PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 4, Another Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

1 से छोटे decimal से गुणा करने पर संख्या छोटी क्यों हो जाती है

Multiplying decimals11 मिनट

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गुणा करो तो संख्या बड़ी होती है? 2.25 गुणा 8 = 18, दोनों से बड़ा; 0.25 गुणा 8 = 2, बीच में; 0.25 गुणा 0.8 = 0.2, दोनों से छोटा - अंक वही, सिर्फ़ बिंदु बदला।

मुख्य idea

"गुणा करने से चीज़ें बड़ी होती हैं" गिनती वाली संख्याओं का नियम है, और students इसे दशमलव बिंदु के पार भी ले आते हैं, जहाँ यह सच नहीं रहता। product बढ़ेगा या घटेगा, यह सिर्फ़ एक तुलना तय करती है — हर factor 1 के किस तरफ़ बैठा है — क्योंकि 1 से छोटी किसी चीज़ से गुणा करना दूसरी संख्या का एक हिस्सा लेना है। यही एक विचार उन तीनों स्थितियों को पैदा करता है जिन्हें chapter table में रखता है। यही उस स्थिति को भी पैदा करता है जिसे chapter table में नहीं रखता, और उस जाल को भी जो उसके exercises के नीचे बिछा है: 1 से छोटे दो factors product को 1 से नीचे ज़रूर ले जाते हैं, पर 1 से छोटा एक factor कुछ भी तय नहीं करता।

आपको क्या आना चाहिए

  • गुणा करने से पहले बताइए कि product दोनों factors से बड़ा होगा, दोनों से छोटा होगा, या उनके बीच आएगा
  • तीनों नतीजों को factors की 1 के मुक़ाबले स्थिति से सही ठहराइए
  • समझाइए कि इस सवाल के लिए दशमलव स्थानों की गिनती बेमानी क्यों है
  • पहचानिए कि ठीक 1 के बराबर factor दूसरे factor को जस-का-तस छोड़ देता है, और यह स्थिति chapter की table से बाहर है
  • एक counterexample से दिखाइए कि 1 से छोटा अकेला factor product को 1 से नीचे होने पर मजबूर नहीं करता
  • products की एक सूची में से, कोई गुणा किए बिना, तय कीजिए कि कौन-से 1 से कम हैं
  • decimals का एक ऐसा जोड़ा बताइए जिसका product पूर्ण संख्या हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
productगुणा का नतीजा — यहाँ वह मात्रा जिसकी तुलना उसके factors से हो रही हैगुणनफल§4.2 में छपा, Part II, pp.69–73
counting numberगिनने वाली पूर्ण संख्याओं के लिए किताब का नाम, जिनका गुणा में बर्ताव ही उम्मीद बनाता हैगणन संख्या§4.2 में छपा, Part II, p.72
natural numberउन दो सवालों का शब्द जो पूछते हैं कि product ठीक किसी पूर्ण संख्या पर उतरता है या नहींप्राकृत संख्या§4.2 में छपा, Part II, p.70
decimalबिंदु वाली संख्या, इस chapter में हमेशा धनात्मकदशमलवकक्षा 6; पूरे chapter में इस्तेमाल, Part II, pp.67–96
fractionवह रूप जिस पर chapter छोटे होने को समझाने के लिए लौटता हैभिन्न§4.2 में छपा, Part II, pp.69–72
multiplierवह संख्या जिससे गुणा करते हैं — वही जिसका 1 के मुक़ाबले आकार दिशा तय करता हैगुणक§4.2 में छपा, Part II, p.70
multiplicandवह संख्या जिसे गुणा किया जा रहा हैगुण्य§4.2 में छपा, Part II, p.70
greater than 1chapter की स्थिति वाली table की पहली row की शर्त1 से बड़ा§4.2 में छपा, Part II, p.72
between 0 and 1दूसरी और तीसरी row की शर्त0 और 1 के बीचस्थिति वाली table के भीतर, जो text निकालने पर टूट जाती है — Part II के p.72 पर छपी
tenthsवह स्थान जिसका अंक अकेले यह नहीं बता सकता कि संख्या 1 के किस तरफ़ हैदशांश§4.1 में छपा, Part II, p.67
the pivot at 1वह अकेली तुलना जो नतीजा तय करती है — इस पाठ का शब्द1 का निर्णायक बिंदुइस पाठ का शब्द; किताब स्थितियों को table में रखती है पर विचार को नाम नहीं देती
scaling factorऐसा multiplier जिसे खिंचाव या सिकुड़न की तरह पढ़ा जाए — इस पाठ का शब्दअनुमापन गुणकइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "गुणा से संख्या हमेशा बड़ी होती है।" वह आदत जिसे तोड़ने के लिए पूरा topic है। यह सिर्फ़ तब सच है जब आप 1 से बड़ी किसी संख्या से गुणा करते हैं, और chapter का दूसरा उदाहरण — फिर से अंक 25 और 8, बस बिंदु खिसका हुआ — इसे एक line में तोड़ देता है।
  • "अगर कोई भी factor 1 से कम है, तो product 1 से कम है।" ग़लत, और यही ख़तरनाक वाली है, क्योंकि chapter इसे न कभी कहता है न कभी गिराता है — वह बस संख्याएँ छापकर आगे बढ़ जाता है। 18 × 0.12 में एक factor 1 से छोटा है और product 2 से बड़ा। सच्चा कथन इससे संकरा है: अगर दोनों factors 1 से कम हैं, तो product उन दोनों से कम है और इसलिए 1 से भी कम।
  • "ज़्यादा दशमलव स्थान मतलब छोटी संख्या।" 12.5 में एक दशमलव स्थान है और वह 1 से ऊपर है; 0.9999 में चार हैं और वह उससे नीचे है। स्थानों की गिनती देखने लायक़ चीज़ ही नहीं; 1 से तुलना ही सही चीज़ है।
  • "0.75 से गुणा करने पर छोटा होता है क्योंकि 0.75 छोटी संख्या है।" यह इसलिए सिकुड़ता है कि 0.75 1 से कम है, इसलिए नहीं कि वह छोटा दिखता है। 0.99 भी सिकोड़ता है, लगभग कुछ भी नहीं जितना।
  • "1 के बराबर factor के लिए एक चौथी स्थिति है।" स्थिति तो है, पर वह किताब की table में नहीं है, और वह न सिकुड़न है न खिंचाव — दूसरा factor बिना बदले निकल आता है। इसे छपी हुई row बताने के बजाय सीमा (boundary) की तरह नाम दीजिए।
  • "जिस product में बिंदु हो, वह कभी पूर्ण संख्या नहीं हो सकता।" 2.25 × 8 = 18, Part II p.72 पर, इसे ग़लत साबित करता है, और Part II p.70 सीधे यही सवाल पूछता है।
  • "यह सिर्फ़ decimals की बात है।" यह वही दलील है जो fractions के लिए Why multiplying can make a number smaller में दी गई। chapter साफ़ कहता है कि decimals fractions लिखने का सिर्फ़ एक तरीक़ा हैं, इसलिए यह बर्ताव भी साथ चलना ही चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q9, Figure it Out · 4 Q10

पूरा transcript1,431 शब्द

गिनती की संख्याओं से एक आदत बनी है, गुणा करो, तो संख्या बड़ी होती है। जैसे 3 गुणा 4, यानी 12, दोनों से बड़ा। वहाँ आदत इसलिए सही रहती है, क्योंकि गिनती की हर संख्या 1 या उससे बड़ी होती है। क्या दशमलव के पार भी यह आदत सही रहती है? पहला, 2 दशमलव 2 5 गुणा 8, बराबर 18, दोनों से बड़ा, आदत सही। क्यों, 2 दशमलव 2 5 गुणा 8 का मतलब, 2 पूरे 8, यानी 16, और 8 का चौथाई, यानी 2, कुल 18।

अब वही अंक, बिंदु खिसकाओ, 0 दशमलव 2 5 गुणा 8, बराबर 2। यह 8 से छोटा, पर 0 दशमलव 2 5 से बड़ा, दोनों के बीच। क्योंकि 0 दशमलव 2 5 का मतलब चौथाई, और 8 का चौथाई, 2, पूरा 8 नहीं, सिर्फ़ उसका हिस्सा। और 0 दशमलव 2 5 गुणा 0 दशमलव 8, बराबर 0 दशमलव 2, दोनों से छोटा। यहाँ भी चौथाई, पर अब 0 दशमलव 8 का, यानी 0 दशमलव 2, और वह 0 दशमलव 2 5 से भी छोटा।

अंक वही, 25 और 8, सिर्फ़ बिंदु बदला, और 3 अलग नतीजे, दोनों से बड़ा, बीच में, दोनों से छोटा। तो तय क्या करता है? बिंदु के बाद के अंकों की गिनती नहीं, 12 दशमलव 5 में 1 अंक, और वह 1 से बड़ा, 0 दशमलव 9 9 9 9 में 4 अंक, और वह 1 से छोटा। तय करता है सिर्फ़ एक बात, हर संख्या 1 के किस तरफ़ है।

तो गुणा से पहले बस यह देखो, कौन सी संख्या 1 से ऊपर, और कौन सी नीचे। दोनों 1 से बड़े, जैसे 3 दशमलव 4 गुणा 6 दशमलव 5, बराबर 22 दशमलव 1, दोनों से बड़ा। अंदर देखो, 3 पूरे 6 दशमलव 5, यानी 19 दशमलव 5, और 6 दशमलव 5 का 0 दशमलव 4 हिस्सा, यानी 2 दशमलव 6, जोड़कर 22 दशमलव 1। अंदाज़ा भी, 3 गुणा 6, यानी 18, और 4 गुणा 7, यानी 28, जवाब इनके बीच।

दोनों 0 और 1 के बीच, जैसे 0 दशमलव 7 5 गुणा 0 दशमलव 4, बराबर 0 दशमलव 3, दोनों से छोटा। यह 0 दशमलव 4 का हिस्सा है, तो उससे छोटा, और 0 दशमलव 7 5 का भी हिस्सा, तो उससे भी छोटा। एक 1 से छोटा, एक बड़ा, जैसे 0 दशमलव 7 5 गुणा 5, बराबर 3 दशमलव 7 5, दोनों के बीच। यहाँ इसे 2 तरह से देखो, 5 का हिस्सा, तो 5 से छोटा, और 0 दशमलव 7 5 की 5 प्रतियाँ, तो 0 दशमलव 7 5 से बड़ा, दोनों सच।

वजह, 1 से छोटी संख्या से गुणा करना, किसी चीज़ का एक हिस्सा लेना है। और 0 दशमलव 7 5 गुणा 8, यानी 8 के 4 हिस्सों में से 3, बराबर 6। और किसी चीज़ का हिस्सा, पूरी चीज़ से कम ही होगा। अब देखो, 0 दशमलव 7 5 छोटा दिखता है, इसलिए नहीं घटाता, 1 से नीचे है, इसलिए घटाता है। देखो, 0 दशमलव 9 9 गुणा 50, बराबर 49 दशमलव 5, यानी 50 से सिर्फ़ 0 दशमलव 5 कम, घटा, पर बहुत थोड़ा।

और 1 के ठीक ऊपर, 1 दशमलव 0 1 गुणा 50, बराबर 50 दशमलव 5, बढ़ा, वह भी थोड़ा, 1 के 2 तरफ़, 2 व्यवहार। दोनों 1 से छोटे, तो हिस्से का हिस्सा, दोनों से छोटा। भिन्नों में, 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 5, बराबर 3 बटा 10, यानी 0 दशमलव 3, वही जो 0 दशमलव 7 5 गुणा 0 दशमलव 4। भिन्नों में भी यही, 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 3, बराबर 1 बटा 6, दोनों से छोटा।

दशमलव भिन्न ही हैं, बस लिखने का दूसरा तरीका, इसलिए वही व्यवहार। एक संख्या को खुद से गुणा करो, 0 दशमलव 5 गुणा 0 दशमलव 5, बराबर 0 दशमलव 2 5, घटा। यहाँ 1 दशमलव 5 गुणा 1 दशमलव 5, बराबर 2 दशमलव 2 5, बढ़ा। और 1 के बिल्कुल पास भी, 0 दशमलव 9 गुणा 0 दशमलव 9, बराबर 0 दशमलव 8 1, फिर भी 1 से नीचे। रोज़ की मिसाल, किसी पकवान में 300 ग्राम आटा, आधा बनाना हो, तो 0 दशमलव 5 गुणा 300, यानी 150 ग्राम।

डेढ़ गुना बनाना हो, 1 दशमलव 5 गुणा 300, यानी 450 ग्राम, 1 से नीचे का गुणक घटाता है, ऊपर का बढ़ाता है। और ठीक 1 से गुणा, 1 गुणा 0 दशमलव 4, बराबर 0 दशमलव 4, और 1 गुणा 6 दशमलव 5, बराबर 6 दशमलव 5। दूसरी संख्या जस की तस, न बढ़ी, न घटी, यही सीमा है, इसी के 2 तरफ़ 2 अलग व्यवहार। अब 0 दशमलव 0 1 से 3 तक, 0 दशमलव 0 1 के कदमों पर, सभी 89401 जोड़ियाँ जाँचीं, 1 को छोड़कर।

दोनों बड़े, 40000 जोड़ियाँ, हर बार दोनों से बड़ा, दोनों छोटे, 9801, हर बार दोनों से छोटा। और जहाँ 1 के हर तरफ़ एक संख्या, ऐसी 39600 जोड़ियाँ, हर बार बीच में। पहले अंदाज़ा, फिर गुणा, 0 दशमलव 6 गुणा 0 दशमलव 3, दोनों 1 से छोटे, तो दोनों से छोटा, और सच में 0 दशमलव 1 8। देखो, 4 दशमलव 5 गुणा 1 दशमलव 2, दोनों बड़े, दोनों से बड़ा, 5 दशमलव 4।

यहाँ 0 दशमलव 2 गुणा 9, 1 के हर तरफ़ एक संख्या, तो बीच में, 1 दशमलव 8। अब बिना गुणा किए सोचो, 7 गुणा 0 दशमलव 6, फिर 0 दशमलव 7 गुणा 0 दशमलव 6, फिर 0 दशमलव 7 गुणा 6, और 0 दशमलव 0 7 गुणा 0 दशमलव 0 6। इनमें कौन से 1 से छोटे? जिनमें दोनों 1 से छोटे, वही पक्के तौर पर 1 से छोटे, यानी 0 दशमलव 7 गुणा 0 दशमलव 6 और 0 दशमलव 0 7 गुणा 0 दशमलव 0 6।

और 7 गुणा 0 दशमलव 6, यानी 7 का एक हिस्सा, 7 से छोटा, पर 1 से बड़ा हो सकता है। और 0 दशमलव 7 गुणा 6, यानी 6 का हिस्सा, 6 से छोटा, पर 1 से काफ़ी बड़ा। जाँचो, 4 दशमलव 2, फिर 0 दशमलव 4 2, फिर 4 दशमलव 2, फिर 0 दशमलव 0 0 4 2, यानी 2 जवाब 1 से छोटे। अब एक छोटा रास्ता जो सही लगता है, अगर कोई भी संख्या 1 से छोटी, तो जवाब 1 से छोटा।

क्या यह सही है? अब 18 गुणा 0 दशमलव 1 2, बराबर 2 दशमलव 1 6, जो 1 से बड़ा। देखो, 0 दशमलव 1 8 गुणा 0 दशमलव 1 2, बराबर 0 दशमलव 0 2 1 6, जो 1 से छोटा। दोनों में 0 दशमलव 1 2, जो 1 से छोटा, फिर भी जवाब 1 के 2 अलग तरफ़, एक छोटी संख्या अकेले कुछ तय नहीं करती। वजह वही, दोनों छोटे हों, तो हिस्से का हिस्सा, और वह 1 के किसी हिस्से से भी छोटा।

सही नियम संकरा है, दोनों 1 से छोटे, तो जवाब 1 से छोटा, सभी 9801 ऐसी जोड़ियों में। एक और मिसाल, 1 दशमलव 5 गुणा 0 दशमलव 5, बराबर 0 दशमलव 7 5, जो 1 से नीचे, पर 1 दशमलव 5 गुणा 0 दशमलव 9, बराबर 1 दशमलव 3 5, जो 1 से ऊपर। एक ही छोटी हो, तो कुछ तय नहीं, ऐसी 39600 जोड़ियों में, जवाब कभी 1 से ऊपर, कभी नीचे।

यहाँ 18 गुणा 12, बराबर 216, इससे 6 गुणनफल, 21 दशमलव 6, फिर 2 दशमलव 1 6, फिर 2 दशमलव 1 6, फिर 0 दशमलव 0 2 1 6, फिर 0 दशमलव 0 0 0 2 1 6, और 21 दशमलव 6। और 1 से छोटे सिर्फ़ 2, 0 दशमलव 1 8 गुणा 0 दशमलव 1 2, और 0 दशमलव 0 1 8 गुणा 0 दशमलव 0 1 2, दोनों में दोनों संख्याएँ 1 से छोटी।

आखिरी सवाल, क्या दशमलव वाला गुणा, पूरी संख्या दे सकता है? हाँ, 2 दशमलव 2 5 गुणा 8, बराबर 18। और भी, 0 दशमलव 5 गुणा 4, बराबर 2, और 1 दशमलव 6 गुणा 2 दशमलव 5, बराबर 4। और जब दोनों दशमलव हों, तब भी, 2 दशमलव 5 गुणा 0 दशमलव 4, बराबर 1, और 1 दशमलव 2 5 गुणा 0 दशमलव 8, बराबर 1। क्यों पूरा 1? क्योंकि 2 दशमलव 5 यानी 5 बटा 2, 0 दशमलव 4 यानी 2 बटा 5, और 5 बटा 2 गुणा 2 बटा 5, पूरा 1, एक दूसरे को काट देते हैं।

गुणा से संख्या बड़ी होगी, यह सिर्फ़ 1 से बड़ी संख्याओं का नियम। और दशमलव का गुणा पूरी संख्या भी दे सकता है। तय करता है 1, बिंदु के बाद के अंकों की गिनती नहीं। अब 1 से छोटी संख्या से गुणा, यानी हिस्सा लेना, इसलिए घटता है। दोनों बड़े, तो दोनों से बड़ा, दोनों छोटे, तो दोनों से छोटा, एक एक, तो बीच में। गुणा से पहले अंदाज़ा लगाओ, जवाब बढ़ेगा, घटेगा, या बीच में आएगा।

एक छोटी संख्या अकेले जवाब को 1 से नीचे नहीं ले जाती।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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