Line और ray: रुकने से मना करने पर क्या बदलता है

0:00पिछली बार हमने segment देखा था — 2 points, और उनके बीच का सबसे छोटा route। अब उसी तरह का एक segment PQ लो, और उसके साथ एक अजीब काम करो। उसे P के आगे बढ़ाओ, उसी सीध में। फिर Q के आगे भी बढ़ाओ। और रुको मत — दोनों ओर बढ़ाते जाओ। जो segment दोनों ओर बिना रुके चलता रहे, उसे line कहते हैं। segment के 2 end points थे, line का एक भी नहीं।

0:28कई लोग सोचते हैं कि line बस एक लंबा segment है। तो उसके end points बताओ। बता नहीं सकते, क्योंकि line के end points होते ही नहीं। और जिसके सिरे न हों, उसकी लंबाई भी नहीं नापी जा सकती। अगर कागज़ बहुत बड़ा हो, तो क्या पूरी line बनाई जा सकती है? मान लो तुमने line को पहले 4 units लंबा खींचा, फिर 6, फिर 8, फिर 10। हर बार लंबी, पर हर बार कहीं न कहीं रुकी।

0:59जहाँ भी तुम रुको, उससे 1 unit आगे भी line का एक point है, जो तुम्हारी drawing में नहीं है। 1000 अलग drawings पर जाँचा — हर एक के आगे line बाकी थी। इसलिए line कभी पूरी नहीं बनती। यह कागज़ की कमी नहीं, line का मतलब ही यही है। दोनों सिरों पर बने arrowheads यही कहते हैं — यह आगे चलती रहती है। arrowhead का मतलब सीधा होना नहीं है।

1:24एक सीधे segment पर कोई arrowhead नहीं लगता, क्योंकि वो रुकता है। arrowhead का मतलब है, बिना अंत के आगे। अब लिखने का तरीका। segment PQ के letters के ऊपर एक सादी पट्टी। line PQ के ऊपर वही पट्टी, पर दोनों सिरों पर arrowheads के साथ। line को एक small letter से भी बुला सकते हैं, जैसे m या l। तो यह line PQ है, QP है, और m भी।

1:54अगर line m पर 4 named points हों, P, Q, R और S, तो उनमें से कोई भी 2 लो, किसी भी क्रम में। 2 letters वाले 12 नाम बनते हैं, और सब एक ही line m के नाम हैं। notation, definition को याद रखता है। सादी पट्टी यानी रुकने वाला segment, और दोनों ओर arrow यानी कभी न रुकने वाली line। अब 2 points लो, A और B। उन दोनों से होकर कितनी lines जा सकती हैं?

2:26A से होकर हर degree पर एक line खींचो — 180 lines, और उनमें से B से होकर सिर्फ़ 1 जाती है। हर आधी degree पर खींचो, तो 360 lines, फिर भी B से होकर सिर्फ़ 1। degree के दसवें हिस्से पर 1800 lines, और फिर भी 1। 2 points से होकर ठीक 1 line जाती है, न ज़्यादा, न कम। 200 अलग जोड़ियों पर जाँचा, हर बार 1। 2 points के बीच routes अनगिनत थे, पर उनसे होकर जाने वाली line सिर्फ़ 1 है।

3:01अब एक सवाल को उसके जोड़ीदार के साथ रखो। 1 point से कितनी lines गुज़रती हैं? और 2 points से कितनी? 1 point से — हर degree पर 180, हर आधी degree पर 360, और दसवें हिस्से पर 1800। grid जितना बारीक, lines उतनी ज़्यादा, और कोई अंत नहीं। इसे हाथ से भी देख सकते हो। एक point पर pencil की नोक रखो, और उस पर ruler टिका कर घुमाओ।

3:29ruler जितनी बार रुके, उतनी बार उस point से होकर एक नई line बनती है। जवाब उल्टी दिशाओं में जाते हैं। 1 point से अनगिनत lines, और 2 points से ठीक 1। वो नया point ही उन अनगिनत lines में से 1 को चुनता है। इसलिए यह सोचना गलत है कि 1 point से भी 1 ही line जाती है। 1 point किसी line को तय नहीं करता, 2 points करते हैं।

3:56अब एक line पर एक point A चुनो, और A के एक तरफ़ का हिस्सा मिटाओ। जो बचा, वो A से शुरू होता है, और एक ही दिशा में बिना अंत चलता है। इसे ray कहते हैं, और A उसका starting point है। ray पर आगे एक point P लो। यह ray AP है, और उसकी पट्टी पर सिर्फ़ एक arrowhead है, उस ओर जिधर ray चलती है। पर ध्यान रहे, line को A पर काटने से एक नहीं, 2 rays बनती हैं।

4:27दोनों A से शुरू होती हैं, उल्टी दिशाओं में। 201 points पर जाँचा — A के सिवा हर point इनमें से ठीक एक ray पर था, और A दोनों पर। segment, ray और line — 2 सिरे, 1 सिरा, और 0 सिरे। line से एक सिरा वापस आया, और उसके साथ एक दिशा भी आई। ऐसी rays हमें रोज़ दिखती हैं। lighthouse की रोशनी lighthouse से शुरू होकर समुद्र की ओर जाती है।

4:57torch की रोशनी torch से शुरू होती है, और धूप सूरज से। हर एक का एक starting point है, और एक दिशा। और ये सब model हैं। असली रोशनी कहीं न कहीं धुंधली हो जाती है, पर ray कभी नहीं रुकती। ray का नाम लिखते समय starting point हमेशा पहले आता है। इस आकृति को देखो। point T से 2 रास्ते निकलते हैं — एक ऊपर की ओर A से होकर, और एक दाईं ओर, पहले N से, फिर B से होकर।

5:28यहाँ rays के 4 नाम हैं — TA, TN, TB और NB। इनमें से 3, T से शुरू होते हैं। पर NB पर ध्यान दो। यह T से नहीं, N से शुरू होती है, इसलिए इसका नाम N से शुरू होता है। पहला letter alphabet से नहीं, आकृति से आता है। और TN और TB? दोनों T से शुरू होकर एक ही ओर जाती हैं, यानी ये एक ही ray के 2 नाम हैं।

5:55तो नाम 4, पर rays 3। एक ray O से शुरू होती है, पहले B से गुज़रती है, और फिर A से। इसे OA कह सकते हो, और OB भी, क्योंकि B भी उसी ray पर आगे है। दूसरा letter कोई भी हो सकता है, बस वो उसी ray पर आगे हो। और अगर A के भी आगे एक point C हो, तो OC भी उसी ray का नाम है।

6:21तो नाम 3 हैं, पर ray एक ही है। यह ज़रूरी नहीं कि दूसरा letter सबसे दूर वाला point हो। एक ray के कई सही नाम होते हैं, और सब O से शुरू होते हैं। segment XY और YX एक ही थे। तो क्या ray OA और ray AO भी एक ही हैं? नहीं, AO का starting point A है। वो A से शुरू होकर O की ओर जाती है, और O के भी आगे।

6:51एक ही line पर, ये दोनों उल्टी दिशाओं में चलती हैं। AO में O है, पर OA में O के पीछे का कोई point नहीं। segment के letters उल्टे करो, तो वही segment। ray के letters उल्टे करो, तो कोई और ray। वजह यह है कि ray की एक दिशा है, segment की नहीं। इसीलिए ray के नाम में letters का क्रम मायने रखता है, और segment के नाम में नहीं।

7:18अब एक भरी हुई आकृति पढ़ो। एक line पर points D, E, O और B हैं। O से ऊपर की ओर एक arrow है, और O से दाईं ओर C से होकर एक और arrow। named points 5 हैं — D, E, O, B और C, और उनमें से 4 line पर हैं। line एक ही है, उसे DE, EO, OB या DB, किसी भी नाम से बुला सकते हो।

7:46और rays कितनी हैं? 2 letters से बनने वाले 13 नाम हैं, पर अलग rays 7 — जैसे OB, OD, OC, ED और EO। ऊपर वाले arrow पर O के सिवा कोई named point नहीं है, इसलिए उसे 2 letters का नाम नहीं मिल सकता। और segments कितने हैं? line के 4 points की 6 जोड़ियाँ, और OC — कुल 7। एक सही जवाब यह है — rays OB, OD, OC और ED, जो 4 अलग rays हैं।

8:18और segments DE, EO, OB, OC और DB। तो 4 rays और 5 segments चुनने के कई सही तरीके हैं। यह सवाल एक ही जवाब नहीं माँगता, बल्कि ऐसी पढ़ाई माँगता है जिसका तुम बचाव कर सको। आज की बात। line, segment के दोनों सिरे हटाने से बनती है, और 2 points से ठीक 1 line जाती है। ray एक सिरा रखती है, और उसके नाम में starting point पहले आता है।

8:48अब तुम्हारी बारी। एक rough figure बनाओ — 2 rays, जो point O पर मिलें। फिर 2 lines, जो point X पर एक-दूसरे को काटें। अपने जवाब comments में लिखना। और सोचो — 3 points, जो एक line पर न हों, उनमें से 2-2 को जोड़ने वाली कितनी lines बनेंगी? और क्या उनमें से कोई 2 lines एक ही line हो सकती हैं?