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Chapter 1 · Patterns in Mathematics

हर number sequence एक नियम है, सूची नहीं

Number sequences11 मिनट

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1, 2, 3 — इसके बाद क्या आएगा? ज़्यादातर लोग 4 कहते हैं। पर 10 rows की एक table में 2 rows 1, 2, 3 से शुरू होती हैं: एक आगे 4 पर जाती है और दूसरी 5 पर। वही numbers, अलग sequences।

मुख्य idea

Table 1 की एक row कुछ गिने-चुने numbers दिखाती है — दस में से नौ rows पर सात, और cubes वाली पर छह — लेकिन sequence वे numbers नहीं है। sequence वह मशीन है जिसने उन्हें बनाया, और जो छपा है वह बस उतना है जितना मशीन पन्ना ख़त्म होने से पहले बना पाई। इसका सबूत table के अंदर ही है: दो अलग rows 1, 2, 3 से शुरू होती हैं और फिर अलग राह पकड़ लेती हैं, इसलिए अंकों की कोई कड़ी अपने आप किसी sequence की पहचान नहीं कर सकती। इसीलिए किताब सिर्फ़ तीन और numbers नहीं माँगती, बल्कि student के अपने शब्दों में नियम भी माँगती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी sequence और उसकी शुरुआती values की एक सीमित सूची में फ़र्क़ करना
  • Table 1 की हर row पढ़कर उसका नियम अपने शब्दों में बताना
  • Table 1 की किसी भी row की अगली तीन values बनाना, और उन्हें आँख के अंदाज़े से नहीं, नियम से सही ठहराना
  • Table 1 की एक जैसी शुरू होने वाली दो rows से दिखाना कि साझा शुरुआत किसी sequence को तय नहीं करती
  • Table 1 के नियमों को इस आधार पर बाँटना कि हर एक एक value से अगली तक कैसे पहुँचता है: तय step, बढ़ता step, गुणा करने वाला, या पीछे देखने वाला
  • पूर्ण संख्याओं को वह सामग्री बताना जिससे §1.2 के अनुसार ये patterns बने हैं, और number theory को उनका अध्ययन
  • बताना कि किताब की Virahānka sequence कहाँ से शुरू होती है, जो ज़्यादातर दूसरी किताबों की शुरुआत से अलग है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
number sequenceएक ही नियम से बनी numbers की कभी न ख़त्म होने वाली कड़ीसंख्या अनुक्रम§1.2, p.2 पर छपा
whole numbersगिनती की संख्याएँ, 0 के साथपूर्ण संख्याएँ§1.2, p.2 पर छपा
number theoryपूर्ण संख्याओं के patterns का अध्ययनसंख्या सिद्धांत§1.2, p.2 पर छपा
ruleवह निर्देश जो पहले आई values से अगली value बनाता हैनियम§1.2 के Figure it Out, p.3 पर छपा
counting numbers1, 2, 3, 4, … — Table 1 की वह row जो 1 से शुरू होती हैगिनती संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
odd numbers1, 3, 5, 7, …विषम संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
even numbers2, 4, 6, 8, …सम संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
triangular numbers1, 3, 6, 10, … — हर value में पिछली बार से एक ज़्यादा जोड़ा जाता हैत्रिभुजाकार संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
squares1, 4, 9, 16, … — किसी number को उसी से गुणा करनावर्ग संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
cubes1, 8, 27, 64, … — किसी number को उसी से दो बार गुणा करनाघन संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
Virahānka numbers1, 2, 3, 5, 8, … — हर value अपने से पहले की दो values का जोड़ हैविरहांक संख्याएँTable 1, p.3 पर छपा
powers of 21, 2, 4, 8, … — बार-बार दोगुना करना2 की घातेंTable 1, p.3 पर छपा
powers of 31, 3, 9, 27, … — बार-बार तिगुना करना3 की घातेंTable 1, p.3 पर छपा
term (of a sequence)sequence में किसी एक जगह पर बैठी एक valueपदयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को इस chapter की हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर मैं इसे आगे बढ़ा सकता हूँ, तो मैं इसे जानता हूँ।" Table 1 के अंदर से ही ग़लत साबित होता है: 1, 2, 3 के बाद ईमानदार जवाब है कौन-सी row? आगे बढ़ा पाना किसी नियम का सबूत है, उसकी जगह कभी नहीं ले सकता।
  • "हर sequence एक तय मात्रा से बढ़ती है।" Table 1 की दस में से सिर्फ़ तीन ऐसा करती हैं: counting numbers, odd numbers और even numbers। All 1's वाली row तो बढ़ती ही नहीं। बाक़ी छह में से तीन हर बार अपना step बदलती हैं — triangular numbers, squares और cubes — और दो जोड़ने के बजाय गुणा करती हैं। छठी, Virahānka वाली row, इनमें से कुछ नहीं करती: उसके steps 1, 1, 2, 3, 5, 8 चलते हैं, इसलिए step हर बार नहीं बदलता, और कुछ गुणा भी नहीं हो रहा। वह इसके बजाय पीछे देखती है।
  • "Virahānka numbers 1, 1, 2, 3, 5 से शुरू होती हैं।" यह किताब उन्हें 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 से शुरू करके छापती है। नियम वही है — पिछली दो को जोड़ो — लेकिन शुरुआती values उस रूप से अलग हैं जो students online देखते हैं, और exam में छपी हुई row ही पूछी जाएगी।
  • "Powers of 2 का मतलब 2, 4, 8, 16 है।" छपी हुई row 1 से शुरू होती है। powers of 3 वाली row भी। कोई भी चीज़ जिसे उसी से एक बार भी गुणा न किया जाए, 1 होती है, और यही कारण है।
  • "Squares और cubes सिर्फ़ नाम हैं।" दो पन्ने बाद §1.3 दोनों नामों को चित्रों में बदल देगा; यहाँ इन नामों को सजावट नहीं, वादे समझो।
  • "पूर्ण संख्याएँ और गिनती संख्याएँ एक ही सूची हैं।" §1.2 पूर्ण संख्याओं को 0 से शुरू करता है; Table 1 की counting numbers 1 से शुरू होती हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.2 Q1, Figure it Out · 1.2 Q2

पूरा transcript1,620 शब्द

ये रहे 3 numbers, एक के बाद एक: 1, 2, 3। अब जल्दी से, ज़ोर से बताओ — इसके बाद कौन-सा number आएगा? ज़्यादातर लोग 4 कहते हैं, और 4 एक अच्छा जवाब है। पर यह अकेला जवाब नहीं है। यहाँ 10 rows की एक table है। उनमें से 2 rows 1, 2, 3 से शुरू होती हैं — एक आगे 4 पर जाती है, और दूसरी 5 पर। वही 3 numbers, वही table, पर sequences अलग।

तो अगर 3 numbers यह नहीं बता सकते कि sequence कौन-सा है, तो क्या बता सकता है? आज की सबसे ज़रूरी बात यह है: number sequence वो numbers नहीं हैं जो तुम्हें दिख रहे हैं। sequence वो नियम है जिसने उन्हें बनाया। नियम को एक छोटी machine समझो। उसे अब तक की values दिखाओ, और वो तुम्हें अगली value बना कर देती है। किसी row में जो लिखा है, वो बस उतना है जितना machine जगह ख़त्म होने से पहले बना पाई।

इस table की 10 में से 9 rows में 7 values हैं, और cubes वाली row में सिर्फ़ 6। यह cubes के बारे में कोई बात नहीं है — यह बस इतनी है कि जगह कितनी थी। sequence ख़ुद कभी रुकता नहीं, क्योंकि machine कभी थकती नहीं। counting numbers की row 7 पर ख़त्म दिखती है। पर उसकी machine से पूछो, तो वो 8 बताएगी, फिर 9 — जितना चाहो, उतना आगे।

machines से मिलने से पहले यह देख लें कि वे बनी किस चीज़ से हैं। ये सारे patterns whole numbers के patterns हैं। whole numbers ऐसे लिखे जाते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, और आगे हमेशा तक। ध्यान दो, ये 0 से शुरू होते हैं। पर table की एक row का नाम counting numbers है, और वो row 1 से शुरू होती है। तो whole numbers और counting numbers एक ही list नहीं हैं।

उनमें ठीक 1 number का फ़र्क है, और वो number है 0। whole numbers 0 से, counting numbers 1 से। और इन numbers के patterns की पढ़ाई का एक नाम है: number theory। अब पूरी table देखो — 10 rows, हर row का अपना नाम। all ones, counting numbers, odd numbers, even numbers, और triangular numbers। squares, cubes, फिर एक row जिसमें हर value पिछली 2 values का जोड़ है, और फिर powers of 2 और powers of 3।

यानी 10 नाम हैं और 10 machines हैं। और अगर इन्हें इस तरह छाँटो कि हर machine एक value से अगली value तक कैसे पहुँचती है, तो 4 तरह की machines बनती हैं। कुछ हर बार एक ही step लेती हैं। कुछ का step बढ़ता जाता है। कुछ जोड़ती नहीं, गुणा करती हैं। और एक पीछे मुड़ कर देखती है। पहली तरह की 4 rows हैं, दूसरी की 3, तीसरी की 2, और आख़िरी तरह की सिर्फ़ 1।

छाँटना ऐसे होता है: counting numbers पहली तरह में जाती हैं, क्योंकि हर बार 1 ही जुड़ता है। squares दूसरी तरह में जाते हैं, क्योंकि उनकी छलाँग हर बार बढ़ती जाती है। सबसे आसान तरह से शुरू करते हैं: हर बार वही step। पहली row है all ones, जिसमें बस 1, 1, 1, 1 आता रहता है। यहाँ step 0 है — value कभी बदलती नहीं। यह machine कुछ करती ही नहीं, फिर भी यह एक नियम है।

counting numbers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7। हर बार 1 जोड़ो। तो आगे क्या? 8, 9, 10 — और ये कहीं से देखे नहीं गए, नियम लगाया गया। odd numbers: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13। 1 से शुरू करो और हर बार 2 जोड़ो। तो अगले 3 होंगे 15, 17 और 19। even numbers: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14। फिर से 2 जोड़ो — पर इस बार 2 से शुरू करके।

तो अगले 3 होंगे 16, 18 और 20। odd और even का step बिल्कुल एक-सा है। उन्हें अलग करती है सिर्फ़ शुरुआत। तो नियम सिर्फ़ step नहीं होता — step भी, और शुरुआत भी। यहीं एक ग़लत ख़याल भी टूटता है: कि हर sequence हर बार उतना ही बढ़ता है। 10 में से सिर्फ़ 3 rows ऐसी हैं — counting, odd और even। all ones तो बढ़ती ही नहीं। दूसरी तरह है ऐसा step, जो हर बार बढ़ता जाता है।

triangular numbers: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28। इनके बीच की छलाँगें देखो: 2, फिर 3, फिर 4, 5, 6 और 7। छलाँगें ख़ुद counting numbers हैं। हर बार पिछली बार से 1 ज़्यादा जोड़ो। तो अगली छलाँग 8 की है, जो 36 पर ले जाती है। फिर 9 की छलाँग 45 तक ले जाती है, और उसके बाद 10 की छलाँग 55 तक। अब squares: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49।

इनकी छलाँगें हैं 3, 5, 7, 9, 11, 13 — यानी odd numbers। squares odd numbers से बढ़ते हैं। अगली छलाँग 15 की है, जिससे 64 बनता है, फिर 17 की, जिससे 81 बनता है, और फिर 19 की, जिससे 100 बनता है। और cubes: 1, 8, 27, 64, 125, 216 — यही वो row है जिसमें सिर्फ़ 6 values हैं। इसका नियम है: हर counting number को ख़ुद से गुणा करो, और फिर एक बार और।

तो आगे आते हैं 343, 512 और 729। तीसरी तरह: ऐसी machines जो जोड़ती ही नहीं। powers of 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64। हर value पिछली की दुगुनी है — कुछ जोड़ कर नहीं, 2 से गुणा करके। तो अगले 3 हैं 128, 256 और 512। powers of 3 यही काम 3 के साथ करती है: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729। इसके अगले 3 हैं 2187, 6561 और 19683।

गुणा करने से numbers बहुत तेज़ी से बहुत बड़े हो जाते हैं। लोग अक्सर मान लेते हैं कि ये rows 2 और 3 से शुरू होती हैं। पर इनकी पहली value 1 है। कुछ भी दुगुना करने से पहले, तुम्हारे पास 1 होता है — अभी एक बार भी गुणा नहीं हुआ, और जो है, वो 1 है। अब चौथी तरह — जो सबसे अलग है। यह row है: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21।

क्या step हर बार एक-सा है? steps हैं 1, 1, 2, 3, 5, 8 — नहीं। क्या यह triangular numbers की तरह हर बार 1 ज़्यादा बढ़ता है? नहीं — शुरू में ही 1 के बाद फिर से 1 आता है। क्या कुछ गुणा हो रहा है? 2 से 3 दुगुना नहीं है, और 3 से 5 भी नहीं। तो यह machine पीछे देखती है: हर value पिछली 2 values का जोड़ है।

3 और 5 मिल कर 8 बनाते हैं, 5 और 8 मिल कर 13, और 8 और 13 मिल कर 21। तो अगले 3 हैं 34, 55 और 89। कभी-कभी यही sequence 1, 1, 2, 3, 5 से शुरू किया हुआ मिलता है। नियम वही है — पिछली 2 जोड़ो — बस शुरुआत अलग है। और अभी हमने देखा कि नियम में step भी आता है, और शुरुआत भी। इन नामों में से squares और cubes बाकियों से अलग कुछ कर रहे हैं।

ये हिसाब का वर्णन नहीं हैं — ये आकारों के नाम हैं। odd numbers जोड़ते रहने से यह पता नहीं चलता कि square शब्द यहाँ क्यों है। यह एक वादा है: अगले video में इन rows को तस्वीरों में बनाएँगे, और आकार ही इनकी वजह निकलेगा। तो ये नाम याद रखो। अब वो काम जो तुम्हें करना है। कोई row अपनी notebook में उतारो। अगले 3 numbers लिखो। फिर नियम अपने शब्दों में लिखो — और किसी को ज़ोर से सुनाओ भी।

पर अगर तुम्हारे शब्द तुम्हारे दोस्त के शब्दों से अलग हुए, तो? अलग होंगे ही। triangular numbers लो। कोई कहेगा: हर बार पिछली बार से 1 ज़्यादा जोड़ो। कोई और कहेगा कि अगला counting number जोड़ो। ये अलग-अलग वाक्य हैं, पर machine एक ही है। इनमें से किसी को भी 1, 3, 6 दिखाओ, वो 10 ही देगी। तो marks शब्दों के नहीं मिलते। जवाब नियम है, उसके शब्द नहीं।

अब शुरुआत पर लौटते हैं, और देखते हैं कि ये rows शुरू कैसे होती हैं। 10 में से 9 rows 1 से शुरू होती हैं। सिर्फ़ even numbers नहीं। 3 rows 1, 2 से शुरू होती हैं: counting numbers, पिछली 2 जोड़ने वाली row, और powers of 2। powers of 2 तीसरी value पर ही अलग हो जाती है — उसका 4, बाकियों का 3। और counting numbers और पीछे देखने वाली row 1, 2, 3 तक साथ चलती हैं, और चौथी value पर अलग होती हैं: 4 और 5।

यही शुरुआत वाले सवाल का जवाब है। 4 भी सही था, और 5 भी। बस तुम यह नहीं जान सकते थे कि तुम्हें कौन-सी row दिखाई जा रही है। 1, 3 के साथ भी यही होता है। 3 rows ऐसे शुरू होती हैं: odd numbers, triangular numbers और powers of 3। और ये सब अगली ही value पर अलग हो जाती हैं: 5, 6 और 9। सच तो यह है कि हर row की लिखी हुई values किसी दूसरे नियम की शुरुआत भी हो सकती हैं।

कितनी भी values हों, वो अकेले यह तय नहीं करतीं कि sequence कौन-सा है। तो sequence को आगे बढ़ा पाना किसी नियम का सबूत है — पर नियम की जगह नहीं ले सकता। अगर कोई numbers दिखा कर पूछे कि आगे क्या आएगा, तो पहला ईमानदार सवाल है: कौन-सी machine? इसीलिए असली जवाब नियम है, अपने शब्दों में — सिर्फ़ 3 और numbers नहीं। आगे का सारा काम इसी पैमाने पर परखा जाएगा।

अब तुम्हारे लिए एक सवाल। शुरुआत है 1, 2, 4। ऐसे 2 अलग नियम कौन-से हैं जो इसी से शुरू होते हैं? एक तो इसी table में है। दूसरा तुम्हें ख़ुद बनाना है — और वो असली नियम होना चाहिए, जो हमेशा बता सके कि आगे क्या आएगा। अपने नियम comments में लिखो। अगली बार हम इनमें से कुछ rows को तस्वीरों में बनाएँगे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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