याएँ दोबारा बनाते हैं, इस बार निशान के साथ। एक भी टकराव नहीं होता, पूरी 9999 संख्याएँ और पूरी 9999 अलग तस्वीरें। अब 25 और 205 अलग अलग दिखते हैं, क्योंकि 205 की बीच वाली ख़ाली जगह पर निशान बैठा है। पढ़ने की समस्या पूरी तरह ख़त्म हो जाती है।

और ख़ास बात ये है कि ऐसे निशान पहले की कुछ पद्धतियों में पहले से मौजूद थे। तो अगर एक निशान से ही पढ़ना ठीक हो जाता है, तो अंक के लिए ठीक करने को क्या बचता है? अब निशान से वो सवाल पूछते हैं जिसका जवाब उसके पास नहीं, तुम कौन सी संख्या हो? वो संख्या है ही नहीं, वो बस एक सूचना है कि ये जगह ख़ाली है।

उसे अलग उठाकर अकेले किसी को नहीं दिया जा सकता। इसका मतलब है कि एक संख्या ऐसी है जो ऐसी पद्धति लिख ही नहीं सकती। वो है ख़ुद शून्य, 0 से 999 तक की 1000 संख्याओं में से वो 999 लिखती है, और 0 छूट जाता है। यानी जिस चीज़ के बारे में वो निशान है, वही पहली संख्या है जिस पर वो अटकती है। ये लिखावट की छोटी सी कमी नहीं, ये दुनिया से एक पूरी संख्या का ग़ायब होना है।

पहला उन्नयन यही है, उस निशान को सूचना नहीं, एक अंक माना जाए। यानी 9 अंक और एक निशान नहीं, बल्कि 10 अंक, सब एक ही तरह के। वो किसी जगह पर वैसे ही खड़ा होता है जैसे 3 खड़ा होता है, उसका भी एक मान है, और वो मान शून्य है। अब 0 से 999 तक की सभी 1000 संख्याओं की अपनी लिखावट है, शून्य की भी। अब 0 से 9 तक कुल 10 अंक हैं, और इनमें से कोई भी किसी भी जगह पर बैठ सकता है।

टकराव गिनें तो इससे कुछ नहीं बदलता, क्योंकि पढ़ना तो निशान ही ठीक कर चुका था। इसीलिए ये कदम आसानी से नज़र से छूट जाता है, इसका फ़ायदा लिखावट में नहीं है। फ़ायदा ये है कि शून्य अब संख्याओं के बीच आ गया है, और अब संख्या पद्धति को उसे संभालना होगा। ये फ़र्क एक ही संख्या में दिखता है, 105 में। निशान वाली पद्धति में ये है 1, फिर निशान, फिर 5, और निशान किसी संख्या का नाम नहीं।

अंक वाली पद्धति में ये है 1, 0 और 5, और बीच वाला सच में शून्य संख्या है। अंक होने से वो जोड़ में भी शामिल होता है, 100 और 0 और 5, यानी कुल 105 बनते हैं। अब इसमें 20 जोड़ें, तो दहाई वाले खाने में 0 और 2 मिलकर 2 बनता है, और जवाब 125 आता है। हर खाने में शून्य के साथ ठीक वही होता है जो बाक़ी हर अंक के साथ, कोई अलग नियम नहीं।

और 105 में से 5 घटाएँ, तो जवाब 100 आता है, जिसकी दोनों ख़ाली जगहों में 0 बैठा है। निशान होता तो वहाँ एक अलग नियम चाहिए होता, अंक को कोई अलग नियम नहीं चाहिए। दूसरा उन्नयन इससे भी बड़ा है, और ये एक ही क्रिया में दिख जाता है। क्रिया है घटाना, 1 से 99 तक की कोई भी 2 संख्याएँ चुनें, और पहली में से दूसरी घटाएँ। ऐसा करने के कुल 9801 तरीके हैं।

अगर पद्धति में न शून्य हो, न ऋण संख्याएँ, तो इनमें से 4950 घटावों का कोई जवाब ही नहीं। इनमें 99 ऐसे हैं जहाँ दोनों संख्याएँ बराबर हैं, 7 में से 7 घटाने का सवाल ही नहीं पूछा जा सकता। और 3 में से 8 घटाने का जवाब ऋण 5 है, जो न गिनती की संख्या है, न शून्य। शून्य को संख्या मान लें, तो ठीक वही 99 हल हो जाते हैं, और 4851 फिर भी बचे रहते हैं।

ये वो सारे जोड़े हैं जहाँ बड़ी संख्या पहली में से घटाई जा रही है। ऋण संख्याएँ भी शामिल हों, तो एक भी नहीं बचता, सभी 9801 घटावों का जवाब मिल जाता है। संख्या वो है जिसके अपने नियम हों, जिनसे हिसाब किया जा सके। किसी भी संख्या में 0 जोड़ने पर वो संख्या वही की वही रहती है। किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर जवाब हमेशा 0 आता है।

और किसी भी संख्या में से वही संख्या घटाने पर 0 बचता है। मसलन 38 में 0 जोड़ने पर 38 ही रहता है, और 38 को 0 से गुणा करने पर या 38 में से 38 घटाने पर 0 आता है। शून्य के दोनों तरफ़ की कुल 199 संख्याओं पर जाँचा, हर नियम सभी 199 पर सही बैठता है। कोई निशान इनमें से किसी नियम पर नहीं चल सकता, एक संख्या चलती है।

यही नियम शून्य को असली हिसाब में हिस्सा लेने देते हैं, लंबे लंबे हिसाबों में भी। शून्य और ऋण संख्याएँ, ये 2 अलग सुविधाएँ नहीं, दोनों मिलकर पद्धति को बंद करती हैं। जाँच ऐसे होती है, संख्याओं का एक समूह, और 3 क्रियाएँ, जोड़ना, घटाना और गुणा करना। क्या समूह की कोई 2 संख्याएँ, किसी भी क्रिया से, समूह के बाहर की संख्या दे सकती हैं? गिनती वाली संख्याएँ फ़ेल हो जाती हैं, घटाने पर जवाब सीधे बाहर निकल जाता है।

अगर 1 से 99 तक की गिनती वाली संख्याएँ लें, तो जोड़ना और गुणा बाहर नहीं ले जाते, दिक्कत सिर्फ़ घटाने में है। उनमें 0 डाल दें, तब भी वो फ़ेल होती हैं, ठीक उसी जगह, घटाने पर। ऋण संख्याएँ भी डाल दें, तो कुछ भी बाहर नहीं जाता, ऋण 9 से 9 तक के 361 जोड़ों में एक भी नहीं। जोड़ो, घटाओ या गुणा करो, समूह अपने अंदर ही रहता है।

इस गुण का एक नाम भी है, पर नाम से ज़्यादा ज़रूरी उसकी जाँच है। ये बड़े समूह का इनाम नहीं है, ये हर क्रिया के लिए अलग से तय होता है। मसलन 1 से 99 तक की 50 विषम संख्याएँ, उनके 2500 जोड़े बनते हैं। इनमें से किन्हीं 2 का गुणा करें, तो जवाब हर बार विषम आता है, सभी 2500 जोड़ों में। जैसे 3 गुणा 5 करने पर 15 आता है, जो विषम है, पर 3 और 5 जोड़ने पर 8 आता है, जो सम है।

पर उन्हें जोड़ें या घटाएँ, तो जवाब हर बार बाहर, एक सम संख्या, सभी 2500 जोड़ों में। और भाग इस सूची में नहीं है, 1 से 9 तक के 81 जोड़ों में से सिर्फ़ 23 में भाग पूरा बैठता है। मसलन 8 को 4 से बाँटें तो ठीक 2 आता है, पर 7 को 2 से बाँटने पर कोई पूरी संख्या नहीं आती। इन 3 क्रियाओं पर समूह बंद रहता है, चौथी जोड़ते ही बात टूट जाती है, इसलिए सूची में बस यही 3 क्रियाएँ हैं।

एक बात और, क्योंकि इससे दिखता है कि आपकी पद्धति एक चुनाव थी। जगह से पहले पड़ावों के अलग निशान होते थे, जैसे पड़ाव 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000, हर एक का अपना निशान। उनके बीच के कदम हैं 5 गुना, 2 गुना, फिर 5, 2, 5 और 2 गुना। कदमों का ये बदलना ही उसे आधार बनने से रोकता है, आधार में एक ही कदम बार बार आता है।

जैसे 1, 10, 100, 1000 और 10000, यहाँ हर कदम 10 गुना है, चारों बार। तो आधार एक फ़ैसला है, और 10 शायद इसलिए चुना गया क्योंकि हाथों में 10 उँगलियाँ होती हैं। तो सवाल उठता है, अगर उँगलियाँ 8 होतीं, तब क्या होता? तब 25 को 8 के आधार में ऐसे लिखा जाता, 8 के 3 गट्ठर और एक बचा, यानी लिखावट बनती 3 और 1 से। इसी तरह 5 के आधार में तीसरी जगह का एक गट्ठर ही 25 है, और बाक़ी 2 जगहें ख़ाली, यानी लिखावट बनती 1, 0 और 0 से।

और 2 के आधार में 16, 8 और 1 मिलकर, यानी लिखावट बनती 1, 1, 0, 0 और 1 से। कहीं 2 अंक, कहीं 3, कहीं 5, और हर लिखावट वापस पढ़ने पर 25 ही बनती है। लिखावट 3 बार बदली, पर संख्या अपनी जगह से ज़रा भी नहीं हिली। और 8 के आधार में संख्या 8 ख़ुद 1 और 0 से लिखी जाती, ठीक वैसे जैसे हमारे यहाँ संख्या 10 लिखी जाती है।

आधार लिखने का एक तरीका है, मात्रा के बारे में कोई सच नहीं। अंकों को देखें, तो 8 के आधार में 0 से 7 तक, 5 के आधार में 0 से 4 तक, और 2 के आधार में बस 0 और 1 होते हैं। तीनों में शुरुआत 0 से होती है, यानी हर आधार को ख़ाली जगह के लिए एक अंक चाहिए। अब पूरा रास्ता क्रम से रखते हैं, 5 कदमों में।

पहला कदम, एक तय संख्या के गट्ठर बनाना, फिर गट्ठरों के गट्ठर, बार बार। दूसरा कदम, गट्ठर बनाने के लिए कुछ पड़ाव वाली संख्याएँ, जैसे 1, 5, 10 और 50 वाले पड़ाव। तीसरा कदम, पड़ावों को एक ही संख्या की घातें बना देना, जैसे 1, 10, 100 और 1000, यही आधार है। चौथा कदम, पड़ाव के निशानों की जगह जगह को बोलने देना, जैसे 375 में। और पाँचवाँ कदम, शून्य, एक जगह में खड़ा अंक भी, और हिसाब में इस्तेमाल होने वाली संख्या भी।

पहले 4 कदम एक से ज़्यादा बार उठाए गए, पाँचवाँ वही उन्नयन है जिसकी ये पूरी कहानी है। तो कुल मिलाकर 2 उन्नयन हुए। एक निशान अंक बना, और 0 से 999 तक की सभी 1000 संख्याओं को अपनी लिखावट मिली। फिर वो अंक एक संख्या बना, और ऋण संख्याओं के साथ सभी 9801 घटावों का जवाब मिल गया। दूसरे उन्नयन के बाद किसी भी संख्या में से कोई भी संख्या घटाई जा सकती है।

पहला उन्नयन लिखने के लिए था, और दूसरा हिसाब लगाने के लिए। जोड़ना, घटाना और गुणा, इनमें से कोई भी क्रिया समूह से बाहर नहीं ले जाती। यही बंद समूह वो ज़मीन है जिस पर आगे का पूरा बीजगणित खड़ा होता है। जगह से मान का विचार कई बार मिला, पर शून्य के इन्हीं 2 उन्नयनों ने उसे एक पूरी पद्धति बनाया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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