PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 8, Working with FractionsPrepShorts

Chapter 8 · Working with Fractions

एक whole number गुणा एक fraction, बार-बार तय की गई दूरी की तरह

Multiplying fractions11 मिनट

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3 को 1 बटा 5 बार कैसे जोड़ें? जोड़ते रहने वाला तरीका यहाँ रुक जाता है, पर सवाल वही रहता है: इतने समय में कितनी दूर।

मुख्य idea

जब कोई fraction multiplication में आता है, तो chapter multiplication की परिभाषा कभी नहीं बदलता। वह एक ही स्थिति को थामे रखता है — दूरी यानी कितनी तेज़ गुणा कितनी देर — और arithmetic से बार-बार उसी स्थिति का जवाब दिलवाता है। ऐसा करने से दो procedures सामने आते हैं जो एक-दूसरे से बिल्कुल अलग दिखते हैं: जब multiplier एक whole number हो, तो तुम copies को एक के बाद एक, सिरे से सिरा मिलाकर रखते हो, और जब multiplier एक fraction हो, तो तुम multiplicand को टुकड़ों में काटते हो और उनमें से कुछ टुकड़े लेते हो। सबक़ इनमें से कोई एक procedure नहीं है। सबक़ यह है कि दोनों को multiplication ही कहना पड़ेगा, क्योंकि जिस सवाल का वे जवाब देते हैं वह एक ही सवाल है — और यही बात दो pages बाद दोनों के लिए एक ही rule को मुमकिन बनाती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि fractional speed से दूरी निकालने का तरीक़ा क्यों नहीं बदलता
  • whole number गुणा fraction को repeated addition से निकालना, और बताना कि यह पढ़त किस वजह से मुमकिन है
  • fraction गुणा whole number निकालना: पहले whole number को बराबर हिस्सों में बाँटकर, फिर उनमें से कुछ हिस्से इकट्ठा करके
  • लिखे हुए product में multiplier और multiplicand पहचानना, और बताना कि किसे काटा जाता है और कौन काटता है
  • multiplier के denominator से तय करना कि कितने बराबर हिस्से बनाने हैं, और उसके numerator से कि उनमें से कितने रखने हैं
  • गुणा करने से पहले mixed fraction को एक अकेले fraction के रूप में फिर से लिखना, और बताना कि यह क़दम पहले क्यों उठाया जाता है
  • 1/5 × 3 = 3/5 से पहचानना कि product उस number से छोटा भी हो सकता है जिसे गुणा किया जा रहा है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
fractionकिसी whole के बराबर हिस्सों में से इतने-इतने हिस्सों के रूप में लिखा गया numberभिन्नपूरे §8.1 में छपा, pp.173–177
productmultiplication से जो number बनता हैगुणनफल§8.1 में छपा, p.173, और उसके बाद बार-बार
multiplierलिखे हुए product में वह number जो गुणा कर रहा है — वही जिसका denominator बताता है कि कितने हिस्से काटने हैंगुणक§8.1 के label वाले callout में छपा, p.175, और फिर p.176
multiplicandलिखे हुए product में वह number जिसे गुणा किया जा रहा है — वही जिसे काटा जाता हैगुण्य§8.1 के label वाले callout में छपा, p.175, और फिर p.176
numeratorbar के ऊपर लिखी गिनतीअंश§8.1 में छपा, p.176
denominatorwhole को जितने बराबर हिस्सों में काटा गया उनकी संख्या, bar के नीचे लिखी हुईहर§8.1 में छपा, p.175
equal partsएक ही आकार के टुकड़े, जिन्हें denominator गिनता हैबराबर भाग§8.1 में छपा, pp.174–175
mixed fractionएक whole number और एक fraction साथ लिखे हुए, जैसे सवा (एक और एक चौथाई)मिश्र भिन्न§8.1 में छपा, p.176
repeated additionwhole number के multiplication को एक number को ख़ुद में कई बार जोड़ने की तरह पढ़नाबार-बार जोड़ना§8.1 जो p.173 पर करता है, उसके लिए व्याख्या का शब्द; यह जुड़ा हुआ शब्द इस chapter में नहीं छपा
rateकिसी और चीज़ की हर unit के हिसाब से दी गई quantity, यहाँ kilometres per hourदरp.194 पर छपा, पर सिर्फ़ currency exchange के लिए; speed के नाम के तौर पर यह यहाँ जोड़ा गया है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।

एक सावधानी: chapter के multiplier और multiplicand एक लिखे हुए expression में जगह बताने वाले labels हैं, numbers के गुण नहीं। product को उलटी तरह लिखो तो वही दो numbers अपनी भूमिकाएँ बदल लेते हैं, और chapter यह बात p.186 पर कहता है। इसलिए यह मत मान लेना कि fraction हमेशा multiplier ही होता है।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "fraction से गुणा नहीं किया जा सकता, क्योंकि किसी चीज़ को fraction जितनी बार नहीं जोड़ा जा सकता।" repeated addition पर यह सही आपत्ति है, और chapter इसका जवाब मतलब बदलकर नहीं, procedure बदलकर देता है: fractional multiplier के लिए तुम multiplicand को काटते हो और टुकड़े इकट्ठा करते हो। स्थिति — इतने समय में कितनी दूर — वही बनी रहती है, और वही तय करती है कि जवाब क्या होना चाहिए।
  • "गुणा करने से number बड़ा होता है।" 1/5 × 3 = 3/5 इस बात को p.174 पर तोड़ देता है, chapter के यह सवाल उठाने से भी पहले।
  • "multiplier की bar के नीचे वाला number ऐसा है जिससे गुणा करते हैं।" उससे भाग देते हैं: 5, जो 2/5 में है, कहता है पाँच में काटो, और 2 कहता है दो रखो। p.176 का तीर वाला diagram दोनों क़दम इसी क्रम में दिखाता है।
  • "3 × 1/4 और 1/4 × 3 अलग-अलग सवाल हैं।" इस section में वे सचमुच अलग procedures हैं — तीन चौथाइयाँ दोहराओ, बनाम 3 को चार में काटो — और यह दिखाने लायक़ है। वे अलग numbers नहीं हैं, और यह बात chapter अलग से p.186 पर तय करता है।
  • "सवा (एक और एक चौथाई) का मतलब है एक गुणा एक चौथाई।" chapter कुछ और करने से पहले 1¼ को 5/4 के रूप में फिर से लिखता है, p.176 पर। इस फिर से लिखने को अपने आप में एक अलग क़दम की तरह दिखाओ।
  • "fractional speed एक ख़ास मामला है, जिसके लिए ख़ास formula चाहिए।" chapter की पूरी शुरुआती चाल यही है कि ऐसा नहीं है।

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पूरा transcript1,531 शब्द

कोई 1 घंटे में 3 किलोमीटर चलता है, और 5 घंटे चलता है, कितनी दूर गया? हर घंटे के 3 किलोमीटर, 5 बार, 3 धन 3 धन 3 धन 3 धन 3, कुल 15 किलोमीटर। इसमें कोई नहीं अटकता, 5 गुणा 3, यानी 3 को 5 बार जोड़ना। सबसे पहले एक वाक्य पकड़ लो, दूरी बराबर रफ़्तार गुणा समय। यहाँ हर सवाल यही वाक्य है, संख्याएँ बदलेंगी, वाक्य नहीं। देखना यह है कि जब इसमें भिन्न आती है, तो गुणा का तरीका कैसे बदलता है, पर मतलब वही रहता है।

अब एक कछुआ, 1 घंटे में बस 1 बटा 4 किलोमीटर, और वह 3 घंटे चलता है। वही तरीका, 1 बटा 4 धन 1 बटा 4 धन 1 बटा 4, कुल 3 बटा 4 किलोमीटर। रफ़्तार में भिन्न आ गई, पर दूरी निकालने का तरीका ज़रा भी नहीं बदला, यही यहाँ की चाबी है। भिन्न वाली रफ़्तार के लिए कोई अलग सूत्र नहीं चाहिए, वही वाक्य, वही जोड़। एक number line बनाओ, 0 से, हर 1 बटा 4 पर एक निशान।

पहले घंटे का तीर 1 बटा 4 तक, अगले घंटे के बाद 1 बटा 2, और तीसरे घंटे के बाद 3 बटा 4। यहाँ भी गुणा करने वाली संख्या 3 पूरी है, तो बस 3 नकलें एक के बाद एक। अब उल्टा करो, वही चलने वाला, 3 किलोमीटर प्रति घंटा, पर बस 1 बटा 5 घंटा चलता है। यहाँ 3 को 1 बटा 5 बार कैसे जोड़ें? यह सवाल ठीक है, किसी चीज़ को भिन्न जितनी बार जोड़ा नहीं जा सकता, तो जोड़ते रहने वाला तरीका यहाँ रुक जाता है।

तो तरीका बदलो, पर मतलब नहीं, सवाल अब भी यही है, इतने समय में कितनी दूर। एक घंटे को 5 बराबर हिस्सों में बाँटो, तो उस घंटे की दूरी भी 5 बराबर हिस्सों में बँटेगी। और 0 से 3 किलोमीटर की line पर, बीच में 4 निशान लगाओ, 5 बराबर टुकड़े। पहला टुकड़ा, यानी 1 बटा 5 घंटे की दूरी, 3 बटा 5 किलोमीटर। तो 1 बटा 5 गुणा 3 बराबर 3 बटा 5।

हिसाब से पहले मतलब से सोचो, घंटे का बस एक हिस्सा चले, तो दूरी 0 से ज़्यादा, और 3 किलोमीटर से कम होनी चाहिए। जो भी तरीका चुनें, उसका जवाब इसी दायरे में आना चाहिए, वरना तरीका गलत है। और 3 बटा 5 ठीक इसी दायरे में है। गौर करो, 3 बटा 5 तो 3 से छोटा है, गुणा करके संख्या घट गई। मतलब से यह साफ़ है, घंटे से कम चले, तो घंटे वाली दूरी से कम ही गए।

गुणा हमेशा बड़ा नहीं करता, इसे नोट कर लो। अब 2 बटा 5 घंटा, यानी 1 बटा 5 घंटे के 2 टुकड़े। line पर 2 टुकड़े गिनो, 6 बटा 5 किलोमीटर, यानी 3 बटा 5 का दोगुना। लिखो, 2 बटा 5 गुणा 3 बराबर 6 बटा 5। अब 3 बटा 5 घंटा, तो 3 टुकड़े, 9 बटा 5 किलोमीटर। देखो, 5 बटा 5 घंटा, यानी पूरा घंटा, 5 टुकड़े, और वापस पूरे 3 किलोमीटर।

यह एक जाँच है, सारे टुकड़े मिलकर फिर पूरी दूरी बनाते हैं, तो काटना बराबर हुआ। और 7 बटा 5 घंटा, घंटे से ज़्यादा, 7 टुकड़े, यानी अगले घंटे से भी टुकड़े लो, 21 बटा 5, यानी 4 पूरे और 1 बटा 5 किलोमीटर। इसे बिल्कुल अलग रास्ते से भी जाँच लेते हैं, 1 बटा 5 घंटा यानी 12 मिनट। यहाँ 3 किलोमीटर प्रति घंटा, यानी हर मिनट 50 मीटर।

और 12 मिनट में 600 मीटर, और वह ठीक 3 बटा 5 किलोमीटर है। और 2 बटा 5 घंटा, यानी 24 मिनट, 1200 मीटर, यानी 6 बटा 5 किलोमीटर, टुकड़ों वाला ही जवाब। अब 2 बटा 5 गुणा 3 में, 2 बटा 5 को multiplier कहते हैं, वह बताता है कितनी बार। और 3 multiplicand है, जिसका गुणा हो रहा है। कछुए में multiplicand भिन्न था, और यहाँ multiplier, और यही फ़र्क तरीका बदलता है।

पहला कदम, multiplier का नीचे वाला 5, यानी 3 को 5 बराबर टुकड़ों में बाँटो, 3 बटा 5। दूसरा कदम, ऊपर वाला 2, यानी ऐसे 2 टुकड़े लो, 2 गुणा 3 बटा 5, बराबर 6 बटा 5। multiplier का नीचे वाला हिस्सा गुणा करने के लिए नहीं, बाँटने के लिए है, वह बताता है कितने टुकड़े। नीचे वाला काटता है, ऊपर वाला इकट्ठा करता है, पहले काटो, फिर गिनो। उल्टे क्रम में भी करो, पहले 3 गुणा 2, यानी 6, फिर 6 को 5 बराबर टुकड़ों में बाँटो, 6 बटा 5।

जवाब वही, पर पहले काटना समझ में ज़्यादा आता है, क्योंकि line पर टुकड़े दिखते हैं। और 1 बटा 5 खुद भी यही कहता है, एक को 5 में काटो, 1 उठाओ, multiplier को भी ठीक ऐसे ही पढ़ना है। यह काटो और गिनो वाला तरीका, 1 से 12 तक के हर ऊपर, हर नीचे, और हर multiplicand पर आज़माया गया, कुल 1728 गुणा। सभी 1728 में, गिने हुए टुकड़े ठीक गुणनफल के बराबर निकले।

पूरी संख्या से गुणा, नकलें एक के बाद एक बिछाओ। भिन्न से गुणा, multiplicand को काटो, और कुछ टुकड़े उठाओ। तरीके बिल्कुल अलग दिखते हैं, पर दोनों को गुणा कहना पड़ेगा, क्योंकि दोनों एक ही सवाल का जवाब हैं, इतने समय में कितनी दूर। और इसी वजह से दोनों को एक ही नाम मिलता है, गुणा। देखो, 3 गुणा 1 बटा 4, यानी 1 बटा 4 को 3 बार बिछाओ, 3 बटा 4।

यहाँ 1 बटा 4 गुणा 3, यानी 3 को 4 टुकड़ों में काटो और 1 उठाओ, फिर 3 बटा 4। तरीके अलग, जवाब एक, दोनों को line पर गिनकर देख लो। और 5 बच्चों को हर एक को 2 बटा 3 केक मिलता है, कुल कितना केक? अब 2 बटा 3 को 5 बार जोड़ो, 10 बटा 3, यानी 3 पूरे और 1 बटा 3 केक। यहाँ multiplier 5 पूरा है, तो जोड़ते रहने वाला तरीका ही चलता है, भले multiplicand भिन्न हो।

एक मशीन 1 घंटे में 8 बोतलें भरती है, और 1 पूरा और 1 बटा 4 घंटा चलती है। पहला काम, 1 पूरा और 1 बटा 4 को एक भिन्न में लिखो, 5 बटा 4। फिर 8 को 4 बराबर टुकड़ों में बाँटो, हर टुकड़ा 2 बोतलें। और ऐसे 5 टुकड़े, 10 बोतलें। मतलब से जाँचो, घंटे से थोड़ा ज़्यादा चली, तो 8 से थोड़ी ज़्यादा बोतलें, 10 ठीक बैठता है।

देखो, 1 पूरा और 1 बटा 4 का मतलब 1 गुणा 1 बटा 4 नहीं, 1 धन 1 बटा 4, इसीलिए पहले उसे अलग कदम में दोबारा लिखा। और गौर करो, यहाँ भी पहले बाँटा, फिर गुणा किया, line वाला ही क्रम। अभ्यास, कोई रोज़ 1 बटा 2 गिलास दूध पीता है, 7 दिनों में कितना? यहाँ multiplier 7 दिन, पूरी संख्या, तो नकलें बिछाओ। यहाँ 1 बटा 2 को 7 बार, 7 बटा 2, यानी 3 पूरे और 1 बटा 2 गिलास।

और 31 दिनों के महीने में, 31 बटा 2, यानी 15 पूरे और 1 बटा 2 गिलास। एक टीम 8 दिनों में 1 किलोमीटर नहर बनाती है, 1 दिन में कितनी? और 1 किलोमीटर को 8 टुकड़ों में काटो, 1 बटा 8 किलोमीटर रोज़। यहाँ 8 दिन में बँटवारा, तो काटना, और फिर 5 दिन के लिए टुकड़े गिनना। और 5 दिन के हफ़्ते में, 5 टुकड़े, 5 बटा 8 किलोमीटर।

अब 3 घर हर हफ़्ते 5 लीटर तेल बराबर बाँटते हैं, एक घर को कितना? देखो, 5 को 3 टुकड़ों में काटो, हर घर को 5 बटा 3 लीटर। यहाँ 4 हफ़्तों में, 20 बटा 3, यानी 6 पूरे और 2 बटा 3 लीटर। चाँद हर दिन पिछले दिन से 5 बटा 6 घंटा देर से डूबता है, 3 दिन बाद कितनी देर? और 5 बटा 6 को 3 बार, 15 बटा 6, यानी 5 बटा 2, यानी 2 पूरे और 1 बटा 2 घंटे।

यहाँ दिनों की गिनती 3 पूरी है, तो फिर से नकलें बिछाना, भले हर नकल एक भिन्न हो। और 15 बटा 6 को छोटा करके 5 बटा 2 लिखना, ऊपर नीचे दोनों को 3 से बाँटना है, मान वही रहता है। अब 4 सवाल, और हर जवाब पूरे और भिन्न वाले रूप में लिखो। अब 7 गुणा 3 बटा 5 बराबर 4 पूरे और 1 बटा 5, और 4 गुणा 1 बटा 3 बराबर 1 पूरा और 1 बटा 3।

देखो, 9 बटा 7 गुणा 6 बराबर 7 पूरे और 5 बटा 7, और 13 बटा 11 गुणा 6 बराबर 7 पूरे और 1 बटा 11। हर एक में सोचो, कौन सा तरीका चला, नकलें बिछाना, या काटो और गिनो। यहाँ 7 गुणा 3 बटा 5 में multiplier 7 पूरा, तो 3 बटा 5 की 7 नकलें, और 9 बटा 7 गुणा 6 में 6 को 7 टुकड़ों में काटकर 9 गिनो, एक घंटे से ज़्यादा वाले टुकड़ों जैसे।

और अगर कछुआ 1 बटा 4 किलोमीटर प्रति घंटा चले, और बस 2 बटा 5 घंटा, तब? तब काटना भी पड़ेगा और भिन्न वाले टुकड़े भी गिनने पड़ेंगे, यह सवाल यहाँ खुला छोड़ते हैं। पर सवाल फिर वही होगा, इतने समय में कितनी दूर, और वही वाक्य हमें रास्ता दिखाएगा। याद रखो, दूरी बराबर रफ़्तार गुणा समय, यह वाक्य कभी नहीं बदला। पूरी संख्या से गुणा, नकलें बिछाओ। भिन्न से गुणा, नीचे वाले से काटो, ऊपर वाले से गिनो।

और 1 पूरा और 1 बटा 4 जैसी संख्या, पहले एक भिन्न में लिखो। और 1 से कम से गुणा करने पर संख्या घट भी सकती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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