Common factors: छलाँग की कौन-सी लंबाइयाँ किसी number पर ठीक पहुँचती हैं

0:00एक खेल है। 1 खिलाड़ी किसी संख्या पर ख़ज़ाना छिपा देता है — मान लो 24 पर। दूसरा खिलाड़ी अपनी छलाँग की लंबाई चुनता है। पर शर्त ये है कि वही लंबाई पूरे खेल में रखनी है, बदलनी नहीं है। हर छलाँग 0 से शुरू होती है और उसी नाप से आगे बढ़ती जाती है। बीच में कहीं रुककर छोटा क़दम नहीं लिया जा सकता। ख़ज़ाना तभी मिलता है जब कोई छलाँग ठीक उसी संख्या पर आकर पड़े।

0:28तो सवाल ये है — कौन-कौन सी लंबाई जीतती है? पहले 4 की लंबाई आज़माते हैं। शुरू वाले सिरे से पटरी पर छलाँगें खींचते जाओ। यहाँ देखो — छलाँगें पड़ती हैं 4, फिर 8, फिर 12, 16, 20, और फिर 24। छठी छलाँग ठीक ख़ज़ाने पर आकर पड़ती है। यानी 4 की लंबाई से खेल जीत लिया गया, और उसमें 6 छलाँगें लगीं। इसे उल्टा पढ़ो तो वही बात निकलती है जो पहले से पता है — 4 की 6 छलाँगें मिलकर 24 बनाती हैं।

1:06अब उसी ख़ज़ाने पर 5 की लंबाई आज़माओ। छलाँगें पड़ती हैं 5, 10, 15, 20, और फिर सीधे 25। 24 इन 2 के बीच में रह जाता है, और छलाँग उसके ऊपर से निकल जाती है। लगता है कि छलाँग शायद छोटी पड़ गई या बहुत बड़ी हो गई। पर ऐसा नहीं है — वो 24 से आगे तक चली गई थी। दूरी कभी दिक़्क़त थी ही नहीं। किसी संख्या पर पड़ने का मतलब है कि वो संख्या उस लंबाई से पूरी-पूरी बँट जाए, कुछ बचे नहीं।

1:4024 में 5 पूरा-पूरा नहीं बँटता, इसलिए वो छलाँग हार जाती है। तो 24 पर कौन-कौन सी लंबाई पड़ती है? एक-एक करके आज़माओ। 2 पड़ती है, 3 पड़ती है, 4 तो देख ही चुके हैं, 6 पड़ती है, 8 पड़ती है, और 12 भी पड़ती है। और 5, 7, 9, 10, 11 — ये सब चूक जाती हैं। इनमें से कोई भी 24 पर नहीं पड़ती। इस पहली छानबीन से 6 लंबाइयाँ निकलीं — 2, 3, 4, 6, 8 और 12।

2:19पर 2 लंबाइयाँ छूट गई हैं, और यही 2 हमेशा छूटती हैं। पहली है 1 की छलाँग। वो हर संख्या पर चलती हुई जाती है, तो 24 पर भी ज़रूर पड़ेगी। उसमें 24 छलाँगें लगती हैं, पर नियम में कहीं नहीं लिखा कि छलाँगें कम होनी चाहिए। जीत जीत है। दूसरी है ख़ुद 24 की छलाँग। 1 ही छलाँग, और सीधे ख़ज़ाने पर। ये भी पूरी तरह जायज़ है। तो पूरी सूची बनी — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24।

2:55कुल 8 लंबाइयाँ। हर ऐसी सूची 1 से शुरू होती है और उसी संख्या पर ख़त्म होती है। एक-एक करके आज़माना तो चल गया, पर पक्का कैसे हो कि कुछ छूटा नहीं? इसके बजाय इन्हें जोड़ियों में बनाओ। 1 की जोड़ी 24 के साथ है, क्योंकि 24 की 1 छलाँग और 1 की 24 छलाँगें — दोनों एक ही सफ़र हैं। 2 की जोड़ी 12 के साथ। 3 की जोड़ी 8 के साथ, और 4 की जोड़ी 6 के साथ।

3:26इसके बाद दोनों सिरे आपस में मिल जाते हैं और बीच में कुछ बचता ही नहीं। हर जीतने वाली लंबाई अपनी जोड़ीदार को साथ लेकर आती है। इसीलिए इस तरीक़े से बनाई सूची में से चुपचाप कुछ गिर नहीं सकता। जो लंबाई किसी संख्या पर ठीक-ठीक पड़ती है, उसका एक नाम है — वो उस संख्या का गुणनखंड कहलाती है। इसी बात के लिए 1 दूसरा शब्द भी चलता है — भाजक।

3:53दोनों शब्दों का मतलब बिलकुल एक ही है, इसलिए दोनों में से कोई भी इस्तेमाल किया जा सकता है। तो अब साफ़ है कि 2 सवाल असल में 1 ही सवाल हैं — 24 पर कौन सी छलाँग पड़ती है, और 24 के गुणनखंड क्या हैं। छलाँग वाला सवाल बस दिखाई देता है। 24 के 8 गुणनखंड हैं, और वो 1 से लेकर ख़ुद 24 तक फैले हैं। अब 36 के साथ वही जोड़ी बनाने का तरीक़ा आज़माओ, तो 1 बात थोड़ी अलग होती है।

4:22यहाँ देखो — 1 की जोड़ी 36, 2 की 18, 3 की 12, और 4 की 9। और फिर 6 की जोड़ी ख़ुद 6 के साथ बनती है, क्योंकि 6 की 6 छलाँगें 36 बनाती हैं। वो 6 सूची में 1 ही बार लिखा जाता है, 2 बार नहीं। इसीलिए 36 के गुणनखंड 9 निकलते हैं — गिनती में विषम। अब 1 साथ 2 ख़ज़ाने रख लो — 1 पर 14, दूसरा 36 पर।

4:52जीतने के लिए 1 ही लंबाई से दोनों उठाने होंगे। 7 की छलाँग आज़माओ। वो जाती है 7, फिर 14 — पहला ख़ज़ाना, सिर्फ़ 2 छलाँगों में। आगे चलो — 21, 28, 35, 42। एक छलाँग 35 पर पड़ती है, जो 36 से थोड़ा पीछे है, और अगली 42 पर, जो उससे आगे निकल जाती है। 36, 7 से कई गुना बड़ा है, फिर भी छलाँग उसे चूक जाती है।

5:23इससे वही बात दोबारा साफ़ होती है — दूर तक पहुँच जाना कभी शर्त थी ही नहीं। दोनों सूचियाँ लिख लो। बाईं तरफ़ देखो — 14 पर पड़ने वाली लंबाइयाँ हैं 1, 2, 7 और 14। और दाईं तरफ़, 36 पर पड़ने वाली हैं — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36। कुल 9। अब देखो कि कौन सी लंबाइयाँ दोनों सूचियों में हैं। सिर्फ़ 2 — 1 और 2।

5:58यानी 2 की छलाँग दोनों ख़ज़ाने उठा लेती है, और 1 की भी। इन 2 के अलावा कोई और लंबाई ये काम नहीं कर सकती। जो लंबाई दोनों संख्याओं पर पड़ती है, उसे उन 2 का उभयनिष्ठ गुणनखंड कहते हैं। तस्वीर वही है जो पिछली बार दूसरे खेल में बनी थी — 2 घेरे, हर सूची के लिए 1, और बीच का हिस्सा जिसका मतलब है दोनों। दोनों घेरे भर लो और बीच का हिस्सा पढ़ो — वहाँ 1 और 2 बैठे हैं।

6:29बाक़ी सब अपने-अपने घेरे में रह जाते हैं। बीच का मतलब अब भी दोनों है, कोई 1 नहीं। कोई लंबाई वहाँ तभी पहुँचती है जब वो 2 जाँचों में पास हो, 1 में नहीं। क्या ऐसा हो सकता है कि 2 ख़ज़ानों में कुछ भी साझा न हो, और कोई भी लंबाई न जीते? ऐसा कभी नहीं हो सकता। 1 की छलाँग हर संख्या पर चलती हुई जाती है, इसलिए वो दोनों ख़ज़ानों पर पड़ेगी ही — चाहे वो कोई भी संख्या हों।

6:59इसलिए 1 हर ऐसी तस्वीर के बीच में मौजूद रहता है, जो कभी भी बनाई जाए। इस वीडियो ने इसे 40 तक की हर जोड़ी पर जाँचा है — 1600 जोड़ियाँ, और हर 1 के बीच में 1 मौजूद है। 1 छत भी है। जो लंबाई छोटे ख़ज़ाने से बड़ी है, वो पहली ही छलाँग में उसके ऊपर से निकल जाएगी। इसलिए हर जीतने वाली लंबाई 1 और छोटे ख़ज़ाने के बीच में क़ैद है।

7:25उससे बाहर कुछ हो ही नहीं सकता। यही बात उन्हीं 1600 जोड़ियों पर जाँची गई है। किसी 1 में भी ऐसी जीतने वाली लंबाई नहीं मिली जो उसके छोटे ख़ज़ाने से बड़ी हो। मतलब इस खेल का जवाब हमेशा 1 छोटी सूची होता है — और कभी ख़ाली नहीं होता। लगता है कि बड़ी संख्याओं में ज़्यादा चीज़ें साझा होंगी। पर 14 और 36 छोटी नहीं हैं, और उनमें ठीक 2 लंबाइयाँ साझा हैं।

7:52अब 15 और 30 लो। दोनों 36 से छोटी हैं, फिर भी उनमें 4 लंबाइयाँ साझा हैं — 1, 3, 5 और 15। वजह सामने दिख रही है — 15 ख़ुद 30 पर पड़ता है। इसलिए जो भी 15 पर पड़ता है, वो 30 पर भी पड़ जाता है। पूरी छोटी सूची बड़ी वाली के अंदर आ जाती है। तो साझा सूची लंबी होगी या छोटी, ये ख़ज़ानों के बड़े-छोटे होने पर नहीं टिका।

8:19ये इस पर टिका है कि उनमें साझा क्या है। यहाँ देखो — 1 चौखाना है जिसमें 31 से 70 तक की संख्याएँ हैं, हर पंक्ति में 10। कुछ ख़ाने रंगे हुए हैं और कुछ पर गोला बना है। पर कहीं नहीं लिखा कि कौन सा निशान किस चाल का है। वही ढूँढना है। रंगे हुए ख़ाने किस लंबाई की छलाँगों से बने हैं, और गोले वाले किससे? रंगे हुए ख़ाने हैं 33, 36, 39, और आगे भी 3 के फ़ासले पर — कुल 13।

8:54और सिर्फ़ 3 की छलाँग ठीक इन्हीं ख़ानों पर पड़ती है, किसी और की नहीं। गोले वाले ख़ाने हैं 32, 36, 40, और आगे 4 के फ़ासले पर — कुल 10। वो चाल 4 की है। अब ऊपर से नीचे देखो — 3 ख़ाने ऐसे हैं जिन पर दोनों निशान हैं, यानी 36, 48 और 60। इनमें से हर 1 से अगले तक का फ़ासला 12 है, दोनों बार वही।

9:24ये वो संख्याएँ हैं जिन पर दोनों चालें पड़ती हैं — यानी पिछले खेल का जवाब। ये 3 और 4 के उभयनिष्ठ गुणज हैं। यहाँ ध्यान रखना ज़रूरी है। इस चौखाने के निशान वो संख्याएँ हैं जिन पर छलाँगें पड़ती हैं। इसलिए दोहरे निशान वाले ख़ाने उभयनिष्ठ गुणज हैं, उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं। 2 शब्द उल्टी दिशाओं में इशारा करते हैं। अब 14 और 36 के लिए दोनों खेलों के जवाब आमने-सामने रख लो।

9:54जो लंबाइयाँ दोनों पर पड़ती हैं, वो ठीक 2 हैं। और ये गिनती बढ़ नहीं सकती। और जिन संख्याओं पर दोनों पड़ती हैं — पहली है 252। 1000 तक ऐसी 3 हैं, और 10000 तक 39। और ये इत्तिफ़ाक़ नहीं, मजबूरी है। जीतने वाली लंबाई छोटे ख़ज़ाने के नीचे क़ैद है, जबकि दोनों की पड़ने वाली संख्या को हर बार 252 और आगे बढ़ाया जा सकता है। अब इस मशीन को उल्टा चलाओ।

10:2640 से छोटी कोई संख्या ढूँढो जिस पर 7 की छलाँग पड़ती हो, और जिसके अंक जोड़ने पर 8 बनें। यहाँ देखो — पहली शर्त से बचती हैं 7, 14, 21, 28 और 35। अब हर 1 के अंक जोड़ो — सिर्फ़ 35 से 8 बनता है। तो जवाब 35 है। 1 और पहेली। 100 से छोटी कोई संख्या, जिस पर 3 की छलाँग भी पड़े और 5 की भी, और जिसके 2 अंकों में 1 का फ़र्क़ हो।

10:57दोनों छलाँगें पड़ती हैं 15, 30, 45, 60, 75 और 90 पर। इनमें से सिर्फ़ 45 ऐसा है जिसके अंकों में 1 का फ़र्क़ है। अब 4 छोटी-छोटी। 20 और 28 में साझा हैं 1, 2 और 4। 35 और 50 में साझा हैं 1 और 5। ये खेल 3 ख़ज़ानों के साथ भी चलता है। 4, 8 और 12 में साझा हैं 1, 2 और 4; और 5, 15 और 25 में साझा हैं 1 और 5।

11:352 सवाल छलाँगों के बारे में। 310 और 410 के बीच 40 की छलाँग जिन संख्याओं पर पड़ती है, वो हैं 320, 360 और 400। और ऐसी 3 संख्याएँ जिन पर 25 की छलाँग पड़ती है पर 50 की नहीं — 25, 75 और 125। यानी वो जो 25 की विषम कितनी छलाँगों पर आती हैं। आख़िरी जोड़ी — 28 और 70, दोनों तक पहुँचने वाली लंबाइयाँ हैं 1, 2, 7 और 14।

12:08इनमें सबसे बड़ी, 14, पहले तक 2 छलाँगों में पहुँचती है और दूसरे तक 5 में। अब उसी सूची से 1 अलग सवाल। कोई संख्या लो, उस पर पड़ने वाली सारी लंबाइयाँ लिखो, और उन सबको जोड़ लो। 28 लो। नीचे देखो — उस पर पड़ने वाली लंबाइयाँ हैं 1, 2, 4, 7, 14 और 28। इन्हें जोड़ो तो 56 बनता है, जो ठीक 28 का दुगना है। जिस संख्या की लंबाइयाँ जोड़ने पर उसका दुगना बने, उसे पूर्ण संख्या कहते हैं।

12:461 और 10 के बीच ठीक 1 पूर्ण संख्या है। वो कौन सी है? जवाब है 6। उस पर पड़ने वाली लंबाइयाँ हैं 1, 2, 3 और 6, और उनका जोड़ 12 है — यानी 6 का दुगना। 6 देखने में कुछ ख़ास नहीं लगता। पूर्ण होना 1 हिसाब है, कोई सुंदरता नहीं — लंबाइयाँ जोड़ो और दुगने से मिलाओ। 8 में जोड़ कम पड़ जाता है और 12 में ज़्यादा हो जाता है।

13:17किसी संख्या पर कौन सी छलाँग पड़ती है, और उस संख्या के गुणनखंड क्या हैं — ये 1 ही सवाल है, 2 तरह से पूछा हुआ। 2 ख़ज़ाने रख लो, तो जीतने वाली वही लंबाइयाँ हैं जो दोनों में साझा हैं। वो सूची हमेशा छोटी होती है और हमेशा 1 से शुरू होती है। और इसकी वजह तस्वीर में है, परिभाषा में नहीं। जीतने वाली लंबाई 1 और छोटे ख़ज़ाने के बीच क़ैद है, जबकि दोनों छलाँगों की पड़ने वाली संख्याओं को रुकने की कोई जगह ही नहीं है।