PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 9, Symmetry
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मोड़ना बताता है कि line, line of symmetry है या नहीं — और बस इतना। ऊपर से उसके लिए काग़ज़ चाहिए। तो पूरी आकृति मोड़ने के बजाय, 1 बिंदु को line के पार भेजिए, फिर अगले को: test वही, पर अब हर बिंदु का एक नाम वाला साथी है। square के कोनों पर A, B, C, D लिखिए, और खड़ा मोड़ बन जाता है A के साथ B, D के साथ C — 2 जोड़े, कुछ नहीं बचा।
मुख्य idea
मोड़ना ऐसी चीज़ है जो तुम काग़ज़ के साथ करते हो; reflection ऐसी चीज़ है जो तुम एक अकेले point के साथ कर सकते हो। chapter का एक से दूसरे पर जाना सिर्फ़ शब्द बदलना नहीं है — यही symmetry को काम लायक़ बनाता है, क्योंकि जैसे ही पता हो कि हर कोना line पार करके एक नाम वाले साथी पर जाता है, square के अक्षर पहले से बता देते हैं कि कौन-सा कोना कहाँ पहुँचेगा, और तुम squared paper पर आधी drawing बिना कोई काग़ज़ मोड़े पूरी कर सकते हो।
आपको क्या आना चाहिए
- fold test को इस कथन की तरह फिर से कहना कि हर point कहाँ जाता है
- A, B, C, D नाम वाला square और एक बताई गई line of symmetry दी हो, तो बताना कि कौन-सा कोना किस पर आता है
- figure के वे points पहचानना जिन्हें दिया गया reflection अपनी जगह पर छोड़ देता है
- नाम वाले square को एक diagonal पर और हर मध्य-line पर reflect करने का असर पहले से बताना
- कम से कम एक line of symmetry वाली figure के लिए reflection symmetry शब्द इस्तेमाल करना
- squared paper पर आधी बनी figure को ऐसे पूरा करना कि दी गई line, line of symmetry बन जाए
- figure को ऐसे पूरा करना कि दी गई दोनों lines, lines of symmetry बन जाएँ
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| reflection | वह क्रिया जो figure के हर point को line के पार उसके साथी पर भेज देती है | परावर्तन | §9.1, p.221 — sub-heading की तरह छपा और पूरे हिस्से में इस्तेमाल |
| reflection symmetry | उस figure का गुण जिसकी एक या ज़्यादा lines of symmetry हों | परावर्तन सममिति | §9.1, p.222 — वहाँ bold में छपा |
| line of symmetry | वह line जिसके पार reflection होता है | सममिति रेखा | §9.1, p.219 — वहाँ bold में छपा और परिभाषित |
| mirror halves | वे दो हिस्से जिनमें line of symmetry figure को काटती है | दर्पण भाग | §9.1, p.219 — वहाँ bold में छपा |
| corner | वह point जहाँ figure की दो भुजाएँ मिलती हैं, यहाँ capital letter से नाम दिया हुआ | कोना | §9.1, p.221 — square के कोनों पर वहाँ नाम लगे हैं |
| diagonal | square के आमने-सामने के दो कोनों को जोड़ने वाली line | विकर्ण | §9.1, pp.221–222 — diagonal fold और diagonal reflection |
| squared paper | खानों वाला grid paper, जिस पर खाने गिनकर आधी figure पूरी की जाती है | वर्गांकित कागज़ | §9.1, p.228, Q11 — निर्देश वहीं छपा है |
| image | वह point जिस पर reflection किसी दिए गए point को भेजता है | प्रतिबिंब | इस chapter में नहीं छपा — इस व्याख्या का शब्द; किताब इसके बजाय कहती है कि एक point उस जगह आ जाता है जहाँ दूसरा point था |
| perpendicular | right angle पर — वह दिशा जिसमें point अपने साथी तक पहुँचने के लिए चलता है | लंब | इस chapter में नहीं छपा — इस व्याख्या की रचना; किताब मोड़कर reflect करती है, कभी पार नापकर नहीं |
हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारा नहीं गया है — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "reflection figure को घुमा देता है।" नहीं घुमाता। हर point सीधा line के पार जाता है; कुछ भी घूमता नहीं। घुमाना module m02 का विषय है, और इस मोड़ पर दोनों को अलग रखना ही section 1 की पूरी बात है।
- "point का image दर्पण के आस-पास कहीं होता है।" वह एक तय जगह है: line के सीधे पार, और उससे उतनी ही दूर। section 9 इसी को पक्का करने के लिए है, क्योंकि इसके बिना squared paper वाली exercises हो ही नहीं सकतीं।
- "हर कोना हिलता है।" diagonal पर reflection उस diagonal पर बैठे दोनों कोनों को ठीक वहीं छोड़ देता है। टिके हुए points reflection की नाकामी नहीं हैं; वे उसका हिस्सा हैं।
- "दो बार reflect करने से कहीं नई जगह पहुँचते हैं।" एक ही line के पार दो बार reflect करने से हर point वहीं लौट आता है जहाँ से चला था। इस पर एक पल रुकना ठीक है, क्योंकि इसी से दोनों mirror halves सचमुच आपस में बदले जा सकते हैं।
- "figure पूरी करने का मतलब है उसे अपने बगल में copy कर देना।" squared paper पर copy पलटी हुई होती है, खिसकाई हुई नहीं। line से दूर खाने गिनना, उसी पंक्ति में, भरोसेमंद तरीक़ा है।
- "दो दर्पण lines हों तो एक extra टुकड़ा बनाना है।" Q12 में तीन चाहिए: हर line में reflection, और फिर उनमें से एक का दूसरी line में reflection.
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पूरा transcript1,419 शब्द
line पर काग़ज़ मोड़िए, और देखिए कि दोनों हिस्से एक-दूसरे पर आते हैं या नहीं। यही test है, और ये काम करता है। पर इसके लिए काग़ज़ चाहिए, और ज़्यादातर समय काग़ज़ होता ही नहीं। तो यही बात, एक दूसरे तरीक़े से कहते हैं। पूरी आकृति को एक साथ मोड़ने के बजाय, उसका एक बिंदु लीजिए, और उस अकेले बिंदु को line के पार भेजिए। फिर अगले बिंदु के साथ यही कीजिए, और उसके अगले के साथ भी।
अगर हर बिंदु, आकृति के किसी बिंदु पर ही गिरे, तो वो line, line of symmetry है। बदला बस इतना, कि आप क्या देख रहे हैं। और बदले में, अब हर बिंदु का एक साथी है, जिसका एक नाम है। नाम क्यों काम के हैं, ये देखने के लिए square के कोनों को नाम दीजिए। ऊपर बाएँ A, ऊपर दाएँ B, नीचे दाएँ C, और नीचे बाएँ D। घूमते हुए पढ़ें, तो ये घड़ी की दिशा में चलते हैं: A, B, C, D।
इस square की 4 lines of symmetry हैं: बीच से खड़ी, बीच से आड़ी, और 2 जो कोने से कोने तक जाती हैं। इन्हें एक-एक करके लीजिए, और पहले से ज़्यादा तीखा सवाल पूछिए। सवाल ये नहीं कि line काम करती है या नहीं। सवाल ये है: हर कोना कहाँ जाता है? खड़ी line से शुरू कीजिए, जो बीच से सीधी नीचे जाती है। A को देखिए। वो ऊपर बाएँ है, और पार जाकर ऊपर दाएँ पहुँचता है।
और ऊपर दाएँ पहले से कौन बैठा है? वहाँ तो B बैठा था, इसलिए A, B की जगह ले लेता है। और B, उल्टी तरफ़ पार जाकर, वहाँ पहुँचता है जहाँ A था। D, नीचे बाएँ से, नीचे दाएँ जाता है, जहाँ C था। और C लौटकर वहाँ आता है, जहाँ D था। 4 कोने, चारों हिले, और हर एक ठीक वहीं गिरा, जहाँ कोई दूसरा कोना था। जो हुआ, उसे लिख लीजिए, क्योंकि उसे लिखने का तरीक़ा ही असली बात है।
A के साथ B, और D के साथ C: यानी 2 जोड़े। न कोई अकेला, न कुछ बचा। ये इस square का संयोग नहीं है। अगर कोई कोना ऐसी जगह गिरता जहाँ कोना नहीं है, तो line test में फ़ेल हो जाती। और नामों पर भी ध्यान दीजिए। मोड़ से पहले, square के चारों ओर पढ़ने पर मिलता था A, B, C, D। मोड़ के बाद, उसी दिशा में पढ़िए: B, A, D, C।
वही 4 नाम, पर उल्टे क्रम में। line के पार जाना यही करता है। इसे याद रखिए, क्योंकि square को घुमाने से ऐसा नहीं होता। अब एक सवाल, जो चाल जैसा लगता है पर है नहीं: जो बिंदु ठीक line पर बैठा है, उसका क्या होता है? वो line के पार सीधा जाता है, पर उसे कोई दूरी तय नहीं करनी। वो ठीक वहीं रहता है, जहाँ था। और ये reflection का फ़ेल होना नहीं है।
ये reflection का ठीक से काम करना है। line पूरी की पूरी, ऐसे बिंदुओं से बनी है, जो ख़ुद ही अपने साथी हैं। बाक़ी हर बिंदु हिलता है। line से बाहर कोई भी बिंदु लीजिए, चाहे वो कितना भी पास हो, वो किसी नई जगह गिरता है। एक और बात: किसी बिंदु को line के पार भेजिए, फिर उसी line के पार वापस भेजिए, तो वो ठीक वहीं लौट आता है, जहाँ से चला था।
इसीलिए दोनों आधे, एक-दूसरे की जगह ले सकते हैं। उनमें से कोई भी असली नहीं, कोई भी नक़ल नहीं। अब diagonal लीजिए, जो A से C तक जाता है। A इस line पर है, तो A नहीं हिलता। C भी line पर है, तो C भी नहीं हिलता। बचे B और D, और मज़ेदार यही हैं। B ऊपर दाएँ है। उसे diagonal के सीधे पार भेजिए, और वो नीचे बाएँ पहुँचता है, यानी D पर।
और D, उल्टी तरफ़ जाकर B पर। तो ये मोड़, 2 कोनों को बिल्कुल स्थिर रखता है, और बाक़ी 2 की अदला-बदली करता है। उसी square पर, ये खड़े मोड़ से अलग जवाब है, और दोनों सही हैं। सेट पूरा करने के लिए एक और: आड़ी line, बीच से। A ऊपर बाएँ है, और नीचे बाएँ जाता है, जहाँ D था। B नीचे C पर जाता है, और नीचे वाले दोनों ऊपर आते हैं।
A के साथ D, B के साथ C। कोई भी कोना अपनी जगह नहीं रुकता। और चौथी line, यानी दूसरा diagonal: वो B और D को स्थिर रखता है, और A की C से अदला-बदली करता है। अब चारों को साथ-साथ रखिए, तो एक pattern दिखता है। हर एक, या तो 2 कोने स्थिर रखता है, या एक भी नहीं। कभी 1 नहीं, कभी 3 नहीं। जिस आकृति में कम से कम एक line ऐसा करे, उसके पास जो है, उसका एक नाम है: reflection symmetry।
square के पास ये है। rectangle के पास भी, बस 4 की जगह 2 lines के साथ। जिस triangle की सारी भुजाएँ अलग-अलग हैं, उसके पास ये बिल्कुल नहीं है, और ये पूरा जवाब है, अधूरा नहीं। इस नाम में reflection शब्द असली काम कर रहा है। वो कहता है कि दोनों आधे, line के पार जाने से जुड़े हैं: line के साथ सरकने से नहीं, और घूमने से भी नहीं।
घूमना बिल्कुल अलग चीज़ है, और दोनों को अलग रखना अच्छा है। square को घड़ी की उल्टी दिशा में चौथाई चक्कर घुमाइए, तो A, D पर पहुँचता है। खड़ा मोड़, A को B पर भेजता है। दोनों के बाद square पहले जैसा ही दिखता है, फिर भी ये एक ही चाल नहीं हैं। अब वो हिस्सा, जो इस सब को काम का बनाता है। ये रही एक line, ये रहा एक बिंदु, और काग़ज़ कहीं नहीं।
उसका साथी, ठीक-ठीक कहाँ है? 3 बातें उसे तय कर देती हैं, और मिलकर बस एक ही जगह छोड़ती हैं। पहली बात, वो सीधा पार है। बिंदु line को right angle पर पार करता है, किसी और angle पर नहीं। दूसरी बात, वो बराबर दूर है। बिंदु line से जितना दूर है, साथी दूसरी तरफ़ उतना ही दूर। तीसरी, और ये वही बात दोबारा है: line इस सफ़र को ठीक आधा-आधा काटती है।
सीधा पार, बराबर दूर, बीच में line। ये बनावट ruler से, या गिनकर, की जा सकती है, और इसमें कभी मोड़ना नहीं पड़ता। खानों वाला काग़ज़ इसी काम के लिए है। ये रहा grid पर बना आधा आकार, और उसके बगल में एक line। काम है आकार को पूरा करना, ताकि ये line, line of symmetry बन जाए। ड्रॉइंग का एक कोना लीजिए, और उससे line तक के खाने गिनिए: वो 3 खाने दूर है।
अब दूसरी तरफ़, उसी पंक्ति में, 3 खाने गिनिए, और निशान लगाइए। वही उसका साथी है। अगला कोना line से 2 खाने दूर है। तो उसका साथी दूसरी तरफ़ 2 खाने पर, फिर अपनी ही पंक्ति में। हर कोने के साथ यही कीजिए, और उन्हें जोड़ दीजिए। आकार पूरा हो गया। एक चेतावनी: नक़ल पलटी जाती है, सरकाई नहीं जाती। अगर आप सरका दें, तो ऐसा आकार बनता है जिसकी एक भी line of symmetry नहीं, और वो लगभग सही दिखेगा।
अब वो रूप, जिसमें लगभग हर कोई फँस जाता है। इस बार 2 lines हैं, एक खड़ी और एक आड़ी, और चारों हिस्सों में से एक में, आकार का एक छोटा टुकड़ा। आख़िर में, दोनों lines को line of symmetry बनना है। तो टुकड़े को खड़ी line के पार भेजिए: ये पहली नक़ल। असली टुकड़े को आड़ी line के पार भेजिए: ये दूसरी। पर आप अभी ख़त्म नहीं हुए, क्योंकि अब जो आकृति है, वो किसी भी line के लिए symmetric नहीं है।
एक तीसरी नक़ल चाहिए, असली के ठीक तिरछे सामने, और वो एक reflection का reflection है। 1 टुकड़ा, 3 और, यानी कुल 4। और अगर दोनों lines के बीच right angle का आधा हो, तो 1 टुकड़ा 8 बन जाता है। आख़िरी बात, और ये वहीं लौटती है जहाँ से शुरू किया था। lines of symmetry गिनना ऐसा लगता था, जैसे मोड़ आज़माते जाओ, जब तक ख़त्म न हों। reflection वाली तस्वीर बताती है, कि असल में आप गिन क्या रहे थे।
line तभी line of symmetry है, जब हर कोने को उसके पार भेजने पर, हर कोना किसी कोने पर ही गिरे। इसीलिए square को 4 मिलती हैं, और rectangle को 2। rectangle का diagonal, एक कोने को ऐसी जगह भेजता है जहाँ कोई कोना नहीं, और आप देख सकते हैं, कि वो कहाँ गिरता है। और इसीलिए गिनती कभी इस पर निर्भर नहीं करती, कि आकृति कैसे बनी, या किस तरफ़ रखी है।
काग़ज़ हो, तो मोड़िए। न हो, तो बिंदुओं को पार भेजिए। तथ्य एक ही है, और अब उस तक पहुँचने के 2 रास्ते हैं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- A line of symmetry is a fold that makes the halves coincideकक्षा 6 · Ch 9, Symmetry
- Why a figure can have several lines of symmetryकक्षा 6 · Ch 9, Symmetry
- A point fixes a location; a segment is the shortest route between two pointsकक्षा 6 · Ch 2, Lines and Angles
आगे फिर कहाँ आता है
- Fold, blot, cut, punch: making a figure that is symmetric by constructionकक्षा 6 · Ch 9, Symmetry