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Chapter 3 · A Story of Numbers

Roman numerals: किसी संख्या को दहाइयों, पाँचों और इकाइयों में बाँटना

Some early number systems14 मिनट

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पुराने लिखे निशानों में 7 पड़ाव हैं: 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000। उनके बीच के कदम हैं 5, 2, 5, 2, 5, 2, यानी एक नहीं, 2 आकार, बारी बारी से। नियम सीधा है, सबसे बड़ा पहले, और 2367 सिर्फ़ 10 निशानों में लिखा जाता है।

मुख्य idea

Roman system की बढ़त यह है कि वह एक आकार के बजाय आकारों के एक sequence से गट्ठर बाँधता है — 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 — इसलिए कोई संख्या लिखना "सबसे बड़े वाले जितने आ सकें, उतने ले लो" का एक सिलसिला बन जाता है, और numeral सिमटकर बस मुट्ठी भर अक्षर रह जाता है। जो यह कभी नहीं करता, वह है लगातार आकारों को किसी स्थिर गुणक (constant factor) से जोड़ना, और Roman arithmetic की हर अटपटी बात इसी एक कमी से निकलती है: तुम्हें अलग से याद रखना पड़ता है कि पाँच C मिलकर एक D बनाते हैं और दो V मिलकर एक X, और दो symbols का गुणा आम तौर पर ऐसी संख्या पर पहुँचता है जिसका कोई symbol है ही नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • 40 से छोटी किसी संख्या को पहले दहाइयाँ, फिर पाँच, फिर इकाइयाँ लेकर Roman रूप में बदलना
  • chapter जिन सात landmark numbers का नाम लेता है, उन्हें उनके अक्षरों के साथ गिनाना
  • चार अंकों वाली किसी संख्या को सबसे बड़े landmark से नीचे की ओर, अधिकतम-पहले समूह बनाकर Roman रूप में बदलना
  • दो Roman numerals को बिना बदले जोड़ना, हर landmark पर फिर से समूह बनाते हुए
  • समझाना कि पाँच सैकड़ों को फिर से एक D के रूप में क्यों बाँधना पड़ता है, और यह क़दम छूट जाना आसान क्यों है
  • landmark numbers के हिसाब से एक कारण देना कि Roman गुणा कठिन क्यों है, जबकि Egyptian गुणा आसान निकलेगा
  • chapter की यह चेतावनी बताना कि ये systems एक के बाद एक सुधार की कोई कड़ी नहीं हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
landmark numbersवे संख्याएँ जिन्हें कोई system नया मूल चिह्न देता है, और जिनसे समूह बनाता हैसंदर्भ संख्याएँइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.58)
Roman number systemI, V, X, L, C, D, M पर बना systemरोमन संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.1, p.53)
numeralsकिसी number system के लिखे हुए चिह्नअंक / संख्यांकइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.1, p.54)
abacusगिनती का वह तख़्ता जिस पर Roman system इस्तेमाल करने वाले अपना हिसाब करते थेगणनफलकइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.60)
group sizeवह तय गिनती जिससे कोई system गट्ठर बाँधता हैसमूह का आकारइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.57)
Hindu numeralsदस चिह्नों वाले numerals, जिनसे chapter Roman numerals की तुलना करता हैहिंदू / भारतीय अंकइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.59)
greedy groupingउपलब्ध सबसे बड़े landmark को जितनी बार आ सके उतना लेना, फिर यही दोहरानाअधिकतम-पहले समूहनइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो विधि बताता है पर उसे नाम नहीं देता
decompositionlandmark numbers का वह लिखा हुआ जोड़ जिसे कोई numeral दर्ज करता हैविघटन / योग-रूपइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "IIII ग़लत है, IV ही होना चाहिए।" chapter साफ़ कहता है कि इस्तेमाल करने वाले एक जैसे नहीं थे, और XL के साथ-साथ XXXX भी मिलता है। घटाने वाले रूप को अकेला सही रूप बताना एक आधुनिक चलन को ले आना है, जिसका दावा पन्ना नहीं करता।
  • "Roman numerals का कोई नियम नहीं है, बस रट लो।" नियम है, और chapter उसे देता है: सबसे बड़े landmark को जितनी बार आ सके उतना लो, फिर सूची में नीचे जाओ। अक्षर तो इसका नतीजा भर हैं।
  • "numeral को देखकर सबसे बड़ा landmark हमेशा बताया जा सकता है।" छपा हुआ जोड़ इसी को ग़लत साबित करने के लिए बना है। दो numerals, जिनका सबसे बड़ा अक्षर C है, जुड़कर 500 के पार जा सकते हैं, और अगर तुम C की गिनती पर नज़र नहीं रख रहे, तो D कहीं से भी अचानक आ जाता है।
  • "Roman numerals को बिना बदले जोड़ना नामुमकिन है।" नहीं है; chapter करके दिखाता है। उसके लिए हर landmark पर अलग से समूह बनाने का नियम चाहिए, क्योंकि I से V का क़दम पाँच का है और V से X का दो का।
  • "Roman गुणा इसलिए कठिन है कि अक्षर अनजाने हैं।" यह इसलिए कठिन है कि दो चिह्नों का गुणनफल आम तौर पर कोई चिह्न नहीं होता। V x L 250 है, जिसे CCL लिखना पड़ता है। अगले module के Egyptian उदाहरण से तुलना करो, जहाँ दो landmarks का गुणनफल हमेशा कोई दूसरा landmark होता है।
  • "Romans arithmetic में कमज़ोर थे।" वे एक तख़्ता इस्तेमाल करते थे। chapter यह कहता है, और जोड़ता है कि उसे इस्तेमाल करना एक ख़ास हुनर था — जो notation के बारे में कही गई बात है, लोगों के बारे में नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 3 Q3

पूरा transcript2,130 शब्द

ये संख्याएँ लिखने का एक बहुत पुराना तरीका है, और इसे आप पहले से थोड़ा बहुत पढ़ सकते हैं। देखिए, 1 के लिए एक खड़ी लकीर, 2 के लिए 2 लकीरें, और 3 के लिए 3 लकीरें। फिर 5 पर कुछ बदलता है, लकीरें गिनने की जगह एक नया निशान आता है, वी। और 6 लिखा जाता है वी आई, यानी 5 और उसके आगे 1 की लकीर। इसके पीछे एक नियम है, और वो रटने की चीज़ नहीं है।

नियम ये है कि आपके पास जो सबसे बड़ा हिस्सा है, वो जितनी बार आ सके उतनी बार लीजिए, फिर उससे छोटे पर जाइए, और ऐसे ही चलते रहिए। आख़िर में letters तो बस नतीजा हैं, असली काम हिस्से ढूँढना है। और इस पद्धति में जो कुछ आसान है और जो कुछ मुश्किल, वो सब इसके आकारों की एक छोटी सी बात से आता है। वीडियो के आख़िर तक आप वो बात ठीक ठीक कह पाएँगे, और समझ जाएँगे कि वो इतनी बड़ी क्यों है।

छोटे से शुरू करते हैं, और 27 लिखते हैं। सबसे पहले देखिए, 27 में 10 कितनी बार आता है? जवाब है 2 बार, यानी 20, और अभी 7 लिखने बाकी हैं। अब 7 में 5 एक बार आता है, और 2 बचते हैं। बचे हुए 2 के लिए 1 वाली लकीर 2 बार लगेगी, और काम पूरा। तो 27 बना 10, 10, 5, 1 और 1 से, यानी कुल 5 हिस्से।

अब हर हिस्से का निशान लिखिए, सबसे बड़ा पहले, एक्स एक्स वी आई आई। ध्यान दीजिए, आपको पहले से पता होना ज़रूरी नहीं था कि 27 कैसे लिखते हैं। आपने बस हिस्से ढूँढे, और हर हिस्से का अपना नाम पहले से है। असल में 1 से 39 तक की सभी 39 संख्याओं के लिए यही नियम काफ़ी है, और किसी में एक्स 3 बार से ज़्यादा नहीं आता। अब सोचिए, इसी नियम से 50 कैसे लिखा जाएगा?

अब तक के निशानों से 50 बनता है 5 बार 10, यानी एक के बाद एक 5 एक्स। ऐसा लिखा जा सकता है, और ऐसा लिखा भी गया। लेकिन एक जैसे 5 letters फिर से वही लकीरों वाली समस्या है, पढ़ने वाले को उन्हें गिनना पड़ता है। इसलिए 50 को अपना एक अलग निशान मिला, एल। यानी 5 निशानों की जगह अब सिर्फ़ एक निशान, और देखिए कि उसने कितनों की जगह ली, पूरे 5 की।

ये 5 की गिनती आगे बहुत काम आएगी, इसे याद रखिए। और अब इस पद्धति के पास समूह बनाने के लिए एक नया आकार है, जिससे बड़ी संख्याएँ लिखी जा सकती हैं। अब एक छोटा सा मोड़, जो कोई गलती नहीं, बल्कि एक सच्ची बात है। नियम से 40 है 4 बार 10, यानी एक्स एक्स एक्स एक्स, पूरे 4 letters। पर 40 को ऐसे भी लिखा गया, 50 से 10 कम करके।

बड़े निशान के आगे छोटा निशान रखो, तो मतलब है उसे घटाओ, और 40 बन जाता है एक्स एल। इसी चाल से 4 बनता है आई वी, यानी 5 से 1 कम, और 9 बनता है आई एक्स, यानी 10 से 1 कम। अक्सर छोटे वाले रूप को ही अकेला सही तरीका बताया जाता है, लेकिन ऐसा नहीं है। दोनों रूप इस्तेमाल हुए, एक ही लोगों ने किए, और कभी कभी तो एक ही चीज़ पर।

हमने 1 से 3999 तक की हर संख्या दोनों तरीकों से लिखकर वापस पढ़ी, और दोनों तरीके हर बार सही संख्या पर लौटे। छोटा रूप कभी लंबा नहीं होता, और सबसे ज़्यादा बचत 999 पर होती है, लंबे रूप में 15 निशान और छोटे में सिर्फ़ 6 निशान। फिर भी छोटा रूप नियम नहीं बदलता, वो बस लिखने का छोटा रास्ता है, इसलिए आगे हम लंबे रूप से काम करेंगे।

ये रहे वो सारे आकार, जिनसे ये पद्धति समूह बनाती है। वो हैं 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000, कुल 7 पड़ाव, और हर एक का अपना letter है। उनके निशान हैं आई, वी, एक्स, एल, सी, डी और एम। अब वो सवाल सोचिए जो ये सीधी सूची छिपा देती है, हर पड़ाव के कितने मिलकर अगला पड़ाव बनाते हैं? देखिए, 1 के 5 मिलकर 5 बनाते हैं, और 5 के 2 मिलकर 10 बनाते हैं।

फिर 10 के 5 मिलकर 50 बनाते हैं, और 50 के 2 मिलकर 100 बनाते हैं। और ऊपर, 100 के 5 मिलकर 500 बनाते हैं, और 500 के 2 मिलकर 1000 बनाते हैं। यानी कदम हैं 5, 2, 5, 2, 5 और फिर 2, कुल 6 कदम। यही इस पूरे वीडियो की बात है, कदम का एक आकार नहीं, बल्कि 2 आकार, जो ऊपर तक बारी बारी से आते हैं।

आप रोज़ जिस पद्धति से संख्याएँ लिखते हैं, वो हर बार एक ही गुना चढ़ती है, और ये पद्धति ऐसा नहीं करती। कीमत गिनने से पहले देखिए कि ये नियम कितना बढ़िया काम कर सकता है, 2367 लिखकर। सबसे बड़ा पहले, 1000 कितनी बार आता है? 2 बार, और 367 बचे। अब 100 कितनी बार आता है? 3 बार, और 67 बचे। बचे हुए 67 में 50 एक बार आता है, और 17 बचते हैं।

फिर एक 10, एक 5, और आख़िर में 1 की 2 लकीरें। कुल 10 हिस्से, और हर हिस्से का अपना letter, एम एम सी सी सी एल एक्स वी आई आई। अब आप कोशिश कीजिए, 302 इसी नियम से कैसे लिखेंगे? जवाब है 3 बार 100, फिर 1 की 2 लकीरें, यानी सी सी सी आई आई, कुल 5 निशान। सोचिए, 4 अंकों वाली संख्या 10 निशानों में, और वो भी एक ऐसे तरीके से जो एक मिनट में सिखाया जा सके।

ये पद्धति इस काम में सच में अच्छी है, इसलिए ये ठीक ठीक जानना ज़रूरी है कि वो कहाँ अच्छी नहीं है। इन्हें जोड़ने के लिए पहले आज के अंकों में बदलने की कोई ज़रूरत नहीं है। उदाहरण के लिए 232 और 413 लीजिए, अपने अपने letters में, सी सी एक्स एक्स एक्स आई आई, और सी सी सी सी एक्स आई आई आई। अब दोनों को एक साथ उड़ेलिए और हर तरह के निशान अलग अलग गिनिए।

आई मिले 5 बार, एक्स 4 बार, और सी पूरे 6 बार। अब नीचे से सजाइए, 5 आई मिलकर एक वी बन जाते हैं, और कोई आई नहीं बचता। एक्स 4 हैं, यानी 5 से कम, तो वो जैसे हैं वैसे ही रहते हैं। और सी 6 हैं, उनमें से 5 सी मिलकर एक डी बनाते हैं, और एक सी बच जाता है। जवाब है डी सी एक्स एक्स एक्स एक्स वी, यानी 645, और छोटे रूप में डी सी एक्स एल वी।

अब देखिए आपने शुरुआत किससे की थी, दोनों में सबसे बड़ा letter सी था। पर जवाब में डी है, जो उन दोनों में से किसी में नहीं था। जो सबसे बड़ा निशान सामने दिखता है, जवाब उससे आगे भी जा सकता है, और यहीं लोग ये जोड़ बिगाड़ देते हैं। अब एक और जोड़ लीजिए, 87 और 78, यानी एल एक्स एक्स एक्स वी आई आई, और एल एक्स एक्स वी आई आई आई।

एक साथ उड़ेलने पर 5 आई, 2 वी, 5 एक्स और 2 एल मिलते हैं। पहले 5 आई के बदले एक वी लीजिए, अब 3 वी हो गए। फिर 3 वी में से 2 के बदले एक एक्स लीजिए, और 1 वी बचता है। अब एक्स 6 हैं, उनमें से 5 के बदले एक एल, और 1 एक्स बचता है। और एल 3 हैं, उनमें से 2 के बदले एक सी, और 1 एल बचता है।

जवाब बना सी एल एक्स वी, यानी 165, और यही सही जोड़ है। अब देखिए, ये करने के लिए आपको क्या क्या याद रखना पड़ा। पहले 5 आई के बदले वी, फिर 2 वी के बदले एक्स, फिर 5 एक्स के बदले एल, और फिर 2 एल के बदले सी। ये 4 अलग बातें नहीं हैं, ये उसी सीढ़ी के कदम हैं, 5, 2, 5, 2, जो अब आपके हाथों का काम बन गए हैं।

और हर पायदान पर इसे अलग से याद रखना पड़ता है, क्योंकि कोई एक संख्या हर जगह काम नहीं करती। अगर आप हर जगह 5 पर ही बदलें, तो इसी जोड़ में 3 वी और 3 एल खड़े रह जाते हैं, एल एल एल वी वी वी, और ये ठीक से लिखी संख्या नहीं है। एक सीढ़ी, कदम के 2 आकार, और जोड़ने के काम को दोनों विरासत में मिलते हैं।

जोड़ ये सब झेल लेता है, पर गुणा इसे नहीं झेल पाता। मसलन 5 गुणा 50 कीजिए, जवाब 250 आता है। एक आम सी संख्या, पर इस पद्धति में उसका अपना कोई निशान नहीं है, उसे 3 letters में लिखना पड़ता है, सी सी एल। अब 10 गुणा 100 कीजिए, जवाब 1000 आता है, ठीक एक पड़ाव पर, सिर्फ़ एक letter, एम। तो कुछ गुणनफल सीढ़ी पर गिरते हैं, और कुछ पायदानों के बीच में, पर कौन से?

पड़ावों की हर जोड़ी लीजिए, कुल 49 जोड़ियाँ, और उनमें से वो रखिए जिनका गुणनफल 1000 से बड़ा नहीं है। ऐसी 25 जोड़ियाँ हैं, और 25 में से 22 का गुणनफल ठीक किसी पड़ाव पर गिरता है। यानी ये सीढ़ी हर जगह बेतरतीब नहीं है, सिर्फ़ 3 जोड़ियाँ चूकती हैं। वो 3 हैं, 5 गुणा 5, जो 25 है, और 5 गुणा 50 दोनों क्रम में, जो 250 है। तीनों में ऐसा पड़ाव है जहाँ 5 वाला कदम पहुँचा था, यानी 5, 50 या 500 में से कोई।

यानी 2 वाले कदम ठीक हैं, 5 वाले कदम ही गुणनफल को सीढ़ी से गिरा देते हैं। एक दूसरी समस्या भी है, और वो ज़्यादा सीधी है। अब 50 गुणा 500 कीजिए, जवाब 25000 आता है। इस पद्धति का सबसे बड़ा निशान 1000 का है, एम। तो 25000 लिखने के लिए एम को 25 बार लिखना पड़ता है, और कुछ नहीं। ये फिर वही लकीरों वाली समस्या है, बस इस बार सीढ़ी के नीचे नहीं, सबसे ऊपर।

इस पद्धति का हर इलाज एक ही था, नए आकार के लिए नया निशान, और ये तब तक चलता है जब तक निशान खत्म नहीं होते। और letters बढ़ाते जाना समस्या हल नहीं करता, बस उसे आगे खिसका देता है। ये बात उस समय के लोग जानते थे, मुश्किल हिसाब गिनती की एक तख़्ती पर होता था। और उस तख़्ती को वही लोग चलाते थे, जिन्हें इसके लिए खास तौर पर सिखाया गया था।

आगे बढ़ने से पहले एक बात पर सावधान रहना ज़रूरी है। ये सोचना आसान है कि इन पद्धतियों को एक कतार में रखो, और हर अगली को पिछली से बेहतर कहो। असल में ऐसा नहीं हुआ, इतिहास उलझा हुआ है, उसका बहुत सा हिस्सा हमें पता ही नहीं, और पद्धतियाँ सदियों तक साथ साथ चलीं। इन निशानों से लिखने वाले लोग हिसाब में कमज़ोर नहीं थे, उनके पास एक औज़ार था, और वो औज़ार काम करता था।

हम लिखने के तरीकों की तुलना कर रहे हैं, लोगों की नहीं, यानी कोई तरीका आपसे कितना काम करवाता है। और इस सवाल पर इस पद्धति की एक ही कमज़ोरी है, जिसे अब हम ठीक ठीक कह सकते हैं। वो कमज़ोरी letters नहीं हैं, और वो घटाने वाली चाल भी नहीं है। कमज़ोरी ये है कि लगातार आकारों के बीच कोई एक तय गुना नहीं है। तुलना के लिए एक सीढ़ी बनाइए जो हर बार 10 गुना चढ़े, 1, 10, 100 और 1000 पर।

पहुँच उतनी ही है, 1000 तक, अब वही 2 मुश्किल सवाल इस पर फिर से देखिए। हर पायदान पर कितने के बदले अगला निशान मिलता है? हर पायदान पर 10, कुल 3 पायदान और तीनों पर वही 10, यानी याद रखने को एक ही संख्या। और यहाँ कौन से गुणनफल सीढ़ी पर गिरते हैं? जो भी 1000 में समा जाते हैं, वो सब। ऐसी 10 जोड़ियाँ हैं, और 10 में से 10 ठीक पड़ाव पर गिरती हैं, ज़्यादातर नहीं, सारी की सारी।

यही जाँच पहले 3 चूक देती थी, और इस सीढ़ी पर एक भी चूक नहीं है। एक ही गुण, और वो दोनों मुश्किलें एक साथ ठीक कर देता है। तो अब देखते हैं कि इस पद्धति ने क्या क्या हासिल किया था। इसने एक आकार की जगह आकारों की एक पूरी कड़ी से समूह बनाए, इसीलिए 2367 जैसी संख्या 10 निशानों में आ जाती है। इसने समझा कि नए आकार को नया निशान चाहिए, और लिखना मशीनी बना दिया, सबसे बड़ा पहले, फिर नीचे, और letters आख़िर में।

जो इसने कभी नहीं किया, वो था आकारों को बराबर कदमों में चढ़ाना। इसलिए जोड़ने वाले को 2 नियम याद रखने पड़ते हैं, गुणा करने वाला पायदानों के बीच गिरता रहता है, और सब कुछ सबसे बड़े letter पर रुक जाता है। एक आख़िरी तुलना, 4000 से नीचे सबसे लंबी संख्या 3888 है, छोटे रूप में भी 15 निशान, और आज के अंकों में सिर्फ़ 4 अंक। इस कहानी की अगली पद्धति हर पायदान पर 10 गुना चढ़ती है, और फ़र्क तुरंत दिखता है।

उसके पड़ाव आपस में गुणा होकर साफ़ साफ़ किसी पड़ाव पर ही गिरते हैं। उसकी बढ़त बेहतर letters जैसी नहीं दिखेगी, वो बराबर पायदानों वाली सीढ़ी जैसी दिखेगी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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