angle घुमाव की एक मात्रा है, बनी हुई दो भुजाओं की जोड़ी नहीं

0:00पिछली बार हमने ray देखी थी — एक starting point, और एक दिशा जिसमें वो बिना रुके चलती रहती है। आज उसी starting point से एक और ray निकालो। जब 2 rays एक ही starting point से निकलती हैं, तो जो आकृति बनती है उसे angle कहते हैं। पूरी definition बस इतनी है — 2 rays, और उनका 1 साझा starting point। ध्यान दो, दोनों rays का starting point एक ही होना चाहिए।

0:26अगर 2 rays अलग-अलग points से निकलें, तो उनसे angle नहीं बनता, चाहे वो कितनी भी पास हों। पर असली सवाल आगे है — कोई angle कितना बड़ा है, और यह किस बात से तय होता है? उस तक पहुँचने से पहले, angle के हिस्सों के नाम सीख लेते हैं। यह figure देखो। यहाँ point B से एक ray ऊपर की ओर D से होकर जाती है, और दूसरी ray नीचे की ओर E से होकर।

0:54जिस साझा point से दोनों rays निकलती हैं, उसे angle का vertex कहते हैं। इस figure में vertex है B। और जो 2 rays उससे निकलती हैं, उन्हें angle की arms कहते हैं। यहाँ एक arm है ray BD, और दूसरी arm है ray BE। तो किसी भी angle को देखो, पहले उसका vertex ढूँढो, फिर उसकी 2 arms। दोनों arms उसी vertex से शुरू होती हैं — इसीलिए वो एक ही angle की arms हैं।

1:23किसी angle का नाम लिखने के लिए एक छोटा निशान है, जो 'angle' शब्द की जगह लेता है। उसके बाद 3 letters आते हैं — इस figure में, angle DBE। बीच का letter B है, यानी vertex। पहला और आख़िरी letter, D और E, एक-एक arm पर पड़ने वाले points हैं। तो क्या angle EBD भी यही angle है? जवाब है हाँ, क्योंकि उसकी arms वही हैं और vertex भी वही है।

1:52सिर्फ़ पढ़ने का क्रम बदला है, angle नहीं। पर angle DEB लिखना गलत होगा। उसके बीच में E है, तो वो ऐसे angle का नाम होगा जिसका vertex E है, B नहीं। याद रखो, vertex हमेशा बीच में आता है। यानी नाम की असली जानकारी बीच वाले letter में है — वो बताता है कि angle कहाँ बना है। बाकी 2 letters बस यह बताते हैं कि arms किस ओर जाती हैं।

2:20कई figures में vertex के पास अक्सर एक छोटा सा arc बना होता है। वो किसलिए है? 2 arms के बीच असल में घूमने के 2 रास्ते होते हैं — एक इस ओर से, और एक दूसरी ओर से, पीछे से होकर। दोनों मिलाकर एक पूरा चक्कर बनाते हैं। यह arc बताता है कि हम इन दोनों में से किसकी बात कर रहे हैं। वो angle का हिस्सा नहीं है, बस एक निशानी है — यह वाला, दूसरा नहीं।

2:48कभी-कभी angle को सिर्फ़ vertex के letter से बुलाते हैं, जैसे angle B। पिछली figure में यह ठीक था, क्योंकि B से सिर्फ़ 2 rays निकलती हैं, तो वहाँ एक ही angle है। अब यह figure देखो। यहाँ point P से 3 rays निकलती हैं — एक A से होकर, एक B से होकर, और एक C से होकर। अगर इस figure में 'angle P' लिखें, तो वो किस angle का नाम होगा?

3:14देखो, P पर 3 angles हैं — angle APB, angle BPC, और angle APC। तीनों का vertex P है, पर तीनों का खुलाव अलग-अलग है। इनमें angle APC सबसे बड़ा है, क्योंकि angle APB और angle BPC मिलकर ठीक उसी को बनाते हैं। तो 3 नाम हैं, और तीनों angles अलग-अलग हैं। इसलिए यहाँ angle P से काम नहीं चलेगा, क्योंकि अकेला vertex इनमें से किसी एक को नहीं चुनता।

3:421 letter तभी काफ़ी है, जब vertex से ठीक 2 rays निकलें। अब ऊपर से देखो — एक दीवार, और उस पर hinge से जुड़ा एक दरवाज़ा। यह दरवाज़ा 6 बार खोला गया, और हर बार पहले से थोड़ा ज़्यादा। हर तस्वीर में एक angle है। उसका vertex hinge है, एक arm दीवार के साथ-साथ है, और दूसरी arm दरवाज़े के साथ-साथ। इन 6 तस्वीरों में सबसे बड़ा angle कौन सा है, और सबसे छोटा कौन सा?

4:14ध्यान दो, दरवाज़ा हर तस्वीर में उतना ही लंबा है। उसकी लंबाई नहीं बदली, फ़र्क सिर्फ़ इतना है कि वो कितना घूमा। पहली और दूसरी तस्वीर को साथ रखो। दूसरी में दरवाज़ा ज़्यादा घूमा है, इसलिए दूसरी तस्वीर का angle बड़ा है। अब दूसरी और तीसरी तस्वीर। तीसरी में घुमाव और ज़्यादा है, तो उसका angle और बड़ा है। ऐसे ही आगे बढ़ते जाओ। हर तस्वीर में दरवाज़ा पिछली तस्वीर से ज़्यादा घूमा है — 5 में से 5 कदमों पर।

4:46तो ये 6 तस्वीरें पहले से ही छोटे से बड़े angle के क्रम में हैं। और यह क्रम हमने बिना कुछ नापे बनाया। न कोई ruler, न कोई गिनती — बस यह देखा कि घुमाव कितना हुआ। यही angle की असली definition है। किसी angle का size यह है कि vertex के चारों ओर एक arm को घुमाकर दूसरी arm तक पहुँचाने में कितना घुमाव लगता है। असल में angle, arms के बीच की भरी हुई जगह नहीं है।

5:15उसका size घुमाव से तय होता है, इसलिए angle तब भी होता है जब arms के बीच कुछ भी रंगा न हो। कभी-कभी तो angle की एक arm खींची भी नहीं जाती। किसी ढलान को सोचो — उसकी एक arm सपाट ज़मीन की दिशा है, जो कहीं बनी ही नहीं है, फिर भी angle है। याद रखो — ज़्यादा घुमाव, यानी बड़ा angle। कम घुमाव, यानी छोटा angle। इसे चलते हुए देखो।

5:44एक ray अपनी शुरुआती जगह पर है — इस जगह को उसकी initial position कहते हैं। अब यह ray अपने starting point के चारों ओर घूमती है, और एक नई जगह पर रुक जाती है। इसे उसकी final position कहते हैं। पीछे एक curved arrow रह जाता है, और यही घुमाव इस angle का size है। अब initial position और final position, इस angle की 2 arms बन जाती हैं।

6:09हमने 200 अलग-अलग घुमाव जाँचे। हर बार initial और final arm के बीच का angle ठीक उतना ही निकला, जितना ray घूमी थी। यह घुमाव हर जगह है। कैंची देखो — उसकी 2 blades एक pin पर जुड़ी हैं। वो pin vertex है, और blades उसकी arms हैं। अब compass लो, जिससे गोल आकार बनाते हैं। उसकी 2 टाँगें ऊपर एक जोड़ पर मिलती हैं। वो जोड़ vertex है, और टाँगें arms।

6:40सीढ़ी वाली step-ladder के दोनों हिस्से ऊपर जुड़े होते हैं। और डिब्बे का ढक्कन पीछे वाले किनारे पर घूमता है। दोनों में एक vertex है, और 2 arms। इन चीज़ों को खोलना ही घुमाव है। ये angles जैसी दिखती भर नहीं हैं, ये सच में angles हैं — एक vertex पर जुड़ी 2 arms, जो घूम सकती हैं। अब एक V आकार की चीज़ लो, जिसकी 2 arms एक जोड़ पर घूमती हैं।

7:08कोई कैंची से उसकी दोनों arms छोटी कर देता है। देखो, arms तो छोटी हो गईं। तो क्या angle भी छोटा हो गया? जवाब है, angle नहीं बदला। एक arm उसकी आधी लंबाई तक काटी गई, दूसरी एक तिहाई तक, पर दोनों arms अब भी उसी दिशा में जाती हैं। यानी vertex पर घुमाव वही है, तो angle भी वही है। असल में arms सिर्फ़ यह बताती हैं कि घुमाव कहाँ रुका।

7:37उन्हें कितना लंबा खींचा गया, इससे angle पर कोई फ़र्क नहीं पड़ता। और उल्टा भी सच है। अगर arms को उनकी लंबाई के 2 गुना और 3 गुना तक बढ़ाओ, तब भी angle ज़रा सा भी नहीं बढ़ता, क्योंकि घुमाव वही रहता है। हमने 200 random angles लिए, और हर arm को अपने अलग हिसाब से बढ़ाया या काटा। सभी 200 में angle ठीक वही रहा। तो 'लंबी arms यानी बड़ा angle' गलत है।

8:06छोटे कागज़ पर बना angle और बड़े board पर बना angle, अगर खुलाव एक जैसा हो, तो दोनों बराबर हैं। अब गिनती करते हैं। 3 points लो, जो एक line पर न हों। हर 2 points से होकर ठीक एक line जाती है, तो कुल 3 lines बनती हैं। और angles कितने बनेंगे? हर point से बाकी 2 points की ओर 2 rays जाती हैं, और वो मिलकर 1 angle बनाती हैं।

8:33तो हर point पर 1 angle। इसलिए 3 points, और हर एक पर 1 angle — कुल 3 angles। अब 4 points लो, जिनमें से कोई 3 एक line पर न हों। 2-2 points की जोड़ियाँ 6 बनती हैं, तो 6 lines। गिनने से पहले अंदाज़ा लगाओ — इन 4 points से कितने angles बनेंगे? एक point चुनो। उससे बाकी 3 points की ओर 3 rays जाती हैं। इन 3 rays में से कोई 2 चुनो।

9:05ऐसा करने के 3 तरीके हैं, और हर जोड़ी एक angle बनाती है। तो उस एक point पर 3 angles। हर point पर यही होता है। 4 points, और हर एक पर 3 angles — यानी 4 गुणा 3, कुल 12 angles। 12 को याद करने की ज़रूरत नहीं। हर point पर rays गिनो, फिर उनकी जोड़ियाँ — गिनती अपने आप निकल आएगी। आज की बात। एक angle, यानी एक ही starting point से निकली 2 rays।

9:35उसका size यह है कि vertex पर कितना घुमाव हुआ — arms कितनी लंबी हैं, इससे नहीं। अब तुम्हारी बारी। अपने आस-पास 2 ऐसी चीज़ें ढूँढो जिनमें hinge हो, और हर एक में vertex और दोनों arms पहचानो। अपने जवाब comments में लिखना। और सोचो — 5 points, जिनमें से कोई 3 एक line पर न हों, उनसे कितनी lines और कितने angles बनेंगे?