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Chapter 8 · Working with Fractions

गुणा करने से number छोटा क्यों हो सकता है

Multiplying fractions11 मिनट

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क्या गुणा करने से संख्या बड़ी होती है? 3 गुणा 5 में हाँ, 1 बटा 4 गुणा 8 में एक से बड़ी और दूसरे से छोटी, 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 5 में दोनों से छोटी।

मुख्य idea

multiplication scale बदलता है; वह बड़ा ही नहीं करता। product उस number से ऊपर आएगा या नीचे जिससे तुमने शुरू किया, यह operation तय नहीं करता, 1 तय करता है: 1 से बड़ा factor खींचकर बढ़ाता है, 1 से छोटा factor सिकोड़ता है, और ख़ुद 1 चीज़ों को जैसा है वैसा छोड़ देता है। तो "क्या गुणा करने से बड़ा होता है?" ऐसा सवाल नहीं जिसका कोई एक जवाब हो — यह एक ऐसा सवाल है जिसमें एक शर्त छूटी हुई है, और chapter सीधे जवाब देने से मना करता है। वह तीन मामले बनाता है, नतीजे को student के भरने के लिए ख़ाली जगहों के रूप में छोड़ता है, और उस नतीजे को भी एक-एक factor करके कहता है। एक-एक factor वाला रूप ही सावधानी वाला हिस्सा है: product दोनों factors से नीचे तभी आता है जब दोनों ही 1 से नीचे हों।

आपको क्या आना चाहिए

  • हिसाब लगाने से पहले, factors 1 के मुक़ाबले कहाँ बैठे हैं इससे, अनुमान लगाना कि product अपने हर factor से ऊपर आएगा या नीचे
  • छपी हुई तीनों स्थितियों में से हर एक का उदाहरण बनाना, और अनुमान को निकाले गए product से जाँचना
  • product और किसी factor को common denominator पर फिर से लिखकर दोनों की तुलना करना
  • chapter का नतीजा उसके अपने सावधान रूप में कहना — दूसरे factor से तुलना, एक-एक factor करके
  • ठीक-ठीक बताना कि product गुणा किए गए दोनों numbers से कब नीचे आता है, और इस दावे के ख़िलाफ़ एक उलटा उदाहरण देना कि ऐसा हमेशा होता है
  • rectangle वाली तस्वीर से समझाना कि दोनों factors की जगह बदलने से product क्यों नहीं बदल सकता
  • पहचानना कि 1 पूरी चर्चा की धुरी है, और chapter शुरू करने से पहले उसे अलग क्यों रख देता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
productmultiplication से जो number बनता हैगुणनफलपूरे §8.1 में छपा, pp.184–186
counting numbersगिनने में इस्तेमाल होने वाली whole numbers, 1 से ऊपर की ओरगिनती की संख्याएँ§8.1 में छपा, p.184
between 0 and 1एक whole से छोटे fraction के लिए chapter का वर्णन0 और 1 के बीच§8.1 में छपा, p.185, table में और आख़िरी ख़ाली जगहों में
greater than 1एक whole से बड़े number के लिए chapter का वर्णन1 से बड़ा§8.1 में छपा, p.185
arearectangle जितनी सतह घेरता है, जो उसकी दोनों भुजाओं की अदला-बदली से नहीं बदलतीक्षेत्रफल§8.1 में छपा, p.186
length and breadthrectangle की वे दो भुजाएँ जिनकी अदला-बदली होती हैलंबाई और चौड़ाई§8.1 में छपा, p.186
order of multiplicationकौन-सा factor पहले लिखा गयागुणा का क्रम§8.1 में block के शीर्षक के रूप में छपा, p.186
Brahmaguptaवह गणितज्ञ जिनके formula को chapter इस बात का दूसरा कारण बताता है कि क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ताब्रह्मगुप्त§8.1 में छपा, p.186
scalingकिसी quantity को किसी factor से खींचकर बढ़ाना या सिकोड़नाअनुमापन§8.1 pp.184–186 जो बताता है उसके लिए व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा
commutativeयह गुण कि दोनों factors के क्रम से product पर असर नहीं पड़ताक्रमविनिमेययहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter यह गुण शब्दों में कहता है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "गुणा करने से चीज़ें बड़ी होती हैं।" chapter का पूरा block इसी को तोड़ने के लिए है। इसे "fraction से गुणा करने पर चीज़ें छोटी होती हैं" से बदलकर ठीक मत करना — वह वही ग़लती है, बस उलटे चिह्न के साथ।
  • "अगर एक factor fraction है, तो product दोनों numbers से नीचे होता है।" 1/4 × 8 = 2 p.184 पर ठीक इसी को रोकने के लिए छपा है। product 1/4 से ऊपर है।
  • "fraction का मतलब है 1 से नीचे।" 4/3 एक fraction है और 1 से ऊपर बैठता है, और chapter इसी वजह से उसे Situation 1 में रखता है। धुरी 1 है, fraction bar का होना नहीं।
  • "नतीजा यह है कि product हमेशा दोनों factors से नीचे आता है।" chapter का नतीजा हर factor के लिए अलग है — 1 से नीचे वाला factor product को दूसरे number से नीचे ले जाता है। दोनों से नीचे वह ख़ास मामला है जिसमें दोनों factors 1 से नीचे हों, यानी Situation 2 और सिर्फ़ Situation 2. chapter यह नतीजा p.185 पर हल की गई एक जोड़ी के लिए निकालता है; वह इसे आम नियम नहीं बनाता।
  • "6/20 की तुलना 3/4 से देखकर ही की जा सकती है।" भरोसे के साथ नहीं की जा सकती, और chapter पढ़ने वाले से देख लेने को कहने की बजाय बीसवें हिस्सों में फिर से लिखकर दिखाता है। इस फिर से लिखने को एक असली क़दम की तरह दिखाओ, औपचारिकता की तरह नहीं।
  • "1 को भी table में होना चाहिए।" block अपने पहले ही वाक्य में 1 को हटा देता है, क्योंकि 1 का factor दूसरे number को ठीक वहीं छोड़ देता है जहाँ वह था, और तब हर row में "या बराबर" जोड़ना पड़ता।
  • "factors की अदला-बदली से जवाब बदल जाता है, क्योंकि तुम अलग तरह से काटते हो।" तुम सचमुच अलग तरह से काटते हो — p.186 की दोनों तस्वीरें सचमुच अलग तस्वीरें हैं — और फिर भी उसी area पर पहुँचते हो। यही वह बात है जिस पर रुककर सोचना चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q9

पूरा transcript1,588 शब्द

सवाल सीधा है, क्या गुणा करने से संख्या बड़ी होती है? ज़्यादातर लोग तुरंत हाँ कहते हैं, क्योंकि पहाड़े हमेशा बढ़ते हुए ही दिखे। यहाँ देखेंगे कि इस सवाल का कोई एक जवाब है ही नहीं, इसमें एक शर्त छूट गई है। गुणा बड़ा नहीं करता, वह पैमाना बदलता है, खींचता या सिकोड़ता है, और फ़ैसला 1 करता है। पहले 1 को अलग रखो, किसी भी संख्या को 1 से गुणा करो, वह वहीं की वहीं।

यहाँ 1 से 12 तक के ऊपर और नीचे वाली, 1 के बराबर वालों को छोड़कर, 132 भिन्नों पर आज़माया, सभी 132 उदाहरणों में संख्या अपनी जगह रही। और अगर 1 भी तालिका में होता, तो हर पंक्ति में बड़ा या छोटा के साथ बराबर भी लिखना पड़ता, इसलिए उसे पहले ही अलग रखा। अब 3 गुणा 5 बराबर 15, और 15 दोनों से बड़ा। यही वह मामला है जिसे सब जानते हैं, और यहीं से, गुणा बड़ा करता है, वाली आदत बनती है।

अब 1 बटा 4 गुणा 8, यानी 8 का 1 बटा 4, जो 2 है। देखो, 2, 8 से छोटा, पर 1 बटा 4 से बड़ा। तो यह कहना भी गलत कि भिन्न आते ही गुणनफल दोनों से छोटा हो जाता है, यहाँ वह एक से बड़ा है। अब 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 5, ऊपर 6, नीचे 20, यानी 6 बटा 20। यहाँ 6 बटा 20, 3 बटा 4 से बड़ा या छोटा, सिर्फ़ देखकर कह सकते हो?

तीनों को बीसवें हिस्सों में लिखो, 3 बटा 4 यानी 15 बटा 20, 2 बटा 5 यानी 8 बटा 20। अब बस ऊपर वाले देखो, 6, 15 और 8, गुणनफल दोनों से छोटा। देखकर तुलना करना भरोसे लायक नहीं, 6 बटा 20 में 20 बड़ा दिखता है, और 3 बटा 4 में संख्याएँ छोटी। एक ही नीचे वाले पर लिखना असली कदम है, उसके बाद तुलना बस ऊपर वालों की, जो पूरी संख्याएँ हैं।

यहाँ वह साझा नीचे वाला 20 था। पूरी संख्याओं की तुलना आसान है, इसलिए भिन्नों को पहले एक ही नीचे वाले पर लाकर पूरी संख्याओं जैसा बना लेते हैं। चौकोर पर देखो, 5 लेटी और 4 खड़ी पट्टियाँ, 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 5 वाला आयत 6 खाने। पूरी 3 बटा 4 वाली खड़ी पट्टी 15 खाने, और पूरी 2 बटा 5 वाली लेटी पट्टी 8। आयत दोनों पट्टियों के अंदर है, तो दोनों से छोटा, और ये वही बीसवें हिस्से हैं, 6, 15 और 8।

और 1 बटा 4 गुणा 8 का चित्र, 8 चौकोर एक कतार में, हर एक 4 लेटी पट्टियों में कटा। हर चौकोर से 1 पट्टी रखो, कुल 8 पट्टियाँ, हर एक 1 बटा 4। अब 8 पट्टियाँ मिलकर 2 पूरे चौकोर, एक पट्टी से ज़्यादा, 8 चौकोरों से कम। अब एक तालिका, 3 कॉलम, स्थिति, गुणा, और रिश्ता। दोनों 1 से बड़े, 4 बटा 3 गुणा 4 बराबर 16 बटा 3, दोनों से बड़ा।

दोनों 1 से छोटे, 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 5 बराबर 3 बटा 10, दोनों से छोटा। एक छोटा, एक बड़ा, 3 बटा 4 गुणा 5 बराबर 15 बटा 4, एक से बड़ा, दूसरे से छोटा। गौर करो, पहली पंक्ति में 4 बटा 3 है, एक भिन्न, पर 1 से बड़ा। तो बात भिन्न की लकीर की नहीं, बात यह है कि संख्या 1 के किस तरफ़ है। देखो, 1 ही वह कब्ज़ा है जिस पर पूरा फ़ैसला घूमता है।

पहली पंक्ति फिर देखो, 16 बटा 3, यानी 5 पूरे और 1 बटा 3। यह 4 से भी बड़ा, और 4 बटा 3 से भी, भिन्न होते हुए भी दोनों से बड़ा। हर स्थिति के और उदाहरण बनाओ, और हर बार तुलना एक ही नीचे वाले पर करके। यहाँ 5 बटा 2 गुणा 3 बटा 2 बराबर 15 बटा 4, दोनों से बड़ा। और 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 3 बराबर 1 बटा 6, दोनों से छोटा।

अब 2 बटा 3 गुणा 6 बराबर 4, एक से बड़ा, दूसरे से छोटा। अब एक ही संख्या 6 लो, और उसे बढ़ते हुए गुणनखंडों से गुणा करो, 1 बटा 3 से शुरू करके 2 तक। 1 बटा 3 पर 2, 1 बटा 2 पर 3, 2 बटा 3 पर 4, 1 पर 6, 3 बटा 2 पर 9, और 2 पर 12। गुणनखंड बढ़ता गया, तो गुणनफल भी हर कदम पर बढ़ा, सभी 5 कदमों पर।

और ठीक बीच में, गुणनखंड 1 पर, 6 खुद, उसके नीचे सिकुड़ना, ऊपर खिंचना। अब 8 को 1 बटा 12 से लेकर 24 बटा 12 तक, हर बारहवें हिस्से से गुणा करो, कुल 24 गुणनखंड। जो 11 गुणनखंड 1 से छोटे, उन सब में जवाब 8 से कम। ठीक 1 पर जवाब 8, और 1 से बड़े जो 12 गुणनखंड हैं, उन सब में 8 से ज़्यादा। बदलाव ठीक 1 पर होता है, न पहले, न बाद में।

अब खाली जगह भरो, एक गुणनखंड 0 और 1 के बीच हो, तो गुणनफल दूसरी संख्या से, बड़ा या छोटा? और एक गुणनखंड 1 से बड़ा हो, तो गुणनफल दूसरी संख्या से, बड़ा या छोटा? पहले में छोटा, दूसरे में बड़ा, और दोनों बार तुलना दूसरी संख्या से है, दोनों से नहीं। यह सावधानी ज़रूरी है, क्योंकि 1 बटा 4 गुणा 8 में जवाब 1 बटा 4 से बड़ा था, दोनों से छोटा नहीं।

देखो, 1 से 12 तक के ऊपर और नीचे वाली भिन्नों की हर जोड़ी, 1 को छोड़कर, कुल 17424 जोड़ियाँ। जिनमें पहला गुणनखंड 1 से छोटा, उन सभी 8712 में गुणनफल दूसरी संख्या से छोटा। और जिनमें वह 1 से बड़ा, उन सभी 8712 में दूसरी संख्या से बड़ा। यह नियम यह नहीं कहता कि गुणनफल दोनों से छोटा होगा, वह हर गुणनखंड की बात अलग अलग करता है। दोनों से छोटा, ठीक तब जब दोनों गुणनखंड 1 से छोटे हों, ऐसी 4356 जोड़ियाँ।

दोनों से बड़ा, 4356, और बीच में, 8712, और सभी 17424 में यही बँटवारा। तो सावधानी से पढ़ो, हर गुणनखंड दूसरे को खींचता है या सिकोड़ता है, और दोनों सिकोड़ें, तभी दोनों से छोटा। एक बात देखो, 3 बटा 5 से गुणा का मतलब, दूसरी संख्या को 5 टुकड़ों में काटो, और 3 उठाओ। यहाँ 5 में से 3, यानी पूरे से कम, तो 3 बटा 5 गुणा 3 बराबर 9 बटा 5, जो 3 से कम।

पर 7 बटा 5 का मतलब 7 टुकड़े, यानी पूरे 5 से ज़्यादा, तो 7 बटा 5 गुणा 3 बराबर 21 बटा 5, जो 3 से ज़्यादा। तो ऊपर वाला नीचे वाले से छोटा, यानी गुणनखंड 1 से छोटा, तो पूरे से कम उठाया, यही सिकुड़ने की वजह। एक नुस्खे में 4 कप आटा लगता है, 3 बटा 2 से गुणा। और 4 गुणा 3 बटा 2 बराबर 6 कप, ज़्यादा।

और आधा बनाना हो, तो 4 गुणा 1 बटा 2 बराबर 2 कप, कम। दोनों बार गुणा, पर एक बार बढ़ा, एक बार घटा, फ़ैसला 1 ने किया। पुरानी गलती की जगह नई गलती मत रखो, भिन्न से गुणा हमेशा छोटा करता है, यह भी गलत। अब 4 बटा 3 गुणा 4 बराबर 16 बटा 3, बड़ा हुआ, और 1 बटा 4 गुणा 8 का जवाब 1 बटा 4 से बड़ा।

सही सवाल हमेशा यह, गुणनखंड 1 से छोटा है या बड़ा। गुणनखंड को एक zoom की तरह सोचो, 1 से बड़ा तो खींचना, 1 से छोटा तो सिकोड़ना। और ठीक 1, कुछ नहीं बदलता। गुणा एक ही काम है, बस दिशा 1 तय करता है। देखो, 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 4, और 1 बटा 4 गुणा 1 बटा 2, क्या एक ही हैं? पहले में आयत 1 बटा 2 चौड़ा, 1 बटा 4 ऊँचा, 8 खानों में से 1।

दूसरे में 1 बटा 4 चौड़ा, 1 बटा 2 ऊँचा, काटने का तरीका अलग, फिर भी 8 में से 1। काटने का तरीका सच में अलग है, चित्र अलग हैं, पर क्षेत्रफल एक ही, 1 बटा 8। कोई भी आयत घुमाकर खड़ा करो, लंबाई और चौड़ाई अदल बदल जाती हैं, पर आयत वही, क्षेत्रफल वही। यहाँ 1 तक की, 12 तक के नीचे वाली भिन्नों की सभी 6084 जोड़ियाँ आज़माईं, हर बार घुमाया हुआ आयत ठीक उतने ही खाने ढकता है।

और ऊपर गुणा ऊपर, नीचे गुणा नीचे, वाला नियम भी यही कहता है, क्योंकि पूरी संख्याओं का गुणा क्रम नहीं देखता। अब बिना गुणा किए छाँटो, 5 बटा 6 गुणा 11 बटा 10, 9 बटा 4 गुणा 3 बटा 7, 2 बटा 9 गुणा 5 बटा 8, और 7 बटा 3 गुणा 12 बटा 5। हर गुणनखंड से बस एक सवाल, ऊपर वाला नीचे वाले से बड़ा है या छोटा।

पहले 2 सवालों में, एक गुणनखंड 1 से छोटा और दूसरा बड़ा, तो दोनों बार जवाब बीच में। तीसरे में दोनों छोटे, तो दोनों से छोटा, और चौथे में दोनों बड़े, तो दोनों से बड़ा। एक भी गुणा किए बिना चारों का रिश्ता पता चल गया, क्योंकि फ़ैसला 1 करता है। खुद करो, बिना हिसाब के बताओ, 7 बटा 8 गुणा 9 बटा 5, 9 बटा 5 से बड़ा या छोटा, और 7 बटा 8 से?

फिर एक ही नीचे वाले पर लिखकर जाँचो। जवाब 63 बटा 40, और चालीसवें हिस्सों में 7 बटा 8 यानी 35, 9 बटा 5 यानी 72, तो 7 बटा 8 से बड़ा, 9 बटा 5 से छोटा। बिना हिसाब के भी पता था, 7 बटा 8, 1 से छोटा, तो दूसरी संख्या से छोटा, और 9 बटा 5, 1 से बड़ा, तो दूसरी से बड़ा। याद रखो, गुणा पैमाना बदलता है, हमेशा बड़ा नहीं करता।

गुणनखंड 1 से छोटा, तो गुणनफल दूसरी संख्या से छोटा। और 1 से बड़ा, तो दूसरी संख्या से बड़ा। दोनों से छोटा, बस तब जब दोनों 1 से छोटे। और क्रम से फ़र्क नहीं, घुमाया हुआ आयत वही आयत।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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