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Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

ऐसे भाग जो कभी ख़त्म नहीं होते

Dividing decimals13 मिनट

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10 ÷ 3: हर कदम पर बचा 1, और बचा वही तो अगला कदम भी वही - इसलिए 3.333… कभी खत्म नहीं होता। 1 ÷ 7 में बचे 3, 2, 6, 4, 5, 1 घेरे पर घूमते हैं, और 0.142857 दोहराता है।

मुख्य idea

जो भाग कभी ख़त्म नहीं होता, वह धैर्य की हार नहीं — यह ऐसी चीज़ है जिसका फ़ैसला आप ऊबने से बहुत पहले कर सकते हैं। हर step पर बचा हुआ (शेष) उस संख्या से छोटा होता है जिससे आप भाग दे रहे हैं, इसलिए गिने-चुने शेष ही कभी आ सकते हैं; और जिस पल उनमें से कोई दूसरी बार आता है, उसके बाद का हर step दोहराने के लिए बँध जाता है, हमेशा के लिए। यही एक अवलोकन समझाता है कि दस भाग तीन फ़ौरन एक ही शेष पर क्यों अटक जाता है, एक भाग सात को घूमकर लौटने में छह steps क्यों लगते हैं, और जो छह अंक वह देता है, उन्हें गुणा करना शुरू करते ही वे इतना अजीब बर्ताव क्यों करते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • long division को इतनी दूर तक चलाइए कि कोई शेषफल फिर से आता दिखे
  • बिना calculator का सहारा लिए समझाइए कि कुछ भाग ख़त्म क्यों नहीं हो सकते
  • सिर्फ़ भाजक से बताइए कि दोहराने वाला खंड ज़्यादा-से-ज़्यादा कितना लंबा हो सकता है
  • एक भाग सात के शेषफलों की कड़ी का पीछा कीजिए और उसे quotient के अंकों से जोड़िए
  • बताइए कि 142857 को सात तक की संख्याओं से गुणा करने पर क्या होता है
  • chapter में ज़िक्र किया गया 1927 का अनुमान बताइए और यह कि वह अब भी प्रमेय (theorem) क्यों नहीं है
  • बताइए कि कौन-से हर ख़त्म होने वाला decimal देते हैं, और उसे दस के गुणनखंडों से जोड़िए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
remainderlong division के किसी step पर जो बच जाता है, हमेशा भाजक से छोटाशेषफल§4.3 में छपा, Part II, p.85
divisorवह संख्या जिससे भाग देते हैं, जिसका आकार तय करता है कि कितने शेषफल मुमकिन हैंभाजक§4.3 में छपा, Part II, pp.74–75, 84
quotientवह जवाब जो अंक-दर-अंक बन रहा हैभागफल§4.3 में छपा, Part II, pp.84–86
cycleउस तरीक़े के लिए किताब का शब्द जिससे शेषफल और quotient के अंक दोनों घूमकर लौटते हैंचक्र§4.3 में छपा, Part II, p.85
repeating blockअंकों की वह लड़ी जो घूमकर लौटती है, किताब के अपने वाक्यांश मेंपुनरावर्ती खंड§4.3 में छपा, Part II, p.86
cyclic numberऐसी संख्या जिसे गुणा करने पर उसके अंक बस घूम जाते हैंचक्रीय संख्याउद्धरण चिह्नों में, §4.3 में छपा, Part II, p.86
conjectureऐसा अनुमान जो रखा तो गया है पर साबित नहीं हुआअनुमान§4.3 में छपा, Part II, p.86
decimal formquotient को बिंदु के साथ लिखने के लिए chapter का शब्ददशमलव रूप§4.3 में छपा, Part II, p.85
regroupकिसी स्थान की एक इकाई को नीचे वाले स्थान की दस इकाइयों से बदलना; यहाँ यही वह चीज़ है जो कभी नहीं रुकतीपुनःसमूहन करना§4.3 में छपा, Part II, pp.84–85
Thousandthsबिंदु के दाईं ओर तीसरा स्थान; chapter एक और आगे, TenThousandths (दस-सहस्रांश) तक जाता हैसहस्रांश§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83; Does This Ever End? के भीतर यह Step 4 पर, p.85 पर, आता है, p.84 पर नहीं
non-terminating decimalकभी ख़त्म न होने वाले quotient का बाद की कक्षाओं वाला मानक नामअनवसानी दशमलवइस chapter में नहीं छपा — chapter ऐसे quotients का लंबा वर्णन करता है और उनका नाम बाद की कक्षा पर छोड़ देता है
recurring decimalउसी चीज़ का बाद की कक्षाओं वाला दूसरा मानक नामआवर्ती दशमलवइस chapter में नहीं छपा; किताब सिर्फ़ इतना कहती है कि अंक एक चक्र में घूमकर लौटते हैं
pigeonhole argumentsection 8 वाले गिनती के step का नाम — इस पाठ का शब्दकबूतरखाना तर्कइस पाठ का शब्द; यह तर्क chapter में नहीं छपा

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "यह कभी ख़त्म नहीं होता क्योंकि calculator में जगह ख़त्म हो गई।" calculator में कितनी जगह है, इसका इससे कोई लेना-देना नहीं। किताब की दलील शेष के बारे में है: हर step पर वह एक है, और एक हर बार आने पर एक ही तरह बर्ताव करता है।
  • "यह कभी ख़त्म नहीं होता, तो किसी को नहीं पता कि अंक क्या हैं।" अंक पूरी तरह तय हैं और pattern छोटा है। ख़त्म न होना और पता न होना दो अलग बातें हैं।
  • "क़िस्मत अच्छी हुई तो यह आगे जाकर रुक भी सकता है।" नहीं — एक बार कोई शेष दोबारा आ गया, तो वहाँ से आगे का हिसाब उसके पहली बार आने के बाद वाले हिसाब की हूबहू नक़ल है, इसलिए वह हमेशा के लिए बँध गया। यही वह step है जिसे chapter देखता तो है पर साबित नहीं करता, और section 8 इसे देता है।
  • "जो भी भाग नहीं रुकता, वह दस बटा तीन की तरह एक step के बाद दोहराता है।" दस बटा तीन एक अंक के खंड से दोहराता है; एक बटा सात को छह चाहिए; एक बटा सत्रह को कहीं ज़्यादा। लंबाई बदलती है, और उसकी सीमा भाजक तय करता है, लंबाई ख़ुद भाजक तय नहीं करता।
  • "142857 जादू है।" यह एक बटा सात का दोहराने वाला खंड है, और इसके घूमे हुए रूप वही छह अंक हैं जो चक्र के किसी दूसरे बिंदु से शुरू किए गए हैं। इसके बारे में जो कुछ भी चौंकाता है, वह उसी चक्र से आता है जो व्याख्या अभी-अभी बना चुकी है।
  • "अनुमान वह तथ्य है जो अभी लिखा नहीं गया।" 1927 वाला अनुमान, Part II p.86 पर, एक सदी की मेहनत के बाद भी नहीं टूटा। इसे वैसे ही इस्तेमाल कीजिए जैसे किताब करती है — इस सबूत की तरह कि गणित की खुली सीमाएँ कक्षा 7 के अंकगणित से भी छुई जा सकती हैं।
  • "रुकने वाले decimals और दोहराने वाले decimals दो बेमेल क़िस्में हैं।" Part II p.87 वाला panel इनके बीच पुल है: फ़ैसला भाजक के गुणनखंड करते हैं, और दस दो और पाँच से बना है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,671 शब्द

यहाँ 10 को 3 से भाग करो, और एक सीधा सवाल। क्या यह भाग कभी खत्म होगा? कैलकुलेटर नहीं, एक एक कदम, सिर्फ़ लंबा भाग, और हर कदम पर बचे हुए पर नज़र। पहले Tens, सिर्फ़ 1 Ten, 3 में बाँटो तो हर एक को 0, 1 बचा। वह 1 Ten, 10 Ones बन गया, हर एक को 3, और 1 बचा। पूरा हिस्सा 3, पर 1 अब भी बचा है।

बचा 1 One, दशांश में बदलो, 10 दशांश, हर एक को 3, 1 बचा। फिर से, 10 शतांश, हर एक को 3, 1 बचा। फिर 10 सहस्रांश, हर एक को 3, 1 बचा, और अगली जगह में फिर 10, हर एक को 3, 1 बचा। इस कदम पर जवाब, 3 दशमलव 3 3 3 3, और बचा फिर से 1। और 20 कदम तक चलाओ, हर कदम पर बचा, 1, और शून्य एक बार भी नहीं।

बचा वही, भाजक वही, तो अगला कदम भी वही, 10 बनाओ, 3 में बाँटो, हर एक को 3, 1 बचा। जो कदम खुद को ही लौटा देता है, वह कभी रुक नहीं सकता। कुछ लोग सोचते हैं, स्क्रीन पर जगह खत्म हो गई, इसलिए अंक चलते रहे। पर यहाँ कोई स्क्रीन है ही नहीं, सिर्फ़ एक बचा हुआ 1, जो हर बार लौट आता है। जाँच करो, 3 दशमलव 3 3 3 3 गुणा 3, बराबर 9 दशमलव 9 9 9 9, 10 से 0 दशमलव 0 0 0 1 कम।

अब 1 से 20 तक, कितने भी 3 हों, गुणा 3 करके 10 एक बार भी नहीं मिला। इसलिए जवाब के आगे बिंदु-बिंदु लगाते हैं, यह आलस नहीं, यह सच है कि अंक कभी खत्म नहीं होते। पर खत्म न होना और पता न होना, अलग बातें हैं, हर अंक पता है, हर अंक 3। अब 10 को 9 से भाग, पूरा हिस्सा 1, बचा 1। फिर हर कदम, 10 बनाओ, हर एक को 1, 1 बचा, और जवाब में दशमलव के बाद 1 ही 1, बिना रुके।

दोहराव वाला ब्लॉक, सिर्फ़ 1 अंक का। और जाँच में वही कहानी, 1 दशमलव 1 1 1 1 गुणा 9, बराबर 9 दशमलव 9 9 9 9, 10 तक कभी नहीं पहुँचता। अब 100 को 11 से भाग, पूरा हिस्सा 9, बचा 1। बचे हुए बारी बारी आते हैं, 10, 1, फिर वही। जवाब 9 दशमलव 0 9 0 9, बिंदु-बिंदु, यहाँ ब्लॉक 2 अंकों का, शून्य और 9। यानी हर न खत्म होने वाला भाग एक ही कदम में नहीं दोहराता, ब्लॉक की लंबाई बदलती है।

अब असली खेल, 1 को 7 से भाग, पूरा हिस्सा 0, बचा 1। पहले 10 दशांश, हर एक को 1, 3 बचा। फिर 30 शतांश, हर एक को 4, 2 बचा, 20 सहस्रांश, हर एक को 2, 6 बचा। फिर अगली जगह में 60, हर एक को 8, 4 बचा, उसके बाद 40, हर एक को 5, और बचा भी 5। और फिर 50, हर एक को 7, 1 बचा।

बचा फिर से 1, ठीक शुरुआत वाला। बचे हुओं की कड़ी देखो, 3, 2, 6, 4, 5, 1। देखो, 6 कदम में वापस 1 पर, और 1 से 6 तक का हर बचा, ठीक एक बार आया। और जवाब के अंक, 0 दशमलव 1 4 2 8 5 7। इस कड़ी को पंक्ति में नहीं, घेरे में देखो, 1 से 3, 3 से 2, फिर 6, 4, 5, और वापस 1।

कदम 7 से 12 तक चलाओ, हर कदम पहले वाले की नकल, अंक फिर से 142857। घेरे पर घूमने वाला कभी बाहर नहीं निकलता, इसलिए यह भाग कभी खत्म नहीं होगा। हर अंक, पिछले बचे से तय होता है, बचा 3 हो, तो 30, और अंक हमेशा 4। इसलिए अंदर एक और घेरा, अंकों का, 1, 4, 2, 8, 5, 7, और दोनों घेरे मिलकर घूमते हैं। इसी कारण, 1 बटा 7, बराबर 142857 बटा 999999, ब्लॉक के नीचे उतने ही 9 जितने अंक।

घेरा पता हो, तो कोई भी अंक बिना भाग किए बता सकते हो। यहाँ 1 बटा 7 का 100वाँ अंक, 100 में 6 के 16 पूरे चक्कर, और 4 कदम आगे। और 142857 का चौथा अंक, 8, तो 100वाँ अंक भी 8। और 10 को 3 से भाग करने पर, 1000वाँ अंक, बिना सोचे, 3। पर शायद आगे कहीं किस्मत से रुक जाए? नहीं, एक बार बचा दोहराया, तो उसके बाद का हर कदम, पहली बार की पूरी नकल।

भाजक 2 से 99, और भाजक से छोटे हर भाज्य, कुल 4851 भाग, दोहराव के बाद के 10 अंक, बेमेल 0 बार। अब गिनती का तर्क, 7 से भाग में बचा, 7 से छोटा ही हो सकता है, शून्य छोड़कर सिर्फ़ 6 मुमकिन। अब 7 कदम, और सिर्फ़ 6 डिब्बे, तो किसी डिब्बे में 2 बार आना ही पड़ेगा। देखो, 1 बटा 7 में यही हुआ, सातवें कदम का बचा 3, जो पहले कदम का भी है।

यानी या तो बचा शून्य होगा और भाग खत्म, या कोई बचा लौटेगा और चक्र शुरू। इसलिए ब्लॉक कभी भाजक से 1 कम से ज़्यादा लंबा नहीं होता। भाजक 2 से 399 तक, कुल 79401 भाग, इस सीमा को तोड़ा 0 बार। यहाँ 7 के लिए सीमा 6, और 1 बटा 7 का ब्लॉक पूरा 6, सीमा तक पहुँचा। पर हर भाजक सीमा तक नहीं जाता, 1 को 13 से भाग, 0 दशमलव 0 7 6 9 2 3, ब्लॉक 6 अंक, सीमा 12 नहीं।

और 100 से नीचे, सीमा तक पहुँचने वाले भाजक सिर्फ़ 9, ये हैं, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97। सीमा बताती है कि कितना लंबा हो सकता है, यह नहीं कि कितना लंबा होगा। अब इन 6 अंकों को एक संख्या मानो, 142857, और गुणा करो। गुणा 2, 285714, और गुणा 3, 4 2 8 5 7 1। अंक वही, बस घूम गए, जैसे घेरे पर कहीं और से पढ़ना शुरू किया।

गुणा 4, 571428, गुणा 5, 714285, गुणा 6, 857142। अब 6 गुणनफल, और घुमाने के 6 तरीके, हर घुमाव ठीक एक बार। और गुणा 7? जवाब 999999, कोई घुमाव नहीं, सारे 9। क्योंकि 1 बटा 7, गुणा 7, बराबर 1, और 0 दशमलव 9 9 9 9 9 9 बिंदु-बिंदु, 1 का ही दूसरा रूप। घुमाव क्यों, 2 को 7 से भाग, यह घेरे पर बचे 2 से शुरू होता है, ब्लॉक 285714।

देखो, 3 को 7 से भाग, 428571, और 6 को 7 से भाग, 857142, वही घेरा, बस अलग जगह से प्रवेश। तो 142857 जादू नहीं, यह 1 बटा 7 का ब्लॉक है, और सारी हैरानी उसी घेरे से आती है। अब 1 को 17 से भाग, और ब्लॉक की लंबाई खुद गिनो। जवाब, 0 दशमलव 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7, बिंदु-बिंदु।

ब्लॉक 16 अंकों का, यानी 17 से 1 कम, सीमा तक, और पहला अंक 0, जिसे गिनती में छोड़ना नहीं। यहाँ 7 का ब्लॉक 6, 17 का 16, भाजक बड़ा, तो चक्र भी लंबा हो सकता है, पर यह ज़रूरी नहीं, 13 को देखो। एक और बात, भाजक अभाज्य हो, तो ब्लॉक की लंबाई, भाजक से 1 कम को पूरा बाँटती है। और 13 का ब्लॉक 6, और 12 को 6 पूरा बाँटता है, 7 का 6, और 17 का 16।

अब 3 से 397 तक, 5 छोड़कर, 76 अभाज्य, अपवाद 0। देखो, 7 और 17 जैसे भाजक, जिनका ब्लॉक सबसे लंबा, कितने हैं? यहाँ 100 से नीचे 9, 1000 से नीचे 60, 10000 से नीचे 467, मिलते ही जा रहे हैं। पर क्या ये कभी खत्म नहीं होंगे, यह एक अनुमान है, जिसका सबूत किसी के पास नहीं। अनुमान का मतलब, लिखा न गया सच नहीं, बल्कि ऐसी बात जिसे अभी सबूत चाहिए, और यह सवाल, कक्षा की गणित से ही शुरू होता है।

अब वे भाग जो खत्म होते हैं, 1 बटा 2, 1 बटा 4, 1 बटा 8, 1 बटा 16। जवाब, 0 दशमलव 5, 0 दशमलव 2 5, 0 दशमलव 1 2 5, 0 दशमलव 0 6 2 5। अगला, 1 बटा 32, 0 दशमलव 0 3 1 2 5, और बिंदु के बाद अंक, 1, 2, 3, 4, 5। और 5 की घातें, 1 बटा 5, 25, 125, 625, जवाब, 0 दशमलव 2, 0 दशमलव 0 4, 0 दशमलव 0 0 8, 0 दशमलव 0 0 1 6।

अगला, 1 बटा 3125, 0 दशमलव 0 0 0 3 2। दोनों तरफ़, जितनी बार 2 या 5 से गुणा, उतने दशमलव अंक। और 2 और 5 ही क्यों? क्योंकि 10, 2 गुणा 5 है, तो 2 या 5 से बना भाजक, 10 की किसी घात में पूरा समाता है। जैसे 1 बटा 8, बराबर 125 बटा 1000, और 1 बटा 16, बराबर 625 बटा 10000। नियम, भिन्न को पहले सरल करो, फिर भाजक में सिर्फ़ 2 और 5 हों, तो भाग खत्म, कोई और गुणनखंड हो, तो चक्र।

अब 1 से 200 तक के भाज्य और भाजक, कुल 40000 भिन्न, अपवाद 0। सरल करना मत भूलो, 3 बटा 6 के भाजक 6 में 3 छिपा है, फिर भी जवाब 0 दशमलव 5, क्योंकि यह 1 बटा 2 है, जबकि 1 बटा 6, 0 दशमलव 1 6 6 6, बिंदु-बिंदु। अब 1 बटा 6 चलाओ, 10 दशांश, हर एक को 1, 4 बचा। फिर 40 शतांश, हर एक को 6, 4 बचा, और फिर वही, हमेशा।

पहला बचा 1 कभी नहीं लौटा, इसलिए पहला अंक 1 चक्र के बाहर, और ब्लॉक सिर्फ़ 1 अंक, 6। देखो, 1 बटा 2 से 1 बटा 20 तक, खत्म होने वाले, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20। यहाँ 19 में से सिर्फ़ 7, बाकी सब चक्र में। अभ्यास, 2 बटा 5, 0 दशमलव 4, 13 बटा 4, 3 दशमलव 2 5, 5 बटा 8, 0 दशमलव 6 2 5।

सब खत्म, क्योंकि 5, 4 और 8 में सिर्फ़ 2 और 5। भाग का भविष्य, बचे हुए पर टिका है, बचा वही, तो अगला कदम वही। भाजक से छोटे बचे ही मुमकिन, इसलिए या तो शून्य आएगा, या कोई बचा लौटेगा। ब्लॉक, भाजक से 1 कम से लंबा नहीं होता, 7 के लिए 6, 17 के लिए 16। और 142857 का घूमना, 1 बटा 7 के घेरे से आता है।

सरल करने के बाद, भाजक में सिर्फ़ 2 और 5, तो भाग खत्म।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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