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Chapter 9 · Symmetry

मोड़ो, धब्बा लगाओ, काटो, छेद करो: बनावट से ही symmetric figure बनाना

Lines of symmetry11 मिनट

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अब तक symmetry ढूँढनी पड़ती थी: आकृति दी गई, line है या नहीं? काग़ज़ को पहले मोड़िए, और सवाल बदल जाता है। crease की एक तरफ़ स्याही की 7 बूँदें, दबाइए, खोलिए — 14 बूँदें, और धब्बा उसी crease के बारे में ठीक-ठीक symmetric, देखने से पहले ही। कैंची के साथ भी यही: जो भी काटिए, हर परत एक साथ कटती है।

मुख्य idea

अब तक symmetry को ऐसी चीज़ माना गया जिसे ढूँढ़ा जाता है। काग़ज़ को पहले मोड़ लेना उसे ऐसी चीज़ बना देता है जिसकी तुम गारंटी दे सकते हो: मुड़ी हुई sheet के साथ जो भी करो, वह हर परत के साथ एक ही बार में, एक साथ होता है, इसलिए खोलने से पहले ही तह नतीजे की line of symmetry होती है। इसीलिए तुम बिना देखे बता सकते हो कि छेद कैसा दिखेगा — और उलटी तरफ़ चलें तो खुली sheet के छेद ठीक-ठीक बता देते हैं कि उसे कैसे मोड़ा गया था।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि काटने से पहले किया गया fold यह गारंटी क्यों देता है कि तह नतीजे की line of symmetry होगी
  • बताए गए fold और cut से खुली figure की shape, खोलने से पहले ही, बताना
  • बताना कि एक fold के बाद और दो folds के बाद एक punch कितने छेद बनाता है
  • खुली square sheet में छेदों की जगहों से निकालना कि काग़ज़ किस line पर मोड़ा गया था
  • figure की line या lines of symmetry और उसके कुछ छेद दिए हों, तो बाक़ी छेद चिह्नित करना
  • ऐसे folds और एक सीधा cut सोचना जिनसे बताया गया छेद बने
  • square tiles से ऐसा design बनाना जिसकी lines of symmetry की संख्या दी गई हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
foldएक सीधी तह जो sheet के एक हिस्से को दूसरे पर ले आती हैमोड़§9.1, pp.219–226 — पूरे section की काम वाली क्रिया
vertical foldsheet पर ऊपर से नीचे चलने वाली तहऊर्ध्वाधर मोड़§9.1, p.224, Q3 — नाम वाली तस्वीर की तरह छपा
horizontal foldsheet के आर-पार चलने वाली तहक्षैतिज मोड़§9.1, p.225 — नाम वाली तस्वीर की तरह छपा, और p.220 पर इस्तेमाल
ink blotस्याही या रंग की बूँद जिसे तह के आर-पार दबाकर symmetric धब्बा बनाया जाता हैस्याही का धब्बा§9.1, p.222 — sub-heading Ink Blot Devils
punchpunching machine से मुड़ी sheet में छेद करनाछेद करना§9.1, p.223 — Punching Game वहीं दिया गया है
holepunch या cut से sheet में बनी खुली जगहछेद§9.1, pp.223–226 — Q1, Q2 और Q4 का विषय
cutoutमुड़ा काग़ज़ काटकर और खोलकर बनी shapeकटी हुई आकृति§9.1, p.225 — Q4 में बनाने और जाँचने वाली चीज़ की तरह छपा
tileकिताब के पीछे दिए गए दो रंगों वाले squares में से एकटाइल§9.2, p.239 — Playing with Tiles
line of symmetryतह, जब काग़ज़ फिर से खुल जाएसममिति रेखा§9.1, p.219 — वहाँ bold में छपा और परिभाषित
layerमोड़ने से बनी काग़ज़ की एक मोटाईपरतइस chapter में नहीं छपा — हर fold पर दुगुनी होने वाली चीज़ के लिए इस व्याख्या का शब्द
symmetric by constructionतरीक़े से ही symmetric बनाया हुआ, ढूँढ़कर पाया हुआ नहीं—इस व्याख्या का वाक्यांश — इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारा नहीं गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "तुमने क्या बनाया, यह जानने के लिए काग़ज़ खोलना पड़ता है।" पहले मोड़ने का पूरा मतलब यही है कि नहीं खोलना पड़ता। sections 7 और 10 इसी का फल हैं।
  • "एक punch एक छेद बनाता है।" सिर्फ़ बिना मुड़े काग़ज़ में। छेदों की संख्या परतों की संख्या है, और Q1(d) यही जाँचता है।
  • "दो folds से हमेशा हर कोने में एक छेद बनता है।" उनसे चार छेद बनते हैं, जिनकी जगहें इस पर निर्भर हैं कि punch कहाँ हुआ। कोनों के छेद तब बनते हैं जब मुड़े हुए चौथाई के कोने के पास punch हो।
  • "fold का खड़ा या लेटा होना ज़रूरी है।" Q1(b) diagonal fold है, और square का diagonal सचमुच line of symmetry है — यह Why a figure can have several lines of symmetry में तय हो चुका है।
  • "स्याही का धब्बा इसलिए symmetric है कि स्याही बराबर फैलती है।" वह दबाने की वजह से symmetric है, स्याही की वजह से नहीं। बिना दबाए वही बूँदें कुछ नहीं देतीं।
  • "बीच में चार भुजाओं वाला कोई भी छेद square है।" Q5 के नीचे chapter का अपना note इसी से सावधान करता है: बराबर angles के बिना बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं।
  • "दो lines of symmetry हों तो एक और copy जोड़नी है।" दो perpendicular lines एक चौथाई को चार बना देती हैं। p.240 का tile grid इसकी सबसे साफ़ तस्वीर है, क्योंकि उसके चार में से तीन blocks ख़ाली हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 2 Q3, Figure it Out · 2 Q4, Figure it Out · 2 Q5

पूरा transcript1,749 शब्द

अब तक symmetry ऐसी चीज़ थी, जिसे ढूँढना पड़ता था। कोई आकृति दी गई, और सवाल था: क्या इसकी line of symmetry है, और है तो कहाँ? अब इस सवाल को उल्टा घुमाइए। किसी की दी हुई आकृति में symmetry खोजने के बजाय, ख़ुद एक ऐसी आकृति बनाइए, जिसमें symmetry होना पक्का हो। इसकी तरकीब बस एक बात में है: काग़ज़ को पहले मोड़िए। मुड़े हुए काग़ज़ के साथ आप जो भी करें, वो उसकी हर परत के साथ एक ही बार में होता है।

और यही बात symmetry को पक्का कर देती है, आपके देखने से भी पहले। सबसे आसान रूप से शुरू करते हैं, जिसमें कैंची की ज़रूरत ही नहीं। एक sheet लीजिए, उसे बीच से आधा मोड़िए, और फिर खोलकर सीधा कर दीजिए। अब बीच में एक crease है, यानी मोड़ का निशान, और कुछ नहीं। अब crease की एक तरफ़ स्याही की बूँदें गिराइए। कहीं भी, यहाँ 7 बूँदें हैं, बिना किसी pattern के।

अब sheet को उसी crease पर वापस मोड़िए, और ज़ोर से दबाइए। अब खोलिए, और देखिए। अब 14 बूँदें हैं, और पूरा धब्बा symmetric है। उसकी line of symmetry वही crease है। ये लगभग नहीं है, बिल्कुल ठीक-ठीक है। ऐसा क्यों होता है, ये साफ़ समझ लेना चाहिए। वजह ये नहीं कि स्याही बराबर फैलती है। वो बराबर नहीं फैलती। जब आप दोनों हिस्सों को दबाते हैं, तो हर बूँद, crease के पार ठीक सामने वाले बिंदु को छूती है।

उसी पंक्ति में, और crease से उतनी ही दूर, जितनी बूँद ख़ुद थी, बस दूसरी तरफ़। तो हर बूँद एक दूसरी बूँद छापती है, ठीक उस जगह, जहाँ reflection उसे रखता। यानी धब्बे के हर बिंदु का एक साथी है। symmetry की परिभाषा यही है, और वो बनाने के तरीक़े से ही पूरी हो गई, कुछ भी देखने से पहले। और दबाए बिना क्या होता? वही 7 बूँदें अकेले किसी भी line के बारे में symmetric नहीं हैं।

उनकी lines of symmetry 0 हैं। काम मोड़ ने किया। और ध्यान दीजिए, धब्बे की line of symmetry बस 1 है, क्योंकि बूँदें बेतरतीब थीं। मोड़ वही line देता है, जिस पर आपने मोड़ा, उससे ज़्यादा नहीं। और ये किस्मत की बात नहीं। बेतरतीब बूँदों वाले 200 और धब्बे आज़माए गए, और हर एक अपने crease के बारे में symmetric निकला। अब कैंची लाइए, और यही बात और तीखी हो जाती है।

sheet को आधा मोड़िए। मुड़ी हुई sheet के 2 खड़े किनारे हैं: एक तरफ़ crease, और दूसरी तरफ़ खुले किनारे। खुले किनारे से एक टुकड़ा काटिए, और crease तक पहुँचने से पहले रुक जाइए। खोलिए, तो 2 कटाव मिलते हैं, sheet के हर बाहरी किनारे पर एक, और दोनों बिल्कुल एक जैसे। crease पर कुछ नहीं कटा। अब फिर से कीजिए, पर इस बार उतना ही टुकड़ा crease वाले किनारे से काटिए।

खोलिए, तो इस बार बस 1 छेद है, sheet के बीच में, crease के आर-पार। वो किसी किनारे को नहीं छूता, और काटे गए टुकड़े से ठीक 2 गुना चौड़ा है। वही कैंची, वही टुकड़ा। कौन-सा किनारा काटा, बस यही तय करता है कि 2 कटाव मिलेंगे या 1 छेद। और दोनों बार खुली sheet crease के बारे में symmetric है, क्योंकि कैंची ने जो भी हटाया, दोनों परतों से हटाया।

300 बेतरतीब कट आज़माए गए, और हर बार यही हुआ। दोनों परतों वाली यही बात पकड़कर रखिए, और अब परतें गिनते हैं। बिना मुड़ी sheet में, हर जगह 1 परत है। एक बार मोड़िए, तो हर हिस्से में 2 परतें हो जाती हैं। उसे फिर आधा मोड़िए, तो हर जगह 4। एक बार और मोड़िए, तो 8। और उसके बाद 16। हर मोड़ पर गिनती 2 गुना होती है, एक-एक करके नहीं बढ़ती।

3 मोड़ के बाद 8 परतें हैं, 4 नहीं। इसका मतलब, एक punch या एक कट से एक ही छेद नहीं बनता। उतने छेद बनते हैं, जितनी परतें उसके नीचे हैं: 1, 2, 4, 8, 16। तो एक खेल खेलते हैं। चाहिए बस एक square sheet और एक hole punch। sheet को एक बार, बीच से खड़ा मोड़िए। अब एक ही punch लगाइए, कहीं एक तरफ़ हटकर। खोलने से पहले बताइए: कितने छेद होंगे, और कहाँ?

खोलिए, तो 2 छेद। दोनों एक ही पंक्ति में, और crease से बराबर दूर, एक इस तरफ़, एक उस तरफ़। ये आपको खोलने से पहले पता था, और उनकी जगह भी। 1 punch, 2 परतें, 2 छेद। बस एक अपवाद है। sheet को diagonal पर मोड़कर, punch ठीक crease पर लगाइए, तो छेद 1 ही बनता है, crease के आर-पार, ठीक वैसे, जैसे crease से काटे गए टुकड़े से 1 छेद बना था।

अब उल्टी दिशा, और यही सबसे मज़ेदार है। कोई आपको छेदों वाली खुली sheet देता है, और नहीं बताता कि उसे कैसे मोड़ा गया था। आप ये ख़ुद पढ़ सकते हैं। मोड़ वही line होगी, जो एक छेद को ठीक दूसरे पर ले जाए। और वो sheet की अपनी line of symmetry भी होनी चाहिए, वरना काग़ज़ सपाट मुड़ ही नहीं सकता। 2 छेद अगल-बगल, एक ही ऊँचाई पर: बीच की line ऊपर-नीचे जाती है, तो मोड़ खड़ा था।

2 छेद एक के ऊपर एक: line आड़ी है, तो मोड़ आड़ा था। 2 छेद पास-पास, तिरछे, एक कोने के क़रीब: कोने से कोने तक जाने वाली line एक को दूसरे पर ले जाती है। मोड़ diagonal पर था। और इसकी जाँच भी हो सकती है। हर बार उसी तरह मोड़कर 1 punch लगाइए, तो ठीक वही जोड़ी वापस मिलती है। और अगर 2 छेदों के बीच की line, sheet की अपनी कोई line of symmetry नहीं है, तो किसी एक मोड़ ने उन्हें नहीं बनाया।

किसी ने 2 बार punch किया। अब एक सवाल, जिसमें लोग अक्सर फँसते हैं। 4 छेद, हर कोने के पास एक, और बताया गया है कि punch बस एक बार लगा। एक मोड़ और एक punch से 2 ही छेद बनते हैं। कोई भी मोड़ लीजिए, खड़ा, आड़ा या diagonal, एक मोड़ से 2 से ज़्यादा कभी नहीं। तो 4 छेद का मतलब 4 परतें, और 4 परतों का मतलब 2 मोड़।

पहले खड़ा मोड़िए, फिर आड़ा। अब छोटे मुड़े हुए square के कोने के पास एक बार punch कीजिए। खोलिए: 4 छेद, sheet के हर कोने के पास एक। मोड़ उल्टे क्रम में कीजिए, पहले आड़ा फिर खड़ा, तो भी यही 4 छेद मिलते हैं। और ये 4 छेद, खड़ी line और आड़ी line, दोनों के बारे में symmetric हैं, पर किसी diagonal के बारे में नहीं। यानी ठीक वही 2 lines, जिन पर मोड़ा गया था।

जब आप मोड़ पढ़ सकते हैं, तो किसी और का शुरू किया काम भी पूरा कर सकते हैं। एक आकृति है, उसकी line of symmetry खिंची है, और एक छेद लगा है। दूसरा छेद कहाँ जाएगा? line के सीधे पार, उतनी ही दूर। वो सिर्फ़ एक ही जगह हो सकता है। diagonal पर मुड़ा square: diagonal के ऊपर वाले छेद का साथी नीचे है। अब खाने गिनिए, 4 खाने दाएँ और 4 खाने नीचे।

आड़ा मुड़ा rectangle: साथी सीधा नीचे है, 3 पंक्ति नीचे। और एक circle, जो तिरछे diameter पर मुड़ा है। इस पर एक पल रुकिए, क्योंकि यहाँ साथी किसी खाने के कोने पर नहीं पड़ता। फिर भी उसकी जगह बिल्कुल तय है: centre से उतनी ही दूर, diameter के सीधे पार, और diameter उस रास्ते को ठीक आधा-आधा बाँटता है। अब असली फ़ायदा। खोलने से पहले ही बताइए कि आकृति कैसी दिखेगी।

एक sheet लीजिए, जो चौड़ाई से ज़्यादा लंबी है। उसे बीच से खड़ा मोड़िए, तो एक लंबी पतली पट्टी बनती है, आधी चौड़ी और उतनी ही लंबी। पट्टी के खुले किनारे से, ठीक आधी ऊँचाई पर, एक छोटा rectangle काटिए। फिर crease वाले किनारे से भी, उसी ऊँचाई पर, एक rectangle काटिए। अब मुड़ी हुई पट्टी की एक कमर है, कुछ-कुछ अंग्रेज़ी के बड़े I जैसी। यहीं रुकिए, और खोले बिना बताइए, खुली sheet कैसी दिखेगी?

खुले किनारे वाला कट, 2 कटाव बनेगा, sheet के दोनों बाहरी किनारों पर एक-एक। crease वाला कट, बीच में 1 rectangle की खिड़की बनेगा, जो किसी किनारे को नहीं छूती। तो: एक लंबा rectangle, दोनों तरफ़ एक कटाव, और बीच में एक खिड़की। अब खोलिए, और मिलाइए। और एक बात और। इस sheet की lines of symmetry 2 हैं। खड़ी line मोड़ ने पक्की की। आड़ी line इसलिए आई, क्योंकि दोनों कट ठीक आधी ऊँचाई पर थे।

वही कट थोड़ा ऊपर कीजिए, तो बस मोड़ वाली 1 line बचती है। अब एक मुश्किल निशाना। square sheet के बीचोंबीच एक square छेद बनाना है, कुछ मोड़ और बस एक सीधे कट से। पहले खड़ा मोड़िए, फिर आड़ा। अब sheet का बीच, छोटे मुड़े हुए square का एक कोना बन गया है। उस कोने के पार, आधे right angle पर, एक सीधा कट लगाइए। एक triangle कटकर निकलता है, जिसकी दोनों छोटी भुजाएँ 3-3 खाने की हैं।

खोलिए, तो बीच में एक square छेद है, पर अपने एक कोने पर खड़ा हुआ। उसके दोनों diagonals 6-6 खाने के हैं। अगर छेद sheet के साथ सीधा बैठाना हो, तो बीच की lines के बजाय, 2 diagonals पर मोड़िए। अब sheet का बीच, एक नुकीली फाँक की नोक है। उस नोक के पार एक सीधा कट, और खुलने पर square छेद सीधा बैठता है। उसकी हर side 6 खाने की है।

मोड़ उतने ही, कट एक ही, और छेद आधा right angle घूम गया। पर ये वही square नहीं है, इसका आकार अलग है। और जाँचिए कि वो सच में square है। 4 बराबर sides काफ़ी नहीं हैं। इस चपटे diamond की चारों sides 5 हैं, पर diagonals 6 और 8, तो ये square नहीं। कोने भी right angle होने चाहिए, और बराबर diagonals यही दिखाते हैं। हमारे दोनों छेदों के diagonals बराबर हैं।

आख़िरी बात, और ये इस सब को design करने का तरीक़ा बना देती है। एक बड़ा grid लीजिए, और उसके एक कोने वाले हिस्से में कोई pattern भर दीजिए। यहाँ 12 खाने भरे हैं, और इस टुकड़े की अपनी कोई line of symmetry नहीं है। अब बीच की खड़ी line और बीच की आड़ी line खींचिए, और काम इन्हीं 2 lines को करने दीजिए। टुकड़े को खड़ी line के पार reflect कीजिए।

फिर जो बना, उस पूरे को आड़ी line के पार। टुकड़े की अब 4 नक़लें हैं, कुल 48 खाने। और तैयार design की lines of symmetry ठीक 2 हैं, वही जो आपने चुनीं, कोई diagonal नहीं। नई नक़लें 1 नहीं, 3 बनीं। लोग अक्सर यहीं ग़लती करते हैं। और गिनती आप तय करते हैं। यहाँ हर design में 16 खाने हैं, पर पहले की 1 line है, दूसरे की 2, और तीसरे की 4।

अब आप symmetry ढूँढ नहीं रहे। आप तय कर रहे हैं, कि उसमें कितनी डालनी है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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