PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A Cube
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odd numbers को 1, फिर 2, फिर 3, फिर 4 के टुकड़ों में काटिए: 1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, 13 + 15 + 17 + 19। जोड़ आते हैं 1, 8, 27, 64, यानी cubes।
मुख्य idea
odd numbers को क्रम से लिखो और उस line को लंबाई 1, 2, 3, 4, … वाली लड़ियों में काटो, हर odd number एक बार इस्तेमाल करते हुए और कोई भी छोड़े बिना। nवीं लड़ी का जोड़ n³ होता है — और इसकी वजह संतुलन है, अंकगणित का संयोग नहीं: लड़ी के पद n² के दोनों ओर बराबर दूरी पर फैले हैं, इसलिए उनका औसत n² है, और वे n हैं। वही odd numbers जिन्होंने एक-एक करके squares बनाए थे, n-n करके cubes बनाती हैं, और नया हिसाब बस इतना है कि यह पता लगाया जाए कि कोई लड़ी किन odd numbers की मालिक है। एक बार तुम बता सको कि लड़ी कहाँ शुरू और कहाँ ख़त्म होती है, तो तुम दस की लड़ी का जोड़ बिना कुछ जोड़े बता सकते हो।
आपको क्या आना चाहिए
- chapter का छपा pattern पढ़ना और बताना कि हर लड़ी में कितने पद हैं
- समझाना कि लड़ियाँ हर odd number को ठीक एक बार क्यों इस्तेमाल करती हैं
- निकालना कि किसी दी गई लड़ी के शुरू होने से पहले कितनी odd numbers इस्तेमाल हो चुकी हैं
- nवीं लड़ी का पहला और आख़िरी पद लिखना
- दिखाना कि लड़ी n² के दोनों ओर संतुलित है
- निष्कर्ष निकालना कि लड़ी का जोड़ n × n² है, और निष्कर्ष को छपी लड़ियों से जाँचना
- यह पहचानकर कि वह कौन-सी लड़ी है, किसी लंबी लड़ी का जोड़ बिना जोड़े निकालना
- odd numbers वाले दोनों नतीजों को जोड़ना — squares एक-एक पद से, cubes एक-एक लड़ी से
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| consecutive odd numbers | एक के बाद एक आने वाली odd numbers, कोई छोड़े बिना | क्रमागत विषम संख्याएँ | इसी chapter में छपा (Part I p.14) |
| perfect cube | किसी संख्या को तीन बार factor के रूप में लेकर मिली संख्या | पूर्ण घन | इसी chapter में छपा (Part I p.12) |
| triangular number | चलता हुआ जोड़ 1 + 2 + … + n | त्रिभुजीय संख्या | इसी chapter में छपा (Part I p.7) |
| run of odd numbers | odd numbers के एक खंड के लिए इस पाठ का नाम | विषम संख्याओं का खंड | इस पाठ का शब्द; chapter खंड दिखाता है पर उन्हें नाम नहीं देता |
| centre of a run | वह value जिसके दोनों ओर लड़ी के पद संतुलित फैले हैं | खंड का केंद्र | इस पाठ का शब्द, छपा हुआ नहीं |
| average | वह value जिसे पदों की गिनती जितनी बार लेने पर कुल मिलता है | औसत | पहले से ज्ञात माना गया; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "लड़ियाँ एक-दूसरे पर चढ़ जाती हैं, या कुछ odd numbers छोड़ देती हैं।" दोनों में से कुछ नहीं, और सबसे पहले यही जाँचना है: लड़ी 3, 11 पर ख़त्म होती है और लड़ी 4, 13 से शुरू होती है।
- **"लड़ी n, nवीं odd number से शुरू होती है।"** लड़ी 4, 13 से शुरू होती है, जो सातवीं odd number है। जो पहले ख़र्च हो चुका वह एक triangular number है, n नहीं।
- "लड़ी लगातार cubes के बीच का फ़ासला देती है।" वह cube ख़ुद देती है। लड़ी 4 का कुल 64 है, 64 − 27 नहीं। जो students अभी-अभी odd numbers से squares के फ़र्क़ों के रूप में मिले हैं, वे फ़ौरन यही अर्थ पकड़ते हैं, इसलिए इसे जल्दी नकारो।
- "दसों संख्याएँ जोड़नी पड़ेंगी।" chapter जोड़ किए बिना कुल माँगता है, और जो व्याख्या उन्हें जोड़ देती है उसने किसी दूसरे सवाल का जवाब दिया है।
- "लड़ी का बीच तभी औसत होता है जब कोई बीच हो।" even लंबाई वाली लड़ी में औसत दो केंद्रीय पदों के बीच बैठता है और फिर भी n² ही है। एक even मामला साफ़-साफ़ दिखाओ।
- "Odd numbers squares बनाती हैं, इसलिए cubes नहीं बना सकतीं।" वही भंडार दोनों के काम आता है। एक-एक करके लो तो squares मिलते हैं; लड़ियों में लो तो cubes।
- "Pattern पहली छह lines का संयोग है।" छह lines data हैं। सिरों वाला formula और संतुलन कारण हैं, और वे हर n के लिए सही हैं।
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पूरा transcript1,622 शब्द
सारी odd संख्याओं को एक कतार में लिखिए, और कभी मत रुकिए। यानी 1, 3, 5, 7, 9, 11, और ऐसे ही आगे। अब इस कतार पर कैंची चलाइए। सबसे पहले सिर्फ़ 1 संख्या काटिए। फिर उसके बाद की अगली 2 संख्याएँ काटिए। फिर अगली 3, फिर अगली 4, और ऐसे ही चलते रहिए। न कोई संख्या छोड़ी गई, न कोई दोबारा ली गई। अब देखिए, हर टुकड़े का जोड़ क्या आता है?
पहला टुकड़ा बस 1 है, और 1, 1 का cube है। दूसरा टुकड़ा 3 और 5 है, यानी 8, और 8, 2 का cube है। तीसरा टुकड़ा 7, 9 और 11 है, जिनका जोड़ 27 है, यानी 3 का cube। चौथे टुकड़े में 13, 15, 17 और 19 हैं, जिनका जोड़ 64 है, यानी 4 का cube। फिर अगले दोनों टुकड़े 125 और 216 देते हैं। वो आख़िरी टुकड़ा 6 संख्याओं का है, 31, 33, 35, 37, 39 और 41 से बना है।
यानी 6 टुकड़े, 6 cubes, और वो भी क्रम से। ये सुंदर पैटर्न है, पर इसकी 6 पंक्तियाँ कोई वजह नहीं हैं। ये 6 पंक्तियाँ बस आँकड़े हैं। बहुत से पैटर्न कुछ पंक्तियों तक चलते हैं, और फिर टूट जाते हैं। ये पंक्तियाँ बस 6 संख्याओं के बारे में दावा हैं, पर पैटर्न हर संख्या के बारे में दावा है। इसलिए सवाल ये नहीं है कि ये फिर होगा या नहीं।
सवाल ये है कि ये होने से रुक क्यों नहीं सकता? और उसका जवाब cubes के बारे में है ही नहीं, वो इस बारे में है कि हर टुकड़ा कहाँ बैठता है। उससे पहले एक ग़लत मतलब हटाना ज़रूरी है। आपने odd संख्याओं को पहले squares के बीच के अंतर की तरह देखा है। इसलिए इन टुकड़ों को भी अंतर मान लेने का मन करता है, यानी एक cube से अगले cube तक की छलाँग।
पर ऐसा नहीं है, चौथे टुकड़े का जोड़ 64 है, जो ख़ुद cube है। जबकि 27 से 64 तक की छलाँग 37 है, और किसी भी टुकड़े का जोड़ 37 नहीं है। टुकड़ा ख़ुद cube है, अंतर नहीं। किसी टुकड़े के बारे में कुछ कहने के लिए, पता होना चाहिए कि उसमें कौन सी odd संख्याएँ हैं। और उसके लिए गिनना होगा कि पिछले टुकड़े कितनी संख्याएँ ख़र्च कर चुके हैं।
यहीं पर एक छोटा सा जाल है। चौथा टुकड़ा चौथी odd संख्या से शुरू नहीं होता। उससे पहले के 3 टुकड़ों ने 1, फिर 2, फिर 3 संख्याएँ ले लीं। यानी 6 ख़र्च हो चुकीं, इसलिए चौथा टुकड़ा सातवीं odd संख्या से शुरू होता है, जो 13 है। और जोड़ों पर कुछ छूटता भी नहीं, तीसरा टुकड़ा 11 पर रुकता है, और चौथा 13 से शुरू होता है। ख़र्च हुई संख्याएँ 1, 3, 6, 10, 15 की तरह बढ़ती हैं, यानी triangular संख्याओं की तरह।
तो अब कोई भी टुकड़ा लीजिए, और मान लीजिए कि उसकी जगह n है। उससे पहले के टुकड़े 1 जोड़ 2, और ऐसे ही n minus 1 तक की संख्याएँ ले चुके हैं। इससे पहली संख्या निकालिए, तो बहुत साफ़ नतीजा आता है। ये टुकड़ा n के square, minus n, plus 1 से शुरू होता है। और इसमें n संख्याएँ हैं जो 2 2 से बढ़ती हैं, इसलिए ये n के square, plus n, minus 1 पर ख़त्म होता है।
अब इसे कतार के एक दिखते हुए टुकड़े पर जाँचिए। पाँचवें टुकड़े के लिए 25 minus 5 plus 1 बराबर 21 है, और 25 plus 5 minus 1 बराबर 29 है। यानी 21 से 29 तक, और ठीक यही टुकड़ा कतार में है। चौथे टुकड़े पर भी यही, 16 minus 4 plus 1 बराबर 13, और 16 plus 4 minus 1 बराबर 19 आता है। और छठे पर, 36 minus 6 plus 1 बराबर 31, और 36 plus 6 minus 1 बराबर 41, जो कतार से पूरी तरह मिलता है।
और जो टुकड़ा अभी लिखा भी नहीं गया, यानी सातवाँ, वो 49 minus 7 plus 1, यानी 43 से, 49 plus 7 minus 1, यानी 55 तक जाएगा। अब उस टुकड़े के दोनों सिरों को साथ देखिए, यानी 21 और 29 को। इनमें से एक 25 से 4 कम है, और दूसरा 25 से 4 ज़्यादा। यानी टुकड़ा यूँ ही कहीं नहीं बैठा, वो n के square के दोनों तरफ़ बराबर फैला है।
और ये किस्मत नहीं है, क्योंकि दोनों सिरे n के square से बराबर दूर हैं, और वो दूरी n minus 1 है। चौथे टुकड़े पर देखिए, 13 और 19, और 16 दोनों से 3 दूर है। छठे टुकड़े में 31 और 41, दोनों 36 से ठीक 5 दूर हैं। दोनों सिरों को जोड़िए, तो हर बार n के square का दोगुना आता है। जब टुकड़े में संख्याओं की गिनती odd हो, तो n का square ठीक बीच वाली संख्या होती है।
जैसे 21 से 29 वाले टुकड़े में, ठीक बीच में 25 बैठा है। पर चौथा टुकड़ा देखिए, 13, 15, 17 और 19 वाला। इसमें 4 संख्याएँ हैं, तो कोई बीच वाली संख्या है ही नहीं, और 16 इस सूची में है भी नहीं। वो 15 और 17 के बीच की ख़ाली जगह में बैठता है। छठा टुकड़ा भी ऐसा ही है, उसमें 6 संख्याएँ हैं, और 36, 35 और 37 के बीच बैठता है।
और ऐसा होना ही है, क्योंकि n even हो तो n का square भी even होता है, और even संख्या इन टुकड़ों में कभी नहीं आती। संतुलित होने का मतलब मौजूद होना नहीं है। इसलिए दोनों सिरों से अंदर की तरफ़ जोड़े बनाइए, पहली और आख़िरी, दूसरी और आख़िरी से पहली, और हर जोड़ा एक ही जोड़ देता है। अब पूरी दलील बस 2 वाक्यों की है। इस टुकड़े में कुल n संख्याएँ हैं।
वो n के square के आसपास संतुलित हैं, इसलिए औसतन हर एक की क़ीमत n का square है। छठे टुकड़े को दोनों सिरों से एक साथ लीजिए, 31 और 41, 33 और 39, और 35 और 37 के जोड़े। हर जोड़े का जोड़ 72 है, और ऐसा तीनों बार होता है। चौथे टुकड़े को भी ऐसे ही जोड़िए, 13 और 19, 15 और 17, दोनों जोड़े 32 के हैं, और 2 गुणा 32 बराबर 64 होता है।
यानी n संख्याएँ, और हर एक की क़ीमत n का square। यानी n गुणा n का square, जो n का cube है। और सातवाँ टुकड़ा, जिसे हमने अभी लिखा भी नहीं, 7 गुणा 49, यानी 343 देगा, जो 7 का cube है। न कोई लंबा जोड़, न कोई भारी हिसाब, और पैटर्न को मानकर कुछ नहीं चला। संतुलन दोनों सिरों से आया, और सिरे इस गिनती से आए कि पहले कितना ख़र्च हुआ।
तो अब आती है असली परीक्षा। ये टुकड़ा है 91, 93, 95, और ऐसे ही 109 तक। क्या आप इसे जोड़े बिना इसका जोड़ बता सकते हैं? पहला कदम हिसाब नहीं है, पहला कदम ये पूछना है कि ये कौन सा टुकड़ा है। इसकी पहली संख्या 91 है, और n के square minus n plus 1 का मान 91 तब होता है, जब n बराबर 10 हो। इसकी आख़िरी संख्या 109 है, और n के square plus n minus 1 का मान भी 109 तभी होता है, जब n बराबर 10 हो।
यानी ये दसवाँ टुकड़ा है, इसमें 10 संख्याएँ हैं, और ये 100 के आसपास संतुलित है। तो इसका जोड़ 10 गुणा 100, यानी 1000 होता है। और अगर आप दसों संख्याएँ जोड़कर देखें, तो भी 1000 ही आता है, यानी ये छोटा रास्ता कोई अलग जवाब नहीं देता। सिरों से एक और बात निकलती है। हर odd संख्या से कोई टुकड़ा शुरू नहीं होता। यहाँ तक के टुकड़े सिर्फ़ 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73 और 91 से शुरू होते हैं।
यानी 91 से दसवाँ टुकड़ा शुरू होता है। पर 95 से कुछ शुरू नहीं होता, वो उसी टुकड़े के अंदर, बाईं ओर से तीसरी जगह पर है। असल में 91 से पहले 45 odd संख्याएँ ख़र्च हो चुकी हैं, और ये टुकड़ा अगली 10 लेता है। जैसे 111 लीजिए, 11 का square minus 11 plus 1 ठीक 111 है, इसलिए 111 से ग्यारहवाँ टुकड़ा शुरू होता है। पर 101 के लिए ऐसा कोई n नहीं मिलता, इसलिए 101 किसी टुकड़े के बीच में ही आएगा।
इसलिए अगर कोई टुकड़ा देकर पूछे कि ये कौन सा cube बनाएगा, तो पहली संख्या ही काफ़ी है, और वही बता देती है कि वो टुकड़ा असली है या नहीं। अब एक चीज़ जो ये पैटर्न मुफ़्त में देता है, और वो रुकने लायक है। पहले 4 cubes, यानी 1, 8, 27 और 64 को जोड़िए। इनका जोड़ पूरे 100 होता है। अब गिनिए कि इन 4 टुकड़ों ने मिलकर कितनी odd संख्याएँ लीं।
यानी 1 जोड़ 2 जोड़ 3 जोड़ 4, कुल 10 संख्याएँ। और पहली 10 odd संख्याओं का जोड़ 10 का square है, यानी वो भी 100 है। पहले 3 cubes पर भी देखिए, 1, 8 और 27 का जोड़ 36 है, और 1 जोड़ 2 जोड़ 3 बराबर 6, जिसका square भी 36 है। यानी किसी भी जगह तक के cubes का जोड़, 1 जोड़ 2 जोड़ 3 और आगे तक के जोड़ का square होता है।
इसे अलग से साबित नहीं करना पड़ा, ये वही तस्वीर है, बस दूसरी दिशा से पढ़ी गई। तो अब एक कदम पीछे हटकर देखिए। यहाँ odd संख्याओं का एक ही भंडार है, और उससे 2 चीज़ें बनती हैं। इन्हें एक एक करके जोड़िए, तो बढ़ते जोड़ squares हैं, यानी 1, 4, 9 और 16 वगैरह। और इन्हें 1, 2, 3 और 4 के टुकड़ों में जोड़िए, तो जोड़ cubes हैं, यानी 1, 8, 27 और 64 वगैरह।
और 64 दोनों सूचियों में है। ये आठवाँ square भी है और चौथा cube भी, और दोनों बार ये एक ही कतार से निकला। और 1 के बाद, 64 ही सबसे छोटी संख्या है जो square भी है और cube भी। संख्याएँ वही odd की odd रहीं, बस उन्हें काटने का तरीका बदला।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Why the first n odd numbers add up to n²कक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- What makes a number a perfect cube, and the three-identical-groups testकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Squares hiding inside triangular numbersकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Taxicab numbers: why 1729 is the number it isकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
- Cube roots, and what successive differences exposeकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube