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Chapter 3 · A Story of Numbers

Mesopotamian base-60: sexagesimal system में place value

Place value14 मिनट

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एक पुरानी पद्धति 60 के गट्ठर बनाती थी, और उसके पास बस 2 निशान थे, 1 का खड़ा निशान और 10 का कोना निशान। पड़ावों के निशान बनाना छोड़कर उसने जगह को बोलने दिया, और घड़ी आज भी ऐसे ही पढ़ी जाती है, 7530 सेकंड यानी 2 घंटे, 5 मिनट, 30 सेकंड।

मुख्य idea

chapter का आख़िरी ढाँचागत विचार एक घटाव है। landmark numbers के चिह्न लिखना ही बंद कर दो, और किसी चिह्न की जगह को बताने दो कि वह किस landmark का है — और अचानक निशानों का एक तय, सीमित set दुनिया की हर संख्या लिख देता है। Mesopotamia यहाँ दो निशानों और base 60 के साथ पहुँचा। जो उसे नहीं मिला, वह उसी विचार का दूसरा आधा हिस्सा है: अगर जगह का मतलब है, तो ख़ाली जगह को भी भरी हुई जगह जितना ही दिखना चाहिए, और ख़ाली छोड़ी गई जगह दिखती नहीं। system की हर अस्पष्टता उसी एक ग़ायब निशान तक जाती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • Mesopotamians के इस्तेमाल किए दोनों निशान बताना, और उनसे 1 से 59 तक की कोई भी संख्या बनाना
  • 60 के चुनाव के लिए chapter जो theories देता है, उन्हें बिना कोई क्रम दिए बताना
  • किसी संख्या को 60 की घातों के गुणजों के जोड़ की तरह, और फिर स्थानिक रूप में लिखना
  • समझाना कि कोई भी स्थान 60 या उससे ज़्यादा क्यों नहीं रख सकता, और ऐसे व्यंजक को फिर से समूहों में बाँधना जो रखता हो
  • स्थानिक या place value system का परिभाषित करने वाला गुण अपने शब्दों में बताना
  • chapter के अपने उदाहरणों से दिखाना कि असमान फ़ासले से एक ही numeral कई संख्याओं की तरह कैसे पढ़ा जा सकता है
  • समझाना कि placeholder क्या करता है, और वह स्थिति बताना जिसे वह अब भी नहीं सँभाल पाता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
sexagesimal systemएक base-60 systemषष्ठिक पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.70)
Babylonian number systemMesopotamian system का दूसरा नाम जो chapter देता हैबेबीलोनियाई संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.70)
positional number systemऐसा system जिसमें किसी चिह्न की जगह तय करती है कि वह किस landmark को गिनता हैस्थानिक संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.73)
place value systemउसी चीज़ के लिए chapter का दूसरा नामस्थानीय मान पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.4, p.73)
placeholderवह निशान जो वहाँ रखा जाता है जहाँ कोई घात नहीं है, ताकि ख़ाली जगह दिखेस्थानधारकइसी chapter में छपा (Part I, §3.4, p.74)
landmark numbersवे संख्याएँ जिनसे कोई system समूह बनाता है — यहाँ 60 की घातेंसंदर्भ संख्याएँइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.2, p.58)
ambiguityवह हालत जिसका दोष chapter असंगत फ़ासले पर डालता है: एक numeral, कई पढ़ाइयाँअस्पष्टताइसी chapter में छपा (Part I, §3.4, pp.73–74)
Mesopotamiaपश्चिमी एशिया का वह क्षेत्र जिसमें आज के Iraq का बड़ा हिस्सा आता हैमेसोपोटामियाइसी chapter में छपा (Part I, §3.1, p.48)
wedgeउस एक-रेखा वाले निशान के लिए इस पाठ का नाम जिससे यह system 1 लिखता हैकीलाकार चिह्नइस पाठ का अपना नाम; इस chapter में नहीं छपा, जो निशान बनाता है पर उसका नाम कभी नहीं लेता
unwritten placenumeral में वह जगह जहाँ 60 की कोई घात नहीं आतीअलिखित स्थानइस पाठ का अपना वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Base 60 का मतलब है साठ अलग-अलग symbols." दो। 1 से 59 तक सब कुछ इन्हीं दो से, एक ही स्थान के अंदर, जोड़कर बनता है, और इसीलिए Part I p.71 वाली table है।
  • "place value का आविष्कार भारत में हुआ।" chapter साफ़ कहता है कि Mesopotamia, Maya, China और India, सबने place value वाले निरूपण इस्तेमाल किए। भारत ने क्या जोड़ा, यह एक बाद के topic का विषय है, और यहाँ उसे बढ़ा-चढ़ाकर कहना उस topic को बिगाड़ देगा।
  • "उनका system base 60 था, इसलिए वह हमारे वाले से बिल्कुल अलग था।" ढाँचा हूबहू एक है; सिर्फ़ base और निशान अलग हैं। Mesopotamian numeral को दाईं ओर से, स्थान दर स्थान पढ़ना ठीक वही है जो student पहले से करता है।
  • "ख़ाली जगह zero जितनी ही अच्छी है।" नहीं है, और छह columns वाली table यह साबित करती है: फ़ासले की कोई तय चौड़ाई नहीं होती, इसलिए पढ़ने वाला फ़ासले गिन नहीं सकता। पूरी नाकामी यही है।
  • "placeholder ने इसे ठीक कर दिया।" उसने numeral का बीच वाला हिस्सा ठीक किया। ख़ाली स्थान पर ख़त्म होने वाली संख्या अब भी अस्पष्ट थी, क्योंकि वहाँ निशान इस्तेमाल नहीं होता था।
  • "साठ किसी जानी हुई वजह से चुना गया।" तीन नाम वाली theories, एक खुला छोर, और कोई फ़ैसला नहीं। chapter साफ़ कहता है कि इस चुनाव ने बहुतों को उलझन में डाला है।
  • "chapter के diamond वाले symbols Mesopotamian हैं।" वे किताब का अपना पढ़ाने वाला notation हैं, Indian numerals से उधार लिए हुए, और किताब यह बात उसी पन्ने पर कहती है जहाँ उन्हें लाती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 8 Q1, Figure it Out · 9 Q2

पूरा transcript2,037 शब्द

अब तक हमने ज़्यादातर 10 के गट्ठर बनाए, ये पद्धति 60 के गट्ठर बनाती है। पर 60 ही क्यों, ये कोई पक्का नहीं जानता, पर अंदाज़े सुनने लायक हैं। अगर आपको चुनना होता, तो आप 60 को किस वजह से चुनते? पहला अंदाज़ा, 60 उन अवधियों के पास बैठता है जिन्हें लोग पहले से गिनते थे। मसलन 30 दिन का एक महीना, और ऐसे 12 महीने मिलकर 360 दिन, यानी 60 के ठीक 6 गट्ठर।

दूसरा अंदाज़ा, 60 बहुत आसानी से बँटता है, इसलिए उसके टुकड़े लिखना आसान रहता है। गिनकर देखिए, 60 के 12 भाजक हैं, और 10 के सिर्फ़ 4 भाजक, यानी 1, 2, 5 और 10 ही। तीसरा अंदाज़ा, पड़ावों की एक पुरानी सूची धीरे धीरे 60 की घातों में सिमट गई। और कोई नहीं जानता कि इनमें से कौन सा सही है, शायद वजह कुछ और ही थी। उस पुरानी सूची को ज़रा ध्यान से देखिए, उसमें एक बात छिपी है।

उसके पड़ाव थे 1, 10, 60, 600, 3600 और 36000, एक के बाद एक। अब हर पड़ाव से अगले तक का कदम लिखिए, पहले 10 गुना, फिर 6 गुना। फिर 10 गुना, फिर 6 गुना, फिर 10 गुना, तो कदम बारी बारी से 10 और 6 हैं। यानी 2 अलग अलग कदम, इसलिए ये सूची आधार पद्धति थी ही नहीं, पिछली बार की असमान सीढ़ी की तरह। पर इसके हर दूसरे पड़ाव को उठाइए, तो मिलते हैं 1, 60 और 3600 के पड़ाव।

आधार 60 उस सूची के अंदर पहले से छिपा बैठा था, बस दिख नहीं रहा था। अब हर कदम 60 गुना है, 1 से 60 तक, और 60 से 3600 तक। और अगर ये सब बहुत पुराना लगे, तो एक घड़ी को देखिए। एक घंटे में 60 मिनट होते हैं, और एक मिनट में 60 सेकंड। यानी एक घंटे में 3600 सेकंड, 60 के 60 गट्ठर, ठीक इस पद्धति का अगला पड़ाव।

एक दिन के 24 घंटे, यानी 86400 सेकंड, और ये संख्या अजीब सिर्फ़ इसलिए लगती है क्योंकि हम उसे 10 में लिखते हैं। अब एक घड़ी पढ़िए, 2 घंटे, 5 मिनट और 30 सेकंड। सेकंड में गिनें तो ये 7530 सेकंड बनते हैं, और घड़ी ने उन्हें 60 के गट्ठरों में लिख दिया। यानी घड़ी की पढ़त असल में 60 आधार में लिखी हुई एक संख्या है। पद्धति ख़त्म नहीं हुई, उसका एक हिस्सा आज भी आपकी कलाई पर है।

पर उसने अपने पड़ावों के साथ जो किया, असली कहानी वही है। शुरू करें उससे जो इसे सच में बनाना पड़ता था, बस 2 निशान। पहला, एक खड़ा निशान, जो 1 गिना जाता है। दूसरा, एक कोना निशान, जो 10 गिना जाता है। पहले 1, 2 और 3, यानी एक कतार में 1, 2 और 3 खड़े निशान। फिर 4 के लिए 4 खड़े निशान, बस 3 ऊपर और एक नीचे रखे हुए।

आगे 9 तक यही चलता है, खड़े निशान ढेर में, और 9 के लिए 3 पर 3 पर 3 निशान। फिर 10 एक अकेला कोना निशान है, और 11 है एक कोना और उसके बाद एक खड़ा निशान। इसी तरह 20 के लिए 2 कोने, 30 के लिए 3 कोने, और 40 के लिए 4 कोना निशान। नियम एक ही है, पहले कोने यानी दहाइयाँ, फिर खड़े निशान यानी इकाइयाँ, सब जोड़कर।

एक जगह में आने वाली सबसे बड़ी संख्या 59 है, उसे बनाइए। उसमें 5 कोना निशान और 9 खड़े निशान लगते हैं, कुल 14 निशान। और 14 ही सबसे ज़्यादा है, किसी भी एक जगह को इससे ज़्यादा निशान कभी नहीं चाहिए। अब 1 से 59 तक की सभी संख्याएँ इन्हीं 2 निशानों से लिखकर वापस पढ़िए। सभी 59 सही लौटती हैं, और सभी 59 की लिखावट अलग अलग है।

इनमें से 9 सिर्फ़ खड़े निशानों से बनती हैं, 5 सिर्फ़ कोनों से, और बाक़ी 45 में दोनों लगते हैं। तो 60 आधार का मतलब 60 अलग निशान नहीं, सिर्फ़ 2 निशान हैं। और 60 को एक जगह में लिखने की कोशिश कीजिए, तो लिखने वाला मना कर देता है। क्योंकि 60 एक जगह में नहीं समाता, वो अगली जगह का एक गट्ठर है। अब 59 से आगे चलिए, और बड़ी संख्याएँ लिखिए।

मसलन 640, जो 60 के 10 गट्ठर और ऊपर से 40 इकाइयाँ है। और 7530, जो 3600 के 2 गट्ठर, 60 के 5 गट्ठर, और ऊपर से 30 इकाइयाँ है। अगर हर 60 का अपना अलग निशान हो, तो 640 में वो निशान 10 बार लगता। और 40 के लिए 4 कोना निशान, यानी कुल 14 निशान। अब ग़ौर कीजिए कि गट्ठर बनाने से क्या निकला, एक 10 और एक 40, बस इतना।

ये दोनों 60 से छोटी संख्याएँ हैं, और दोनों आपके 2 निशानों से लिखी जा सकती हैं। और 7530 से निकले 3 टुकड़े, एक 2, एक 5, और एक 30, तीनों 60 से छोटे। इन टुकड़ों पर एक ही नियम चलता है, वही जो पहले था। किसी भी जगह में 60 या उससे ज़्यादा नहीं रह सकता। मान लीजिए आपने लिखा, 3600 का एक गट्ठर, 60 के 70 गट्ठर, और ऊपर से 2 इकाइयाँ।

संख्या बिल्कुल ठीक है, 7802, पर ये सही लिखावट नहीं, क्योंकि 70 गट्ठरों में 60 गट्ठर छिपे हैं। और 60 के 60 गट्ठर मिलकर 3600 का एक गट्ठर बनते हैं। अदला बदली कीजिए, 3600 के 2 गट्ठर, 60 के 10 गट्ठर, और 2 इकाइयाँ। संख्या वही रही, और अब इसकी तीनों जगहें 60 से नीचे हैं। लिखने वाला वैसे भी यही करता है, सबसे बड़ा गट्ठर पहले, तो कोई जगह कभी 60 तक नहीं पहुँचती।

जाँच के लिए 1 लाख से नीचे की सभी 99999 संख्याएँ लिखीं, और एक भी जगह 60 तक नहीं पहुँची। अब वो कदम जिसकी तरफ़ सब कुछ बढ़ रहा था, और ये एक घटाव है। पड़ावों के निशान लिखना अब बंद कर दीजिए। जैसे 640 लिखा गया था एक 10, फिर 60 का निशान, और फिर 40 की ढेरी। निशान हटा दीजिए, और बस 10 और 40 की ढेरियाँ लिखिए, इसी क्रम में।

कुछ खोया नहीं, क्योंकि अब क्रम वही बताता है जो निशान बताता था। दाईं तरफ़ की ढेरी इकाइयाँ गिनती है, और उसके बाईं तरफ़ वाली 60 के गट्ठर। और निशान 14 से घटकर सिर्फ़ 5 रह गए। पर बचत असली बात नहीं, असली बात निशानों का सेट है। पड़ावों के निशान हमेशा नए ईजाद करने पड़ते थे, पर जगहें ईजाद नहीं करनी पड़तीं, वो हमेशा और मिल जाती हैं। तो ऐसी संख्या पढ़ना एक तरीका है, और वो दाईं तरफ़ से शुरू होता है।

सबसे दाईं ढेरी इकाइयाँ गिनती है, उसके बाईं वाली 60 के गट्ठर, और उसके बाईं 3600 के गट्ठर। मसलन 2, 5, 30 लीजिए, और दाईं तरफ़ से पढ़िए। पहले 30 इकाइयाँ, फिर 60 के 5 गट्ठर, फिर 3600 के 2 गट्ठर। यानी कुल 7530, सीधा पढ़कर, किसी पड़ाव निशान के बिना। और यही तो घड़ी पढ़ना है, 2 घंटे, 5 मिनट, 30 सेकंड, यानी 7530 सेकंड। और 1 घंटा, 1 मिनट, 1 सेकंड लिखिए, तो जगहें 1, 1, 1 बनती हैं, यानी 3661 सेकंड।

ये आप पहले से करते हैं, 10 आधार में सबसे दायाँ अंक इकाइयाँ गिनता है, और अगला दहाइयाँ। बनावट बिल्कुल वही है, बस आधार और निशान अलग हैं। अब ख़ुद आज़माइए, क्या आप 63, 132, 200, 60 और 3605 को जगहों में लिख सकते हैं? पहली, 63 यानी 60 का एक गट्ठर और 3 इकाइयाँ, तो जगहें 1 और 3 बनती हैं। फिर 132 यानी 60 के 2 गट्ठर और 12 इकाइयाँ, तो जगहें 2 और 12 बनती हैं।

और 200 यानी 60 के 3 गट्ठर और 20 इकाइयाँ, तो जगहें 3 और 20 बनती हैं। अब 60, यानी 60 का एक गट्ठर और इकाइयाँ बिल्कुल नहीं, दाईं जगह ख़ाली है। और 3605 यानी 3600 का एक गट्ठर, 60 का एक भी नहीं, और 5 इकाइयाँ, बीच की जगह ख़ाली। निशान गिनें तो 4, 5, 5, 1 और 6 निशान लगते हैं, बहुत कम। पर इन 5 में से 2 संख्याओं में एक ख़ाली जगह है, एक में आख़िर में और एक में बीच में।

और ख़ाली जगह ही वो चीज़ है जिस पर आगे सब कुछ टिका है। ऐसी पद्धति का एक नाम है, बल्कि 2 नाम। स्थानिक पद्धति, या फिर स्थानीय मान पद्धति। दोनों का मतलब एक है, निशान की जगह तय करती है कि वो किस पड़ाव को गिन रहा है। और इसी से निशानों का सेट सीमित रहता है, यहाँ 2 निशान, और आपकी पद्धति में 10 अंक। संख्या जितनी चाहे बड़ी हो, जो चीज़ें बनानी पड़ती हैं उनका सेट नहीं बढ़ता।

ये विचार अलग अलग जगहों पर, एक दूसरे से अलग, एक से ज़्यादा बार पहुँचा गया। और जिन्होंने ये पद्धति चलाई, वो शायद उस रास्ते से नहीं पहुँचे जिससे हम अभी पहुँचे। एक सुझाव ये है कि उनके 1 और 60 के निशान मिलते जुलते थे, और लिखने की किसी भूल ने उन्हें यहाँ पहुँचा दिया। जो भी हो, विचार उनके पास था, पर उसका दूसरा आधा हिस्सा नहीं था।

क्योंकि अगर जगह का मतलब है, तो ख़ाली जगह भी साफ़ दिखनी चाहिए। उनके पास ख़ाली जगह दिखाने का बस एक तरीका था, थोड़ा सा फ़ासला छोड़ देना। पहले 1 लिखिए, यानी एक अकेला खड़ा निशान। अब 60 लिखिए, वही एक खड़ा निशान, 60 वाली जगह में, और इकाइयों में कुछ नहीं। अब 3600 लिखिए, फिर वही एक खड़ा निशान, 2 जगह आगे, और उसके बाद कुछ नहीं। यानी 3 अलग संख्याएँ, और मिट्टी पर तीनों बस एक खड़ा निशान और थोड़ी ख़ाली जगह।

फिर यही एक कोने और 2 खड़े निशानों से कीजिए, तो 12, 602 और 36002 तीनों एक से दिखते हैं। कुल 6 संख्याएँ, और लिखावट की सिर्फ़ 2 शक्लें। जगहें इन 6 संख्याओं को अलग बताती हैं, निशान नहीं बताते। ये तो एक उदाहरण था, सवाल ये है कि नुक़सान कितना बड़ा है। तो 4000 से नीचे की हर संख्या लिखिए, ख़ाली जगह को जैसे छोड़ा जाता था वैसे, सब निशान साथ साथ।

अब गिनिए, 1613 संख्याएँ ऐसी हैं जिनकी लिखावट किसी दूसरी संख्या से मिलती है। कुल 3999 संख्याओं से सिर्फ़ 2863 अलग लिखावटें बनती हैं। और एक खड़ा निशान, 4000 से नीचे, 3 संख्याएँ हो सकता है, 1, 60 या 3600 में से कोई भी। और 2 खड़े निशान 5 अलग संख्याएँ हो सकते हैं, 2, 61, 120, 3601 या 3660, और 9 खड़े निशान पूरी 17 संख्याएँ। एक कोना और 2 खड़े निशान 4 संख्याएँ हो सकते हैं, 12, 602, 661 या 720 में से कोई भी।

संख्याएँ सब अलग हैं, पर लिखावट अलग नहीं। और ग़लती कहाँ है, वो देखिए, न आधार में, न 2 निशानों में। ग़लती ये है कि फ़ासले की कोई गिनने लायक चौड़ाई नहीं, एक फ़ासला और 2 फ़ासले एक से दिखते हैं। बाद में इसके लिए कुछ किया गया, ख़ाली जगह के लिए एक निशान। ये कोई संख्या नहीं, बस जगह रखने वाला निशान है, जहाँ कोई पड़ाव गायब हो, ताकि ख़ाली जगह दिखे।

और ये ठीक उतना काम करता है जितना इसे इस्तेमाल किया गया। मसलन 4000 से नीचे 125 संख्याओं में कोई ख़ाली जगह है, 59 में बीच में, और 66 में सिर्फ़ आख़िर में। फ़ासले के साथ बीच वाली सभी 59 संख्याएँ गड़बड़ हैं, और निशान के साथ एक भी नहीं। जैसे 3605 और 65, फ़ासले के साथ एक से, और निशान के साथ अलग अलग। पर ये निशान संख्या के बीच में लगता था, आख़िर में नहीं।

तो आख़िर में ख़ाली जगह वाली सभी 66 संख्याएँ वैसी ही रहीं, और 3600 अब भी 1 जैसा पढ़ा जाता है। और आपकी घड़ी का पूरा दिन, 86400 सेकंड, यानी 24, 0, 0, इस निशान के साथ भी बिल्कुल 24 जैसा दिखता है। तो निशान हर ख़ाली जगह पर लगाइए, बीच में भी और आख़िर में भी। अब 1, 60 और 3600 की 3 अलग लिखावटें हैं, और वो वाली गड़बड़ी चली गई।

पर गिनती दोबारा कीजिए, अब भी 1448 संख्याएँ आपस में टकराती हैं। क्योंकि पढ़ने वाले को एक और चीज़ चाहिए, जो आसानी से छूट जाती है। एक जगह 14 निशानों तक का ढेर है, और कुछ नहीं बताता कि एक ढेर कहाँ ख़त्म होता है और अगला कहाँ शुरू। तो 2 खड़े निशानों को 2 पढ़िए या 61, लिखावट से कोई फ़र्क़ नहीं दिखता। हर जगह को एक अलग पहचानी जा सकने वाली ढेरी दीजिए, तो 3999 में से एक भी संख्या नहीं टकराती।

और इसका सबसे आसान तरीका है हर गिनती का अपना एक चिह्न, जैसे आपके 10 अंक। ये इस कहानी की आख़िरी ज़रूरत है, और यही अगली पद्धति ने किया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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