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Chapter 9 · Symmetry

एक figure की कई lines of symmetry क्यों हो सकती हैं

Lines of symmetry11 मिनट

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एक square को बीच से मोड़िए — दोनों आधे ठीक-ठीक मिलते हैं। यहीं रुककर कहने का मन करता है कि square symmetric है। पर वो मोड़ square के बारे में बस 1 तथ्य है। उसी काग़ज़ को आड़ा मोड़िए, फिर कोने से कोने तक, फिर दूसरी तरफ़ — 4 निशान, और फिर गिनती वहीं रुक जाती है, क्योंकि मोड़ को कोनों को कोनों पर ही भेजना है।

मुख्य idea

symmetry हाँ-या-ना वाला गुण नहीं है, और इसकी वजह यह है कि हर सफल fold figure के बारे में एक अलग तथ्य है। इसलिए "क्या यह symmetric है?" का सच्चा जवाब एक संख्या है, और वह संख्या figure की मापों से तय होती है, इससे नहीं कि वह कितनी साफ़ बनी है: square और rectangle बराबर नियमित दिखते हैं, फिर भी square diagonal पर fold मान लेता है और rectangle मना कर देता है, क्योंकि diagonal पर fold यह माँगता है कि उस कोने पर मिलने वाली दोनों भुजाएँ बराबर हों।

आपको क्या आना चाहिए

  • मोड़कर square की हर line of symmetry ढूँढ़ना, और बताना कि वे कितनी हैं
  • समझाना कि square का diagonal line of symmetry क्यों है और ऐसे rectangle का diagonal क्यों नहीं जो square नहीं है
  • दी गई भुजाओं की संख्या वाले regular polygon की lines of symmetry की संख्या बताना, और उसे सही ठहराना
  • ऐसे triangles बनाना जिनकी ठीक तीन, ठीक एक, और कोई भी line of symmetry न हो
  • यह तर्क देना कि किसी triangle की ठीक दो lines of symmetry नहीं होतीं
  • घुमावदार किनारे वाली ऐसी figures बनाना जिनकी lines of symmetry की संख्या दी गई हो
  • किसी पारंपरिक design या काग़ज़ की कटी आकृति की lines of symmetry गिनना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
line of symmetryवह line जिस पर figure मोड़ने से हिस्से एक-दूसरे पर आ जाते हैंसममिति रेखा§9.1, p.219 — वहाँ bold में छपा और परिभाषित
multiple lines of symmetryवह हालत जिसमें ऐसी एक से ज़्यादा lines होंअनेक सममिति रेखाएँ§9.1, p.221 और Summary, p.241 — दोनों pages पर कहा गया
diagonalचार भुजाओं वाली figure के आमने-सामने के दो कोनों को जोड़ने वाली lineविकर्ण§9.1, pp.220–221 — square और rectangle वाले हिस्से में बार-बार इस्तेमाल
squareचार भुजाओं वाली figure जिसकी सारी भुजाएँ बराबर और सारे angles बराबर होंवर्ग§9.1, p.220 — section का हल किया हुआ उदाहरण
rectangleबराबर angles वाली चार भुजाओं की figure, जिसकी पास-पास की भुजाएँ अलग हो सकती हैंआयत§9.1, p.221 — तुलना वाला उदाहरण
regular polygonकई भुजाओं वाली figure जिसकी सारी भुजाएँ बराबर और सारे angles बराबर होंसम बहुभुज§9.2, p.239, Q8 — वहाँ नाम लिया गया, और Chapter 1, §1.5, Table 3, p.10 से आगे लाया गया
hexagonछह भुजाओं वाली figureषट्भुज§9.1, p.227, Q6c — exercise में दिया गया, उसकी सारी भुजाएँ बराबर और सारे angles बराबर
kolamdot grid के चारों ओर बनाया जाने वाला दक्षिण भारतीय फ़र्श designकोलम§9.1, p.228 — Q8 में छपा
equilateralजिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होंसमबाहुइस chapter में नहीं छपा — किताब ऐसे triangle का वर्णन उसकी बराबर भुजाओं और angles से करती है (§9.1, p.226, Q6b)
isoscelesजिसकी ठीक दो भुजाएँ बराबर होंसमद्विबाहुइस chapter में नहीं छपा — Q9a के एक fold line वाले triangle के लिए इस व्याख्या का शब्द
fold countकिसी figure की lines of symmetry की संख्या—इस व्याख्या का अपना छोटा नाम; किताब गिनती तो करती है पर उसे नाम नहीं देती

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारा नहीं गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर एक diagonal line of symmetry है, तो हर diagonal है।" square और rectangle किताब के एक ही page पर ठीक इसी सोच को तोड़ने के लिए रखे गए हैं।
  • "rectangle की square की तरह चार lines of symmetry होती हैं।" दोनों मध्य-lines काम करती हैं; कोई diagonal नहीं करता। दो, चार नहीं।
  • "ज़्यादा भुजाओं का मतलब हमेशा ज़्यादा symmetry है।" यह सिर्फ़ regular polygons के लिए सच है। एक irregular hexagon की कोई भी नहीं हो सकती। section 8 में सारा काम regular शब्द कर रहा है।
  • "figure को घुमाने से उसकी lines of symmetry बदल जाती हैं।" कोने पर खड़े square (Q6a, p.226) की अब भी चार हैं; page पर बस उनकी दिशाएँ बदलती हैं।
  • "ठीक दो lines of symmetry नामुमकिन हैं।" यह triangle के लिए नामुमकिन है, और Q9 यही पूछता है। rectangle की ठीक दो होती हैं। नामुमकिन होने का दायरा साफ़ रखो, वरना students इसे हर जगह लागू कर देते हैं।
  • "घुमावदार figures की lines of symmetry नहीं हो सकतीं।" Q10 इसी को ग़लत साबित करने के लिए है; disc, oval और rosette, सब पर fold test चल सकता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q6, Figure it Out · 2 Q7, Figure it Out · 2 Q8, Figure it Out · 2 Q9, Figure it Out · 2 Q10, Figure it Out · 4 Q8

पूरा transcript1,546 शब्द

ये एक square है, और इसके बीच से, ऊपर से नीचे तक, एक line। इस line पर मोड़िए, तो दोनों आधे एक-दूसरे पर बिल्कुल ठीक-ठीक आ जाते हैं। तो ये line test पास करती है। और यहीं रुक जाने का मन करता है। square symmetric है, बात ख़त्म। पर देखिए, असल में साबित क्या हुआ। 1 line काम करती है। square के बारे में, ये 1 तथ्य है। पर क्या इससे पता चलता है, कि कोई दूसरी line काम नहीं करती?

बिल्कुल नहीं, क्योंकि हर पास होने वाली line, आकृति के बारे में एक अलग तथ्य है। पहली पर रुक गए, तो बाक़ी सब हाथ से गए। तो असली सवाल ये नहीं, कि square symmetric है या नहीं। असली सवाल है: कितनी lines पास होती हैं। एक square काग़ज़ लीजिए, और पता कीजिए। तरकीब ये है: हर मोड़ के बाद काग़ज़ को फिर खोल दीजिए, ताकि सारे निशान एक ही काग़ज़ पर जमा होते जाएँ।

पहले खड़ा मोड़िए, बीच से, और खोलिए। एक निशान बना, और दोनों आधे ठीक-ठीक मिले। अब आड़ा मोड़िए, बीच से, और खोलिए: ये दूसरा निशान। अब कोने से कोने तक मोड़िए, और खोलिए: ये तीसरा निशान। और दूसरी तरफ़, फिर कोने से कोने तक: ये चौथा निशान। 4 मोड़, 4 निशान, और हर बार दोनों आधे एक-दूसरे पर बिल्कुल ठीक-ठीक आए। तो इस square की कम से कम 4 lines of symmetry हैं, और चारों उसके केंद्र से होकर जाती हैं।

कम से कम 4, ठीक है। पर क्या कोई पाँचवीं भी है? इसका फ़ैसला एक तर्क से होता है। जब काग़ज़ मुड़ता है, तो हर कोने को कहीं न कहीं गिरना है, और जहाँ वो गिरे, वहाँ भी एक कोना होना चाहिए। वरना काग़ज़ बाहर निकलेगा। तो मोड़ की line को, 4 कोनों को 4 कोनों पर ही भेजना होगा। किसी और angle पर line आज़माइए। ये कोना यहाँ आकर गिरता है, और वहाँ कोई कोना नहीं।

काग़ज़ किनारे के बाहर। कोनों को कोनों पर भेजने वाली lines बस 4 हैं: 2 आमने-सामने की भुजाओं के बीच से, और 2 आमने-सामने के कोनों से। खड़ा मोड़, बाएँ के 2 कोनों को दाएँ के 2 कोनों से बदल देता है। और कोने से कोने वाला मोड़, 2 कोनों को अपनी जगह रखता है, और बाक़ी 2 को आपस में बदलता है। जवाब है 4। अब तक के 4 नहीं, बल्कि पूरे 4, और बात यहीं ख़त्म।

और square को एक कोने पर खड़ा कर दें, तब भी lines 4 ही रहती हैं, बस उसके साथ घूम जाती हैं। अब एक rectangle: 8 सेंटीमीटर लंबा, और 3 सेंटीमीटर ऊँचा। ये भी square जितना ही साफ़-सुथरा दिखता है: वही right angles, वही सीधी भुजाएँ, उसी ruler से बनी। इसे खड़ा मोड़िए, बीच से: ये काम करता है। अब आड़ा मोड़िए, बीच से: ये भी काम करता है। तो 2 हो गईं, और ये वही 2 हैं, जो square की भी थीं।

square की 2 और थीं, उसके diagonals पर। तो ये रहा इस rectangle का diagonal, कोने से कोने तक। मोड़ने से पहले ख़ुद तय कीजिए: आपके हिसाब से क्या होगा? जवाब पर पक्का होना ज़रूरी है, क्योंकि ज़्यादातर लोग ग़लत जवाब पर पक्के हो जाते हैं। अब मोड़िए, और देखिए: काग़ज़ की एक पट्टी किनारे के बाहर लटक जाती है, और वो भी काफ़ी बड़ी। उस कोने को देखिए, जहाँ से मोड़ शुरू हुआ।

वहाँ 2 भुजाएँ मिलती हैं: एक 8 सेंटीमीटर की, और दूसरी 3 की। मोड़ को इन दोनों में से एक भुजा को, दूसरी पर लिटाना है। पर 8 सेंटीमीटर की भुजा, 3 सेंटीमीटर की भुजा पर नहीं बैठ सकती। तो लंबी भुजा घूमकर, ऊपर वाले किनारे को लगभग 3 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर पर काटती है, और सीधी आगे निकल जाती है। उसका लगभग 3 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर हिस्सा, काग़ज़ के पूरी तरह बाहर है।

और उसका सिरा, ऊपर के किनारे से लगभग 2 सेंटीमीटर 3 मिलीमीटर ऊपर। ऐसा नहीं कि diagonal लगभग काम करता है। वो फ़ेल होता है, और बुरी तरह फ़ेल होता है। इससे rectangle का फ़ैसला हो गया। बीच वाली उसकी 2 lines काम करती हैं, diagonal कोई नहीं। यानी rectangle की 2 lines of symmetry हैं, 4 नहीं। अब square की ओर लौटिए, और पूछिए: उसके diagonals क्यों काम कर गए?

क्योंकि जिस कोने से मोड़ शुरू होता है, वहाँ मिलने वाली दोनों भुजाएँ बराबर हैं: 8 और 8, या 3 और 3। इन दोनों आकृतियों में पूरा फ़र्क़ यही है। साफ़-सफ़ाई नहीं, right angles नहीं, बस एक नाप। square वो rectangle है, जिसकी भुजाएँ बराबर हैं। और बस इसी एक बराबरी से, 2 और मोड़ lines मिलती हैं। हर rectangle पर आज़माइए, 1 गुणा 1 से 12 गुणा 12 तक, कुल 144: 4 lines ठीक तब, जब वो square हो, और बाक़ी सब में 2।

3 और आकृतियाँ, जिन्हें सराहना नहीं, गिनना है। एक snowflake, 6 नोकों वाला। एक नोक से होकर मोड़िए, काम करता है। नोकों के बीच से मोड़िए, वो भी काम करता है। ऐसे ही घूमते जाइए: 3 नोकों से होकर, और 3 बीच से, कुल 6 lines। एक square गाँठ, जिसके हर कोने पर एक गोल फंदा है: खड़ी, आड़ी, और दोनों diagonals, यानी 4। एक 8 नोकों वाला तारा, जो 2 squares को एक-दूसरे पर तिरछा रखकर बना है।

हर नोक से होकर, और नोकों के बीच से भी: कुल 8। 6, 4 और 8: इनमें से एक भी गिनती, आकृति के सुंदर दिखने से नहीं आई। हर एक को, line-दर-line मोड़कर गिना गया, और lines ख़त्म होने पर ही रुका गया। एक pattern आ रहा है, और इसे सावधानी से कहना चाहिए। एक triangle, जिसकी सारी भुजाएँ बराबर हैं, और सारे angles भी: उसकी 3 lines of symmetry।

square की 4, उसी तरह की 5 भुजाओं वाली आकृति की 5, और 6 भुजाओं वाली की 6। फिर 7, 8, 9, 10: हर एक की ठीक उतनी मोड़ lines, जितनी उसकी भुजाएँ। ऐसी आकृतियों को regular polygon कहते हैं। पर इस वाक्य का सारा बोझ, 'सब बराबर' उठा रहा है। ये रही 6 भुजाओं वाली एक आकृति, जिसकी सारी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हैं। इसकी एक भी मोड़ line नहीं है, बिल्कुल एक भी नहीं।

ज़्यादा भुजाओं से ज़्यादा symmetry नहीं मिलती। बराबर भुजाओं और बराबर angles से मिलती है। triangles पर अलग से रुकना चाहिए, क्योंकि उनके पास बस 3 ही जवाब हो सकते हैं। सारी भुजाएँ बराबर: 3 मोड़ lines, हर कोने से एक। ठीक 2 भुजाएँ बराबर: 1 मोड़ line, उस कोने से, जहाँ वो दोनों मिलती हैं। सारी भुजाएँ अलग-अलग: एक भी नहीं। यानी 3, 1, या 0। जितने चाहें उतने triangles बनाइए: लंबे-पतले, चपटे, या एक कोना दूर बगल में खिंचा हुआ।

जवाब इन्हीं में से एक होगा। 5 गुणा 5 बिंदुओं के एक grid पर, कोनों वाले सारे triangles जाँचे गए, कुल 2148। हर एक का जवाब 1 या 0 निकला। 3 इसलिए नहीं आया, क्योंकि ऐसे grid पर सारी भुजाएँ बराबर हो ही नहीं सकतीं। और ध्यान दीजिए: इस सूची में कौन-सा जवाब नहीं है? 2 नहीं है। और 2 क्यों नामुमकिन है, इसका तर्क छोटा-सा है। triangle की कोई भी मोड़ line लीजिए।

triangle के 3 कोने हैं, और 3 विषम है, तो मोड़ उन्हें जोड़ों में नहीं बाँट सकता। एक कोना line पर ही रहता है, और बाक़ी 2 आपस में जगह बदलते हैं। यानी उस टिके कोने पर मिलने वाली 2 भुजाएँ भी जगह बदलती हैं, तो वो बराबर हैं। triangle की हर मोड़ line, उसकी भुजाओं का एक जोड़ा बराबर कर देती है। अब मानिए, दूसरी भी होती। वो किसी और कोने को टिकाती, तो भुजाओं का एक और जोड़ा बराबर करती।

3 भुजाओं में से 2 जोड़े, और उनमें एक भुजा साझी होगी ही। तो सारी भुजाएँ बराबर निकलती हैं। और सारी भुजाएँ बराबर हों, तो मोड़ lines 3 होती हैं, 2 नहीं। तो 2 कोई चूका हुआ जवाब नहीं, वो हो ही नहीं सकता। पर ध्यान रहे, ये बात बस triangles की है। rectangle की ठीक 2 lines हैं। एक और बात, क्योंकि यहाँ लोग अक्सर अटकते हैं: test ने कभी सीधे किनारे नहीं माँगे।

ये एक आधी चकती है: एक गोल किनारा, एक सीधा। खड़ा मोड़िए, काम करता है। किसी और तरह मोड़िए, नहीं करता: यानी 1 line। ये एक अंडाकार है। खड़ा काम करता है, आड़ा काम करता है, और कुछ नहीं: यानी 2। और 4 एक-जैसी पंखुड़ियों वाला एक फूल: आमने-सामने की पंखुड़ियों से होकर 2, और पंखुड़ियों के बीच से 2 और, कुल 4। गोल किनारे भी सीधे किनारों जितने ही अच्छे से मुड़ते हैं।

test को कभी इससे मतलब नहीं था, कि किनारा किस चीज़ का बना है। तो ये गिनती असल में बताती क्या है? ये नहीं कि आकृति कितनी सावधानी से बनी। square और rectangle, एक ही ruler से बने थे। ये भी नहीं कि वो किस तरफ़ रखी है। आकृति घुमाइए, उसकी मोड़ lines साथ घूमती हैं, गिनती नहीं बदलती। ये गिनती नापती है, कि आकृति का कितना हिस्सा दोहराया गया है: उसे ख़ुद पर कितने अलग तरीक़ों से लिटाया जा सकता है।

6 सेंटीमीटर के square को बस 1 मिलीमीटर खींच दीजिए, यानी 60 गुणा 61 मिलीमीटर। उसकी 4 में से 2 lines उसी पल ग़ायब। देखने में कुछ नहीं बदला, पर गिनती बदल गई। इसीलिए ईमानदार जवाब एक संख्या है, सिर्फ़ 'हाँ' नहीं। हाँ और ना, इन दोनों आकृतियों में फ़र्क़ नहीं कर सकते। 4 और 2 कर सकते हैं। इसलिए अगली बार कोई आकृति दिखे, तो पूछिए मत कि symmetric है या नहीं, गिनिए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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