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Chapter 3 · A Story of Numbers

Egyptian system, और landmark number किस काम आता है

The idea of a base12 मिनट

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पिछली सीढ़ी के आकार चुने गए थे: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, और सबसे ऊपर पहुँचकर किसी को नया आकार सोचना पड़ता है। इस बार एक नियम से शुरू कीजिए: एक कंकड़ पहला आकार, और पिछले आकार के 10 मिलकर अगला। नियम को अपने ही जवाब पर चलाइए, और सीढ़ी खुद बनती है: 1, 10, 100, 1000, 10000, 1 लाख।

मुख्य idea

Rome ने अपने landmark numbers चुने; Egypt ने उन्हें पैदा किया। Egyptian नियम एक अकेला निर्देश है जो अपने ही नतीजे पर बार-बार लगाया जाता है — पिछले landmark के दस लो और उसे अगला landmark कहो — और क्योंकि नियम कभी नहीं बदलता, हर landmark दस की एक घात (power of ten) होता है। पूरा फ़र्क़ बस यही है, और यह इतना काफ़ी है कि Egyptian numeral संख्या के decimal digits से ज़्यादा कुछ नहीं रह जाता, बस दोहराए गए चिह्नों के रूप में बना हुआ: हर चिह्न की गिनती एक digit है, और numeral की लंबाई digits का जोड़ (digit sum) है।

आपको क्या आना चाहिए

  • landmark numbers बनाने का Egyptian नियम बताना, और उसे लगाकर पहले पाँच landmarks बनाना
  • समझाना कि यह नियम हर landmark को दस की घात होने पर मजबूर क्यों करता है
  • chapter जिन आठ घातों को चिह्न देता है उनके नाम लेना, और यह बताना कि यह set किस सबसे बड़ी संख्या तक पहुँच सकता है
  • दी गई संख्या को दस की घातों के जोड़ की तरह, और फिर Egyptian चिह्नों के सिलसिले की तरह लिखना
  • हर चिह्न गिनकर किसी Egyptian numeral को वापस Hindu numeral में पढ़ना
  • लिखने से पहले ही अंदाज़ा लगाना कि किसी संख्या के Egyptian numeral को कितने चिह्न चाहिए होंगे
  • बताना कि landmark number ऐसा क्या करता है जो सादा tally नहीं करता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
landmark numbersवे संख्याएँ जिन्हें कोई system नया मूल चिह्न देता है, और जिनसे समूह बनाता हैसंदर्भ संख्याएँइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.58)
Egyptian number systemवह system जिसके landmarks दस की घातें हैं, हर एक का अपना चिह्नमिस्री संख्या पद्धतिइसी chapter में छपा, §3.3 I के शीर्षक की तरह (Part I p.61)
numeralsकिसी number system के लिखे हुए चिह्नअंक / संख्यांकइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.1, p.54)
powers of 10sequence 1, 10, 10², 10³, …, जो आख़िर में Egyptian landmarks निकलते हैंदस की घातेंइसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.62)
crore10⁷, सबसे बड़ी घात जहाँ तक Egyptian चिह्नों का set पहुँचता हैकरोड़इसी chapter में छपा (Part I, §3.3, p.69)
Hindu numeralsदस चिह्नों वाले numerals, जिनमें chapter Egyptian numerals को वापस पढ़ता हैहिंदू / भारतीय अंकइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.59)
stroke, coil1 और 100 के Egyptian चिह्नों के लिए इस पाठ के नाम, ताकि उन्हें बोलकर कहा जा सकेखड़ी रेखा, कुंडलीइस पाठ के अपने नाम; इस chapter में नहीं छपे, जो चिह्न बनाता है पर उनमें से किसी का नाम नहीं लेता
digit sumकिसी संख्या के digits का जोड़, जो उसके Egyptian numeral के चिह्नों की गिनती के बराबर होता हैअंकों का योगइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Egyptians के पास place value system था।" नहीं था। चिह्न किसी भी क्रम में लिखे जा सकते हैं, और numeral का मतलब वही रहता है — जगह का कोई मतलब नहीं। item 2 के दोनों छपे numerals ठीक यही दिखाने के लिए पंक्तियों में रखे गए हैं।
  • "चिह्न सबसे बड़े से सबसे छोटे के क्रम में ही लिखने होते हैं।" यह चलन है, arithmetic नहीं। छपे हुए Egyptian numeral के चिह्नों का क्रम बदलने से उसका मान नहीं बदलता — और place value आने पर ठीक यही बात सच नहीं रहेगी।
  • "दस इसलिए चुना गया कि यह एक अच्छी पूर्ण संख्या है।" यह पूर्ण संख्या लगती ही इसलिए है कि इसे चुना गया। chapter का अगला उपखंड इसकी जगह 5 रख देता है और सब कुछ चलता रहता है, और यही तर्क है कि दस एक चुनाव है।
  • "landmark number बस एक बड़ी संख्या है।" यह वह संख्या है जिसे system नया मूल चिह्न देता है और जिससे गट्ठर बाँधता है। परिभाषा काम के आधार पर है, और chapter उसे Part I p.58 पर इसी तरह कहता है।
  • "numeral में ज़्यादा चिह्न मतलब बड़ी संख्या।" 1111 को चार चिह्न चाहिए और 784 को उन्नीस। चिह्नों की गिनती digits का जोड़ है, मान नहीं।
  • "numeral पढ़ने का मतलब है सबसे ऊपर वाली पंक्ति पहले पढ़ना।" item 2(i) में एक मेहराब सबसे नीचे वाली पंक्ति के आख़िर में बैठा है। चिह्न के हिसाब से छाँटो, जगह के हिसाब से नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q2

पूरा transcript1,713 शब्द

पिछली बार हमने आकारों की एक सीढ़ी देखी थी, जिसे लिखने की एक असली पद्धति इस्तेमाल करती थी। उसके पड़ाव थे 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000, और उनके बीच के कदम 5, 2, 5, 2, 5, 2 थे। ये पड़ाव किसी ने चुने थे, और सोच समझकर चुने थे, क्योंकि 5, 10 और 50 के गट्ठर बनाना आसान है। पर चुनी हुई सूची में अगला पड़ाव अपने आप नहीं आता।

सबसे ऊपर पहुँचकर किसी को नया पड़ाव और उसका नया निशान सोचना पड़ता है। तो सवाल ये है कि क्या पड़ाव चुनने की जगह किसी नियम से मिल सकते हैं? ऐसा नियम, जिससे पूछो तो वो अगला पड़ाव खुद बता दे? आज एक दूसरी पुरानी पद्धति देखेंगे जिसने ठीक यही किया, और देखेंगे कि उससे क्या मिला और क्या नहीं मिला। एक कंकड़ से शुरू कीजिए, वही एक कंकड़ आपका पहला आकार है।

अब एक निर्देश, जो आकार अभी बना, उसके 10 लीजिए, और उस गट्ठर को अगला आकार कहिए। यानी 10 कंकड़, ये दूसरा आकार हुआ। अब यही निर्देश उसके अपने जवाब पर चलाइए, यानी ऐसे 10 गट्ठर एक साथ। मिले 100, फिर 1000, फिर 10000, और ऐसे ही आगे। पहली पंक्ति के बाद आपने कुछ भी नहीं चुना है। चुनने का काम नियम कर रहा है, और जब तक आप पूछते रहें, वो अगला आकार देता रहता है।

सोचिए, 10000 के बाद नियम कौन सा आकार देगा? जवाब है 10000 के 10, यानी 1 लाख कंकड़। अब देखिए कि ये नियम किस बात की गारंटी देता है। हर आकार पिछले का 10 गुना है, क्योंकि नियम बस यही एक काम करता है। इसलिए सूची बस यही हो सकती है, 1, 10, 10 गुणा 10, 10 गुणा 10 गुणा 10, यानी 10 की घातें, और कुछ नहीं। ये बात सूची को जाँचकर पता नहीं चलती, ये उस निर्देश का गुण है जिसने सूची बनाई।

और किसी आकार की जगह बताती है कि नियम कितनी बार चला, चौथा आकार मतलब नियम 3 बार चला, यानी 1000 कंकड़। वैसे 10 में कोई जादू नहीं है, वो बस सुविधा के लिए चुना गया है। मसलन 5 के गट्ठर बनाइए, तो यही नियम देता है 1, 5, 25, 125, और आगे भी। यानी 10 एक चुनाव है, पर नियम का होना चुनाव नहीं है। इस सूची में एक तस्वीर छिपी हुई है।

एक अकेला कंकड़, ये एक बिंदु है। उनमें से 10 एक कतार में, ये एक पंक्ति है। ऐसी 10 कतारें साथ साथ रखिए, तो एक वर्ग बनता है, 10 गुणा 10, यानी 100 कंकड़। वर्ग के कंकड़ एक एक करके गिनिए, तो सच में पूरे 100 ही निकलते हैं। ऐसे 10 वर्ग एक के ऊपर एक रखिए, तो घन बनता है, 10 गुणा 10 गुणा 10, यानी पूरे 1000 कंकड़।

बिंदु, पंक्ति, वर्ग और घन, पहले 4 आकार, हर बार एक दिशा और। एक ही कदम को बार बार दोहराने की तस्वीर ऐसी दिखती है। पिछली सीढ़ी की ऐसी कोई तस्वीर नहीं बनती, क्योंकि उसमें दोहराने के लिए कोई एक कदम ही नहीं है। अब हर आकार को एक निशान दीजिए, जिसे हाथ से बनाया जा सके। देखिए, 1 के लिए एक खड़ी लकीर, 10 के लिए एक मेहराब, और 100 के लिए एक कुंडली।

फिर 5 और निशान, 1000 से लेकर 1 करोड़ तक। कुल 8 निशान, और वहीं ये पद्धति निशान बनाना बंद कर देती है। पर ध्यान से देखिए कि क्या रुका और क्या नहीं रुका। नियम नहीं रुका, उससे अगला आकार पूछिए, तो वो बिना कुछ नया सोचे 10 करोड़ बता देता है। खत्म तस्वीरें हुई हैं, आकार नहीं हुए। ये उस छत से अलग है जहाँ सबसे बड़ा आकार बस वो है जिसका letter किसी ने सोच लिया था।

संख्या लिखना पहले जैसा ही है, सबसे बड़ा आकार जितनी बार आए उतना लीजिए, फिर नीचे जाइए। मसलन 324 लिखना है, तो शुरू करते हैं। पहले देखिए, 100 कितनी बार आता है? 3 बार, और 24 बचे। अब 10 कितनी बार आता है? 2 बार, और 4 बचे। आख़िर में बचे 4 के लिए 1 की 4 लकीरें। यानी 3 कुंडलियाँ, 2 मेहराब और 4 लकीरें, कुल 9 निशान, और संख्या लिख गई।

तरीका वही, सीढ़ी अलग, अब ध्यान से देखिए कि असल में क्या निकला। गिनती देखिए, 3 कुंडलियाँ, 2 मेहराब, 4 लकीरें। यानी 3, 2 और 4, ठीक वही अंक जो 324 में हैं। निशानों की गिनती ही संख्या के अंक हैं, मिलते जुलते नहीं, वही 3 संख्याएँ, उसी क्रम में। और ये 324 का संयोग नहीं है, 1 से 1 लाख तक की हर संख्या पर जाँचिए, तो सभी 1 लाख पर यही होता है।

ऐसा होना ही था, 10 की घातों से, सबसे बड़ी पहले, समूह बनाना ही तो अंकों में संख्या लिखना है। और उन सभी 1 लाख संख्याओं में कोई निशान 9 बार से ज़्यादा नहीं लगता, क्योंकि 10 होते ही वो अगले निशान में बदल जाता है। तो ये कोई अजनबी लिखावट नहीं है, ये आपकी अपनी संख्याएँ हैं, बस हर अंक एक आकृति की जगह उतने दोहराए निशानों में। फ़ासला जितना दिखता है उससे बहुत छोटा है, और जो बचा है, आगे की बात उसी की है।

एक बात सच में अलग है, और उसके बारे में ठीक ठीक रहना ज़रूरी है। ये रही पंक्तियों में लिखी एक संख्या, ऊपर 2 कुंडलियाँ, फिर 3 मेहराब, फिर 3 और मेहराब, फिर 6 लकीरें, और उनके बाद एक आख़िरी मेहराब। आप इसे कैसे पढ़ेंगे, क्या एक एक पंक्ति करके? नहीं, पंक्तियाँ मत पढ़िए, निशानों की किस्में गिनिए। कुंडलियाँ 2, मेहराब 7 और लकीरें 6, तो ये संख्या 276 है।

मेहराब 3 अलग पंक्तियों में थे, और एक तो लकीरों के बाद बैठा था, फिर भी कोई फ़र्क नहीं पड़ा। जो सिर्फ़ ऊपर की पंक्ति पढ़कर रुक जाए, उसका जवाब पूरे 76 कम आएगा। अब 324 के 9 निशानों को किसी भी क्रम में लगाइए, कुल 1260 अलग क्रम बनते हैं, और मान एक बार भी नहीं बदलता। पर 324 के 3 अंकों का क्रम बदलिए, तो 6 अलग संख्याएँ बनती हैं।

यहाँ जगह का कोई मतलब नहीं, और हमारी संख्याओं में जगह ही सब कुछ है। अब आप पढ़िए, ऊपर 4 मुड़े डंडे, फिर 3 कुंडलियाँ, फिर 2 लकीरें और 2 मेहराब, ये कौन सी संख्या है? मुड़े डंडे 4, कुंडलियाँ 3, मेहराब 2 और लकीरें 2, तो ये संख्या 4322 है। क्योंकि गिनतियाँ ही अंक हैं, लिखने से पहले ही आप बता सकते हैं कि संख्या कितनी लंबी होगी। किसी संख्या को कितने निशान लगेंगे?

उसके अंकों का जोड़ जितने। मसलन 784 को 19 निशान लगते हैं, क्योंकि 7, 8 और 4 का जोड़ 19 है। और 1111 को सिर्फ़ 4 निशान लगते हैं। फिर से सुनिए, बड़ी संख्या को पूरे 15 निशान कम लगते हैं। यहाँ लंबाई का आकार से कोई लेना देना नहीं, वो अंकों का जोड़ है, तो संख्या बड़ी और सस्ती, या छोटी और महँगी हो सकती है। इसी तरह 70707 को 21 निशान लगते हैं, और 10458 को 18 निशान।

और बाकी दोनों में, 1023 को 6 निशान और 2660 को 14 निशान लगते हैं। इन 6 संख्याओं को पहले मान से छाँटिए, फिर निशानों से, तो दोनों क्रम अलग आते हैं। अब ईमानदार हिसाब, और वो उम्मीद के उलटा जाता है। बराबर सीढ़ी ने संख्याएँ छोटी नहीं कीं, उलटे लंबी कर दीं। वो सारी संख्याएँ लीजिए जो दोनों पद्धतियाँ लिख सकती हैं, यानी 1 से 3999 तक। इनमें से 3744 पर पिछली, असमान सीढ़ी के निशान कम हैं, और बाकी 255 पर दोनों बराबर हैं।

बराबर सीढ़ी एक बार भी छोटी नहीं पड़ती, 3999 में से एक भी बार नहीं। मसलन 324 वहाँ 7 निशानों में लिखा जाता है, और यहाँ 9 निशानों में। ये बचत बीच वाले आकारों से आती है, यानी 5, 50 और 500 वाले निशानों से। इन्हें छोड़ने की कीमत लंबाई में चुकानी पड़ती है। तो बराबर पायदानों से मिला क्या, अगर छोटी लिखावट नहीं? जवाब है 2 चीज़ें, और ठीक वही 2 जो पिछली सीढ़ी में टूटी हुई थीं।

पहली, अदला बदली, असमान सीढ़ी पर हर पायदान पर अलग संख्या थी, कहीं 5 तो कहीं 2 बदलने पड़ते थे। यहाँ सभी 7 पायदानों पर 10 ही है, क्योंकि हर कदम वही एक कदम है। दूसरी, गुणा, असमान सीढ़ी पर 25 में से 3 गुणनफल पायदानों के बीच गिरते थे। यहाँ पड़ावों के जो 36 गुणनफल सीढ़ी में समाते हैं, उनमें से सभी 36 किसी पड़ाव पर ही गिरते हैं।

मसलन 10 गुणा 100 बराबर 1000, और 1000 गुणा 1000 बराबर 10 लाख, दोनों ही पड़ाव हैं। और नियम बताता है क्यों, उसे 3 बार चलाना और फिर 4 बार चलाना, कुल 7 बार चलाना ही है। तो 1000 गुणा 10000 बराबर 1 करोड़, पड़ावों का गुणा बस नियम चलने की गिनतियाँ जोड़ देता है। एक छत अब भी है, और 2 मिलती जुलती बातों को अलग करना ज़रूरी है।

सिर्फ़ 8 निशान, और हर निशान ज़्यादा से ज़्यादा 9 बार, तो सबसे बड़ी संख्या 99999999 बनती है। उसे लिखने में 72 निशान लगते हैं, यानी 8 बार 9, जो अपने आप में एक समस्या है। उसमें 1 जोड़िए, तो सबसे ऊपर वाला निशान 10 बार आता है, वही लकीरों वाली समस्या, सीढ़ी के सबसे ऊपर। पर इसका इलाज कोई नया चालाक letter नहीं है, नियम अगला आकार पहले से जानता है।

कमी आकार की नहीं है, कमी ऐसे तरीके की है जिससे आकार लिखने के लिए हर बार नई तस्वीर न बनानी पड़े। इस बात को पकड़े रखिए, आगे की पूरी बात यही है। एक कदम पीछे हटकर देखिए कि ये आकार असल में क्या काम कर रहे हैं। मसलन 324 को सादी लकीरों में लिखिए, तो पूरी 324 लकीरें, जिन्हें कोई पढ़ नहीं सकता। इस सीढ़ी के निशानों में वही संख्या 9 निशान है, यानी 36 गुना कम।

और हर निशान अपनी जगह कमाता है, 100 वाला निशान हटा दीजिए, तो 324 को 27 निशान और लगते हैं। पड़ाव इसी के लिए होता है, वो बस बड़ी संख्या नहीं, वो आकार है जिसके गट्ठर पद्धति बनाती है और जिसे अपना निशान देती है। अब तक 2 पद्धतियाँ देखीं, पहली ने आकार चुने और छोटी लिखावट पाई, पर हिसाब मुश्किल रहा। दूसरी ने आकार नियम से बनाए, हिसाब साफ़ पाया, पर लिखावट लंबी रही।

दोनों को हर नए आकार के लिए नई तस्वीर चाहिए, तो जितना दूर गिनना हो, उतनी तस्वीरें बढ़ती जाती हैं। इसका अंत करने वाला विचार ये है, आकार बनाना ही छोड़ दीजिए, और अंक जहाँ बैठा है, वही बताए कि वो किस आकार का है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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