PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 4, Another Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा कीजिए, फिर दशमलव के अंक गिनिए

Multiplying decimals13 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

13 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 7 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

9.5 सेंटीमीटर के 5 टुकड़े जोड़ना आसान, पर 12.5 गुणा 7.5 में कितनी बार जोड़ें? भिन्न बनाओ: 125/10 गुणा 75/10 = 9375/100 = 93.75।

मुख्य idea

दशमलव बिंदु कहाँ लगेगा, इसका नियम असल में कोई नया नियम है ही नहीं — यह इस बात की रसीद है कि denominators ने क्या किया। 5.96 को 596 बटा सौ लिखिए और 24.8 को 248 बटा दस, तो product का 596 × 248 बटा हज़ार होना तय हो जाता है, क्योंकि दस की घातों (powers of ten) को गुणा करने पर उनके शून्य एक साथ ढेर हो जाते हैं। "दशमलव स्थान जोड़ो" वही शून्यों का ढेर है, जिसे जवाब पर से वापस पढ़ लिया जाता है। इसीलिए जो student पूर्ण संख्याओं का एक product जानता है, वह उन्हीं अंकों से बने हर decimal product को पहले से जानता है; और इसीलिए यह नियम बेफ़िक्र होकर भूला जा सकता है — fractions से इसे तीन lines में हमेशा फिर से बनाया जा सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी decimal को दस की किसी घात के ऊपर पूर्ण संख्या में बदलिए, और वापस भी
  • fraction वाले रास्ते से decimal product निकालिए, हर step दिखाते हुए
  • हल किए हुए product में से पढ़कर बताइए कि हर factor में और जवाब में बिंदु के बाद कितने अंक हैं
  • बिंदु लगाने का नियम बताइए और उसे सिर्फ़ कह देने के बजाय denominators से सही ठहराइए
  • पूर्ण संख्याओं का एक product दिया हो, तो उन्हीं अंकों से बने decimal products दोबारा गुणा किए बिना लिखिए
  • समझाइए कि ₹56.50 को ₹56.5 की जगह लिखने से अंकों की गिनती क्यों बदलती है, पर जवाब नहीं
  • पहले से बताइए कि किसी decimal को 10, 100 या 1000 से गुणा करने पर उसके बिंदु का क्या होता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
decimalऐसी संख्या जिसमें एक बिंदु पूरी इकाइयों को इकाई के हिस्सों से अलग करता हैदशमलवकक्षा 6; इस पूरे chapter में इस्तेमाल, Part II, pp.67–96
decimal pointवह निशान जो इकाई के स्थान को दशांश के स्थान से अलग करता हैदशमलव बिंदु§4.1 में छपा, Part II, p.68
multiplicandवह संख्या जिसे गुणा किया जा रहा है, किताब के column शीर्षकों मेंगुण्य§4.2 में छपा, Part II, p.70
multiplierवह संख्या जिससे गुणा करते हैं, किताब के column शीर्षकों मेंगुणक§4.2 में छपा, Part II, p.70
productगुणा का नतीजागुणनफल§4.2 में छपा, Part II, pp.69–72
numeratorfraction में रेखा के ऊपर लिखी संख्याअंश§4.2 में छपा, Part II, pp.69, 71
denominatorfraction में रेखा के नीचे लिखी संख्याहर§4.2 में छपा, Part II, pp.69–71
decimal fractionऐसा fraction जिसका denominator 10, 100, 1000 वग़ैरह होदशमलव भिन्न§4.1 में छपा, Part II, p.67
tenthsबिंदु के दाईं ओर पहला स्थानदशांश§4.1 में छपा, Part II, p.67
hundredthsबिंदु के दाईं ओर दूसरा स्थानशतांश§4.1 में छपा, Part II, p.67
counting numberगिनने में इस्तेमाल होने वाली पूर्ण संख्या के लिए किताब का नामगणन संख्या§4.1 में छपा, Part II, p.67
natural numberchapter के उन दो सवालों में इस्तेमाल, जो पूछते हैं कि product का बिंदु कब ग़ायब हो जाता हैप्राकृत संख्या§4.2 में छपा, Part II, p.70
decimal digitsबिंदु के दाईं ओर खड़े अंक, जिन्हें SUMMARY गिनती हैदशमलव अंकSUMMARY में छपा, Part II, p.95
decimal placesवही गिनती, उन शब्दों में जो braces के पास इस्तेमाल हुए हैंदशमलव स्थान§4.2 में छपा, Part II, p.71
Math Talkचर्चा के लिए बने (लिखने के लिए नहीं) सवाल पर किताब का हाशिये वाला निशानमैथ टॉकहाशिये की चित्रकारी के भीतर — Part II के p.70 और p.71 पर छपा, जहाँ यह निशान natural-number वाले सवाल और 596 × 248 वाले सवाल के पास बैठा है
place-value bookkeepingअंकों को गुणा करते समय denominator क्या कर रहा है, इसका हिसाब रखना — इस पाठ का शब्दस्थानीय-मान का हिसाबइस पाठ का शब्द; किताब इस विचार को कोई नाम नहीं देती

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखो, जैसे जोड़ते समय रखते हो।" जोड़ में स्थानों का सीध में होना ज़रूरी है; गुणा में नहीं, और chapter का तरीक़ा तो एक भी अंक गुणा करने से पहले दोनों बिंदु जान-बूझकर हटा देता है। 9.5 × 5 को सीध वाले column में लिखकर फिर काट देना, दस सेकंड लगाने लायक़ है।
  • "product में उतने ही दशमलव स्थान होते हैं जितने लंबे factor में।" Part II pp.70–71 वाली table इसी को ख़त्म करने के लिए बनी है: 5.7 × 13.35 के factors में एक और दो स्थान हैं और product में तीन। वे जुड़ते हैं; आपस में होड़ नहीं करते।
  • "पीछे शून्य लगा देने से संख्या बदल जाती है।" ₹56.50 और ₹56.5 एक ही रक़म है। Q6, Part II p.73 पर, ठीक यही पूछ रहा है। अंकों की गिनती बदलती है, उसके साथ product की गिनती भी बदलती है, और मान नहीं बदलता — फ़ालतू शून्य जवाब के आख़िर में पहुँच जाते हैं, जहाँ उन्हें लिखा भी जा सकता है और हटाया भी।
  • "नियम मनमाना है, इसलिए रटना पड़ेगा।" यह तीन lines में denominators से निकल आता है। जो student 5.96 को fraction की तरह लिख सकता है, वह exam hall में इसे फिर से निकाल सकता है।
  • "596 × 248 में छह अंक हैं, तो 5.96 × 24.8 में भी होने चाहिए।" अंक तय हैं; बिंदु कहाँ उतरता है, यह तय नहीं, और 0.018 × 0.012 में बिंदु इतना बाईं ओर उतरता है कि आगे शून्य लिखने पड़ते हैं। अंकों की गिनती और स्थानों की गिनती दो अलग गिनतियाँ हैं।
  • "हर बार fractions में बदलना ही पड़ेगा, वरना हल ठीक नहीं माना जाएगा।" chapter fraction वाले रास्ते को कारण बताने के लिए देता है और अंक गिनने को काम करने के तरीक़े के तौर पर। दोनों जायज़ हैं; जब गिनती पर शक हो, तब fraction वाले रास्ते पर लौटिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q1, Figure it Out · 1 Q2, Figure it Out · 1 Q3, Figure it Out · 1 Q4, Figure it Out · 1 Q5, Figure it Out · 1 Q6, Figure it Out · 1 Q7, Figure it Out · 1 Q8, Figure it Out · 1 Q10, Figure it Out · 4 Q5, Figure it Out · 4 Q7

पूरा transcript1,554 शब्द

एक रिबन का टुकड़ा 9 दशमलव 5 सेंटीमीटर लंबा, ऐसे 5 टुकड़े सिरे से सिरा। गुणा का मतलब यहाँ साफ़ है, 9 दशमलव 5 की लंबाई, 5 बार। कुल लंबाई कितनी? यहाँ 9 दशमलव 5 को 5 बार जोड़ो, मिलता है 47 दशमलव 5। जवाब सही, पर यह तरीका नहीं, अगर गुणक भी दशमलव हो, जैसे 7 दशमलव 5, तो कितनी बार जोड़ें? इसलिए ऐसा तरीका चाहिए, जो हर दशमलव गुणा पर एक जैसा चले।

रास्ता, हर दशमलव को एक पूरी संख्या बटा 10, 100 या 1000 के रूप में देखो। जितने अंक बिंदु के बाद, उतने शून्य हर में, जैसे 0 दशमलव 8 2 7, यानी 827 बटा 1000। और 9 दशमलव 5, यानी 95 बटा 10, और 5, यानी 5 बटा 1। भिन्नों का नियम, अंश आपस में, 95 गुणा 5, यानी 475। हर आपस में, 10 गुणा 1, यानी 10। तो 475 बटा 10, यानी 47 दशमलव 5 सेंटीमीटर, दशमलव बिंदु यहीं से लौट आया।

अब दोनों दशमलव, एक गाड़ी एक लीटर में 12 दशमलव 5 किलोमीटर चलती है, और 7 दशमलव 5 लीटर ईंधन है। अब 125 बटा 10 गुणा 75 बटा 10, अंश 125 गुणा 75, यानी 9375। हर 10 गुणा 10, यानी 100, तो 9375 बटा 100, यानी 93 दशमलव 7 5 किलोमीटर। अंदाज़े से जाँचो, 12 गुणा 7, यानी 84, और 13 गुणा 8, यानी 104, जवाब इनके बीच, ठीक। एक और, घर से स्कूल 827 मीटर, यानी 827 बटा 1000 किलोमीटर, यानी 0 दशमलव 8 2 7 किलोमीटर।

आना और जाना, 2 गुणा, 1 दशमलव 6 5 4 किलोमीटर। देखो, 6 दिन, 9 दशमलव 9 2 4 किलोमीटर, अंक बढ़ते गए, पर बिंदु के बाद हर बार 3 अंक। जाँच, पूरे मीटर में, 827 गुणा 2 गुणा 6, बराबर 9924 मीटर, यानी 9 दशमलव 9 2 4 किलोमीटर, वही। एक आयत, 5 दशमलव 7 सेंटीमीटर गुणा 13 दशमलव 3 सेंटीमीटर। यहाँ 57 बटा 10 गुणा 133 बटा 10, अंश 57 गुणा 133, यानी 7581, हर 100।

तो 75 दशमलव 8 1 वर्ग सेंटीमीटर, और अंदाज़ा, 6 गुणा 13, यानी 78, पास ही। अब हर गुणा में गिनो, बिंदु के बाद कितने अंक, पहली संख्या में, दूसरी में, और जवाब में। और 9 दशमलव 5 गुणा 5, गिनती 1, शून्य, और जवाब 47 दशमलव 5 में 1। अब 12 दशमलव 5 गुणा 7 दशमलव 5, गिनती 1 और 1, जवाब 93 दशमलव 7 5 में 2। देखो, 1 दशमलव 6 4 गुणा 6, बराबर 9 दशमलव 8 4, गिनती 2, शून्य, और 2।

भिन्नों से, 164 बटा 100 गुणा 6, बराबर 984 बटा 100। यहाँ 5 दशमलव 7 गुणा 13 दशमलव 3 5, बराबर 76 दशमलव 0 9 5, गिनती 1, 2, और 3। सभी 4 पंक्तियों में, जवाब की गिनती, पहली 2 गिनतियों का जोड़। कोई कहेगा, जवाब में उतने अंक, जितने लंबी वाली संख्या में। पर 5 दशमलव 7 गुणा 13 दशमलव 3 5 में, लंबी वाली में 2, और जवाब में 3, गिनतियाँ जुड़ती हैं, होड़ नहीं करतीं।

वजह, हर आपस में गुणा होते हैं, 10 गुणा 100, यानी 1000। एक शून्य और 2 शून्य, मिलकर 3 शून्य, शून्य जुड़ते हैं। और 10 की घातें, 1 से लेकर 6 शून्य वाली तक, इनकी सभी 49 जोड़ियों में, शून्य जुड़ते हैं। यानी बिंदु के बाद के अंक गिनना, असल में हरों के शून्य गिनना है। अब 5 दशमलव 9 6 में 2 अंक, हर 100, और 24 दशमलव 8 में 1 अंक, हर 10, फिर 100 गुणा 10, यानी 1000, जिसमें 3 शून्य, और 3 अंक।

यह कोई नया नियम नहीं, भिन्नों ने जो किया, उसकी रसीद। देखो, 596 गुणा 248, बराबर 147808। तो 5 दशमलव 9 6 गुणा 24 दशमलव 8, वही अंक, बस बिंदु के बाद 2 जमा 1, यानी 3 अंक, 147 दशमलव 8 0 8। भिन्नों से, 596 बटा 100 गुणा 248 बटा 10, बराबर 147808 बटा 1000, वही। और अंदाज़ा, लगभग 6 गुणा 25, यानी 150, तो जवाब 147 दशमलव 8 0 8 ही हो सकता है, 14 दशमलव 7 8 0 8 नहीं, न 1478 दशमलव 0 8।

अब 5 दशमलव 8 गुणा 1 दशमलव 2 4, पहले बिना बिंदु, 58 गुणा 124, बराबर 7192। गिनती 1 जमा 2, यानी 3, तो 7 दशमलव 1 9 2। जाँच, 58 बटा 10 गुणा 124 बटा 100, बराबर 7192 बटा 1000, बिंदु ठीक उसी जगह। यहाँ 596 गुणा 248 एक बार कर लिया, तो और भी मुफ़्त, 59 दशमलव 6 गुणा 2 दशमलव 4 8, जहाँ 1 जमा 2, यानी 3 अंक, फिर 147 दशमलव 8 0 8।

और 596 गुणा 2 दशमलव 4 8, सिर्फ़ 2 अंक, 1478 दशमलव 0 8। अब 0 दशमलव 5 9 6 गुणा 0 दशमलव 2 4 8, जहाँ 6 अंक, तो 0 दशमलव 1 4 7 8 0 8। खुद करो, 3 दशमलव 2 गुणा 0 दशमलव 4 5। देखो, 32 गुणा 45, बराबर 1440, और 1 जमा 2, यानी 3 अंक। यहाँ 1 दशमलव 4 4 0, और आखिरी शून्य छोड़ो, तो 1 दशमलव 4 4।

जोड़ में बिंदु एक सीध में रखते हैं, पर गुणा में इसकी ज़रूरत नहीं। गुणा में पहले दोनों बिंदु हटाओ, पूरी संख्याओं का गुणा करो, फिर गिनकर बिंदु लगाओ। एक गुणा से कई, 18 गुणा 12, बराबर 216। तो 18 गुणा 1 दशमलव 2, बराबर 21 दशमलव 6, फिर 18 गुणा 0 दशमलव 1 2, बराबर 2 दशमलव 1 6, और 1 दशमलव 8 गुणा 1 दशमलव 2, बराबर 2 दशमलव 1 6।

और 0 दशमलव 1 8 गुणा 0 दशमलव 1 2, बराबर 0 दशमलव 0 2 1 6, और 1 दशमलव 8 गुणा 12, बराबर 21 दशमलव 6। और 0 दशमलव 0 1 8 गुणा 0 दशमलव 0 1 2, बराबर 0 दशमलव 0 0 0 2 1 6। अब 18 गुणा 0 दशमलव 1 2 और 1 दशमलव 8 गुणा 1 दशमलव 2, दोनों 2 दशमलव 1 6, क्योंकि दोनों में कुल 2 अंक बिंदु के बाद।

कोई नया गुणा नहीं, और 6 में से 2 जवाब 1 से छोटे। कौन से, ठीक वे 2, जिनमें दोनों संख्याएँ 1 से छोटी, 1 से छोटे का 1 से छोटा हिस्सा, और छोटा। यहाँ 3 जमा 3, यानी 6 अंक चाहिए, पर 216 में सिर्फ़ 3 अंक। तो आगे 3 शून्य लगाओ, अंक तय हैं, बिंदु की जगह बदलती है, अंकों की गिनती और जगहों की गिनती अलग चीज़ें।

क्या दशमलव वाली संख्याओं का गुणा, पूरी संख्या दे सकता है? देखो, 2 दशमलव 5 गुणा 4, यानी 25 गुणा 4, बराबर 100, एक अंक बिंदु के बाद, 10 दशमलव 0, यानी 10। यहाँ 0 दशमलव 2 5 गुणा 4, जहाँ 2 अंक, तो 1 दशमलव 0 0, यानी 1, बिंदु के बाद सिर्फ़ शून्य बचे, तो बिंदु गायब। अब 56 दशमलव 5 0 गुणा 2 दशमलव 2 5 0, और 56 दशमलव 5 गुणा 2 दशमलव 2 5, क्या पीछे के शून्य जवाब बदलते हैं?

पहला, 5650 गुणा 2250, जहाँ 5 अंक बिंदु के बाद, तो 127 दशमलव 1 2 5 0 0। दूसरा, 565 गुणा 225, जहाँ 3 अंक, तो 127 दशमलव 1 2 5। गिनती बदली, पर संख्या वही, फ़ालतू शून्य जवाब के आखिर में पहुँच गए, रखो या छोड़ो। अब 10 से, 100 से और 1000 से गुणा, 5 दशमलव 7 से मिलते हैं 57, फिर 570, फिर 5700। और 23 दशमलव 0 2 से, 230 दशमलव 2, फिर 2302, फिर 23020।

अब 0 दशमलव 9 2 से, 9 दशमलव 2, फिर 92, फिर 920, और 0 दशमलव 3 0 6 से, 3 दशमलव 0 6, फिर 30 दशमलव 6, फिर 306। देखो, 24 दशमलव 6 7 से, 246 दशमलव 7, फिर 2467, फिर 24670। वजह वही भिन्न, 5 दशमलव 7, यानी 57 बटा 10, इसे 10 से गुणा करो, हर का 10 कट गया, बचा 57। और उल्टा, 10 से भाग करो, 5 दशमलव 7 का दसवाँ हिस्सा, यानी 0 दशमलव 5 7, बिंदु एक जगह बाएँ।

यानी, 10 से गुणा पर बिंदु एक जगह दाएँ, 100 से 2 जगह, 1000 से 3 जगह, अंक वही रहते हैं। यहाँ 36 चकतियाँ, हर एक 1 दशमलव 4 5 मिलीमीटर मोटी, एक के ऊपर एक। और 145 गुणा 36, बराबर 5220, और 2 अंक बिंदु के बाद, तो कुल ऊँचाई 52 दशमलव 2 0 मिलीमीटर। या शुरू से सेंटीमीटर में, 1 दशमलव 4 5 मिलीमीटर, यानी 0 दशमलव 1 4 5 सेंटीमीटर, गुणा 36, बराबर 5 दशमलव 2 2 0 सेंटीमीटर।

सेंटीमीटर में, 10 से भाग, 5 दशमलव 2 2 सेंटीमीटर, इकाई पर ध्यान, गलती अक्सर वहीं होती है। अब 1 से 100 तक की संख्याएँ, बिंदु के बाद शून्य, 1 या 2 अंकों के संग, सभी 90000 गुणनफल, नियम और भिन्न हर बार एक। यह नियम भूल भी जाओ, तो डर नहीं, भिन्न बनाओ, अंश गुणा करो, हर के शून्य गिनो, नियम फिर बन गया। परीक्षा में नियम पर शक हो, तो एक भिन्न बनाकर देखो, 3 पंक्तियों में सब लौट आता है।

गिनती वाला तरीका काम के लिए, भिन्न वाला तरीका भरोसे के लिए, जब गिनती पर शक हो। दशमलव गुणा में, पहले बिंदु हटाओ, पूरी संख्याओं का गुणा करो। फिर बिंदु के बाद के अंक, दोनों संख्याओं के, जोड़ो, और उतने अंक पर बिंदु लगाओ। क्योंकि हर आपस में गुणा होते हैं, और 10 की घातों के शून्य जुड़ते हैं। अंक कम पड़ें, तो आगे शून्य लगाओ, पीछे के शून्य संख्या नहीं बदलते।

और अंदाज़ा लगाओ, वह बता देता है कि बिंदु सही जगह है या नहीं। एक पूरी संख्या का गुणा, उन्हीं अंकों वाले सारे दशमलव गुणा बता देता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab