point एक जगह तय करता है; segment दो points के बीच का सबसे छोटा रास्ता है

0:00एक pencil लो और कागज़ पर एक dot बनाओ। अब pencil छीलो, और पहले से पतला dot बनाओ। फिर छीलो, और फिर बनाओ। मान लो पहला dot 1 मिलीमीटर चौड़ा है, और हर बार छीलने से चौड़ाई आधी हो जाती है। तो 1 मिलीमीटर, फिर 1 बटा 2, फिर 1 बटा 4, और फिर 1 बटा 8 मिलीमीटर। अगर ऐसे ही छीलते रहो, तो क्या कभी dot की चौड़ाई 0 हो जाएगी?

0:29नहीं, 30 बार छीलो, तब भी हर dot की कुछ न कुछ चौड़ाई बचती है — हर बार आधी, पर कभी 0 नहीं। हर बार dot छोटा होता जाता है, पर वो कभी वो चीज़ नहीं बनता, जिसे वो दिखा रहा है। जिस चीज़ को वो dot दिखा रहा है, उसे geometry में point कहते हैं। point एक जगह बताता है — बस इतना। कागज़ पर ठीक कहाँ, यही उसका पूरा काम है।

0:56point की न लंबाई है, न चौड़ाई, न ऊँचाई। इसलिए उसे बनाया नहीं जा सकता — जो भी हम बनाएँगे, उसकी कुछ न कुछ चौड़ाई होगी। तो dot, point नहीं है। dot, point का निशान है, जो बताता है कि point कहाँ है। pencil जितनी तेज़, निशान उतना अच्छा, पर निशान हमेशा निशान ही रहता है। ऐसी चीज़ों को model कहते हैं। compass की नोक, pencil की नोक, और सुई का सिरा — ये सब point के model हैं।

1:29कई लोग कहते हैं कि point बहुत छोटा dot है। पर छोटा होना model की बात है, point की नहीं। point छोटा भी नहीं है — उसका कोई आकार ही नहीं है। model कागज़ पर होता है, point दिमाग़ में। geometry की हर बात point के बारे में होती है, भले ही हम कागज़ पर model बनाते हैं। कागज़ पर 3 points हैं। अगर मैं कहूँ, वो वाला point, तो तुम कैसे जानोगे कि कौन-सा?

1:57इसलिए points को नाम देते हैं, capital letters से। यह point Z है, यह point P, और यह point T। अब बात साफ़ हो सकती है — Z से P तक, या T के पास। नाम सजावट नहीं हैं। इनके बिना हम किसी point के बारे में कुछ कह ही नहीं सकते। अब कागज़ की एक शीट लो, और उसे ऐसे मोड़ो कि ऊपर के किनारे पर point X, और नीचे दाईं ओर point Y, मोड़ पर आ जाएँ।

2:27अब शीट खोलो। मोड़ का जो निशान बचा है, वो X से Y तक सीधा जाता है। मोड़ सीधा क्यों होता है? मोड़ने पर कागज़ का हर point अपनी जगह से हिलता है, सिवाय उन points के जो मोड़ पर हैं। 200 points पर जाँचा — मोड़ से हटा हर point हिला, और मोड़ पर पड़ा कोई नहीं। X से Y तक और भी रास्ते हैं। ऊपर एक गोल घेरा, नीचे एक चक्कर, एक zig-zag, एक लहर, और एक सीधा।

2:59ये 5 routes हैं, और सब X से शुरू होकर Y पर खत्म होते हैं। हर route पर एक धागा रखो, फिर धागे को खींच कर सीधा करो, और लंबाई देखो। सबसे छोटा धागा सीधे route का है। लहर उससे लंबी, गोल घेरा और लंबा, चक्कर उससे भी लंबा, और zig-zag सबसे लंबा। और यह हमारे 5 routes का इत्तफ़ाक़ नहीं। 200 बेतरतीब टेढ़े routes बनाए, और हर एक सीधे वाले से लंबा निकला।

3:29कोई बराबर भी नहीं। टेढ़ा route लंबा क्यों होता है? जहाँ भी route मुड़ता है, वहाँ एक कोना बनता है। कोने से होकर जाना, triangle की 2 sides पर चलने जैसा है, और 2 sides मिल कर हमेशा तीसरी side से लंबी होती हैं। 200 triangles पर जाँचा, हर एक में ऐसा ही निकला। X से Y तक के सबसे छोटे route को line segment कहते हैं। कोई कह सकता है कि जो line मैंने खींची, वही segment है।

3:56पर X से Y तक अनगिनत routes खींचे जा सकते हैं। सबसे छोटा, यह शब्द ही उनमें से एक को चुनता है। इसके बिना segment XY किसी एक चीज़ का नाम नहीं होता। X और Y इस segment के end points हैं — जहाँ से segment शुरू होता है, और जहाँ खत्म होता है। क्या end points segment के बाहर हैं, बस उसकी सीमा पर? नहीं, segment में X भी है और Y भी।

4:23मोड़ वाला निशान X से ठीक पहले नहीं रुकता, वो X से Y तक पूरा जाता है। segment पर 101 points लो, X से Y तक बराबर दूरी पर। पहला point X है, और आख़िरी point Y। इस segment को XY लिखते हैं। पर इसे YX भी लिख सकते हैं। ऐसा इसलिए, क्योंकि Y से X तक का सबसे छोटा route वही है, बस उल्टी दिशा में। 101 points वही, बस उल्टे क्रम में।

4:51points एक ही हैं, इसलिए segment भी एक ही है। अब Z, P और T को आपस में जोड़ो। 3 segments बनते हैं — ZP, PT और TZ। हर एक को उल्टा भी लिख सकते हो, तो लिखने के 6 तरीके हो गए, पर segments अब भी 3 ही हैं। XY और YX एक ही चीज़ के 2 नाम हैं। letters का क्रम सिर्फ़ लिखने की बात है, segment की नहीं।

5:17पर याद रखना — आगे ray आएगी, और वहाँ क्रम मायने रखेगा। अब एक आकृति पढ़ो। 5 points, बाएँ से दाएँ L, M, P, Q और R, और इन्हें जोड़ता एक zig-zag। इसमें कितने segments हैं? LM, MP, PQ और QR — यानी 4। 5 नहीं, क्योंकि रास्ता खुला है। R से वापस L तक कोई segment नहीं। 5 points के बीच 4 जोड़। और 10 segments भी नहीं हैं।

5:525 points में से कोई भी 2 चुनो, तो 10 जोड़ियाँ बनती हैं, पर आकृति में उनमें से सिर्फ़ 4 बनी हैं। segments गिनने का मतलब है, जो बना है वो पढ़ना। अब हर point के लिए पूछो — वो कितने segments पर है? L सिर्फ़ LM पर है, यानी 1 पर। M, LM पर भी है और MP पर भी, यानी 2 पर। P, MP और PQ पर है — 2।

6:20Q, PQ और QR पर — 2। और R सिर्फ़ QR पर — 1। बीच वाला हर point, वहाँ मिलने वाले 2 segments का साझा point है। पर L और R सिरों पर हैं, उनके आगे कोई segment नहीं, इसलिए वो 1-1 पर हैं। 2 points 1 पर, और 3 points 2 पर। अब R को L से भी जोड़ो। रास्ता बंद हो गया — अब 5 segments हैं, और हर point 2 पर है।

6:49यह सिर्फ़ 5 points की बात नहीं। 3 से 20 points तक, हर खुले रास्ते में segments, points से 1 कम हैं, और हर बंद रास्ते में बराबर। एक point से कितनी सीधी lines गुज़र सकती हैं? A से हर degree पर एक line खींचो — 180 अलग lines, और सब A से होकर। यानी अकेला point किसी एक line को तय नहीं करता। उससे अनगिनत lines गुज़रती हैं। अब एक point B और लो।

7:19उन 180 lines में से B से होकर सिर्फ़ 1 जाती है। 200 अलग-अलग B लेकर देखा — हर बार ठीक 1। और अगर एक point C लो, जो उस line पर नहीं है? अब 180 lines में से एक भी ऐसी नहीं, जो A, B और C, सब से होकर जाए। 3 points एक line पर तभी होते हैं, जब तीसरा point पहले 2 की line पर हो। तो 2 points एक segment तय करते हैं, और एक line भी।

7:48segment, A और B पर रुकता है, इसलिए उसकी लंबाई तय है। उसे बिना रुके आगे बढ़ाते जाओ, तो line मिलती है, जिसकी कोई लंबाई नहीं बताई जा सकती। वो हमारा अगला कदम है। आज की बात। point एक जगह है, बिना लंबाई, चौड़ाई या ऊँचाई के, और dot उसका model है। line segment, 2 points के बीच का सबसे छोटा route है, अपने end points समेत। और XY और YX एक ही segment है।

8:19अब तुम्हारी बारी। 6 points का एक खुला zig-zag बनाओ, A से F तक। इसमें कितने segments हैं? कौन-से points 1 segment पर हैं, और कौन-से 2 पर? और फिर F को A से जोड़ो। अब कितने segments हैं? जवाब तस्वीर से नहीं, segment के मतलब से समझाना। और एक आख़िरी काम। एक rough figure बनाओ — एक line, जिस पर points A और B हों, पर point C न हो।

8:49अपने जवाब comments में लिखना।