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Chapter 9 · Symmetry

Angle of symmetry: figure को घुमाकर उसी पर ले आना

Rotational symmetry10 मिनट

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ये काग़ज़ की फिरकी हर fold test में फ़ेल होती है — खड़ा, आड़ा, दोनों diagonal, और असल में कहीं भी कोई line काम नहीं करती। अब तक के हिसाब से ये symmetric नहीं। फिर भी centre पकड़कर इसे चौथाई चक्कर घुमाइए, और ये ठीक वहीं आ जाती है, जहाँ से चली थी।

मुख्य idea

मोड़ना अकेली गति नहीं है जो किसी figure को उसी पर ले आ सके, और काग़ज़ की फिरकी साबित करती है कि दूसरी गति सचमुच एक नया सवाल है, पहले वाले को दूसरे शब्दों में कहना नहीं: वह हर fold test में fail होती है, फिर भी चौथाई घुमाव उसे ठीक वहीं लौटा देता है जहाँ वह थी। घुमावों को मान लेने से एक दूसरा माप ज़रूरी हो जाता है — क्या figure लौटती है यह नहीं, बल्कि कितने angle से — और सारी जानकारी उसी angle में है, लौटने में नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • ऐसी figure का उदाहरण देना जिसकी कोई line of symmetry न हो पर जो घुमाने पर फिर भी अपने ऊपर लौट आए
  • दी गई figure का centre of rotation पहचानना
  • बताना कि angle of symmetry क्या है, और सुझाए गए angle को figure पर जाँचना
  • समझाना कि 360° हर figure का, चाहे कोई भी हो, angle of symmetry क्यों है
  • फिरकी के और square के चारों angles of symmetry की सूची बनाना
  • चौथाई, आधे और तीन-चौथाई घुमाव में square का हर नाम वाला कोना कहाँ जाता है, यह track करना
  • जो figure सिर्फ़ पूरे घुमाव के बाद लौटती है, उसके लिए तय करना कि उसमें rotational symmetry नहीं है, और बताना कि परिभाषा उसे बाहर रखने के लिए ही ऐसे क्यों लिखी गई है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
rotational symmetryउस figure का गुण जो पूरे घुमाव से कम किसी घुमाव में अपने ऊपर लौट आती हैघूर्णन सममिति§9.2, p.230 — वहाँ bold में छपा, और Summary, p.241 में तय
centre of rotationवह तय point जिसके चारों ओर figure घुमाई जाती हैघूर्णन केंद्र§9.2, p.230 — वहाँ bold में छपा
angle of rotational symmetryघुमाव का ऐसा angle जिसके बाद figure बिना छुई हुई दिखेघूर्णन सममिति कोण§9.2, p.230 — वहाँ bold में छपा
angle of symmetryउसी चीज़ का chapter वाला छोटा नामसममिति कोण§9.2, p.230 — वहाँ bold में छोटे रूप की तरह छपा
rotationख़ुद घुमाना, केंद्र के चारों ओरघूर्णन§9.2, pp.230–234 — पूरे हिस्से में इस्तेमाल
quarter turn90° का घुमावचौथाई घुमाव§9.2, p.231 — 90° के बगल में छपा
half turn180° का घुमावआधा घुमाव§9.2, p.231 — 180° के बगल में छपा
full turn360° का घुमावपूरा घुमाव§9.2, p.231 — 360° के बगल में छपा
clockwiseघुमाने की वह दिशा जो हल किया हुआ Example इस्तेमाल करता हैदक्षिणावर्त§9.2, p.232 — Example के हल में कहा गया
imaginary reference linesquare पर जोड़ी गई dashed line ताकि घुमाव दिख ही सकेकाल्पनिक संदर्भ रेखा§9.2, p.231 — figure पर नाम की तरह छपा
trapeziumचार भुजाओं वाली figure जिसकी समांतर भुजाओं की एक जोड़ी होसमलंबइस chapter में नहीं छपा — उस shape के लिए इस व्याख्या का शब्द जिसे किताब सिर्फ़ पट्टी कहती है

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारा नहीं गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "symmetric का मतलब है कि उसकी एक दर्पण line है।" फिरकी वह उलटा उदाहरण है जिससे chapter §9.2 शुरू करता है, और इसी वजह से यहाँ से आगे symmetry शब्द के साथ बताना पड़ता है कि कौन-सी।
  • "अगर figure लगभग वैसी ही दिखे तो कोई भी घुमाव चलेगा।" angle सटीक होना चाहिए। p.231 पर dashed संदर्भ line इसीलिए है कि आँख घुमाए हुए square और बिना छुए square में फ़र्क़ नहीं कर सकती, और लगभग-सही angle figure को साफ़ तौर पर खिसका हुआ छोड़ेगा।
  • "360° को angle of symmetry गिनना एक चालाकी है।" यह एक नतीजा है: पूरा घुमाव हर figure के हर point को वहीं लौटा देता है जहाँ से वह चला था। इसीलिए rotational symmetry की परिभाषा को इसे साफ़ तौर पर बाहर रखना पड़ता है, और section 11 को यह बाहर रखना ज़रूरी महसूस कराना चाहिए, बेवजह की बारीकी नहीं।
  • "सिर्फ़ 360° वाली figure की rotational symmetry की order एक है, इसलिए वह गिनी जाती है।" इस chapter की परिभाषा से नहीं। trapezium वाली पट्टी के बारे में कहा गया है कि उसमें कोई नहीं है।
  • "figure को घुमाना उसे पलटने जैसा ही है।" आधा घुमाव और दर्पण वाला पलटना कुछ figures के लिए एक ही नतीजा देते हैं और कुछ के लिए अलग; trapezium वाली पट्टी ठीक ऐसा मामला है जहाँ पलटना काम करता है और आधा घुमाव नहीं। यहाँ दोनों को अलग रखो — Line symmetry and rotational symmetry are independent of each other इसी अलगाव को अपना पूरा विषय बनाता है।
  • "centre of rotation figure पर चिह्नित होना चाहिए।" उसका होना ज़रूरी है, छपा होना नहीं। chapter student से पूछता है कि square के लिए उसे कहाँ चिह्नित करें।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,575 शब्द

यह एक काग़ज़ की फिरकी है। 4 पंख, सब एक जैसे, एक centre के चारों ओर लगे हुए। इसे आधा मोड़कर देखिए, कि दोनों हिस्से एक-दूसरे पर आते हैं या नहीं। ध्यान से देखिए कि हर पंख, अपने पिछले पंख को centre के चारों ओर चौथाई चक्कर घुमाने से बनता है। 4 पंख, और 4 बार वही चक्कर। खड़ा मोड़ लगाइए, तो दोनों आधे नहीं मिलते। आड़ा मोड़ लगाइए, तो भी नहीं मिलते।

कोने से कोने तक, किसी भी तरफ़: नहीं। असल में, इस पर कहीं भी कोई line काम नहीं करती। इसकी lines of symmetry 0 हैं, एक भी नहीं। अब तक की हर बात के हिसाब से, ये आकृति बिल्कुल भी symmetric नहीं है। फिर भी, इसे ध्यान से देखिए। क्या इसमें सच में कुछ भी बराबर नहीं? तो इसे मोड़ना छोड़िए, और इसे घुमाइए। centre को पकड़कर रखिए, और पूरी फिरकी को एक चौथाई चक्कर घुमाइए।

अब ध्यान से देखिए कि क्या होता है। वो ठीक वहीं आ जाती है, जहाँ से चली थी। हर पंख वहाँ बैठता है, जहाँ उससे पहले वाला पंख था, और तस्वीर ज़रा भी नहीं बदली। ये fold test नहीं है। कुछ भी पलटा नहीं गया, और काग़ज़ मेज़ से उठा ही नहीं। ये एक दूसरा, बिल्कुल अलग तरीक़ा है, जिससे आकृति ख़ुद पर लौट आती है। और इस फिरकी में ये है, जबकि इसकी एक भी fold line नहीं।

घुमाने के लिए एक चीज़ चाहिए, जो मोड़ने में नहीं चाहिए थी: एक बिंदु, जिसके चारों ओर घुमाएँ। फिरकी के लिए, वो वही बिंदु है जहाँ 4 पंख मिलते हैं, और सिर्फ़ वही काम करता है। किसी दूसरे बिंदु के चारों ओर घुमाइए, तो पूरी आकृति खिसककर कहीं और जा गिरती है। centre से ज़रा-सा हटकर, या किसी पंख की नोक पर, 4 दूसरी जगहें आज़माई गईं, और हर बार फिरकी अपनी जगह छोड़कर कहीं और गिरी।

उस स्थिर बिंदु का एक नाम है: centre of rotation। उस पर निशान होना ज़रूरी नहीं। बस उसका होना ज़रूरी है। और square के लिए ये कहाँ होगा? वहाँ, जहाँ square के 2 diagonals एक-दूसरे को काटते हैं, यानी ठीक बीच में, और कहीं नहीं। चौथाई चक्कर काम कर गया। पर उससे छोटा चक्कर? थोड़ा-सा घुमाइए, तो पंख हट जाते हैं, और कुछ भी नहीं मिलता। थोड़ा और घुमाइए, फिर भी पंख अपनी जगहों पर नहीं आते।

घुमाते रहिए, और कुछ भी काम नहीं करता, जब तक ठीक चौथाई चक्कर न हो जाए। तब सब कुछ एक साथ अपनी जगह पर आ बैठता है। छोटे चक्कर को ये पंख ही रोकते हैं। ख़ुद पर लौटने के लिए, हर पंख को वहाँ पहुँचना होगा, जहाँ पहले से कोई पंख है। और सबसे पास वाला पंख चौथाई चक्कर दूर है। एक पंख की नोक, किसी दूसरी नोक पर सिर्फ़ 90, 180 और 270 degree पर गिरती है।

बीच में कहीं नहीं। तो angle लगभग चौथाई नहीं, ठीक चौथाई है। लगभग सही यहाँ ग़लत है, क्योंकि लगभग सही घुमाई गई आकृति देखने में ठीक लगती है, पर वो symmetry नहीं। जिस angle से घुमाने पर आकृति बिल्कुल वैसी ही दिखे, उसे angle of rotational symmetry कहते हैं, या छोटे में, angle of symmetry। और यहाँ एक बड़ा बदलाव है, जिस पर ध्यान देना चाहिए। मोड़ने में सवाल था: line है या नहीं?

जवाब हाँ या ना। घुमाने में सवाल है: कितने angle से? और जवाब एक संख्या है। क्योंकि घुमाना सिर्फ़ पहचाना नहीं जाता, नापा जाता है। और जब आप हाँ-ना के बजाय angles गिनते हैं, तो एक आकृति के कई angles हो सकते हैं, और कितने हैं, ये उस आकृति के बारे में एक जानने लायक़ तथ्य बन जाता है। कोई भी angle गिनने से पहले, एक angle है जो मुफ़्त मिलता है।

किसी भी आकृति को पूरा चक्कर घुमाइए, और उसका हर बिंदु ठीक वहीं लौट आता है, जहाँ से चला था। फिरकी के लिए ये सच है। square के लिए सच है। 3 अलग-अलग sides वाले triangle के लिए सच है, और किसी भी बेतरतीब आकृति के लिए भी। और उस triangle और बेतरतीब आकृति के पास तो बस यही एक है: 360 degree का पूरा चक्कर। तो पूरा चक्कर, हर आकृति का angle of symmetry है, बिना किसी अपवाद के।

यानी वो कभी कोई फ़र्क़ नहीं बताता। वो हर किसी की सूची में है, इसलिए उससे कोई जानकारी नहीं मिलती। ये बात याद रखिए। आख़िर में ये लौटेगी, और तय करेगी कि परिभाषा की सीमा कहाँ खींचनी है। अब फिरकी के angles ठीक से गिनिए। चौथाई चक्कर, यानी 90 degree, काम करता है। आधा चक्कर, यानी 180 degree, भी काम करता है, क्योंकि वो बस 2 बार चौथाई चक्कर है।

3 चौथाई चक्कर भी, यानी 270 degree, जो 3 बार चौथाई चक्कर है। और पूरा चक्कर, 360 degree, जो हम पहले से जानते हैं। कुल 4 angles: 90, 180, 270 और 360। और इनके बीच, कुछ भी नहीं। अब यही square के साथ कीजिए, और इस बार उसके कोनों को नाम दीजिए, ताकि दिखे कि क्या कहाँ जाता है। A ऊपर बाएँ, B ऊपर दाएँ, C नीचे दाएँ, और D नीचे बाएँ।

इस क्रम में पढ़ें, तो ये घड़ी की दिशा में चलते हैं। अब square को घड़ी की उल्टी दिशा में, चौथाई चक्कर घुमाइए। A नीचे बाएँ चला गया। B घूमकर ऊपर बाएँ आ गया। C ऊपर दाएँ है, और D नीचे दाएँ। और अगर घड़ी की दिशा में घुमाते, तो A नीचे नहीं, ऊपर दाएँ जाता। वो एक अलग चक्कर है, इसलिए दिशा एक बार चुनिए, और फिर उसी पर टिके रहिए।

फिर घुमाइए, तो अब ऊपर बाएँ C है। फिर से, तो D। और एक बार और, कुल मिलाकर पूरा चक्कर, तो हर नाम वहीं लौट आता है, जहाँ से चला था। 4 चक्कर, 4 स्थितियाँ, और हर बार square बिल्कुल एक जैसा दिखा। तो square के angles वही 4 हैं, जो फिरकी के। पर square की lines of symmetry 4 हैं, और फिरकी की 0। यानी ये एक ही आकृति के 2 अलग-अलग नाप हैं, ये एक ही नाप को 2 बार गिनना नहीं है।

पिछली बात में एक व्यावहारिक दिक़्क़त छिपी है। नाम हटा दीजिए, और square को चौथाई चक्कर घुमाइए। अब बताइए, कुछ हुआ या नहीं? आप नहीं बता सकते। symmetry का मतलब ही यही है: वो कोई निशान नहीं छोड़ती। पहले और बाद की तस्वीर एक ही है, और कितना भी घूरिए, उन्हें अलग नहीं कर पाएँगे। तो एक side के बीच से बाहर निकलती एक छोटी line खींच दीजिए। कोई गणित नहीं, बस एक निशान।

अब घुमाइए, तो निशान पहले दाएँ था, अब ऊपर है। फिर बाएँ, और फिर नीचे। और चौथी बार घुमाने पर वो फिर दाएँ आ जाता है। square वैसा ही दिखता है, और निशान बताता है कि वो कितना घूमा। जो चक्कर परिभाषा से ही दिखाई नहीं देता, उसे ऐसे देखा जाता है। अब एक आधा चक्कर, जो सिर्फ़ नापा नहीं जाता, बल्कि एक खेल भी जिताता है। 6 by 6 के grid पर एक खेल है।

2 खिलाड़ी बारी-बारी से चलते हैं। एक चाल है: पास-पास के 2 खानों पर एक line खींचना, खड़ी या आड़ी। पूरे grid पर ऐसी कुल 60 चालें हैं। कोई 2 lines एक खाना नहीं बाँट सकतीं, और जो चल न सके, वो हारता है। दूसरे खिलाड़ी के पास हमेशा जीतने का तरीक़ा है, और वो तरीक़ा है आधा चक्कर। पहला खिलाड़ी जो भी line खींचे, दूसरा वही line, grid के बीच के चारों ओर आधा चक्कर घुमाकर खींचता है।

6 सम संख्या है, इसलिए grid का बीच कोई खाना नहीं, बल्कि 4 खानों का साझा कोना है। कोई भी line अपनी ही नक़ल नहीं होती, और उसे छूती भी नहीं। इसलिए जवाब कभी चाल से नहीं टकराता। हर जवाब के बाद पूरा grid फिर symmetric है। तो अगर पहले के पास चाल थी, तो दूसरे के पास भी है। पहला खिलाड़ी ही पहले फँसता है, हर बार। 2000 खेल खेलकर देखे गए, पहला बेतरतीब चलता रहा, और दूसरा हर एक जीता।

पर 5 by 5 पर यही तरीक़ा फ़ेल हो जाता है, क्योंकि वहाँ बीच में एक खाना है, और उस पर बैठने वाली 4 चालें अपनी ही नक़ल से टकराती हैं। अब एक आकृति, जहाँ गिनती अलग निकलती है। इस पट्टी के 2 किनारे parallel हैं, नीचे वाला 8 लंबा, ऊपर वाला 4। और दोनों सिरे अंदर की ओर झुके हैं। इसका centre लीजिए, और इसे आधा चक्कर घुमाइए। ये वही पट्टी उल्टी होकर आती है, चौड़ा किनारा ऊपर।

ये अपनी पुरानी जगह पर नहीं बैठती। एक और आधा चक्कर, और ये लौट आती है। पर वो तो कुल मिलाकर पूरा चक्कर है। तो इस पट्टी का अकेला angle of symmetry 360 degree है। और कुछ काम नहीं करता। और ध्यान दीजिए: इस पट्टी की एक fold line है, बीच से सीधी नीचे। ये बढ़िया पलटती है। बस घूमकर वापस नहीं आती। और यहीं वो बात लौटती है, जिसे याद रखने को कहा था।

पूरा चक्कर हर आकृति की सूची में है। तो जिसका अकेला angle पूरा चक्कर है, उसके पास ऐसा कुछ नहीं, जो बाक़ी सबके पास न हो। इसलिए परिभाषा उसे बाहर रखती है। किसी आकृति में rotational symmetry तब है, जब उसका कोई angle of symmetry, 0 और पूरे चक्कर के बीच हो, इन दोनों को छोड़कर। 0 नहीं, क्योंकि वो कुछ न करना है। पूरा चक्कर नहीं, क्योंकि वो सबके पास है।

इस हिसाब से, फिरकी में rotational symmetry है, और square में भी। पट्टी में नहीं, और 3 अलग sides वाले triangle में भी नहीं। और याद फिरकी को रखिए, क्योंकि उसकी कहीं भी fold line नहीं, फिर भी वो घूमकर लौट आती है। 2 सवाल, 2 जवाब, और कोई एक, दूसरे जैसा नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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