PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Constructions and TilingsPrepShorts

Chapter 6 · Constructions and Tilings

angle की copy बनाना, और triangle congruence क्यों साबित करती है कि यह काम करता है

Angles you can build without a protractor11 मिनट

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compass एक लंबाई याद रखता है, angle नहीं। तो angle की नकल कैसे बने?

मुख्य idea

compass किसी लंबाई को page के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक ले जा सकता है। वह angle नहीं ले जा सकता — angle लंबाई नहीं है, और औज़ार पर ऐसा कुछ नहीं जो उसे याद रखे। इसलिए construction ले जाने से ज़्यादा चतुर काम करता है: वह बदल देता है। angle की दोनों भुजाओं को एक ही radius पर काटो, तो दोनों कटे points के बीच की सीधी दूरी अब angle की जगह खड़ी हो जाती है, क्योंकि जब दो भुजाएँ उस radius से पहले ही तय हैं तो तीसरी भुजा के लिए बस एक ही आकार बचता है। वह एक दूरी copy करो, SSS को triangle फिर से बनाने दो, और angle बिल्कुल सटीक वापस आ जाता है। फ़ायदा दो पन्ने बाद मिलता है: parallel lines की पहचान पहले ही बराबर corresponding angles से हो चुकी थी, इसलिए angle की copy बना पाना और parallel line खींच पाना एक ही बात है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि अकेला compass किसी angle को सीधे क्यों नहीं ले जा सकता
  • बताना कि दोनों भुजाओं को एक radius पर काटने से angle triangle में कैसे बदल जाता है
  • वह एक लंबाई पहचानना जिसे ले जाना ज़रूरी है, और बताना कि बाक़ी दो क्यों अपने-आप मिल जाती हैं
  • angle की copy बनाने वाला पाँच क़दमों का construction करना
  • वह congruence condition बताना जो साबित करती है कि copy सटीक है
  • समझाना कि corresponding angle की copy बनाने से parallel line कैसे मिलती है
  • compass और unmarked ruler से parallel line वाला construction करना
  • एक ही इकाई की बार-बार copies, दो दिशाओं में, लगाकर दोहराती हुई पट्टी बनाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
exact copyदूसरी figure जो पहली से हर लंबाई और हर angle में मिलती हैयथावत् प्रतिलिपि§6.1, Part II, p.145 में छपा
unitवह अकेली आकृति जिससे दोहराता design बनता हैइकाई आकृति§6.1, Part II, p.145 में छपा
orientationघुमाने या पलटने के बाद copy जिस दिशा में होती हैदिशा-विन्यास§6.1, Part II, pp.145, 147 में छपा
isosceles triangleदो बराबर भुजाओं वाला triangleसमद्विबाहु त्रिभुज§6.1, Part II, p.146 में छपा
SSS congruence conditionभुजाओं की तीन बराबर जोड़ियाँ, जो congruence को पक्का कर देती हैंभुजा-भुजा-भुजा (SSS) प्रतिबंध§6.1, Part II, pp.144, 147 में छपा
transversalवह line जो दो दूसरी lines को काटती हुई जाती हैतिर्यक रेखा§6.1, Part II, p.147 में छपा
corresponding anglestransversal से दो lines पर बनने वाले angles की मिलती जोड़ीसंगत कोण§6.1, Part II, p.147 में छपा
parallelएक plane की ऐसी दो lines के लिए कहा जाता है जो कभी नहीं मिलतींसमांतर§6.1, Part II, pp.147–148 में छपा, जिसमें Fig. 6.10 का निशान m ‖ n भी है
set squareपुराना drawing का औज़ार जिसकी जगह यह construction लेता हैसेट स्क्वायर§6.1, Part II, p.147 में छपा
arcकिसी centre से तय radius पर बना circle का हिस्साचाप§6.1, Part II, pp.146, 148 में छपा
radiuscompass का वह खुलाव जिससे arc बनाया जाता हैत्रिज्या§6.1, Part II, pp.146, 148 में छपा
chordarc के दोनों सिरों को जोड़ने वाला सीधा segmentजीवाले जाई गई लंबाई BC के लिए इस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — chapter उसे सिर्फ़ उसके endpoints से बुलाता है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बस angle नाप लो और फिर से बना दो।" यह protractor वाला जवाब है, और chapter p.140 से इसे बाहर कर चुका है। यह कम सटीक भी है: protractor की reading round की जाती है, compass का ले जाया गया फैलाव नहीं।
  • "compass angle की copy बनाता है।" वह एक लंबाई की copy बनाता है। angle उसके बाद congruence से फिर से बनता है। figure में इन दोनों क़दमों को साफ़ अलग दिखाओ।
  • "arc की radius किसी ख़ास आकार की होनी चाहिए।" नहीं — पर A पर और X पर वह एक ही होनी चाहिए। proof की हर बराबरी इसी एक दोबारा इस्तेमाल से आती है।
  • "तीनों भुजाएँ उस पार ले जानी पड़ती हैं।" उनमें से दो पहले से बराबर हैं क्योंकि उन्हें एक ही radius ने बनाया। p.146 की isosceles वाली टिप्पणी इसी किफ़ायत की ओर इशारा करती है।
  • "parallel का मतलब एक जैसी दूरी पर, इसलिए यह construction दूरी के बारे में है।" construction कभी कोई फ़ासला नहीं नापता। वह उन बराबर corresponding angles के ज़रिए काम करता है जिन्हें chapter p.147 पर याद दिलाता है।
  • "दो दिशाओं का मतलब दो अलग इकाइयाँ।" Fig. 6.6 एक ही आकृति दोहराती है; बारी-बारी से बदलता यह है कि वह कैसे घुमाई गई है। अगर व्याख्या दो आकृतियाँ बनाती है, तो उसने section का तर्क तोड़ दिया।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q2

पूरा transcript1,534 शब्द

एक band सोचो, एक ही आकार बार बार, एक बार ऊपर मुँह करके, फिर उल्टा, फिर ऊपर। हमारे चित्र में 5 टुकड़े, 3 टुकड़े एक तरफ़ मुँह किए, 2 दूसरी तरफ़। पूरा band एक ही unit से बना है, बस उसे पलटकर रखा गया है। ये band कपड़ों के किनारों पर, दीवारों की सजावट में, टाइलों की कतारों में दिखते हैं। हर बार एक ही unit, बार बार, कभी सीधा, कभी पलटा हुआ।

तो ऐसा band बनाना असल में एक ही सवाल है, unit की सटीक नकल कैसे बने। कुछ लोग सोचते हैं कि 2 दिशाओं का मतलब 2 अलग आकार। पर पलटा हुआ unit वही आकार है, हर लंबाई वही, बस जगह और दिशा बदली। सभी 5 टुकड़े एक ही आकार के, यही तो band की ख़ूबी है। unit में arms की गिनती 2, और दोनों 25 की। उसे पलटो, तो भी दोनों arms 25 की, और उनके बीच का angle भी वही।

बदलती है बस जगह और मुँह की दिशा, आकार नहीं। unit की सटीक नकल बनाने में क्या क्या लगता है? arms की लंबाई भी वही, और उनके बीच का angle भी वही। इन में से एक भी चूका, तो नकल गलत। arms आसान हैं, compass को arm की लंबाई पर खोलो और नई जगह पर उतारो। compass एक लंबाई याद रखता है, बस यही उसका काम है। पर angle लंबाई नहीं है, compass पर कुछ भी ऐसा नहीं जो angle को याद रखे।

और angle और लंबाई एक दूसरे से बँधे भी नहीं। यहाँ 2 चित्र एक ही angle वाले हो सकते हैं, पर कोई लंबाई साझी नहीं, एक की arms 25, दूसरे की 50। और 2 चित्रों की arms बराबर हो सकती हैं, पर angle अलग। तो नकल को दोनों चाहिए, और angle उठाने का कोई सीधा औज़ार नहीं। कुछ लोग कहेंगे, angle नाप लो और फिर से बना लो। वह protractor वाला जवाब है, और protractor की पढ़ाई हमेशा किसी निशान तक गोल की हुई होती है।

compass से उठाई लंबाई गोल नहीं होती, वह जितनी है उतनी ही जाती है। तो तरीका angle को उठाता नहीं, उसे किसी और चीज़ में बदल देता है। angle के कोने A से एक arc लगाओ, जो दोनों arms को काटे, B पर और C पर। अब B और C के बीच की सीधी दूरी angle की जगह खड़ी है। यह दूरी angle का काम क्यों कर सकती है? क्योंकि A से B और A से C, दोनों एक ही फैलाव से बने, दोनों बराबर, यह isosceles triangle है।

जब 2 sides तय हों, तो बाकी बची लंबाई हर angle के लिए बस एक होती है, और हर लंबाई का बस एक angle। हमारे चित्र में फैलाव 25, और B से C की दूरी ठीक 30। angle और यह दूरी एक दूसरे को तय करते हैं, एक पता हो तो दूसरा अपने आप। और 30 कोई ख़ास संख्या नहीं, बस इस angle और इस फैलाव की दूरी। angle को धीरे धीरे खोलो, और हर बार 25 पर ही काटो।

यहाँ कुल 5 angles, हर अगले angle पर B से दूसरे कटान की दूरी बढ़ी, सभी 4 कदमों पर। यानी 5 अलग angles और 5 अलग दूरियाँ, और हर दूरी से उसका angle वापस मिल जाता है। अब नई जगह पर एक ray खींचो, उसका सिरा X। X से वही फैलाव, 25, का arc लगाओ, जो ray को Z पर काटे। यही फैलाव का दोबारा इस्तेमाल पूरे सबूत की जड़ है।

अब compass को B से C की दूरी पर खोलो, यानी 30। यह दूरी उठाकर Z से उसी arc पर लगाओ, जहाँ कटे वहाँ Y। X से Y तक line खींचो, और angle आ गया। नया angle पुराने के ठीक बराबर, लगभग नहीं, ठीक। और यह घूमा हुआ है, पलटा हुआ नहीं, दोनों एक ही तरफ़ को घूमते हैं। कुछ लोग मानते हैं कि compass ने angle उठाया, पर उसने बस एक लंबाई उठाई, angle बाद में congruence से बना।

एक मज़ेदार बात, B से C की line कभी खींची ही नहीं गई, न Z से Y की। काग़ज़ पर triangles दिखते नहीं, बस उनके कोने लगे हैं। पर सबूत उन्हीं triangles पर चलता है, compass ने उनकी तीसरी लंबाई उठाई है। अब सबूत, A से B और X से Z बराबर, A से C और X से Y बराबर, सब एक ही फैलाव से। और B से C, Z से Y के बराबर, क्योंकि वही दूरी उठाई गई।

देखो, 3 sides बराबर, SSS, तो triangles congruent, और A पर का angle X पर के angle के बराबर। कुछ लोग सोचते हैं कि सभी 3 sides उठानी पड़ेंगी। नहीं, 2 तो पहले से बराबर, एक ही फैलाव 4 बार इस्तेमाल हुआ। सफ़र बस एक लंबाई ने किया, B से C वाली, isosceles triangle की यही बचत है। band के उल्टे टुकड़े के लिए Y को ray की दूसरी तरफ़ लगाओ।

angle उतना ही, बस दूसरी ओर मुँह किए, जैसे पलटा हुआ unit। तो दिशा भी तुम्हारे हाथ में, arc पर किस तरफ़ निशान लगाते हो, बस उसी से। नकल जाँचनी हो, तो compass को B से C पर रखो, फिर Z से Y पर। दोनों बार दूरी 30, और दोनों जगह फैलाव 25, तो नकल पक्की। क्या फैलाव कोई ख़ास होना चाहिए? कोई भी चलेगा, फैलाव 50 पर इसी angle की दूरी 60, और फैलाव 10 पर 12।

यहाँ 3 फैलाव, 1 ही angle, फैलाव तुम्हारी मर्ज़ी। पर शर्त एक है, दोनों जगह फैलाव वही हो। मान लो A पर 25 लिया, X पर 50, और 30 की दूरी उठाई। तो angle छोटा बनेगा, गलत angle, क्योंकि बड़े arc पर वही दूरी कम घुमाव घेरती है। और X पर 14 लिया, तो arc की पूरी चौड़ाई बस 28, 30 की दूरी उस पर बैठती ही नहीं, कोई angle नहीं बनता।

तो पूरा तरीका 5 कदम में। पहला, दिया हुआ angle, कोना A, और पास में एक ray, सिरा X, दूसरा, A से arc, जो arms को B और C पर काटे। तीसरा, X से वही arc, ray पर Z, चौथा, B से C की दूरी उठाकर Z से लगाओ, कटान Y। और आख़िरी, X से Y तक line। अब असली इनाम। एक नियम यह है, कोई transversal 2 lines को काटे, और corresponding angles बराबर हों, तो वे lines parallel होती हैं।

तो angle की नकल बना सकना, parallel line खींच सकना ही है। एक line m, और उससे बाहर एक बिंदु B, जिससे होकर m की parallel line चाहिए। B से होकर एक तिरछी line l खींचो, जो m को A पर काटे, यह transversal है। हमारे चित्र में B, A से transversal पर 100 दूर, यानी 4 फैलाव। A से 25 का arc, जो m को C पर और l को D पर काटे।

C और D के बीच दूरी फिर 30, यानी वही पुराना angle। यानी transversal और m के बीच का angle, वही जिसकी नकल B पर चाहिए। B से वही 25 का arc, जो l को F पर काटे, ऊपर की ओर, नीचे नहीं। C से D की दूरी उठाकर F से उसी arc पर लगाओ, कटान E। B से E तक line खींचो, उसका नाम n। यह वही नकल वाला तरीका है, बस नया सिरा B और नई ray, transversal का ऊपर वाला हिस्सा।

B पर का angle A पर के angle के बराबर, और उसी तरफ़ खुलता है, corresponding होने का मतलब यही है। उल्टी तरफ़ खुलती नकल corresponding angle नहीं होती, इसीलिए F ऊपर की ओर लिया। तो n, m के parallel है। line n पर 41 बिंदु जाँचे गए, सब के सब m से 96 ऊपर, एक भी m पर नहीं। n और m, दोनों एक ही दिशा में, पर अलग lines, कहीं मिलती नहीं।

और यह देखकर नहीं, गिनकर जाँचा, हर बिंदु की ऊँचाई वही। कुछ लोग मानते हैं कि parallel का मतलब बराबर दूरी, तो यह तरीका दूरी नापता होगा। पर किसी कदम ने बीच की दूरी नहीं नापी, arcs कुल 8, सब एक फैलाव से, और उठाई दूरियाँ कुल 4, सब एक ही 30। और 96 की दूरी न फैलाव है न उठाई दूरी, वह बस B की जगह का नतीजा है।

B को transversal पर 1, 2 या 5 फैलाव दूर रखो। बीच की दूरी हर बार अलग, 24, फिर 48, फिर 120, पर तरीका वही, और दूरी किसी ने नहीं नापी। यानी दूरी तरीके का हिस्सा नहीं, बस नतीजा। parallel lines अक्सर set square को खिसकाकर बनाई जाती हैं। यहाँ बस compass और सीधी पट्टी, और वही corresponding angles वाली शर्त, और नतीजा सटीक। set square भी असल में एक angle को ही खिसकाता है, यहाँ वही angle compass से उठाया जाता है।

अब तुम्हारी बारी, band बनाओ, पहले unit, फिर उसी की arms और angle उठाकर अगला टुकड़ा, उल्टा रखकर। अब 5 टुकड़े, एक ही आकार, 2 दिशाएँ। हर टुकड़े के लिए फिर वही, एक फैलाव, एक उठाई दूरी। और एक तारा, बीच से निकलती पतली पंखुड़ियाँ, उसमें parallel जोड़ियाँ ढूँढो। हर जोड़ी को इसी तरीके से बनाओ, एक angle की नकल, और line। पहले ढाँचा, फिर पंखुड़ियाँ, और आख़िर में सहायक lines मिटाओ।

compass लंबाई उठाता है, angle नहीं। एक फैलाव से arms काटो, तो बीच की दूरी angle की जगह ले लेती है। वही फैलाव नई जगह, वही दूरी, तो SSS से angle ठीक वापस। फैलाव कोई भी, पर दोनों जगह एक। corresponding angle की नकल, और parallel line तैयार, बिना कोई दूरी नापे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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