line of symmetry वह fold है जिससे दोनों हिस्से ठीक एक-दूसरे पर आ जाते हैं

0:00इन 4 चित्रों को देखिए: एक फूल, एक तितली, फ़र्श पर बना एक डिज़ाइन, और एक फिरकी। चारों में कुछ ऐसा है जो आँखों को अच्छा लगता है। और ज़्यादातर लोग इसके लिए एक ही शब्द चुनते हैं: symmetry। अब ये देखिए, बादलों की एक तस्वीर। इसमें वैसा कुछ भी नहीं है, इसका कोई भी हिस्सा कहीं दोबारा नहीं आता। तो पहले 4 में कुछ तो है, जो बादलों में नहीं है।

0:27मुश्किल ये है कि अभी तक सबूत बस इतना है, कि वो अच्छे दिखते हैं। और 'ये अच्छा दिखता है', इस बात पर कोई बहस कैसे कर सकता है? आख़िर तक हम इसकी जगह एक test रखेंगे। ऐसा test, जो ना भी कह सके। शुरुआत उस सबसे अच्छे वर्णन से कीजिए, जो बिना कुछ नापे किया जा सकता है। चारों चित्रों में, चित्र के कुछ हिस्से बार-बार लौटकर आते हैं।

0:54फूल की पंखुड़ी चारों तरफ़ घूमकर बार-बार आती है, कुल 6 बार। तितली का पंख 2 बार आता है, हर तरफ़ एक बार। फ़र्श वाले डिज़ाइन में एक ही आकार 4 बार आता है, और फिरकी की पत्ती 6 बार। और ये बिखरे हुए नहीं आते, बल्कि एक तय pattern में, बराबर-बराबर जगहों पर। ये एक सच्ची बात है, और शुरुआत के लिए बिल्कुल सही भी। पर ये अब भी बस उसी का वर्णन है, जो आपने देखा।

1:23और ये तब तक ठीक है, जब तक कोई आपसे असहमत न हो जाए। ये बात मायने क्यों रखती है? मान लीजिए, मैं आपको एक आकृति दिखाकर कहूँ कि ये symmetric है, और आप कहें कि नहीं है। तो अब, इसके आगे क्या होता है? अगर बस एक अंदाज़ा ही हो, तो आगे कुछ नहीं होता। दोनों फिर से देखते रहेंगे, पर कोई भी दूसरे को कुछ दिखा नहीं सकता।

1:49वर्णन आपको वही बताता है, जो आप पहले ही देख चुके हैं। test आपको कुछ ऐसा बताता है, जो आप नहीं जानते थे। और असली फ़र्क़ ये है, कि test लौटकर ना भी कह सकता है। तो हमें एक तरीक़ा चाहिए। कुछ ऐसा, जो बस एक काग़ज़ से हो जाए, और किसी की राय की ज़रूरत ही न पड़े। ये रहा वो तरीक़ा। एक triangle, जिसके 3 कोनों पर एक-एक रंगीन गोला है: नीचे के 2 पीले, और ऊपर वाला 1 magenta।

2:19और इसके बीच से, ऊपर से नीचे तक, एक dotted line जाती है। अब इस line पर मोड़िए। बायाँ आधा उठता है, और घूमकर दाएँ आधे पर आ जाता है। और ये ठीक बैठ जाता है। ढलान वाली 2 भुजाएँ एक-दूसरे पर आ जाती हैं। नीचे का बायाँ कोना, नीचे के दाएँ कोने पर, पीले पर पीला। और magenta वाला गोला ठीक मोड़ की line पर बैठा है, और वो ज़रा भी नहीं हिलता।

2:46कुछ बाहर नहीं निकलता, कुछ बचा नहीं रहता। यही test है, और आपने अभी इसे पास होते देखा। मोड़ ने triangle को बीच से बाँट दिया है, और इन टुकड़ों का एक नाम है: mirror halves, यानी दर्पण वाले आधे। ये नाम इसलिए, क्योंकि मोड़ पर एक दर्पण सीधा खड़ा करें, तो हर आधा वही है, जो उस दर्पण में दिखेगा। अब एक आधे को, मोड़ की line के साथ देखिए।

3:15तब दूसरा आधा, कोई नई जानकारी नहीं है। वो पहले से तय है, उसके बारे में बताने को कुछ बचा ही नहीं। तो सोचिए, symmetry आपको असल में देती क्या है? line of symmetry का मतलब है: आधी आकृति काफ़ी है। एक तरफ़ और मोड़ की line मिल जाए, तो बाक़ी आकृति बिना एक भी सवाल पूछे बन जाती है। अब वो case, जो ज़्यादा मायने रखता है। ये एक square है, जो jigsaw की तरह, आपस में फँसे 4 टुकड़ों से बना है।

3:47हर टुकड़े के एक किनारे से एक tab बाहर निकला है, और अगले किनारे में, उसी नाप का एक खाँचा कटा है। और इसके भी ठीक बीच से, ऊपर से नीचे तक, एक dotted line। ये line सच में बीच में है। square का area 16 है, और ये line उसे 8 और 8 में बाँटती है। कोई नहीं कह सकता, कि ये किसी तरफ़ खिसकी हुई है। अब इसे भी उसी तरह मोड़िए, बाएँ आधे को दाएँ आधे पर।

4:15नीचे की तरफ़, मुड़ा हुआ tab खाँचे में नहीं गिरता, वो line के पार बाहर निकल आता है। और ऊपर की तरफ़, दाएँ का एक हिस्सा ढका ही नहीं जाता, वहाँ जगह ख़ाली छूट जाती है। तो मोड़ फ़ेल हो गया। जबकि line बिल्कुल सही दिख रही थी। तो ये रही परिभाषा, और इसे धीरे-धीरे कहना चाहिए। line of symmetry वो line है, जिस पर आकृति को मोड़ें, तो उसके दोनों हिस्से एक-दूसरे पर बिल्कुल ठीक-ठीक आ जाएँ।

4:44इस वाक्य का सारा काम एक ही शब्द करता है: बिल्कुल ठीक-ठीक। लगभग नहीं, क़रीब-क़रीब नहीं, और इतना पास भी नहीं, कि कमरे के दूसरे कोने से किसी को पता न चले। jigsaw की line बीच से जाती है, area को आधा-आधा बाँटती है, और पूरी तरह ठीक लगती है। फिर भी वो line of symmetry नहीं है, क्योंकि नाख़ून जितना चौड़ा एक tab, किनारे के बाहर लटका रह जाता है।

5:10और ज़रा सोचिए: triangle की चोटी को बाल-भर एक तरफ़ खिसका दें, तो उसकी भी एक भी line of symmetry नहीं बचती। जिस मोड़ से ज़रा-सा भी हिस्सा बाहर रह जाए, वो फ़ेल है। यहाँ थोड़ा-सा पास होने जैसा कुछ नहीं होता। यहाँ एक आदत रास्ते में आती है, और उसे जल्दी तोड़ देना अच्छा है। लोग बस सीधी खड़ी मोड़ lines ढूँढते हैं। एक square लीजिए, सीधा रखा हुआ।

5:37उसकी 4 मोड़ lines हैं: 1 खड़ी, 1 आड़ी, और 2 जो कोने से कोने तक जाती हैं। अब उसी square को, उसके एक कोने पर खड़ा कीजिए। ये वही square है, और उसकी मोड़ lines अब भी 4 ही हैं। पर वो सब उसके साथ घूम गई हैं। कोने से कोने वाली lines, अब खड़ी और आड़ी हैं। और बाक़ी 2, काग़ज़ पर तिरछी चलती हैं। square में कुछ नहीं बदला।

6:04बस उसे रखने का तरीक़ा बदला। तो तिरछी मोड़ lines भी ढूँढिए, वरना वो छूट जाएँगी। अब इस test को वापस उन 4 चित्रों पर ले चलिए, जिनसे शुरुआत की थी। पहले फूल, जिसके बीच के चारों ओर 6 पंखुड़ियाँ हैं। इसे एक पंखुड़ी के बीच से मोड़िए, और ये ठीक बैठ जाता है। पर ऐसी कितनी अलग-अलग lines काम करती हैं? जवाब है 6: 3 lines पंखुड़ियों के बीच से होकर, और 3 पंखुड़ियों के बीच की ख़ाली जगहों से।

6:36तितली में एक मोड़ है, दोनों पंखों के बीच से, ऊपर से नीचे। और ये ठीक बैठ जाती है। ठीक 1, बस। फ़र्श वाला डिज़ाइन, जिसमें बीच के चारों ओर 4 एक-जैसे आकार हैं: इसकी 4 मोड़ lines। और बादलों के साथ क्या होता है? कोई भी line आज़माइए, एक भी काम नहीं करती। यानी जवाब है 0। और ये भी एक असली जवाब है, इससे चित्र में कोई कमी नहीं आ जाती।

7:05पर असली मज़ा फिरकी में है। 6 पत्तियाँ, बराबर दूरी पर, हर एक बिल्कुल एक-जैसी। कोई चित्र इससे ज़्यादा व्यवस्थित क्या होगा। इसे मोड़कर देखिए। बीच से, नहीं। किसी पत्ती से होकर, नहीं। पत्तियों के बीच से, नहीं। तिरछा, किसी भी angle पर, नहीं। फिरकी की line of symmetry है ही नहीं। गिनती 0 है। इतनी व्यवस्थित होकर भी, ऐसा क्यों? क्योंकि हर पत्ती एक ही दिशा में झुकी है।

7:39दर्पण उन्हें उल्टी तरफ़ झुका देगा, और फिर वो मेल नहीं खाएँगी। और इसका सबूत: यही 6 पत्तियाँ सीधी खड़ी करके बनाइए, तो 6 मोड़ lines लौट आती हैं। फिरकी के पास जो है, वो है घूमना। इसे चक्कर का छठा हिस्सा घुमाइए, और ये बिल्कुल पहले जैसी दिखती है। ये भी सच्ची बात है, पर ये एक अलग गुण है। और jigsaw में भी यही है: उसे चौथाई चक्कर घुमाइए, वो भी पहले जैसा लौट आता है।

8:07दोनों सुंदर घूमते हैं, और कोई भी मुड़ता नहीं। यही तो फ़ायदा है, अंदाज़े की जगह test होने का। ये रहीं 5 सादी आकृतियाँ, न कोई रंग, न कोई पसंद-नापसंद। एक तीर जैसी आकृति, जिसके नीचे एक खाँचा कटा है: इसकी 1 मोड़ line, सीधी उसकी नोक से नीचे। एक kite: 1 मोड़, उसकी लंबाई की दिशा में। और आड़ी दिशा वाली line पर? वो फ़ेल होती है। 4 भुजाओं वाली एक आकृति, एक भुजा खड़ी और ऊपर का किनारा तिरछा: इसकी एक भी नहीं।

8:44एक L, जिसकी दोनों भुजाएँ बराबर लंबी हैं: 1 मोड़, और वो कोने से कोने तक तिरछा जाता है। अगर बस खड़ी lines ढूँढते, तो आप कहते कि एक भी नहीं। और L की एक भुजा थोड़ी लंबी कर दीजिए, तो वो तिरछा मोड़ भी चला जाता है। और आख़िर में, एक लंबा पतला triangle: इसकी भी एक भी नहीं। 5 आकृतियाँ, और किसी पर भी किसी की राय की ज़रूरत नहीं पड़ी।

9:11आख़िरी बात, और ये बस शब्दों के बारे में है। जिस line पर मोड़ते हैं, उसे line of symmetry भी कहते हैं, और axis of symmetry भी। दोनों का मतलब बिल्कुल एक है, और कोई भी दूसरे से ज़्यादा सही नहीं है। और जिस चीज़ को ये नाम देते हैं, वो इस पर निर्भर नहीं करती, कि किसी ने उसे खींचा है या नहीं। यहाँ की सारी dotted lines आपकी मदद के लिए थीं, आकृतियों का हिस्सा नहीं।

9:36triangle की मोड़ line खींचें या न खींचें, वो वहीं है। और jigsaw पर line खींच देने से, उसे कोई मोड़ नहीं मिल जाता। किसी आकृति की जितनी मोड़ lines हैं, उतनी ही हैं, देखी गई हों या नहीं। test उन्हें ढूँढता है, उन्हें बनाता नहीं।