PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 5, Prime Time
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कुछ बच्चे एक घेरे में बैठकर अपनी-अपनी बारी गिन रहे हैं। हर 3री बारी पर एक शब्द बोलना है, हर 5वीं बारी पर दूसरा। तो कभी न कभी ऐसी बारी आएगी जिस पर दोनों नियम लागू होंगे — और वो पहली बारी 15 है।
मुख्य idea
अलग-अलग लय में गिनते दो बच्चे संयोग से नहीं टकराते। जिस संख्या को दोनों नाम मिलते हैं, वह ऐसी संख्या है जहाँ दोनों लय पहुँच चुकी हैं, और जब दोनों लय एक बार मिल जाती हैं तो उसके बाद हमेशा उतनी ही दूरी पर मिलती रहती हैं — इसलिए टक्करों का पूरा अनंत समूह पहली टक्कर से ही तय हो जाता है। तीन-और-पाँच के लिए पहली टक्कर गुणनफल पर है, 15; चार-और-छह के लिए यह 12 है, 24 से काफ़ी पहले। यह फ़र्क़ संख्याओं के आकार का नहीं है, बल्कि इस बात का है कि उनमें साझा क्या है, और यही वह सवाल है जिसका जवाब देने में यह chapter अगले चार sections लगाता है।
आपको क्या आना चाहिए
- किसी भी number के लिए तय करना कि गिनती की दो लयों में से कौन-सी उस पर पहुँचती है
- common multiple को ऐसे number की तरह परिभाषित करना जिस पर दिए गए दोनों क़दम-आकार पहुँचते हैं
- किसी छोटी जोड़ी का पहला common multiple सूची बनाकर निकालना, और बाद के common multiples की सूची बिना लिखे आगे बढ़ाना
- समझाना कि किसी जोड़ी के common multiples ख़ुद भी बराबर दूरी पर क्यों होते हैं
- Venn जैसे diagram के दोनों हिस्सों और overlap में numbers सही जगह रखना, और numbers मिटा दिए गए हों तो ऐसे diagram को उल्टा पढ़ना
- किसी तय सीमा से नीचे किसी number के कितने multiples आते हैं, यह सबको लिखे बिना गिनना
- किसी नई जोड़ी के लिए अनुमान लगाना कि पहला common multiple गुणनफल जितना बड़ा होगा या उससे छोटा, और बताना कि जवाब किस बात पर टिका है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| multiple | वह number जिस पर एक तय क़दम-आकार से बराबर क़दमों में गिनते हुए पहुँचा जाता है | गुणज | पूरे §5.1 में छपा, p.107 |
| common multiple | वह number जिस पर दिए गए दोनों क़दम-आकार पहुँचते हैं | उभयनिष्ठ गुणज | §5.1, p.107 में छपा, और Fig. 5.1 के नीचे के label के रूप में, p.108 |
| factor | वह number जो किसी दूसरे को पूरा-पूरा बाँट दे, कुछ बाक़ी न बचे | गुणनखंड | §5.1, p.109 में छपा |
| divisor | factor के लिए किताब का दूसरा शब्द, उसी के साथ दिया गया | भाजक | §5.1, p.109 में छपा |
| perfect number | वह number जिसके factors जोड़ने पर उसका दुगुना बने | पूर्ण संख्या | §5.1, p.111 में छपा |
| co-prime | ऐसी जोड़ी जिसमें 1 से बड़ा कोई factor साझा न हो — वह गुण जिसकी ओर यह topic आगे इशारा करता है | सह-अभाज्य | §5.3, p.116 में छपा — इसी chapter में आगे नाम दिया गया |
| least common multiple | किसी जोड़ी के common multiples में सबसे छोटा | लघुत्तम समापवर्त्य | यहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए स्रोतों में नहीं है, इसलिए इन शब्दों का Hindi छपाई से मिलान नहीं किया गया — Notes देखें।
किताब में किसी जोड़ी के पहले common multiple के लिए कोई एक-शब्द वाला नाम नहीं है। वह "the first common multiple" कहती है, या वह सबसे छोटा number माँगती है जिसे दी गई सूची की हर संख्या बाँटती हो। "least common multiple" और उसका संक्षिप्त रूप आगे की कक्षा की चीज़ें हैं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "15 पहले इसलिए आता है क्योंकि 15 एक ख़ास number है।" वह पहले इसलिए आता है क्योंकि वह पहली जगह है जहाँ तीन-तीन की दौड़ और पाँच-पाँच की दौड़ मिल सकती हैं, और वे उससे पहले नहीं मिल सकतीं क्योंकि किसी भी दौड़ को छोटा नहीं किया जा सकता — 3 और 5 में ऐसा कुछ साझा नहीं जिससे उसे छोटा किया जाए। 4 और 6 रखकर देखिए, और मुलाक़ात 12 पर होती है, 24 पर नहीं।
- "Common multiples ख़त्म हो जाते हैं।" नहीं होते। एक मिल जाए, तो वही अंतर फिर जोड़िए और दूसरा मिल जाता है, हमेशा के लिए। दो घेरों वाली तस्वीर यह नहीं दिखा सकती, क्योंकि बने हुए घेरे में गिने-चुने numbers ही आते हैं — जब figure आए तब यह बात ज़ोर से कह दीजिए।
- "overlap वाले हिस्से का मतलब 'कोई एक' है।" इसका मतलब "दोनों" है। इन diagrams में नया बच्चा अक्सर गोद को intersection के बजाय मेल की तरह पढ़ता है। Section 5 में किसी number को गोद में रखने से पहले उसे दोनों सूचियों से, दो बार, जाँचना चाहिए।
- "90 तक दोहरी पुकारें गिनने के लिए मुझे पूरा खेल लिखना पड़ेगा।" भाग देकर गिनना ही सवाल 2 का मक़सद है। नब्बे बारियाँ लिखना ठीक वही काम है जिसे यह सवाल ग़ैर-ज़रूरी बनाने के लिए बनाया गया है।
- "दूसरे number के हर multiple पर दूसरा शब्द अकेले बोला जाना चाहिए।" pp.108–109 वाली पहेली इसी सोच को तोड़ने के लिए है। जब छोटा number बड़े को बाँटता है, तो दूसरा शब्द कभी अकेले नहीं बोला जाता — उसकी हर बारी पहले से ही दोहरी होती है।
- "पहला common multiple हमेशा दोनों numbers का गुणनफल होता है।" कभी सच, और अक्सर ग़लत, और कौन-सा होगा यह जोड़ी पर टिका है, आकार पर नहीं। यही वह ग़लतफ़हमी है।
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पूरा transcript2,184 शब्द
कुछ बच्चे एक घेरे में बैठे हैं और अपनी-अपनी बारी पर गिनती बोल रहे हैं — 1, 2, 3, और आगे। पर इसमें 2 नियम हैं। यहाँ देखो — हर 3री बारी पर संख्या नहीं बोलनी, उसकी जगह एक शब्द बोलना है। मान लो वो शब्द है — सेब। और हर 5वीं बारी पर एक दूसरा शब्द बोलना है — केला। बाक़ी सब बारियों पर सीधी गिनती चलती रहती है।
तो कभी न कभी ऐसी बारी आएगी जिस पर दोनों नियम लागू होंगे। उस पर क्या बोलोगे? इसी सवाल से पूरा वीडियो चलता है। पहले नियम की बारियाँ लिख लो। 3, फिर 6, फिर 9, 12 — हर बार पिछली से 3 आगे। अब दूसरे नियम की बारियाँ। 5, 10, और आगे — हर बार 5 आगे। यहाँ नीचे वाली लकीर पर वही दिख रहा है। इनमें से कोई भी असल में सूची नहीं है।
हर एक एक नियम है, इसलिए इन्हें जितना चाहो उतना आगे ले जाया जा सकता है। जिस बारी पर कोई चाल आकर पड़ती है, उसका एक नाम है — वो उस क़दम का गुणज कहलाती है। तो 12, 3 का गुणज है। अब दोनों चालों को एक ही पटरी पर रखकर आगे चलो। ऊपर की टिक 3 वाली चाल की है, नीचे की 5 वाली की। काफ़ी दूर तक कुछ नहीं मिलता।
3, 6, 9 और 12 सिर्फ़ पहली चाल की हैं; 5 और 10 सिर्फ़ दूसरी की। किसी बारी पर दोनों टिक एक साथ नहीं पड़तीं। फिर 15 आती है, और दोनों टिक उसी बारी पर पड़ती हैं। यहाँ देखो — ऊपर भी निशान, नीचे भी। उस बारी पर अकेला कोई एक शब्द नहीं चलेगा, इसलिए खेल उस पर दोनों शब्द बुलवाता है — सेब-केला। और इसीलिए उसे अपना अलग नाम चाहिए।
पर 15 ही क्यों? इससे छोटी कोई बारी क्यों नहीं? तुम्हें लगता होगा कि 15 कोई ख़ास संख्या है। ऐसा नहीं है। 15 सिर्फ़ वो पहली जगह है जहाँ ये 2 चालें मिल सकती थीं। 3 की चाल को छोटा नहीं किया जा सकता, और 5 की चाल को भी नहीं, क्योंकि इन 2 क़दमों में ऐसा कुछ साझा नहीं है जिससे रास्ता छोटा हो जाए। इसलिए मिलने के लिए पूरे 3 बार 5 गिनने पड़ते हैं, यानी 15 तक।
और वही 3 गुणा 5 है। पटरी को 15 से आगे ले जाओ और देखो क्या होता है। अगली मुलाक़ात 30 पर है, फिर 45 पर, फिर 60 पर। शायद तुम सोच रहे हो कि ऐसी बारियाँ कभी ख़त्म हो जाएँगी। वो कभी ख़त्म नहीं होतीं। जो भी बारी तुम बताओ, उससे आगे एक और मुलाक़ात ज़रूर मिलेगी। वजह सीधी है — किसी भी मुलाक़ात में 15 और जोड़ लो, तो दोनों चालें फिर से एक साथ आ जाती हैं।
इसलिए एक मुलाक़ात मिल जाने के बाद रुकने की कोई वजह ही नहीं बचती। 90 बारी तक ऐसी 6 मुलाक़ातें हैं — 15, 30, 45, 60, 75 और 90। हर मुलाक़ात से अगली तक का फ़ासला नापो। यहाँ नीचे हर फ़ासले पर वही संख्या लिखी है। हर फ़ासला 15 का है — ठीक वही जो पहली मुलाक़ात थी। यानी पहली मुलाक़ात 2 काम करती है: वो पहली भी है और फ़ासला भी।
इसका मतलब है कि इन्हें कभी लिखना नहीं पड़ता। चौथी मुलाक़ात 4 बार 15 है, यानी 60। और 10वीं 10 बार 15, यानी 150। पटरी पर चलकर भी देखो, तो 10वीं मुलाक़ात सचमुच 150 पर ही आती है। यानी ये छोटा रास्ता कोई अंदाज़ा नहीं है। जिस बारी पर दोनों चालें आकर पड़ती हैं, उसे उन 2 क़दमों का उभयनिष्ठ गुणज कहते हैं। सीधा मतलब — जो दोनों का गुणज हो।
इस बात को दिखाने का एक तरीक़ा भी है — 2 घेरे, जो आपस में थोड़ा एक-दूसरे पर चढ़े हुए हों। यहाँ बाएँ घेरे में 3 की चाल की बारियाँ, और दाएँ में 5 की। दोनों घेरों में 30 तक की वो सारी बारियाँ भर लो जिन पर उनकी चाल पड़ती है। और जो बारियाँ दोनों की हैं, वो बीच के हिस्से में जाएँगी। यहीं पर ये तस्वीर ग़लत पढ़ी जा सकती है।
बीच का हिस्सा देखकर लगता है कि इसका मतलब है — या तो ये, या वो। पर उसका मतलब है — दोनों, एक साथ। इससे कम कुछ नहीं। इसलिए बीच में कोई बारी तभी जाएगी जब वो दोनों सूचियों में हो। 30 को उठाओ और 2 बार जाँचो — क्या 30 पहली चाल पर पड़ती है, और क्या दूसरी पर भी? दोनों जवाब हाँ हैं, इसलिए 30 बीच में जाएगी।
अब 20 को उसी तरह जाँचो। दूसरी चाल उस पर पड़ती है, पहली नहीं। एक जवाब ना है, इसलिए 20 बीच में नहीं जाएगी — वो दाएँ घेरे में ही रहेगी। भरी हुई तस्वीर को हिस्सा-दर-हिस्सा पढ़ो — बाएँ में 3, 9, 12, 18, 21, 24 और 27, दाएँ में 5, 10, 20 और 25, और बीच में 15 और 30। अब इन्हें गिनकर देखो। 30 तक जिन बारियों पर इनमें से कोई चाल पड़ती है, क्या वो सब यहाँ मौजूद हैं?
एक छूट गई है — 6। पहली चाल उस पर पड़ती है, दूसरी नहीं, इसलिए उसकी जगह बाएँ हिस्से में है। उसे वहाँ रख लो। 6 के आ जाने के बाद, 30 तक की हर ऐसी बारी तस्वीर में ठीक 1 बार मौजूद है। कोई भी बारी 2 हिस्सों में एक साथ नहीं है, और यही इस तरह की तस्वीर की शर्त है। इस तस्वीर के बीच में सिर्फ़ 2 बारियाँ हैं — 15 और 30।
पर हम पहले ही देख चुके हैं कि मुलाक़ातें कभी ख़त्म नहीं होतीं। अगर उन्हीं 2 चालों को 10 गुना आगे तक ले जाएँ, तो बीच में 20 बारियाँ होतीं। यानी घेरा बड़ा करते जाओ, अंदर की संख्याएँ बढ़ती जाएँगी। इसलिए ये तस्वीर उन 2 चालों की एक खिड़की है, पूरी कहानी नहीं। जो खींचा जा सकता है वो हमेशा गिना जा सकता है, और मुलाक़ातें गिनी नहीं जा सकतीं।
मान लो खेल 90 बारी तक चलता है। उनमें से कितनी बारियों पर पहला शब्द बोला जाएगा? शायद तुम कहोगे कि पूरी 90 बारियाँ लिखनी पड़ेंगी। असल में नहीं पड़तीं। यही सवाल इसीलिए पूछा जाता है कि लिखना ज़रूरी न रहे। 90 को 3 से बाँटो, तो 30 आता है। पहली चाल इतनी ही बारियों पर पड़ती है। 90 को 5 से बाँटो, तो 18 आता है। और दोनों नाम वाली बारियाँ हर 15 पर आती हैं, तो 90 को 15 से बाँटकर 6 मिलते हैं।
तीनों जवाब बिना कुछ लिखे निकल आए। चाहो तो बारियाँ लिखकर गिन लो — जवाब वही तीनों आते हैं। इसलिए भाग देना कोई जुगाड़ नहीं है, वो वही गिनती है जल्दी से। पर एक बात पहले तय करनी होगी। जिस बारी पर दोनों नाम बोले जाते हैं, वो पहली गिनती में आएगी, दूसरी में, या दोनों में? इसका कोई एक सही जवाब नहीं है; ये सिर्फ़ एक तय की हुई बात है जिसे साफ़ कह देना चाहिए।
यहाँ हम दोनों नाम वाली बारी को दोनों गिनतियों में गिन रहे हैं। तो 90 में से कितनी बारियों पर संख्या की जगह कोई शब्द बोला जाता है? 30 और 18 जोड़ो, फिर 6 घटा लो — क्योंकि वो 6 दोनों में गिनी जा चुकी थीं। जवाब 42 है। यानी 42 बारियों पर शब्द बोला जाता है और बाक़ी 48 पर सीधी गिनती चलती है। और ये गिनकर भी जाँच लिया गया है।
अब मान लो खेल 900 बारी तक चलता है। तरीक़ा बिल्कुल नहीं बदलता। यहाँ देखो — वही 3 भाग, बस बड़ी संख्या पर। 900 को 3 से बाँटकर 300, 5 से बाँटकर 180, और 15 से बाँटकर 60 मिलता है। ये तीनों ठीक 10 गुना हैं उन जवाबों के जो 90 तक मिले थे, क्योंकि 900, 90 का 10 गुना है। इसलिए गिनती संख्या के साथ-साथ बढ़ती है, और तरीक़ा वही रहता है।
और अगर आख़िरी बारी पूरी-पूरी न बँटे तो? 100 तक चलाओ, तो पहली चाल फिर भी 33 बारियों पर पड़ती है, और 1 बारी बची रह जाती है जिस पर वो कभी नहीं पड़ती। भाग बचे हुए को गिनता नहीं, गिरा देता है। अब यही खेल दूसरे क़दमों के साथ खेलो, और सिर्फ़ ये देखो कि पहली मुलाक़ात कहाँ होती है। 2 और 5 के साथ पहली मुलाक़ात 10 पर होती है — और 10, 2 गुणा 5 है।
3 और 7 के साथ पहली मुलाक़ात 21 पर होती है — फिर से वही, दोनों का गुणा। पर 4 और 6 के साथ पहली मुलाक़ात 12 पर हो जाती है। जबकि 4 गुणा 6 तो 24 है। यहाँ देखो — 12 पर दोनों टिक पड़ रही हैं, और 24 अभी बहुत आगे है। मुलाक़ात गुणा के आधे पर ही हो गई, और जल्दी हो गई। इसलिए ये मानना कि पहली मुलाक़ात हमेशा दोनों का गुणा होती है, हर बार सही नहीं निकलता।
देखने से पहले एक बार ख़ुद सोच लो। तो उस जोड़ी में अलग क्या था? पहली सोच यही आती है कि बात बड़े-छोटे की है। पर यहाँ का सबसे बड़ा क़दम 7 है, और उसकी जोड़ी फिर भी पूरे गुणा पर ही मिलती है। तो बात आकार की नहीं है। इसके बजाय ये देखो कि 2 क़दमों में साझा क्या है। 2 और 5 में 1 से ऊपर कुछ साझा नहीं; 3 और 7 में भी नहीं।
पर 4 और 6, दोनों 2 पर पड़ते हैं। वही साझा क़दम रास्ता छोटा कर देता है। गुणा को उससे बाँटो, तो हर बार पहली मुलाक़ात निकल आती है — 24 को 2 से बाँटकर 12। इसलिए खेल शुरू करने से पहले ही बताया जा सकता है कि पहली मुलाक़ात पूरे गुणा पर होगी या उससे पहले। बस देखना है कि 2 क़दमों में 1 से ऊपर कुछ साझा है या नहीं।
अब एक अजीब खेल की बात। उसमें पहला शब्द भी सुना गया और दोनों नाम वाली बारी भी — पर दूसरा शब्द अकेला कभी नहीं सुना गया। उन 2 क़दमों में से एक 4 था। दूसरा 2, 3, 5, 8 या 10 में से कोई हो सकता है। सवाल ये है कि कौन-कौन से चल सकते हैं। दूसरा शब्द अकेला कभी न बोला जाए, इसके लिए उस चाल की हर बारी पहले से ही दोनों नाम वाली होनी चाहिए।
मतलब छोटा क़दम बड़े में पूरा-पूरा बँट जाए। 8 को 4 के साथ लो। 8 वाली चाल 8, 16, 24 और 32 पर पड़ती है — और 4 वाली चाल उन सब पर पड़ती है। इसलिए 8 चलता है। 2 भी चलता है, पर उल्टी तरफ़ से: अब 4 बड़ा है, और 4 वाली चाल की हर बारी पहले से 2 वाली चाल की है। इसलिए दोनों नाम वाली बारी वहाँ भी हर बार बनती है।
3, 5 और 10 तीनों नहीं चलते, और दिखाने के लिए 1 बारी काफ़ी है: 4 के साथ 3 रखो, तो 3 वाली चाल की पहली ही बारी अकेली बोली जाती है। अब एक तस्वीर जिसके दोनों नाम मिटा दिए गए हैं। सिर्फ़ बीच का हिस्सा भरा है — 24, 48 और 72। पहले फ़ासला पढ़ो — हर बार 24 का। तो जो भी जोड़ी रही हो, उसकी पहली मुलाक़ात 24 पर होती है।
तुम्हें लगेगा कि अब वो जोड़ी ढूँढनी है। पर ढूँढने को कोई एक जोड़ी है ही नहीं। 25 से छोटे क़दमों में ही ऐसी 9 जोड़ियाँ हैं जो यही बीच का हिस्सा बनातीं। 3 और 8 उनमें से एक है। 4 और 6 नहीं है, क्योंकि वो जोड़ी 12 पर मिल जाती है, और 12 यहाँ बीच में लिखा ही नहीं है। यानी बीच का हिस्सा अपनी जोड़ी का नाम नहीं बताता।
वो सिर्फ़ इतना बताता है कि पहली मुलाक़ात कहाँ थी, और उसके बाद की सारी मुलाक़ातें क्या होंगी। आख़िर में, पटरी पर 2 से ज़्यादा चालें एक साथ रख लो। क़दम 1 से लेकर 10 तक, पर 7 को छोड़कर। सबसे छोटी वो कौन सी बारी है जिस पर ये सारी चालें एक साथ पड़ती हैं? वो 360 है। उन 9 चालों में से हर एक 360 पर पड़ती है, और इससे छोटी कोई बारी नहीं चलती।
यहाँ नीचे हर क़दम के सामने निशान लगा है। अब 7 वाली चाल को वापस ले आओ। 7, 360 पर नहीं पड़ता, इसलिए जवाब बड़ा होना पड़ेगा। नया जवाब 2520 है, जो ठीक 7 गुना 360 है — क्योंकि 7 का पहले से मौजूद किसी भी क़दम के साथ कुछ साझा नहीं है। यही वही बात है जो पूरे वीडियो में चल रही थी। 2 बातें तय हो चुकी हैं।
पहली मुलाक़ात मिल जाने के बाद बाक़ी सब कहाँ होंगी, और उन्हें बिना लिखे कैसे गिना जाए। और 1 बात सिर्फ़ नाम भर से बताई गई है। जब 2 क़दमों में 1 से ऊपर कुछ भी साझा न हो, तब पहली मुलाक़ात पूरा गुणा होती है — और ऐसी जोड़ी का अपना एक नाम भी है, जो आगे आएगा। तब तक तुम्हारे पास पूरा तरीक़ा है — बस ये देखो कि 2 क़दमों में क्या साझा है, और तुम्हें पता चल जाएगा कि कौन सी बात लागू है।
2 चालें न तो इत्तिफ़ाक़ से मिलती हैं, और न सिर्फ़ 1 बार मिलती हैं। पहली मुलाक़ात मिल गई तो सारी मिल गईं — वही फ़ासला बार-बार जोड़ते जाओ। इसीलिए पहली मुलाक़ात ही पूरी कहानी तय कर देती है। और वो पहली मुलाक़ात कहाँ होगी, ये इस पर नहीं टिका कि 2 क़दम कितने बड़े हैं। ये इस पर टिका है कि उनमें साझा क्या है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Every number sequence is a rule, not a listकक्षा 6 · Ch 1, Patterns in Mathematics
आगे फिर कहाँ आता है
- Common factors: which jump sizes can land on a numberकक्षा 6 · Ch 5, Prime Time
- Prime and composite: the rectangle test for a number's factorsकक्षा 6 · Ch 5, Prime Time
- The sieve of Eratosthenes: finding primes by removing multiplesकक्षा 6 · Ch 5, Prime Time
- Co-prime pairs, and why sharing no factor is what mattersकक्षा 6 · Ch 5, Prime Time
- Divisibility tests for 10, 5, 2, 4 and 8: why only the last digits matterकक्षा 6 · Ch 5, Prime Time
- Comparing two fractions by giving them a common fractional unitकक्षा 6 · Ch 7, Fractions
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- How a decorated graph can mislead an honest readerकक्षा 6 · Ch 4, Data Handling and Presentation