PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 1, A Square and A Cube
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1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. ये एक गुण है, जिसे एक मिनट में जाँचा जा सकता है। पर ये कहना कि ऐसी सबसे छोटी संख्या यही है, एक record है, और वो नीचे की हर संख्या के बारे में दावा है।
मुख्य idea
Hardy को Ramanujan का जवाब यह नहीं था कि "1729 में एक अच्छा गुण है" — जवाब यह था कि "1729 इस गुण वाली सबसे छोटी संख्या है", और इन दो वाक्यों के बीच का फ़र्क़ ही इस topic का पूरा गणित है। गुण ऐसी चीज़ है जिसे तुम एक संख्या पर जाँच सकते हो; न्यूनतमता का दावा ऐसी चीज़ है जो सिर्फ़ नीचे की हर चीज़ को ख़ारिज करके कमाई जा सकती है। 1729, 1³ + 12³ है और 9³ + 10³ भी है, और यह दावा कि इससे छोटी कोई संख्या दो तरह से दो cubes में नहीं बँटती, एक पूरी हो चुकी खोज के बारे में कथन है। तो यह क़िस्सा असल में इस बात का सबक़ है कि कोई गणितीय कथन तुम्हें किस चीज़ से बाँधता है, और यह कि "नीरस" शब्द संख्या से ज़्यादा देखने वाले के बारे में बताता है।
आपको क्या आना चाहिए
- जाँचना कि 1729 दो अलग तरीक़ों से दो positive cubes में बँटता है
- ठीक-ठीक बताना कि Ramanujan ने 1729 के बारे में क्या दावा किया, शब्द "सबसे छोटी" समेत
- किसी संख्या के गुण और उसके बनाए record में फ़र्क़ करना, और बताना कि दूसरा स्थापित करना ज़्यादा कठिन क्यों है
- बताना कि छोटे counterexamples की खोज को कैसे व्यवस्थित किया जाएगा
- taxicab number का नाम लेना और वह परिवार पहचानना जिसका यह शब्द वर्णन करता है
- तुम्हें दिए गए किसी और taxicab number के दोनों अपघटन खोजना
- समझाना कि एक अपघटन ढूँढ़ना आसान क्यों है और दो ढूँढ़ना क्यों नहीं
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| taxicab numbers | वे संख्याएँ जिन्हें दो अलग तरीक़ों से दो positive cubes के जोड़ के रूप में लिखा जा सके | टैक्सीकैब संख्याएँ | इसी chapter में छपा (Part I p.13) |
| Hardy–Ramanujan Number | इस बातचीत से 1729 को मिला नाम | हार्डी–रामानुजन संख्या | इसी chapter में छपा (Part I p.13), जहाँ text layer में line टूटने से यह दो हिस्सों में बँट जाता है — छपे हुए पन्ने पर जाँचा गया |
| perfect cube | किसी संख्या को तीन बार factor के रूप में लेकर मिली संख्या | पूर्ण घन | इसी chapter में छपा (Part I p.12) |
| Srinivasa Ramanujan | वह गणितज्ञ जिनका जवाब यह section बताता है | श्रीनिवास रामानुजन | इसी chapter में छपा (Part I p.13) |
| G. H. Hardy | Cambridge में उनके साथी, जिन्होंने टिप्पणी की | जी. एच. हार्डी | इसी chapter में छपा (Part I p.13) |
| John Littlewood | वह साथी जिनकी बात संख्याओं के लिए Ramanujan की पकड़ पर उद्धृत है | जॉन लिटिलवुड | इसी chapter में छपा (Part I p.13) |
| decomposition | किसी संख्या को दो cubes के जोड़ के रूप में लिखने का एक तरीक़ा | अपघटन | इस पाठ का शब्द; chapter विचार का वर्णन करता है पर उसे नाम नहीं देता |
| minimality claim | यह दावा कि इससे छोटी किसी चीज़ में यह गुण नहीं है | न्यूनतमता का दावा | इस पाठ का शब्द, छपा हुआ नहीं |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली और तीनों नामों के आम लिप्यंतरण दिए गए हैं। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard रूप मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "1729 अकेली संख्या है जो दो तरह से दो cubes का जोड़ है।" यह सबसे छोटी है। chapter उसी page पर 4104 और 13832 के नाम देता है, इसलिए व्याख्या इसे बने रहने देने के बजाय तुरंत सुधार सकती है।
- "क़िस्सा दिखाता है कि Ramanujan बहुत तेज़ गणना करते थे।" यह दिखाता है कि वे पहले से जानते थे। न्यूनतमता का दावा दरवाज़े पर खड़े-खड़े निकाली जाने वाली चीज़ नहीं है; यह ऐसी चीज़ है जो तुमने पहले स्थापित की हो और याद कर सको।
- "ठीक से ढूँढ़ो तो हर संख्या दो cubes का जोड़ है।" ज़्यादातर नहीं हैं। यही दुर्लभता दो रूपों को ख़ास बनाती है।
- "1³ + 12³ और 12³ + 1³ दो अलग तरीक़े हैं।" क्रम बदलना कोई तरीक़ा नहीं है। chapter के दोनों तरीक़े सचमुच cubes की अलग-अलग जोड़ियाँ इस्तेमाल करते हैं।
- "दिलचस्प होना अपनी-अपनी राय है।" यहाँ इसे एक परिभाषा दी गई है — एक बताया हुआ गुण, और एक record। इसी से दावे की जाँच हो पाती है।
- "Hardy लापरवाह थे।" उनके मन में 1729 का कोई गुण नहीं था, और किसी संख्या के नीरस होने का यही अकेला अर्थ है। बातचीत इस बारे में है कि किसने देखा था, इस बारे में नहीं कि कौन ज़्यादा होशियार था।
- "Taxicab number का मतलब taxi पर लिखा नंबर है।" यह संख्याओं के एक परिवार का नाम है; taxi बस वह ज़रिया है जिससे पहली संख्या से मुलाक़ात हुई।
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पूरा transcript1,571 शब्द
यहाँ एक संख्या है, 1729, और पहली नज़र में इसमें कुछ भी ख़ास नहीं दिखता। इसमें 4 अंक हैं, ये न square है, न cube है, और इसका कोई साफ़ आकार भी नहीं। एक गणितज्ञ ने एक बार ठीक इसी संख्या को देखकर कहा था कि ये बड़ी नीरस संख्या है। वो ग़लत थे, और वो किस तरह ग़लत थे, यही आज की पूरी बात है। क्योंकि कोई संख्या नीरस नहीं होती, नीरस सिर्फ़ देखने का तरीका होता है।
ये कहानी बहुत छोटी सी है, पर इसमें पूरा सबक छिपा है। एक गणितज्ञ बीमार थे, और अस्पताल में भर्ती थे। उनके एक साथी गणितज्ञ उनसे मिलने taxi से आए, और बातों बातों में taxi पर लिखी संख्या का ज़िक्र किया। उन्होंने कहा कि taxi पर 1729 लिखा था, जो उन्हें काफ़ी नीरस संख्या लगी। और उन्हें उम्मीद थी कि ये कोई बुरा शगुन नहीं है। बीमार गणितज्ञ ने तुरंत असहमति जताई, पर उन्होंने ये नहीं कहा कि संख्या सुंदर है या दिलचस्प है।
उन्होंने इससे कहीं ज़्यादा सटीक बात कही, और वो सटीकता ही आज का पूरा सबक है। उन्होंने कहा कि ये वो सबसे छोटी संख्या है, जिसे 2 positive cubes के जोड़ की तरह, 2 अलग तरीकों से लिखा जा सकता है। पहले उन 2 तरीकों को ध्यान से देखिए। पहला तरीका, 1 का cube 1 है, और 12 का cube 1728 है। इन्हें जोड़िए, तो आप ठीक 1729 पर पहुँचते हैं।
अब इस जोड़ी को छोड़िए, और एक बिल्कुल अलग जोड़ी लीजिए। अब 9 का cube 729 है, और 10 का cube 1000 है। और 729 और 1000 को जोड़ें, तो फिर से 1729 आता है। यानी cubes की 2 बिल्कुल अलग जोड़ियाँ, और मंज़िल एक ही। और ध्यान दीजिए, 12 का cube 1728 है, और taxi की संख्या उससे ठीक 1 ज़्यादा है। आगे बढ़ने से पहले एक चीज़ हटानी होगी, क्योंकि वो किसी भी संख्या को ख़ास दिखाने का सस्ता तरीका है।
यानी 12 का cube जोड़ 1 का cube, कोई तीसरा तरीका नहीं है। ये पहला तरीका ही है, बस उल्टा लिखा हुआ। अगर आप क्रम भी गिनें, तो इस संख्या के 4 रूप बनते हैं, पर दावा उन रूपों का नहीं है। दावा जोड़ियों का है, और जोड़ियाँ सिर्फ़ 2 ही हैं। एक जोड़ी 1 और 12 की है, दूसरी 9 और 10 की, और कोई संख्या दोनों जोड़ियों में नहीं आती।
अब फिर से देखिए कि उन्होंने असल में क्या कहा, क्योंकि सबसे ज़रूरी शब्द cube नहीं है। सबसे ज़रूरी शब्द है, सबसे छोटी। ये 2 वाक्य बराबर बड़े दावे नहीं हैं। ये कहना कि ये संख्या 2 तरह से टूटती है, एक गुण है। इसे आप एक ही संख्या को देखकर, अकेले, एक मिनट में पक्का कर सकते हैं। एक cube घटाइए, और पूछिए कि बचा हुआ हिस्सा cube है या नहीं, और यही दोहराइए।
इस संख्या के लिए 9 cubes ही आज़माने लायक हैं, यानी 9 सवाल, और काम ख़त्म। पर ये कहना कि ये ऐसी सबसे छोटी संख्या है, एक record है। और record किसी एक संख्या के बारे में होता ही नहीं। ये उसके नीचे की हर संख्या के बारे में दावा है, पूरी 1728 संख्याओं के बारे में, और जब तक आप सबको ख़ारिज न करें, record आपका नहीं। तो क्या ये सच में किया जा सकता है?
हाँ, और वजह ये है कि cubes बहुत जल्दी ख़त्म हो जाते हैं। अगर 2 cubes का जोड़ इस संख्या से बड़ा नहीं है, तो कोई अकेला cube भी इससे बड़ा नहीं हो सकता। अब 12 का cube 1728 है, जो ठीक अंदर आ जाता है। पर 13 का cube 2197 है, जो कुछ जोड़े बिना, अकेले ही बाहर निकल जाता है। इसलिए खेल में सिर्फ़ 12 cubes हैं, 1 के cube से लेकर 12 के cube तक।
और जोड़ी का छोटा cube तो और भी कसकर बँधा हुआ है। अगर 9 का cube 2 बार लें, तो 1458 होता है, पर 10 का cube 2 बार लेने पर हम आगे निकल जाते हैं। इसलिए छोटा cube कभी 9 से आगे नहीं जाता। यहीं से record एक ऐसा काम बन जाता है, जिसे पूरा किया जा सकता है। संख्या दर संख्या मत चलिए, जोड़ी दर जोड़ी चलिए। पहले 1 का cube लीजिए, और उसमें हर cube बारी बारी जोड़िए, 2, 9, 28, 65, और ऐसे ही 1729 तक।
उस पहली पंक्ति में 12 जोड़ हैं। फिर 2 का cube लेकर यही कीजिए, तो दायरे से बाहर निकलने से पहले 10 जोड़ मिलते हैं। फिर 3 से 9 तक हर cube के लिए यही कीजिए, और हर पंक्ति पिछली से छोटी होती जाती है। अब इन सारी पंक्तियों को जोड़िए। पूरा सवाल बस 62 जोड़ों का है। यानी गिनती के 62 जोड़, इससे ज़्यादा कुछ नहीं। अब आख़िरी हिस्सा बस गिनती है, इसमें कोई चालाकी नहीं चाहिए।
ये 62 जोड़ 61 अलग अलग संख्याओं पर पहुँचते हैं। यानी 62 पहुँचने वाले हैं, और जगहें सिर्फ़ 61 हैं। तो कहीं न कहीं, ठीक एक बार, 2 जोड़ एक ही संख्या पर पहुँचे होंगे। यानी पूरी सूची में बस एक टक्कर है। और जब आप देखते हैं कि वो टक्कर कहाँ हुई, तो वो 1729 पर हुई है। यही वो record है, जो अब सच में कमाया गया है।
इसके नीचे कोई संख्या ऐसा नहीं करती, क्योंकि नीचे की हर ऐसी संख्या इस सूची में है, और हर एक बस एक बार आई है। इसी सूची से एक और बात निकलती है, जिस पर रुकना ज़रूरी है। इस taxi की संख्या से नीचे पूरी 1728 संख्याएँ हैं। उनमें से सिर्फ़ 60 संख्याएँ किसी भी तरह 2 cubes का जोड़ हैं, और 1668 बिल्कुल नहीं। यानी एक बार भी 2 cubes का जोड़ होना अपने आप में दुर्लभ है।
सबसे पहली ऐसी संख्याएँ 2, 9, 16, 28, 35 और 54 हैं। और 1729 तक आएँ, तो ऐसी 61 संख्याएँ होती हैं, और उनमें से ठीक एक ही ये काम 2 बार करती है। आगे जाकर भी ये काम आसान नहीं होता। जैसे 10000 तक ऐसी 202 संख्याएँ हैं, और 100000 तक ऐसी 938 संख्याएँ हैं। यानी हर 1000 में से पहले 35, फिर 20, और फिर सिर्फ़ 9 ऐसी संख्याएँ बचती हैं।
अब वो ग़लती, जिसकी तरफ़ ये कहानी ले जाती है, और उसे तुरंत ठीक करना ज़रूरी है। ये taxi वाली संख्या अकेली ऐसी संख्या नहीं है, ये बस पहली है। दूसरी ऐसी संख्या 4104 है, और तीसरी 13832 है। और ये परिवार कभी ख़त्म नहीं होता, और उसकी वजह एक ही पंक्ति में दिख जाती है। किसी सदस्य को किसी cube से गुणा कीजिए, तो उसके दोनों तरीके भी बड़े होकर साथ आ जाते हैं।
जैसे 1729 को 27 से गुणा करें, तो 46683 मिलता है। ये 3 का cube जोड़ 36 का cube है, और 27 का cube जोड़ 30 का cube भी है। पर शुरुआत में ये परिवार कितना पतला है, दूसरी संख्या पहली के दोगुने से भी बड़ी है। अब वो 2 संख्याएँ, 4104 और 13832, आपके लिए हैं। दोनों 2 positive cubes के जोड़ के रूप में, 2 अलग तरीकों से टूटती हैं।
तरीका आपके पास है, cubes की पट्टी भी आपके पास है, और जवाब यहाँ नहीं लिखे जाएँगे। अब सोचिए, दावे का एक शब्द कितना बोझ उठा रहा है? दावे में वो शब्द है, positive। ये शब्द हटा दीजिए, और cube को negative भी होने दीजिए। तब 91 को देखिए, ये 3 के cube और 4 के cube का जोड़ है, यानी 27 और 64 का। और 91, 6 के cube और minus 5 के cube का जोड़ भी है, यानी 216 में से 125 घटाइए।
यानी यहाँ भी 2 तरीके हैं। और 91, taxi वाली संख्या के आसपास भी नहीं है। एक शब्द हटाइए, तो taxi से नीचे 11 संख्याएँ ये काम 2 बार करती हैं, और record ही ग़ायब हो जाता है। और record खोना सबसे बुरी बात भी नहीं है। वो शब्द खोने से खोज भी टूट जाती है। हमारी साफ़ तालिका इसलिए चली, क्योंकि संख्या से बड़ा cube सवाल से ही बाहर था।
जैसे ही minus आता है, ये दलील ख़त्म हो जाती है, क्योंकि दूसरा cube उसका बड़ा हिस्सा काट सकता है। यहाँ taxi से नीचे जिस सबसे बड़े cube की ज़रूरत पड़ती है, वो 24 का cube, यानी 13824 है। ये जाँची जा रही संख्या का लगभग 8 गुना है। इसलिए पुरानी खोज, जो 12 तक जाकर रुक जाती थी, 11 में से 9 ढूँढती है, और चुपचाप 2 छोड़ देती है।
ग़लत सीमा वाली खोज ये नहीं बताती कि वो जल्दी रुक गई। वो बस लौटकर कहती है कि वहाँ कुछ है ही नहीं। तो चलिए, वापस उस अस्पताल के कमरे में चलते हैं। बीमार गणितज्ञ ने जो किया, वो तेज़ हिसाब नहीं था। दरवाज़े पर खड़े खड़े कोई भी record साबित नहीं करता। वो ये पहले से जानते थे, जैसे आप किसी दोस्त का चेहरा पहचानते हैं। उनके एक और साथी ने ठीक यही कहा था, कि हर पूरी संख्या मानो उनकी निजी दोस्त थी।
और ये संख्या सच में नीरस नहीं थी। ये 7 गुणा 13 गुणा 19 है, यानी 3 primes, और हर अगला prime पिछले से 6 आगे है। इसके अंकों का जोड़ 19 है, जो उन्हीं 3 primes में से एक है। इसलिए ये अपने अंकों के जोड़ से पूरा बँटता है, और जवाब आता है 91, वही संख्या जो अभी मिली थी। इनमें से कोई बात इसे ख़ास नहीं बनाती, और असली बात यही है।
किसी भी संख्या को देर तक देखिए, तो वो नीरस नहीं रहती। वो साथी असल में बस ये बता रहे थे कि उन्होंने कितनी देर तक देखा था।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- What makes a number a perfect cube, and the three-identical-groups testकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Cubes built from runs of consecutive odd numbersकक्षा 8 · Ch 1, A Square and A Cube