PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 4, Another Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

जब भाजक में दशमलव हो तब भाग

Dividing decimals15 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

15 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 7 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

126 किलोमीटर, 2.5 घंटे: चाल 126 ÷ 2.5, पर 2.5 हिस्सों में कोई बाँट नहीं सकता। दोनों को 10 से गुणा करो: 1260 ÷ 25 = 50.4 किलोमीटर प्रति घंटा।

मुख्य idea

बिंदु वाला भाजक वह अकेली स्थिति है जिस पर place-value वाला पुनःसमूहन पकड़ नहीं बना पाता: यह पूछना कि कितने 2.5, 126 के भीतर समाते हैं, पूरी तरह जवाब देने लायक़ सवाल है, पर एक सैकड़े को ढाई बराबर हिस्सों में बाँटकर नतीजा स्थान-दर-स्थान दर्ज करना ऐसा क़दम नहीं जो प्रक्रिया उठा सके। इसलिए chapter प्रक्रिया को आगे नहीं बढ़ाता; वह रुकावट को हटा देता है। भाजक और भाज्य दोनों को दस की एक ही घात से गुणा कीजिए और quotient ज़रा भी नहीं हिलता, क्योंकि तुल्य fraction हमेशा से बस यही रहा है, और भाजक long division के लिए तैयार पूर्ण संख्या बनकर आ जाता है। यही क़दम chapter के दूसरे अचंभे को भी समझाता है: 1 से छोटी किसी चीज़ से भाग देना यह पूछना है कि छोटे आकार के कितने टुकड़े भीतर समाते हैं, इसलिए जवाब का उस संख्या से बड़ा निकलना तय है जिससे आपने शुरू किया।

आपको क्या आना चाहिए

  • decimal भाजक वाले भाग को पूर्ण-संख्या भाजक वाले भाग में बदलिए
  • भाजक में स्थानों की संख्या से बताइए कि दस की कौन-सी घात से गुणा करना है
  • इस गुणा को रटे हुए खिसकाव से नहीं, fractions की तुल्यता से सही ठहराइए
  • decimal भाजक वाला quotient निकालिए और उसे संदर्भ में समझाइए, जैसे औसत चाल
  • बताइए कि quotient अपने भाज्य से कब बड़ा होता है, और कब छोटा
  • वह भाजक पहचानिए जिसके लिए quotient और भाज्य बराबर होते हैं, और समझाइए कि chapter का शुरुआती वाक्य इसे क्यों नहीं समेटता
  • पूर्ण संख्याओं के एक जाने हुए भाग से quotients का पूरा परिवार निकालिए
  • अलग-अलग तरह से लिखे दो भागों को एक ही भाग पहचानिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
divisorवह संख्या जिससे भाग देते हैं — इस topic में वही जिसमें बिंदु हैभाजक§4.3 में छपा, Part II, pp.74–75, 84
dividendवह संख्या जिसे भाग दिया जा रहा हैभाज्य§4.3 में छपा, Part II, p.86
quotientभाग का जवाबभागफल§4.3 में छपा, Part II, pp.84–87
decimal divisorchapter के इस हिस्से के शीर्षक वाला वाक्यांशदशमलव भाजक§4.3 में छपा, Part II, p.84
counting numberगिनने वाली पूर्ण संख्याओं के लिए किताब का नाम; भाजक को इसी में बदला जाता हैगणन संख्या§4.3 में छपा, Part II, p.84
fractionवह रूप जिसमें भाजक को उलटने से पहले लिखा जाता हैभिन्न§4.3 में छपा, Part II, p.84
equivalent fractionअलग दिखने वाला fraction जो वही मात्रा बताता है — दोनों संख्याओं को गुणा करने की इजाज़त यहीं से मिलती हैतुल्य भिन्न§4.3 में छपा, Part II, pp.76, 80
reciprocalअंश और हर की अदला-बदली से मिलने वाला fractionव्युत्क्रम§4.3 में छपा, Part II, p.74
average speedतय की गई दूरी भाग लिया गया समय, वह मात्रा जो Example 12 पूछता हैऔसत चाल§4.3 में छपा, Part II, p.84
long divisionवह प्रक्रिया जिसे यह गुणा फिर से उपलब्ध कराता हैदीर्घ भाग§4.3 में मोटे अक्षरों में छपा, Part II, p.78
perimeterपूरी सीमा की लंबाई, जिसे एक exercise में भुजाओं की संख्या से भाग दिया जाता हैपरिमाप§4.3, "Figure it Out" Q7 में छपा, Part II, p.87
scaling both sidesभाजक और भाज्य दोनों को दस की एक ही घात से गुणा करना — इस पाठ का शब्ददोनों को समान रूप से गुणा करनाइस पाठ का शब्द; किताब यह क़दम उठाती है पर उसे नाम नहीं देती

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "भाजक का बिंदु खिसकाओ और भाज्य को वैसा ही छोड़ दो।" यह नियम का सबसे आम ग़लत रूप है और यह जवाब को दस गुना बदल देता है। chapter का तर्क इसे रोकता है: यह क़दम इसलिए जायज़ है कि fraction नहीं बदलता, और fraction तभी नहीं बदलता जब दोनों हिस्सों को गुणा किया जाए।
  • "भाग देने से संख्या हमेशा छोटी होती है।" 128 भाग चार-दशांश 320 है। दिशा इससे तय होती है कि भाजक 1 से ऊपर बैठा है या नीचे, ठीक वैसे ही जैसे Why multiplying by a decimal below 1 shrinks a number में गुणा के लिए।
  • "दो गिनती वाली संख्याओं का quotient हमेशा भाज्य से छोटा होता है।" chapter Part II p.86 वाला उप-शीर्षक इसी से खोलता है और यह पूरी तरह सच नहीं — 1 से भाग देने पर भाज्य बिना बदले लौट आता है। यह कहिए; यह एक line का सुधार है, और यह वही सीमा वाली स्थिति है जिसे Part II p.72 वाली गुणा की table भी छोड़ देती है।
  • "10 से गुणा करना हमेशा काम करता है, तो हर बार 10 ही लो।" दस की कौन-सी घात चाहिए, यह भाजक के दशमलव स्थान तय करते हैं: 1.3 को दस चाहिए, 0.13 को सौ। Example 13 जोड़े में इसीलिए छपा है कि यह दिख सके।
  • "24.6 भाग 1.5 और 2.46 भाग 0.15 अलग सवाल हैं क्योंकि संख्याएँ अलग दिखती हैं।" ये एक ही भाग हैं जो दो बार लिखा गया है, और Q5, Part II p.87 पर, ठीक इसी जोड़े के बारे में पूछता है।
  • "decimal से भाग देना एक ख़ास नियम है जिसे बाक़ियों के साथ रटना है।" यह उस अकेले भाग-नियम तक लौटने का एक रास्ता है जो मौजूद है। Example 13 के बाद chapter का अपना वाक्य कहता है कि पूरा मक़सद गिनती वाली संख्या का भाजक पाना है और फिर पहले की तरह आगे बढ़ना।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q4, Figure it Out · 3 Q5, Figure it Out · 3 Q9, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 4 Q6, Figure it Out · 4 Q8, Figure it Out · 4 Q9

पूरा transcript1,879 शब्द

एक स्कूटर, 126 किलोमीटर का सफ़र, और समय लगा 2 दशमलव 5 घंटे। औसत चाल क्या है, यानी एक घंटे में कितने किलोमीटर? चाल निकालने के लिए दूरी को समय से भाग करते हैं, यानी 126 को 2 दशमलव 5 से। इस भाग का मतलब है, 126 के अंदर 2 दशमलव 5 कितनी बार समाता है। यह सवाल बेमानी नहीं, 10 में 2 दशमलव 5 ठीक 4 बार समाता है।

और 100 में 40 बार, तो जवाब कहीं मौजूद है, बस उस तक पहुँचना है। अब लंबा भाग आज़माओ, पहला कदम है, Hundreds को बराबर हिस्सों में बाँटना। पर कितने हिस्सों में, 2 दशमलव 5 हिस्से तो गिने ही नहीं जा सकते। रुकावट हिसाब में नहीं, हिस्सों की गिनती में है, 2 दशमलव 5 पूरी संख्या नहीं, जबकि 25 पूरी संख्या है। तो तरीका नहीं बदलेंगे, रुकावट हटाएँगे, भाजक को पूरी संख्या बना देंगे।

पहले 2 दशमलव 5 को भिन्न की तरह लिखो, 25 बटा 10। भिन्न से भाग, यानी उसके उल्टे भिन्न से गुणा, और 25 बटा 10 का उल्टा है 10 बटा 25। तो 126 गुणा 10 बटा 25, बराबर 1260 बटा 25। यही बात सीधे देखो, भाज्य और भाजक, दोनों को 10 से गुणा किया। यहाँ 126 बना 1260, और 2 दशमलव 5 बना 25, अब भाजक में कोई दशमलव अंक नहीं।

भाजक अब पूरी संख्या है, तो लंबा भाग अब चल सकता है। अब 1260 को 25 में बाँटो, 1 Thousand, हर एक को 0, 1 बचा, 12 Hundreds, हर एक को 0, 12 बचा। फिर 126 Tens, हर एक को 5, 1 बचा। फिर 10 Ones, हर एक को 0, 10 बचा, बचे 10 Ones को दशांश में बदलो। यानी 100 दशांश, हर एक को 4, और कुछ नहीं बचा।

औसत चाल, 50 दशमलव 4 किलोमीटर प्रति घंटा। जाँच, 50 दशमलव 4 गुणा 2 दशमलव 5, बराबर 126, पूरी दूरी वापस। कितनी बार समाता है, इस नज़र से, पूरे 50 बार, जो बनाते हैं 125। बचा 1 किलोमीटर, और वह 2 दशमलव 5 का 0 दशमलव 4 हिस्सा है, तो कुल 50 दशमलव 4 बार। अब एक जोड़ी, 4 दशमलव 6 8 को 1 दशमलव 3 से भाग, और 4 दशमलव 6 8 को 0 दशमलव 1 3 से भाग।

भाज्य वही, भाजक के अंक वही, फ़र्क बस इतना कि दूसरे भाजक में बिंदु के बाद एक अंक ज़्यादा। देखते हैं कि जवाब भी वही रहता है या नहीं। और 1 दशमलव 3 में बिंदु के बाद 1 अंक, तो दोनों को 10 से गुणा, मिला 46 दशमलव 8 को 13 से भाग। अब बाँटो, 4 Tens, हर एक को 0, 4 बचा, 46 Ones, हर एक को 3, 7 बचा, 78 दशांश, हर एक को 6।

जवाब 3 दशमलव 6, और जाँच, 3 दशमलव 6 गुणा 1 दशमलव 3, बराबर 4 दशमलव 6 8। अब 0 दशमलव 1 3 में बिंदु के बाद 2 अंक, तो दोनों को 100 से गुणा, मिला 468 बटा 13। बाँटो, 4 Hundreds, हर एक को 0, 4 बचा, 46 Tens, हर एक को 3, 7 बचा, 78 Ones, हर एक को 6। जवाब 36, जाँच, 36 गुणा 0 दशमलव 1 3, बराबर 4 दशमलव 6 8।

जवाब अलग, 3 दशमलव 6 और 36, दूसरा पहले का 10 गुना, अंक वही, बिंदु अलग। कितने से गुणा करना है, यह भाजक तय करता है, बिंदु के बाद 1 अंक तो 10, 2 अंक तो 100, 3 अंक तो 1000। हर बार 10 से गुणा करने की आदत गलत, 0 दशमलव 1 3 को 10 से गुणा करो, तो 1 दशमलव 3, अब भी बिंदु वाला। पूरा तर्क एक पंक्ति में, 4 दशमलव 6 8 बटा 0 दशमलव 1 3, बराबर 468 बटा 13, बराबर 36।

बीच वाले कदम में ऊपर और नीचे, दोनों को 100 से गुणा किया, भिन्न वही रहा, बस उसका रूप बदला। पर यह छूट मिली कहाँ से, संख्याएँ बदल दीं, तो जवाब क्यों नहीं बदला? क्योंकि भाग एक भिन्न है, और ऊपर नीचे एक ही संख्या से गुणा करो, तो बराबर भिन्न मिलता है। जाँच के लिए, 1 से 39 तक के सारे जोड़े, 1, 10, 100, 1000 और 10000 से, मामलों की कुल गिनती 7605, और जवाब खिसका 0 बार।

और सिर्फ़ ऊपर वाले को गुणा करो, तो ऐसे मामलों की गिनती 6084, और हर एक में जवाब खिसक गया। सबसे आम गलती, भाजक का बिंदु हटाओ, और भाज्य को वैसा ही छोड़ो। तब 4 दशमलव 6 8 को 13 से भाग, जवाब 0 दशमलव 3 6, असली जवाब से 10 गुना छोटा। यह गलती हमेशा उतनी ही चूकती है जितने से गुणा छोड़ा, 10, 100, 1000, कभी संयोग से भी सही नहीं।

देखो, 1 से 399 तक, 0 से 3 दशमलव अंकों वाले 1440 भाजक, हर एक का बिंदु, ठीक उतनी घात के 10 से हट गया। और एक घात कम से, एक भी भाजक पूरा नहीं बना, यानी गिनती 0। अब एक चौंकाने वाली बात, 128 को 4 से भाग, जवाब 32, 128 से छोटा। अब 128 को 0 दशमलव 4 से, दोनों को 10 से गुणा, 1280 बटा 4, बराबर 320।

भाग किया, और जवाब भाज्य से बड़ा निकला, 320, जो 32 का 10 गुना। तो क्या दशमलव वाला भाजक हमेशा जवाब बड़ा कर देता है? फिर वही सवाल, 0 दशमलव 4 कितनी बार समाता है, 1 में 2 दशमलव 5 बार। तो 128 में, 128 गुणा 2 दशमलव 5, यानी 320 बार। टुकड़ा 1 से छोटा हो, तो ज़्यादा टुकड़े समाते हैं, इसलिए जवाब भाज्य से बड़ा। रोज़ की मिसाल, 2 लीटर पानी, 0 दशमलव 2 5 लीटर वाले कपों में।

भाजक में बिंदु के बाद 2 अंक, तो 100 से गुणा, 200 बटा 25, बराबर 8 कप। भाज्य 2, जवाब 8, छोटे कप, ज़्यादा कप। एक वाक्य अक्सर सुनते हो, गिनती की संख्याओं का भाग, हमेशा भाज्य से छोटा। पर भाजक 1 हो, तो, 128 बटा 1, बराबर 128, वही भाज्य, छोटा नहीं। यहाँ 1 से 199 तक के सारे 39601 जोड़ों में, वाक्य टूटा 199 बार, और हर बार भाजक 1 था।

सही वाक्य, भाजक 1 से बड़ा हो, तब जवाब भाज्य से छोटा। भाजक 1 से बड़ा, तो जवाब भाज्य से छोटा। भाजक ठीक 1, तो जवाब भाज्य के बराबर। भाजक 0 और 1 के बीच, तो जवाब भाज्य से बड़ा। और 1 से 59 तक के भाज्य, और 0 से 2 दशमलव अंकों वाले भाजक, कुल 10443 मामले, नियम सब में सही, और हर हिस्सा कम से कम एक बार आया।

यह तालिका खुद बनाओ, हर हिस्से की एक पंक्ति, कुल 3 पंक्तियाँ। अब 128 बटा 4, 32, 128 बटा 1, 128, और 128 बटा 0 दशमलव 4, 320। गुणा में भी यही बात है, 1 से ऊपर या नीचे, बस दिशा उल्टी। एक और मिसाल, गाड़ी चली 43 दशमलव 5 किलोमीटर, और तेल लगा 2 दशमलव 5 लीटर। एक लीटर में कितना, दोनों को 10 से गुणा, 435 बटा 25।

बाँटो, 4 Hundreds, हर एक को 0, 4 बचा, 43 Tens, हर एक को 1, 18 बचा, 185 Ones, हर एक को 7, 10 बचा। फिर 100 दशांश, हर एक को 4। यानी 17 दशमलव 4 किलोमीटर प्रति लीटर, जाँच, 17 दशमलव 4 गुणा 2 दशमलव 5, बराबर 43 दशमलव 5। अब 2 दशमलव 4 6 को 1 दशमलव 5, फिर 0 दशमलव 1 5, फिर 0 दशमलव 0 1 5 से भाग।

देखो, 10, 100 और 1000 से गुणा करके, 24 दशमलव 6, 246, 2460, सब 15 से। जवाब, 1 दशमलव 6 4, 16 दशमलव 4, 164, हर एक पिछले का 10 गुना। शुरू वाला भाग करके देखो, 24 दशमलव 6 बटा 15, 2 Tens, हर एक को 0, 2 बचा, 24 Ones, हर एक को 1, 9 बचा। फिर 96 दशांश, हर एक को 6, 6 बचा, 60 शतांश, हर एक को 4।

जवाब 1 दशमलव 6 4, और बाकी दोनों जवाब, बिना नया भाग किए, बस बिंदु खिसकाकर। यहाँ 24 दशमलव 6 को 1 दशमलव 5 से भाग, और 2 दशमलव 4 6 को 0 दशमलव 1 5 से भाग, संख्याएँ अलग दिखती हैं, तो जवाब भी अलग? नहीं, दोनों के भाजक को पूरा बनाओ, दोनों बनते हैं 246 बटा 15, यानी 16 दशमलव 4, एक ही भाग, 2 बार लिखा। पर 24 दशमलव 6 को 0 दशमलव 1 5 से भाग, जवाब 164, 10 गुना ज़्यादा, क्योंकि यहाँ सिर्फ़ भाज्य बढ़ा।

एक भाग पता हो, तो पूरा परिवार मिलता है, मान लो, 756 बटा 36, बराबर 21। और 75 दशमलव 6 को 36 से भाग, 2 दशमलव 1, 756 को 3 दशमलव 6 से भाग, 210, 7 दशमलव 5 6 को 0 दशमलव 3 6 से भाग, 21। और 75 दशमलव 6 को 0 दशमलव 0 3 6 से भाग, 2100, 7560 को 3 दशमलव 6 से भाग, 2100, 0 दशमलव 7 5 6 को 36 से भाग, 0 दशमलव 0 2 1।

हर बार सोचो, भाज्य कितना बढ़ा, भाजक कितना बढ़ा, जवाब उसी हिसाब से खिसका। गुणा से भी शुरू कर सकते हो, 156 गुणा 12, बराबर 1872। अब 1872 को 15 दशमलव 6 से भाग, 120, 187 दशमलव 2 को 0 दशमलव 1 2 से भाग, 1560। और 18 दशमलव 7 2 को 1 दशमलव 2 से भाग, 15 दशमलव 6, 1 दशमलव 8 7 2 को 0 दशमलव 0 1 2 से भाग, 156।

भाग को गुणा में बदलकर देखो, 25 को 10, फिर 0 दशमलव 1 0, फिर 0 दशमलव 0 1 से भाग। यानी 25 गुणा 0 दशमलव 1, फिर 25 गुणा 10, फिर 25 गुणा 100, जवाब 2 दशमलव 5, 250, 2500। इन गुणकों में ऐसा सिर्फ़ 1, जो 1 से छोटा, वही जहाँ भाजक 1 से बड़ा है। अब यह ग्रिड देखो, ऊपर 1517, 151 दशमलव 7, 15 दशमलव 1 7, 1 दशमलव 5 1 7, 15170।

बाईं ओर, 37, 3 दशमलव 7, 0 दशमलव 3 7, 0 दशमलव 0 3 7, 370, और हर खाने में ऊपर वाली संख्या बटा बाईं वाली। कुछ खाने भरे हैं, 1517 बटा 37 बराबर 41, 151 दशमलव 7 को 37 से भाग बराबर 4 दशमलव 1, और 1517 को 0 दशमलव 3 7 से भाग बराबर 4100। बाकी खानों के लिए अलग लंबा भाग ज़रूरी नहीं। आखिरी खाना और आखिरी पंक्ति छोड़कर, एक खाना दाईं ओर, भाज्य 10 गुना छोटा, तो जवाब भी 10 गुना छोटा।

एक खाना नीचे, भाजक 10 गुना छोटा, तो जवाब 10 गुना बड़ा, 30 कदमों में एक भी अपवाद नहीं। तिरछी पंक्ति पर, 151 दशमलव 7 को 3 दशमलव 7 से भाग, 15 दशमलव 1 7 को 0 दशमलव 3 7 से भाग, 1 दशमलव 5 1 7 को 0 दशमलव 0 3 7 से भाग, सब में जवाब 41, क्योंकि ऊपर नीचे बराबर घटे। और कोने में, 15170 बटा 370, फिर 41, दोनों 10 गुना बढ़े।

कुल 25 खाने, पर अलग जवाब सिर्फ़ 9, और हर एक, 41 को 10 की किसी घात से गुणा या भाग। देखो, 41 आता है 5 बार, 4 दशमलव 1 और 410, हर एक 4 बार, और 4100, 3 बार। पूरा ग्रिड एक ही भाग से भरा, बाकी सब बिंदु की जगह का खेल। दशमलव वाला भाजक, जगह जगह बाँटने को रोकता है, हिस्से गिने नहीं जा सकते। भाजक में जितने दशमलव अंक, उतनी घात के 10 से, भाज्य और भाजक, दोनों को गुणा करो।

जवाब अपनी जगह रहता है, क्योंकि यह बराबर भिन्न है, सिर्फ़ भाजक बदलना गलत। भाजक 1 से बड़ा, जवाब छोटा, ठीक 1, बराबर, 1 से छोटा, जवाब बड़ा। एक भाग पता हो, तो बिंदु खिसकाकर पूरा परिवार, और पूरा ग्रिड।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab