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Chapter 2 · Lines and Angles

Degree: पूरे घुमाव को 360 बराबर हिस्सों में क्यों काटा गया

Measuring angles11 मिनट

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एक angle को दूसरे पर रखकर पता चलता है कि कौन बड़ा है — पर कितना बड़ा, यह नहीं। उसके लिए एक इकाई चाहिए: पूरे चक्कर को 360 बराबर हिस्सों में काटो, और एक हिस्सा 1 degree है। angle नापना, बस हिस्से गिनना है।

मुख्य idea

degree किसी ruler से उधार ली हुई चीज़ नहीं है; वह घुमाव की इकाई है, जो एक पूरे चक्कर को 360 बराबर टुकड़ों में काटकर बनाई जाती है, और उसके बाद किसी angle को नापना बस यह गिनना रह जाता है कि उसमें कितने टुकड़े हैं। संख्या 360 इंसानों का चुनाव है, circles के बारे में कोई तथ्य नहीं — और यह टिकी इसलिए रही कि इसका हिसाब अच्छा बैठता है: यह वह सबसे छोटी गिनती है जिसमें circle के लगभग हर सरल fraction से इकाइयों की पूरी संख्या ही निकलती है। यह बात तुम घर पर इकाई बनाकर ख़ुद साबित कर सकते हो — कागज़ के circle को मोड़ते हुए 180, 90, 45 और 22.5 तक ले जाओ और देखो कि protractor के निशान एक-एक बार आधा करने पर कैसे उभरते आते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि सिर्फ़ तुलना काफ़ी क्यों नहीं है, और संख्या देने से क्या जुड़ता है
  • बताना कि पूरे घुमाव को 360 बराबर हिस्सों में काटकर एक degree कैसे बनती है
  • angle की माप को इकाई हिस्सों की गिनती के रूप में बताना
  • पूरे घुमाव, straight angle और right angle की degree माप बताना, और हर एक को पिछले वाले से आधा करके निकालना
  • 360 के बारे में chapter की ऐतिहासिक सामग्री को दोहराना, जितना पता है उससे ज़्यादा का दावा किए बिना
  • समझाना कि हिसाब के लिहाज़ से 360 सुविधाजनक क्यों है, और भाग देकर इसकी जाँच करना
  • circle को दी गई संख्या के बराबर हिस्सों में काटने पर बनने वाला angle निकालना
  • बार-बार मोड़कर कागज़ का protractor बनाना और उसकी तहों पर label लगाना
  • angle को bisect करने की परिभाषा देना, और मुड़े हुए angle का angle bisector पहचानना
  • मुड़ी हुई तहों को बने-बनाए protractor के निशानों से जोड़ना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
degreeपूरे घुमाव को 360 बराबर हिस्सों में काटकर मिली घुमाव की इकाईअंश§2.9, p.33 — वहीं छपा, चिह्न ° के साथ
unit partउन 360 बराबर हिस्सों में से एक, जिसे गिना जाता हैइकाई भाग§2.9, p.33 — वहीं छपा
angle measureकिसी angle में मौजूद इकाई हिस्सों की संख्याकोण की माप§2.9, p.33 — वहीं छपा
protractorनिशानों वाला औज़ार, 360 हिस्सों वाले पूरे circle के रूप में या 180 वाले आधे circle के रूप मेंचाँदा§2.9, p.34 — वहाँ bold में छपा
semicircleकाटे गए कागज़ के circle का आधा, हाथ से बने protractor का आधारअर्धवृत्त§2.9, p.37 — वहीं छपा
bisecting the angleदिए गए angle को आधा करनाकोण का समद्विभाजन§2.9, p.40 — वहाँ bold में छपा
angle bisectorवह line जो दिए गए angle को आधा करती हैकोण समद्विभाजक§2.9, p.40 — वहाँ bold में छपा, और box के शीर्षक के रूप में
sexagesimalसाठ-साठ में गिनना, जैसे Babylon के गणितज्ञ गिनते थेषष्ठिक§2.9, p.34 — वहीं छपा, ऐतिहासिक हिस्से में
Rigvedaवह प्राचीन ग्रंथ जिसका हवाला chapter 360 तीलियों वाले पहिये के लिए देता हैऋग्वेद§2.9, p.34 — वहीं छपा, मंत्र के हवाले के साथ

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से मिलाकर नहीं देखा गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "circle में 360 degrees इसलिए होते हैं कि circles में ही कोई ख़ास बात है।" chapter यहाँ असामान्य रूप से सीधा है: वजह पूरी तरह पता नहीं है, और व्यावहारिक कारण हिसाब की सुविधा है। जो व्याख्या कोई ज्यामितीय ज़रूरत गढ़ ले, वह p.34 के उलट जाती है।
  • "degree किनारे के साथ की एक लंबाई है।" वह घुमाव की एक मात्रा है। इस तथ्य से सुधारा गया कि उसी angle पर रखा बड़ा बना circle भी वही गिनती देता है — वही तर्क जो Comparing two angles without measuring either of them में भुजा की लंबाई वाले मामले में था।
  • "angle नापने के लिए protractor चाहिए।" उसके लिए एक इकाई चाहिए। §2.9, pp.37–40 का हाथ से बना protractor chapter का प्रदर्शन है कि औज़ार इकाई के ऊपर एक सुविधा है, इकाई का स्रोत नहीं।
  • "हमेशा आधा करते रहने से पूरी संख्याएँ मिलती हैं।" नहीं मिलतीं, और chapter 22.5° और 67.5° तक जाता है और उन्हें decimal के साथ छापता है। उन्हें round मत करो।
  • "Bisect करने का मतलब दो टुकड़ों में काटना है।" इसका मतलब है दो बराबर टुकड़ों में काटना; मोड़ ही बराबरी की गारंटी देता है।
  • "360 को 10 तक की हर संख्या से भाग जाता है।" नहीं जाता — 7 अपवाद है, और chapter यह कहता है। जो व्याख्या अपवाद छोड़ दे, वह ग़लत बात कहती है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,583 शब्द

पिछली बार हमने angles की तुलना सिर्फ़ एक को दूसरे पर रखकर की, और 2 पक्के निशान पाए — straight angle और right angle। आज सवाल एक कदम आगे जाता है। यहाँ 2 जोड़ियाँ हैं। हर जोड़ी में छोटे angle को बड़े पर रखो, vertex पर vertex और arm पर arm। दोनों बार जवाब एक ही आता है — दूसरा angle बड़ा है। पर कितना बड़ा? पहली जोड़ी में फ़र्क थोड़ा सा है, दूसरी में काफ़ी ज़्यादा।

तुलना यह बताती ही नहीं। तुलना बताती है कि कौन बड़ा है। कितना बड़ा, यह जानने के लिए हमें एक इकाई चाहिए — एक छोटा, पक्का टुकड़ा, जिसे गिना जा सके। याद करो, पिछली बार एक पारदर्शी circle को vertex पर रखकर हमने angles की तुलना की थी। इस बार वही circle, घुमाव नापने का पैमाना बनेगा। यहाँ circle का centre, angle के vertex पर रहता है। एक arm से दूसरी arm तक का घुमाव, इसी centre के चारों ओर होता है।

जैसे लंबाई नापने के लिए ruler पर बराबर-बराबर निशान होते हैं, वैसे ही घुमाव नापने के लिए इस circle पर बराबर निशान चाहिए। लंबाई की इकाई भी किसी ने चुनी थी — वो कोई कुदरती नियम नहीं है। घुमाव के लिए भी हमें ऐसे ही एक इकाई चुननी होगी, और सब उसी को मानें। तो पूरे चक्कर को centre पर, 360 बराबर हिस्सों में काटो। ऐसा हर हिस्सा बहुत ही पतला है।

इनमें से एक हिस्सा बाहर निकालो। यही घुमाव की इकाई है — इसे 1 degree कहते हैं, और एक छोटे से गोले के निशान से लिखते हैं। यानी ये 360 बराबर हिस्से, एक के बाद एक जोड़ो, तो ठीक पूरा चक्कर बनता है — न कम, न ज़्यादा। एक बात ज़रूरी है — सारे हिस्से बराबर होने चाहिए। अगर कोई हिस्सा मोटा हो और कोई पतला, तो 2 angles में बराबर हिस्से गिनकर भी वो angles बराबर नहीं निकलेंगे।

अब circle के किनारे पर हर दसवें हिस्से पर उसकी गिनती लिखो — 0 से शुरू करके, फिर 10, फिर 20, और आगे। घूमते-घूमते वापस उसी जगह पहुँचते हो, जहाँ 0 भी है और 360 भी। अब किसी angle को नापने का मतलब है — गिनना, कि उसमें 1 degree वाले कितने हिस्से समाते हैं। यह angle देखो। इसकी दोनों arms मिलाकर इसमें 31 rays हैं, और उनके बीच 30 पतले हिस्से।

तो इस angle का माप 30 degree है। गिनती ही माप है। इसमें कोई जादू नहीं — बस इकाई चुनो, और फिर गिनो। और जब 2 angles साथ-साथ रखो, तो उनके हिस्से भी जुड़ जाते हैं। मसलन 30 हिस्सों के साथ 60 हिस्से रखो, तो पूरा angle 90 हिस्सों का बनता है। अब पहली जोड़ी का फ़र्क गिनो — 10 हिस्से। और दूसरी जोड़ी का — 40 हिस्से। अब हम बता सकते हैं कि कितना बड़ा।

पर यहाँ एक सवाल है। क्या 1 degree, circle के किनारे पर कोई लंबाई है? इसी 30 degree वाले angle पर, एक छोटा circle रखो, और एक बड़ा। बड़े circle पर किनारे का टुकड़ा लंबा है, छोटे पर छोटा। पर हिस्सों की गिनती दोनों पर 30 ही है। हमने 200 अलग-अलग नाप के circles आज़माए — हर एक पर गिनती 30, जबकि किनारे की लंबाई 200 की 200 बार अलग निकली।

इसलिए degree लंबाई नहीं, घुमाव की इकाई है — ठीक वैसे ही, जैसे arms की लंबाई से angle नहीं बदलता। अब अपने पुराने 2 निशानों की गिनती निकालो। शुरुआत पूरे चक्कर से करो। पूरा चक्कर, यानी full turn, 360 degree का है। यह हमारी गिनती की शुरुआत है। और straight angle उसका आधा है, यानी 180 degree। गिनो, तो आधे चक्कर में ठीक 180 हिस्से हैं। फिर right angle, straight angle का आधा है — तो 90 degree।

ये 3 गिनतियाँ, हर बार आधा करके आईं, किसी ने रटे नहीं। जाँच भी कर लो। पिछली बार full turn में 4 right angles समाए थे, और 4 बार 90, ठीक 360 होता है। दोनों तरफ़ से एक ही गिनती। पर 360 ही क्यों? आख़िर 100 क्यों नहीं, या फिर 10 क्यों नहीं? बहुत पुराने ज़माने की कई बातें इस संख्या से जुड़ी बताई जाती हैं — पहिये, calendars, और कुछ लोगों की साठ-साठ करके गिनने की आदत।

और 360 ठीक 6 बार 60 है। सच कहें तो, पक्का कोई नहीं जानता कि 360 ही क्यों चुना गया। यह circle की कोई मजबूरी नहीं है, इंसानों की पसंद है। सोचो, अगर पूरे चक्कर को 100 हिस्सों में काटते, तो उसका एक तिहाई, पूरी संख्या नहीं होता। पर 360 में, एक तिहाई चक्कर ठीक 120 degree है। पर इस पसंद का एक बहुत काम का फ़ायदा ज़रूर है। अब 360 को 1 से 10 तक की हर संख्या से बाँटकर देखो।

बाँटने पर मिलता है — 1 से 360, 2 से 180, 3 से 120, 4 से 90, 5 से 72, और 6 से 60। पर 7 से 360 पूरा नहीं बँटता, कुछ बच जाता है। फिर 8 से 45, 9 से 40, और 10 से 36। यानी 1 से 10 तक की 10 संख्याओं में से 9 से, 360 पूरा-पूरा बँट जाता है — सिर्फ़ 7 नहीं। और 12 से 30, तथा 24 से 15।

क्या कोई छोटी संख्या भी यही कर सकती थी? यानी 7 को अलग रखकर, 1 से 10 तक सबसे पूरा-पूरा बँटने वाली? हमने 1 से 359 तक, सारी 359 संख्याएँ एक-एक करके जाँचीं। पर उनमें से कोई भी ऐसी नहीं निकली। यानी 7 को अलग रखो, तो 360 ही सबसे छोटी संख्या है जो यह काम करती है। इसीलिए 360 इतनी सुविधा वाली संख्या है। और अगर 7 को भी शामिल करो, तो ऐसी सबसे छोटी संख्या सीधे 2520 पर पहुँचती है।

पूरे चक्कर के इतने सारे हिस्से, रोज़ के काम के लिए बहुत ज़्यादा हैं। अब 10 circles लो, और उन्हें 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 और 12 बराबर टुकड़ों में काटो। हर टुकड़े का angle, centre पर कितना है? बस 360 को टुकड़ों की गिनती से बाँटो। जवाब हैं 360, 180, 120, 90, 72, 60, 45, 40, 36, और 30 degree। यानी 10 में से 10 पूरी संख्याएँ।

और हर circle के टुकड़े वापस जोड़ो, तो फिर 360 — 10 में से 10 बार। अब protractor ख़ुद बनाओ। सबसे पहले, कागज़ से एक circle काटो। इसे आधा मोड़ो, और मोड़ वाली लकीर पर से काट लो। अब हाथ में एक semicircle है। याद रखो, आधा मोड़ना एक superimposition है। दोनों आधे एक-दूसरे पर पूरे बैठते हैं, इसलिए वो ठीक बराबर हैं — अंदाज़े से नहीं। इसके सीधे किनारे के एक कोने पर 0 लिखो, और दूसरे कोने पर 180।

यह पूरा सीधा किनारा, straight angle है। अब semicircle को आधा मोड़ो, ताकि दोनों कोने एक-दूसरे पर आ जाएँ। खोलो, तो बीच में एक मोड़ की लकीर मिलती है। यह लकीर ठीक ऊपर है — 90 degree पर। यानी right angle, पिछली बार की तरह, मोड़ने से ही मिला। फिर से मोड़ो — अब एक बार और आधा। खोलने पर 2 नई लकीरें मिलती हैं — एक 45 पर, और दूसरी 135 पर।

यहाँ 135 इसलिए, क्योंकि यह 90 से एक और 45 आगे है। अब तीसरी बार मोड़ो। इस बार नई लकीरें कहाँ आएँगी? सबसे पहली नई लकीर, 45 का आधा — यानी 22.5 degree पर। फिर 67.5 पर, 112.5 पर, और 157.5 पर। ध्यान दो — 22.5 पूरी संख्या नहीं है। अब 360 को आधा करते चलो — 360, 180, 90, 45 — ये 4 पूरे हैं, पर अगला 22.5 नहीं।

इसलिए इसे पूरी संख्या बनाने के लिए गोल मत करो। यहाँ 22.5 ही सही माप है। अब semicircle खोलो। सीधे किनारे के बीच वाले point O से, मोड़ की लकीरें बाहर जाती हैं — OA से OI तक। इन लकीरों के letters को संख्याओं से मिलाओ। देखो, OA पर 0 है, OE पर 90, और OI पर 180 — letters और संख्याएँ, एक ही चीज़ के 2 नाम हैं। कुल 9 निशान हैं — 0, 22.5, 45, 67.5, 90, 112.5, 135, 157.5 और 180।

इन 9 निशानों के बीच 8 angles हैं, और 8 में से 8 बराबर हैं। ये सब 22.5 ही क्यों हैं? क्योंकि straight angle को 8 बराबर हिस्सों में बाँटा गया — 180 को 8 से बाँटो, तो 22.5। हर मोड़ ने एक angle को ठीक आधा किया। किसी angle को 2 बराबर हिस्सों में बाँटना, bisect करना कहलाता है। और जो लकीर उसे आधा करती है, उसे angle bisector कहते हैं।

यानी हर मोड़ एक bisector था। पहले मोड़ ने straight angle को bisect किया, और दूसरे ने right angle को — इसीलिए 90 और फिर 45 मिले। मसलन 135 degree वाला angle लो। उसे ऐसे मोड़ो कि एक arm दूसरी पर आ जाए। मोड़ की लकीर उसका bisector है — दोनों हिस्से 67.5, 67.5 degree। याद रखो, bisect का मतलब सिर्फ़ 2 टुकड़े नहीं — 2 बराबर टुकड़े। किसी और जगह मोड़ो, तो एक arm दूसरी पर नहीं बैठती।

अगर एक बार और मोड़ो, तो पहली नई लकीर 11.25 पर आएगी। कागज़ मोड़कर इतने बारीक निशान बनाना मुश्किल है, इसलिए यहाँ से आगे छपे हुए protractor काम आते हैं। आज की बात। एक degree, घुमाव की इकाई है — पूरे चक्कर के 360 बराबर हिस्सों में से एक। और किसी angle का माप, बस उन हिस्सों की गिनती है। और 360 एक चुनी हुई संख्या है, जो इसलिए टिकी क्योंकि यह इतनी अच्छी तरह बँटती है।

कागज़ के मोड़, बार-बार आधा करके, वही निशान ख़ुद बना देते हैं। अब तुम्हारी बारी। एक circle को 8 बराबर टुकड़ों में मोड़ो — हर टुकड़े का angle कितना है? और 24 टुकड़ों में काटो, तो? अपने जवाब comments में लिखना। और देखो, तुम्हारे बनाए protractor पर 90 कहाँ आता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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