PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 9, SymmetryPrepShorts

Chapter 9 · Symmetry

polygons और radial arms वाली figures के angles of symmetry गिनना

Rotational symmetry12 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

12 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 6 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

4 बाँहें, एक-दूसरे से right angle पर: चौथाई चक्कर घुमाइए, और आकृति ख़ुद पर आ जाती है — 90, 180, 270 और 360, 4 angles of symmetry। लुभाने वाला जवाब: 4 बाँहें, तो 4 angles। ये ग़लत है। 2 बाँहें मोड़ दीजिए — बाँहें अब भी 4, पर angles बस 2। 3 बाँहें बेढंगी दूरी पर, और एक भी नहीं।

मुख्य idea

figure के angles of symmetry एक-एक घुमाव आज़माकर नहीं ढूँढ़े जाते — अंकगणित उन्हें पहले से तय कर देता है। अगर केंद्र के चारों ओर pattern कुछ तय बार दोहराता है, तो काम करने वाला सबसे छोटा घुमाव उन दोहरावों में बराबर बँटा पूरा घुमाव है, और बाक़ी हर angle of symmetry उस सबसे छोटे का पूर्ण-संख्या वाला गुणज है। इससे दो नतीजे सीधे निकलते हैं: तीन भुजाओं (arms) वाली figure में rotational symmetry तभी होती है जब उसकी arms 120° की दूरी पर हों — अकेले तीन arms किसी चीज़ की गारंटी नहीं देतीं, और chapter एक ऐसी figure छापता है जिसकी arms बराबर दूरी पर नहीं हैं और इसलिए उसमें कोई rotational symmetry नहीं — और किसी भी figure का सबसे छोटा angle 17° नहीं हो सकता, क्योंकि 17, 360 में पूरा नहीं जाता।

आपको क्या आना चाहिए

  • radial arms वाली figure के angles of symmetry गिनना और उनकी सूची बनाना
  • जब figure की दी गई संख्या में बराबर दूरी वाली arms हों, तो उसका सबसे छोटा angle of symmetry निकालना, उसे arms में बँटे 360 की तरह निकालते हुए
  • समझाना कि बराबर दूरी पर न रखी arms figure को rotational symmetry के बिना क्यों छोड़ देती हैं
  • दिखाना कि हर angle of symmetry सबसे छोटे वाले का पूर्ण-संख्या वाला गुणज है
  • समझाना कि पूरे degrees में नापा गया सबसे छोटा angle of symmetry 360 का गुणनखंड क्यों होना चाहिए
  • तय करना कि बताया गया angle किसी figure का सबसे छोटा angle of symmetry हो सकता है या नहीं
  • जब सबसे छोटा angle पूर्ण संख्या न हो, तो उसे mixed fraction में लिखना
  • गिनती के लिए exercise का वाक्यांश order of rotational symmetry इस्तेमाल करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
radial armsएक साझा केंद्र से दूरी पर बँटी lines के साथ बाहर की ओर फैली armsत्रिज्य भुजाएँ§9.2, p.232 — bold sub-heading इन्हीं का नाम लेती है
angle of symmetryघुमाव का ऐसा angle जिसके बाद figure बिना छुई हुई दिखेसममिति कोण§9.2, p.230 — वहाँ bold में छपा
smallest angle of symmetryकिसी figure का ऐसा सबसे छोटा angle, बिल्कुल न घुमाने को छोड़करन्यूनतम सममिति कोण§9.2, pp.236–238 — वहाँ पूरा तर्क इसी वाक्यांश पर टिका है
adjacentअगला वाला, पास-पास की दो arms या dotted lines के बारे मेंआसन्न§9.2, pp.232–235 — arms के बीच की दूरी के लिए इस्तेमाल
multipleकिसी दूसरी संख्या को बार-बार जोड़कर पहुँची संख्यागुणज§9.2, p.236 — देखा गया pattern इन्हीं शब्दों में कहा गया है
factorएक पूर्ण संख्या जो दूसरी में ठीक-ठीक जाती हैगुणनखंड§9.2, p.237 — True or False वाले item में bold में छपा
natural numberगिनती की संख्याप्राकृत संख्या§9.2, p.237 — उसी item में छपा
mixed fractionएक proper fraction के साथ लिखी पूर्ण संख्यामिश्रित भिन्न§9.2, p.235 — सात arms वाला सवाल जवाब इसी रूप में माँगता है
sectorउन बराबर टुकड़ों में से एक जिनमें radii circle को काटती हैंत्रिज्यखंड§9.2, p.238 — Q1 में छपा
order of rotational symmetryकिसी figure के कितने angles of symmetry हैंघूर्णन सममिति की कोटि§9.2, p.236 — Q3 में छपा; chapter वाक्यांश इस्तेमाल करता है पर परिभाषित नहीं करता
dividesकिसी संख्या में ठीक-ठीक जाना, बिना कुछ बचेविभाजित करनाइस chapter में नहीं छपा — इस व्याख्या का शब्द; chapter इसकी जगह factor कहता है

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारा नहीं गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ज़्यादा arms का मतलब ज़्यादा angles of symmetry है।" सिर्फ़ तब, जब वे बराबर दूरी पर और एक जैसी हों। p.233 की तीन arms वाली figure की तीन arms हैं और उसमें बिल्कुल भी rotational symmetry नहीं; बात उलटे उदाहरण वाले page पर ही है।
  • "हर चीज़ के angles of symmetry 90°, 180°, 270° और 360° होते हैं।" यह चार-गुना वाला मामला है। chapter जान-बूझकर 4, फिर 2, फिर 3, फिर 5, 6 और 7 से गुज़रता है ताकि दिखे कि सूची figure पर निर्भर है।
  • "हर सबसे छोटा angle पूरे degrees होता है।" सात arms वाली figure वह उलटा उदाहरण है जो chapter देता है। उसका सबसे छोटा angle 51 3/7 degrees है, और इससे figure ज़रा भी कम symmetric नहीं।
  • "अगर 17° की अनुमति नहीं, तो किसी विषम संख्या की नहीं।" 45° की अनुमति है, और 5°, 9° और 15° की भी: 360 के किसी भी गुणनखंड की अनुमति है। test विभाज्यता का है, विषम होने का नहीं।
  • "angles of symmetry बस वे घुमाव हैं जो काम कर जाएँ, बिना किसी क्रम के।" वे एक ज़ंजीर बनाते हैं: सबसे छोटा, फिर उसका दुगुना, फिर तिगुना, और ऐसे ही पूरे घुमाव तक। p.236 पर chapter की तीनों सूचियाँ इसीलिए हैं कि तर्क से पहले यह दिख जाए।
  • "order और angle एक ही चीज़ हैं।" order angles की गिनती है; angle degrees में एक माप है। order 4 वाली figure का सबसे छोटा angle 90° है, 4 नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 4 Q5, Figure it Out · 4 Q6, Figure it Out · 4 Q9

पूरा transcript1,670 शब्द

यहाँ एक आकृति है, जिसकी 4 बाँहें हैं, एक centre के चारों ओर बराबर दूरी पर, और एक-दूसरे से right angle पर। इसे चौथाई चक्कर घुमाइए, और ये ख़ुद पर आ जाती है। तो 90 degree काम करता है। आधा चक्कर भी, 3 चौथाई भी, और पूरा चक्कर भी। 4 angles of symmetry: 90, 180, 270 और 360। और ये पक्का है: पूरे degree वाले सारे 360 चक्कर आज़माए गए, और बस यही 4 चले।

इसी से वो सवाल उठता है, जिस पर आगे की सारी बात है: किसी आकृति को कितने angles मिलते हैं, और वो गिनती कौन तय करता है? लुभाने वाला जवाब सामने ही है: 4 बाँहें, तो 4 angles। ये जवाब ग़लत है, और अगली 2 आकृतियाँ दिखाएँगी कि क्यों। वही आकृति लीजिए, और उसकी 2 बाँहें मोड़ दीजिए। ऊपर वाली बाँह दाएँ मुड़ती है। नीचे वाली बाँह बाएँ मुड़ती है।

और दोनों बगल वाली बाँहें सीधी रहती हैं। कुछ भी हटाया नहीं गया। बाँहें अब भी 4 हैं। पर अब चौथाई चक्कर आज़माइए। मुड़ी हुई ऊपर वाली बाँह वहाँ पहुँचती है, जहाँ एक सीधी बाँह है, और वो मेल नहीं खातीं। तो 90 फ़ेल। अब आधा चक्कर आज़माइए। ऊपर वाली बाँह नीचे पहुँचती है, और वहाँ फ़िट बैठती है। क्योंकि चक्कर बाँह को पूरा का पूरा ले जाता है, और वो जिस तरफ़ मुड़ी है, वो तरफ़ भी साथ जाती है।

बाँह पर खड़े होकर बाहर देखें, तो दोनों मुड़ी बाँहें एक ही तरफ़ मुड़ी हैं। तो इस आकृति के 2 angles of symmetry हैं: 180 और 360। फिर से 4 बाँहें। पर जवाब अलग। अब 3 बाँहें, जानबूझकर बेढंगी दूरी पर। उनके बीच के फ़ासले हैं: 100 degree, फिर 110, फिर 150। कुल मिलाकर 360। सारे 360 चक्कर आज़माइए, तो सिर्फ़ पूरा चक्कर इस आकृति को वापस लाता है। यानी इसमें rotational symmetry है ही नहीं।

एक भी angle नहीं। 3 बाँहों से कुछ नहीं मिला। तो बाँहों की गिनती ये तय नहीं करती। 4 बाँहों पर भी यही सच है। हर 4 बाँहों वाली आकृति, जिसके 4 angles हैं, उसकी बाँहें 90-90 degree पर हैं। और बाक़ी 4 बाँहों वाली आकृतियाँ जो लौटती हैं, उन्हें बस 2 angles मिलते हैं। तय करती है दूरी। हर 3 बाँहों वाली आकृति, जो पूरे चक्कर से पहले लौटती है, उसकी बाँहें 120-120 degree पर होती हैं, बिना किसी अपवाद के।

तो 3 बाँहों को बराबर दूरी पर रखिए, और पूछिए कि बराबर का मतलब क्या होना ही चाहिए। यहाँ 3 फ़ासले हैं, centre के चारों ओर: बाँह से बाँह, फिर अगली बाँह, और वापस वहीं जहाँ से चले थे। ये फ़ासले मिलकर एक पूरा चक्कर बनाते हैं, इसलिए इनका जोड़ 360 degree है। ये इस आकृति के बारे में कोई तथ्य नहीं। एक बार घूमने का मतलब ही यही है।

और अगर तीनों बराबर हैं, तो हर एक, 360 को 3 से भाग देने पर मिलता है। जवाब 120 degree है। इसमें कोई चुनाव नहीं। किसी और पूरी संख्या को 3 से गुणा कीजिए, तो 360 नहीं आता। ध्यान दीजिए अभी क्या हुआ, क्योंकि असली बात यही है। कुछ भी नापा नहीं गया। angle, हिसाब ने तय किया, और आकृति को मानना पड़ा। बराबर दूरी वाली आकृति को 120 degree घुमाइए, और हर बाँह ठीक वहाँ पहुँचती है, जहाँ उसकी पड़ोसी थी।

फिर से घुमाइए, तो हर बाँह 2 जगह आगे। 240 degree, और ये भी काम करता है। एक बार और, और आप शुरुआत पर वापस। 360 degree। तो सूची है: 120, 240, 360। 3 angles, हर बाँह के लिए एक। और इस सूची की बनावट देखिए, क्योंकि आगे यही बनावट काम आएगी। इसका हर angle, सबसे छोटे angle का कोई पूरा गुना है। पहले 1 गुना, फिर 2 गुना, फिर 3 गुना।

अब 5 बाँहों के साथ यही भाग दोहराइए। पूरा चक्कर 5 फ़ासलों में बाँटिए, तो 72 degree मिलता है, और सूची चलती है: 72, 144, 216, 288 और 360। 6 बाँहें: 360 को 6 से भाग दें, तो 60, और 6 angles। 12 बाँहें: 30 degree, और 12 angles। हर बार जवाब तस्वीर देखने से पहले निकाला, और हर बार तस्वीर ने हामी भरी। यही इसे देखना नहीं, हिसाब बनाता है।

भाग पहले आता है, और तस्वीर बाद में उसकी पुष्टि करती है। अब 7 बाँहें, बराबर दूरी पर, क्योंकि 7 पर आकर सफ़ाई ख़त्म हो जाती है। पर 360 को 7 से भाग दें, तो वो पूरा नहीं बँटता। 7, 360 में 51 बार जाता है, और 3 degree बचते हैं। तो सबसे छोटा angle है, 51 और 3 बटा 7 degree। लगभग 51 नहीं। ठीक 51 और 3 बटा 7।

उल्टा जाँचिए: 51 गुणा 7 है 357, और बचे हुए 3 जोड़ें, तो पूरे 360। ऐसे 7 angles मिलकर एक पूरा चक्कर बनाते हैं, इसलिए इस आकृति के 7 angles of symmetry हैं, ठीक जैसा pattern कहता है। ये आकृति दूसरों से ज़रा भी कम symmetric नहीं। अटपटा यहाँ degree है, जो किसी की चुनी हुई इकाई है। दिक़्क़त हमारी है, आकृति की नहीं। इस सबके लिए बाँहें ज़रूरी नहीं।

यह एक plus का निशान है, 4 बराबर हिस्सों वाला। चौथाई चक्कर खड़े हिस्से को आड़े पर ले जाता है, सब फ़िट बैठता है, तो चारों angles मौजूद हैं। यह एक सीधी line है, जिसके हर सिरे पर एक छोटा square बना है, और दोनों squares line की एक ही तरफ़ हैं। इसे आधा चक्कर दीजिए। हर square घूमकर दूसरे सिरे पर पहुँचता है, और line की दूसरी तरफ़ भी।

पर दोनों एक ही तरफ़ बने थे, इसलिए कुछ फ़िट नहीं बैठता, और सिर्फ़ पूरा चक्कर काम करता है। पर squares को line की अलग-अलग तरफ़ बनाइए, तो आधा चक्कर काम करने लगता है, और angles हो जाते हैं 180 और 360। और यह अंग्रेज़ी का बड़ा H है। आधा चक्कर इस पर काम करता है। चौथाई चक्कर नहीं, क्योंकि H चौड़ाई से ज़्यादा ऊँचा है: 6 ऊँचा, और 4 चौड़ा।

तो खड़ी lines कहीं नहीं बैठतीं। 2 angles, और छोटी सूची भी एक सूची है। अब सारी सूचियाँ साथ-साथ रखिए। 3 बाँहें: 120, 240, 360। 4 बाँहें: 90, 180, 270, 360। 6 बाँहें: 60, 120, और ऐसे ही 360 तक। सबकी बनावट एक जैसी है। सबसे छोटा angle लीजिए, और उसी में गिनिए: 1, 2, 3, और आख़िरी ठीक पूरे चक्कर पर पहुँचता है। 1 से 12 बाँहों तक, हर बराबर दूरी वाली आकृति पर यही निकला।

ये संयोग नहीं, और इसकी वजह एक वाक्य में है। अगर एक चक्कर काम करता है, तो वही चक्कर 2 बार भी काम करता है, और 3 बार भी, और ऐसे ही आगे। मसलन अगर सबसे छोटा angle 60 है, तो बाक़ी अपने आप तय हैं: 120, 180, 240, 300 और 360। तो सबसे छोटा angle अपने सारे गुनों को सूची में खींच लाता है, यानी अकेला सबसे छोटा angle पूरी सूची बता देता है।

इसे एक क़दम और आगे बढ़ाइए, क्योंकि ये कुछ चौंकाने वाला तय करता है। सबसे छोटे angle से शुरू कीजिए, और उसे जोड़ते जाइए। रास्ते का हर जोड़ एक और angle of symmetry है, और जोड़ बढ़ते जाते हैं। मान लीजिए कोई जोड़ ठीक 360 पर पड़ता है। तब सूची साफ़ बंद होती है, और सबसे छोटा angle पूरे चक्कर में पूरी संख्या बार जाता है। पर मान लीजिए कोई जोड़ 360 को लाँघकर उसके आगे निकल जाता है।

पूरा चक्कर घटा दीजिए, जो कुछ करता ही नहीं, और जो बचता है, वो एक ऐसा चक्कर है जो काम करता है, और सबसे छोटे से भी छोटा है। ये नामुमकिन है, क्योंकि वो तो सबसे छोटा था। तो कोई जोड़ आगे नहीं निकल सकता, और कोई न कोई ठीक 360 पर पड़ता है। किसी भी आकृति का सबसे छोटा angle, 360 में पूरी संख्या बार जाना ही चाहिए। 1 से 360 तक, पूरे degree वाले हर angle को दोहराकर देखा गया, और हर बार वो सिर्फ़ ऐसी संख्या के गुनों पर पड़ा, जो 360 में पूरी जाती है।

ये नियम ऐसे सवालों का जवाब देता है, जिन्हें कोई भी drawing तय नहीं कर सकती। क्या किसी आकृति का सबसे छोटा angle 45 degree हो सकता है? 45, 360 में ठीक 8 बार जाता है, तो हाँ, और उस आकृति के 8 angles of symmetry होंगे। और क्या 17 degree किसी आकृति का सबसे छोटा angle हो सकता है? 17, 360 में 21 बार जाता है, और 3 बचते हैं।

21 बार 17 है 357, और 22 बार है 374, यानी 360 को लाँघ जाता है। 374 में से पूरा चक्कर घटाइए, तो 14 बचते हैं, जो 17 से भी छोटा है। तो जवाब है, नहीं। ऐसा नहीं कि कोई अनोखी आकृति नहीं, या ऐसी जो अभी तक किसी ने बनाई नहीं। कोई भी आकृति नहीं, कहीं भी, कभी भी, और ये आप एक भी drawing बनाए बिना जानते हैं।

और ध्यान रहे, कसौटी सम या विषम होना नहीं है। 5, 9 और 15 विषम हैं, फिर भी 360 में पूरे जाते हैं, इसलिए ये सब सबसे छोटे angle बन सकते हैं। सच तो ये है कि पूरे degree वाले सिर्फ़ 24 angles ही कभी सबसे छोटे angle बन सकते हैं, वही जो 360 में पूरे जाते हैं। बाक़ी सब, एक भाग से ख़ारिज। आख़िरी एक चीज़, जिसे ठीक से नाम देना चाहिए।

ख़ुद गिनती, यानी किसी आकृति के कितने angles of symmetry हैं, उसे order of rotational symmetry कहते हैं। इसमें सावधान रहिए। order 4 वाली आकृति का सबसे छोटा angle 90 degree है, 4 नहीं। order angles गिनता है, उन्हें नापता नहीं। पर ये दोनों आपस में बँधे हैं। order को सबसे छोटे angle से गुणा कीजिए, तो हमेशा 360 आता है। मसलन order 6 का सबसे छोटा angle 60 है, और 6 गुणा 60 होता है 360।

अब आख़िरी तस्वीर। एक circle, 12 बराबर टुकड़ों में कटा, हर टुकड़ा 30 degree का, और इन टुकड़ों को आप जैसे चाहें रंग सकते हैं। आप जो orders पा सकते हैं, वो ठीक ये हैं: 1, 2, 3, 4, 6 और 12। यानी वो संख्याएँ, जो 12 में पूरी जाती हैं। 5 नहीं मिल सकता, 7 भी नहीं, चाहे कैसे भी रंगिए। रंगने के सारे 4096 तरीक़े आज़माए गए। और ये आप कुछ भी रंगने से पहले जानते थे, और असली बात यही है।

हिसाब पहले पहुँचता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

The book

Open in a new tab