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Chapter 5 · Prime Time

Eratosthenes की छलनी: multiples हटाकर primes ढूँढ़ना

Primes17 मिनट

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1 से 100 तक की एक तालिका सामने रखिए, और सवाल ये है कि इनमें अभाज्य कौन सी हैं। हर एक को जाँचना सबसे सीधा तरीक़ा लगता है, पर एक तरीक़ा ऐसा भी है जो एक बार भी भाग नहीं करता — और फिर भी सारी अभाज्य ठीक-ठीक निकाल देता है।

मुख्य idea

छलनी एक बार भी नहीं पूछती कि कोई number prime है या नहीं। वह सिर्फ़ मिटाती है, और primes वे हैं जिन्हें वह मिटा नहीं पाती — उनकी पहचान इस बात से होती है कि उनके साथ क्या नहीं हुआ। यह दो बातों की वजह से काम करता है, और कक्षा 6 की class दोनों को साबित कर सकती है। कोई prime कभी नहीं कटता, क्योंकि कोई number सिर्फ़ अपने से छोटे किसी number के multiple के रूप में ही काटा जाता है; और कोई composite बचता नहीं, क्योंकि composite का 1 से बड़ा सबसे छोटा factor एक prime होता है, और हर prime की बारी आती है। हाशिये में एक पात्र आपत्ति करता है कि यह जादू नहीं हो सकता, इसके पीछे कोई कारण ज़रूर होगा। ये दो वाक्य ही वह कारण हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • छपी हुई विधि को सौ वाले grid पर चलाना और 100 से नीचे के primes निकालना
  • बताना कि हर दौर में किसे घेरा जाता है और किसे काटा जाता है
  • समझाना कि अगला बिना कटा number prime ही क्यों होना चाहिए
  • समझाना कि कोई composite number आख़िर तक क्यों नहीं बच सकता
  • बताना कि 1 को शुरू में ही क्यों हटाया जाता है और वह किसी भी वर्ग में क्यों नहीं आता
  • पूरे हुए grid में ढाँचा पढ़ना: पड़ोसी primes के बीच के अंतर, दो के अंतर वाली जोड़ियाँ, और numbers के ऊपर चढ़ने के साथ primes का पतला होते जाना
  • सिद्धांत रूप में विधि को 100 से आगे चलाना, और बताना कि क्या बदलना पड़ेगा
  • Eratosthenes का नाम लेना और उन्हें मोटे तौर पर उनके समय में रखना, जैसा chapter करता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
Sieve of Eratosthenesमिटाने की वह विधि जो पीछे primes छोड़ देती हैएरैटोस्थनीज़ की छलनी§5.2, p.113 में छपा और नाम दिया गया
prime numberठीक दो factors वाला numberअभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा
composite numberदो से ज़्यादा factors वाला numberभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा
multipleबराबर क़दमों में गिनते हुए जिस number पर पहुँचा जाता हैगुणज§5.1, p.107 में छपा
twin primesऐसे दो primes जिनमें 2 का अंतर होजुड़वाँ अभाज्य§5.2, p.114 में छपा और परिभाषित
consecutiveगिनती के क्रम में एक-दूसरे के ठीक बगल में, बीच में कुछ नहींक्रमागत§5.2, p.114 में छपा
prime gapएक prime और अगले prime के बीच का अंतरअभाज्य अंतरालयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
hundred grid1 से 100 तक की दस-बाई-दस table जिस पर विधि चलाई जाती हैसौ का ग्रिडयहाँ दिया गया नाम; किताब grid को बिना label के छापती है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए स्रोतों में नहीं है, इसलिए इन शब्दों का Hindi छपाई से मिलान नहीं किया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "2 को भी काट देते हैं, क्योंकि वह 2 का multiple है।" नहीं — हर number को पहले घेरा जाता है और सिर्फ़ उसके बाद वाले multiples हटते हैं। इसमें ग़लती करने से हर prime मिट जाता है, और यह विधि चलाने में सबसे आम ग़लती है।
  • "छलनी हर number की prime होने की जाँच करती है।" वह कुछ भी नहीं जाँचती। वह multiples मिटाती है, और prime होना वह है जो बच जाता है। जिन students को लगता है कि कोई जाँच हो रही है, वे यह नहीं बता पाते कि यह विधि भाग देने से तेज़ क्यों है।
  • "100 तक हर number का एक दौर चलाना पड़ता है।" नहीं पड़ता, और इसका कारण 30 seconds लगाने लायक है: 7 का दौर पूरा होते ही 100 से नीचे का हर composite पहले ही कट चुका होता है, क्योंकि 100 से नीचे के composite का कोई prime factor 7 या उससे छोटा होना ही चाहिए।
  • "कटा हुआ मतलब composite, इसलिए 1 composite है।" किताब 1 को बिल्कुल पहले क़दम में एक अलग वजह से हटाती है, और साफ़ कहती है कि 1 के अलावा कटे हुए numbers composites हैं।
  • "Primes पतले होते जाते हैं, इसलिए कभी न कभी रुक ही जाएँगे।" वे पतले होते हैं — सवाल 3, p.114 पर, ठीक इसी के बारे में है — और वे रुकते नहीं। chapter यह सवाल उठाता है और जान-बूझकर उसे अधूरा छोड़ देता है।
  • "Primes के बीच 1 का अंतर हो ही नहीं सकता, क्योंकि primes विषम होते हैं।" 2 और 3 पड़ोसी हैं। ऐसी जोड़ी अकेली यही है, और वह grid पर है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q7

पूरा transcript2,697 शब्द

यहाँ देखो — 100 ख़ानों की एक तालिका है, हर पंक्ति में 10। इसी में 100 तक की सारी अभाज्य संख्याएँ छिपी हैं, और हमारा काम है उन सबको ढूँढ निकालना। पर एक-एक ख़ाने को जाँचकर नहीं। जो तरीक़ा अभी देखने जा रहे हैं, वो एक भी भाग नहीं करता, और किसी भी ख़ाने से ये पूछता ही नहीं कि तुम अभाज्य हो या नहीं। तो जो तरीक़ा सवाल पूछता ही नहीं, वो जवाब तक पहुँचेगा कैसे?

ये सिर्फ़ काटता है, और कुछ नहीं करता। जो बच जाएँ, वही अभाज्य हैं — पूरा विचार बस इतना ही है। सबसे पहला क़दम ये है कि 1 को तालिका से हटा दीजिए, बाक़ी कुछ शुरू होने से पहले। ये देखकर लगता है कि किसी ने सफ़ाई के लिए ये नियम जोड़ दिया हो। पर 1 ही क्यों, और सबसे पहले ही क्यों? इसे रहने दीजिए और तरीक़ा फिर भी चलाइए।

सबसे पहली बारी 1 की ही आएगी, क्योंकि वही सबसे छोटा ख़ाना है जिसे अभी तक छुआ नहीं गया। और हर दूसरा ख़ाना 1 का गुणज है। उसकी बारी बाक़ी 99 ख़ानों को काट देती है, और तालिका में सिर्फ़ 1 अकेला बैठा रह जाता है। सारी की सारी 25 अभाज्य संख्याएँ ग़ायब। यानी 1 को इसलिए नहीं हटाया जाता कि वो बेतरतीब है। उसे इसलिए हटाया जाता है कि अगर वो रह गया, तो पूरा जवाब ही काट देगा।

अब सबसे छोटा बिना छुआ ख़ाना 2 है। उस पर घेरा लगा दीजिए। फिर उसके गुणज काटिए — 2 से नहीं, उसके आगे से शुरू करके। पहले 4, फिर 6, फिर 8, और ऐसे ही पूरी तालिका में आगे। इस एक बारी में 49 ख़ाने कट जाते हैं। 2 के अपने घेरे को मिला लें, तो आधी तालिका का फ़ैसला यहीं हो गया। यहीं पर सबसे आसानी से ग़लती होती है।

अगर 2 के आगे से नहीं, बल्कि 2 से ही काटना शुरू कर दें, तो 2 ख़ुद भी 2 का गुणज है — और वो भी कट जाएगा। और फिर हर बारी में यही होगा। जो भी संख्या बारी की अगुआई करेगी, वो ख़ुद को ही काट देगी, और आख़िर में एक भी ख़ाना खड़ा नहीं बचेगा। इसलिए क्रम सिर्फ़ सजावट नहीं है। पहले घेरा, उसके बाद आगे वाले काटो।

अब फिर से सबसे छोटा बिना छुआ ख़ाना ढूँढिए। वो 3 है। उस पर घेरा लगाइए, और उसके आगे वाले गुणज काटिए। उसके गुणज हैं 6, 9, 12, 15 और आगे — पर इनमें जो सम हैं, वो पिछली बारी में ही जा चुके हैं। कलम 16 ऐसे ख़ानों के ऊपर से गुज़र जाती है जो पहले से कटे हैं, और 16 नए काटती है। इसके बाद बिना छुआ अगला ख़ाना 5 है।

उस पर घेरा लगाइए — और इस बार उसके लिए सिर्फ़ 6 ख़ाने बचे हैं। वो हैं 25, 35, 55, 65, 85 और 95। 5 के बाक़ी सारे गुणज या तो सम थे, या 3 के गुणज थे, और पहले ही जा चुके हैं। फिर 7 की बारी आती है, और वो सिर्फ़ 3 ख़ाने ले जाता है — 49, 77 और 91। ध्यान दीजिए कि बारियों के साथ क्या हो रहा है — पहले 49 ख़ाने, फिर 16, फिर 6, और फिर 3।

ये सब देखकर किसी को तो एतराज़ करना ही चाहिए। ये जादू तो हो नहीं सकता — कोई न कोई वजह होगी कि ये चलता क्यों है। वो वजह क्या है? इसमें 2 बातों का यक़ीन करना है, और मिलकर वही पूरी वजह हैं। पहली — कोई अभाज्य संख्या कभी कटती नहीं। दूसरी — कोई भाज्य संख्या कभी बचती नहीं। पहली बात लीजिए। आप एक ऐसे ख़ाने तक पहुँचे हैं जो अभी तक बिना छुआ है, और आप उस पर घेरा लगाने वाले हैं।

वो अभाज्य ही क्यों होगा? क्योंकि बारी सिर्फ़ घिरे हुए ख़ानों को मिलती है, और इससे छोटी हर अभाज्य संख्या की बारी आ चुकी है। अगर उनमें से कोई भी इस ख़ाने को बाँट देती, तो उसी बारी में ये कट गया होता। पर ये ख़ाना तो कटा ही नहीं। इसका मतलब इसे कोई छोटी अभाज्य संख्या नहीं बाँटती। और जिस भी संख्या का 1 से बड़ा कोई गुणनखंड हो, उनमें एक अभाज्य ज़रूर होता है।

तो इसका 1 से बड़ा कोई गुणनखंड बचता ही नहीं, ख़ुद के सिवा। सिर्फ़ 1 और ख़ुद — और अभाज्य होने का मतलब ठीक यही है। अब दूसरी बात। तालिका पर कोई भी भाज्य ख़ाना उठाइए, और उसका 1 से बड़ा सबसे छोटा गुणनखंड देखिए। वो ख़ुद अभाज्य ही होगा। क्योंकि अगर उसका अपना कोई 1 से बड़ा गुणनखंड होता, तो वो भाज्य संख्या को भी बाँटता, और वो इससे छोटा होता — यानी ये सबसे छोटा था ही नहीं।

अभाज्य होने की वजह से वो बिना छुआ मिला, उस पर घेरा लगा, और उसे अपनी एक बारी भी मिली। और उस बारी में वो भाज्य संख्या उसी के गुणजों में से एक थी। यानी वो वहीं कट गई। हर भाज्य संख्या गिरती है, अपने सबसे छोटे गुणनखंड की बारी में। अब इन 2 बातों को साथ रखिए। एक तरफ़ अभाज्य संख्या कभी नहीं कटती, और दूसरी तरफ़ भाज्य संख्या कभी नहीं बचती।

तो जो बाक़ी रह जाता है वो ठीक-ठीक अभाज्य संख्याएँ हैं — और यही वजह है कि इस तरीक़े को किसी जाँच की ज़रूरत ही नहीं। उस दलील में एक शब्द असली काम कर रहा था, और उस पर रुकना बनता है — सबसे छोटा वाला शब्द। 91 को लीजिए। उसके 1 से बड़े और ख़ुद से छोटे गुणनखंड हैं 7 और 13। दोनों अभाज्य हैं, और दोनों तालिका पर घिरे हुए हैं।

पर 13 पर घेरा 7 से बहुत बाद में लगता है। जब तक 13 की बारी आती है, 91 पहले ही कट चुका होता है — वो 7 की बारी में गया। इसलिए दलील को छोटे वाले का ही नाम लेना पड़ता है, क्योंकि समय पर वही बारी आती है। और एक और भी पैनी वजह है। किसी भाज्य संख्या के बाक़ी गुणनखंड ख़ुद भी भाज्य हो सकते हैं, और भाज्य संख्या की बारी कभी आती ही नहीं।

सिर्फ़ सबसे छोटे गुणनखंड के अभाज्य होने की गारंटी है। अब आगे बढ़िए — 7 के बाद अगला बिना छुआ ख़ाना 11 है, तो 11 पर घेरा लगता है और उसकी बारी आती है। इस तालिका पर उसके गुणज हैं 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 और 99 — कुल 8 ख़ाने। और इनमें से हर एक पहले ही कट चुका है। 11 की बारी कुछ भी नहीं ले जाती।

देखिए इन्हें ले कौन गया। 22, 44, 66 और 88 सम हैं, इसलिए ये सबसे पहली बारी में ही चले गए। 33 और 99 गए 3 की बारी में। 55 गया 5 की बारी में, और 77 गया 7 की बारी में। इनमें से हर एक को 11 से छोटी किसी संख्या ने लिया, क्योंकि हर एक के अंदर 11 से छोटा कोई न कोई गुणनखंड बैठा है। यानी बारियों के पास काम ख़त्म होता जा रहा है।

क्या ऐसा कोई तरीक़ा है जिससे साफ़ दिखे कि कोई बारी कब से बेकार हो जाती है? पीछे जाकर देखिए कि हर बारी ने सबसे पहले कौन सा ख़ाना असल में हटाया था। 2 के लिए वो 4 था। 3 के लिए 9 था। 5 के लिए 25, और 7 के लिए 49। इनमें से हर एक वही संख्या है जिसे ख़ुद से गुणा किया गया हो। और ये इन 4 का इत्तिफ़ाक़ नहीं है — ये हर बारी पर, हर तालिका पर सच निकलता है।

इसकी वजह वही है जो हमारे पास पहले से है। अगुआ के हर छोटे गुणज के अंदर कोई छोटा गुणनखंड बैठा है, इसलिए उसे पहले किसी और ने ले लिया। तो कोई बारी तभी तक काम की है जब तक अगुआ को ख़ुद से गुणा करने पर नतीजा तालिका के अंदर रहे। 7 गुणा 7 है 49, और 49 अंदर है। 11 गुणा 11 है 121, और 121 किनारे से बाहर निकल गया।

यानी 100 तक की तालिका पर, 7 की बारी आख़िरी है जो कुछ भी हटाती है। तरीक़ा अब भी कुल 25 बारियाँ चलाता है, पर उनमें से 21 सिर्फ़ घेरा लगाती हैं और कुछ काटती नहीं। पूरी तालिका की सारी कटाई सिर्फ़ 4 बारियों ने की। 7 की बारी ख़त्म होते ही रुक जाइए, और देखिए कि खड़ा क्या बचा है। 25 ख़ाने, और उनमें एक भी भाज्य नहीं। वही आख़िरी जवाब है।

उसके बाद की 21 बारियाँ कुछ बदलती नहीं; वो सिर्फ़ उन पर घेरा लगाती हैं जो पहले ही जीत चुके हैं। और कुछ भी भाज्य न बचने की वजह नापी जा सकती है। 100 से नीचे किसी भी भाज्य संख्या का सबसे छोटा गुणनखंड 7 से बड़ा नहीं है। यहाँ देखिए — तालिका पर तरीक़ा पूरा हो चुका है। 25 ख़ानों पर घेरा है, और 75 पर कटान। जो बचे, क्रम से, वो हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 और 97।

इसे पढ़ते वक़्त एक चेतावनी। कटान का मतलब भाज्य होना नहीं है। 1 सबसे पहले क़दम में कटा था, और 1 का ठीक एक गुणनखंड है — इसलिए वो न अभाज्य है, न भाज्य। 1 को अलग रख दीजिए, और बाक़ी बचे 74 कटे ख़ाने भाज्य संख्याएँ हैं, हर एक। और सम ख़ानों पर नज़र दौड़ाइए। घेरा सिर्फ़ 2 पर है। बाक़ी हर सम ख़ाना पहली ही बारी में चला गया — यही वजह है कि 2 ही इकलौती सम अभाज्य संख्या हो सकती है।

अब इन 25 बचे हुए ख़ानों को क्रम से बिछा दीजिए, और हर एक से अगले तक की दूरी नापिए। ऐसी 24 दूरियाँ बनती हैं। इनमें सबसे छोटी दूरी है 1 — 2 और 3 के बीच। ये आमने-सामने के पड़ोसी हैं, बीच में कुछ भी नहीं। और पूरी तालिका पर ये फिर कभी नहीं होता। 2 के बाद हर बचा हुआ ख़ाना विषम है, इसलिए 2 बचे हुए इस तरह पड़ोसी हो ही नहीं सकते।

इसी वजह से बाक़ी बची 23 दूरियों में से हर एक सम संख्या है। सबसे बड़ी दूरी है 8 — 89 और 97 के बीच। इस नाप की भी तालिका पर सिर्फ़ यही एक है। अब ऐसे बचे हुए ख़ाने ढूँढिए जो ठीक 2 की दूरी पर बैठे हों। तालिका पर इन्हें पहचानना आसान है — 2 घेरे, और उनके बीच ठीक एक कटा ख़ाना। 100 तक ऐसी 8 जोड़ियाँ हैं — 3 और 5, फिर 5 और 7, फिर 11 और 13, फिर 17 और 19, फिर 29 और 31, फिर 41 और 43, फिर 59 और 61, और आख़िर में 71 और 73।

और उसके बाद ये रुक जाती हैं। 73 से 100 के बीच ऐसी एक भी जोड़ी नहीं है — और ये ध्यान देने लायक़ है, क्योंकि तरीक़े ने कभी वादा नहीं किया था कि ये आती ही रहेंगी। एक बचा हुआ ख़ाना इनमें से 2 जोड़ियों में आता है। 5 तो 3 से 2 ऊपर है, और 7 से 2 नीचे भी — और तालिका पर यही इकलौता ख़ाना है जो दोनों कर पाता है।

अब उल्टा सवाल पूछिए। कटे हुए ख़ानों की सबसे लंबी बिना टूटी पट्टी कहाँ है, जिसमें कहीं कोई घेरा न हो? वो 90 से 96 तक जाती है — लगातार 7 ख़ाने, और उनमें से एक भी नहीं बचता। और ये उसी चीज़ के अंदर बैठी है जो हम पहले नाप चुके हैं। 89 बचा है और 97 भी बचा है, और तालिका की सबसे बड़ी दूरी उन्हीं के बीच वाली 8 थी।

ये पट्टी उसी दूरी को अंदर से देखना है। 100 तक इससे लंबी कोई नहीं। तालिका की हर पट्टी गिन लीजिए — 1 की लंबाई वाली 8, 3 की लंबाई वाली 8, 5 की लंबाई वाली 7, और 7 की लंबाई वाली सिर्फ़ यही एक। और इनमें से हर लंबाई विषम है — ये वही पुरानी बात है, बस दूसरा लिबास पहनकर। 2 के बाद बचे हुओं के बीच की दूरियाँ सम होती हैं।

तालिका में 10 पंक्तियाँ हैं, हर एक में 10 ख़ाने। ऊपर से नीचे तक, हर पंक्ति के घेरे गिनिए। मिलते हैं 4, फिर 4, फिर 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, और आख़िर में 1। तो नहीं, हर पंक्ति में बराबर संख्या नहीं है। सबसे भरी पंक्तियों में 4 हैं, और ऐसी 2 पंक्तियाँ हैं, दोनों सबसे ऊपर। सबसे ख़ाली पंक्ति में सिर्फ़ 1 है, और वो सबसे आख़िरी पंक्ति है, और इतनी ख़ाली सिर्फ़ वही है।

पर इसे लगातार नीचे फिसलना मत समझिए। पाँचवीं पंक्ति में चौथी से ज़्यादा हैं, और आठवीं में सातवीं से ज़्यादा। गिनती कुल मिलाकर घटती है, पर रास्ते में 2 बार वापस चढ़ भी जाती है। तालिका को बीच से बाँट दीजिए — ऊपर वाले आधे में 15 बचे हैं, और नीचे वाले में 10। तरीक़े में कहीं 100 का ज़िक्र तक नहीं था। तो अगर तालिका दुगनी लंबी हो जाए, तब क्या होगा?

बिल्कुल यही क़दम 200 तक चलाइए। 1 हटाइए, सबसे छोटे बिना छुए ख़ाने पर घेरा लगाइए, उसके आगे वाले गुणज काटिए, और दोहराइए। 46 ख़ाने बचते हैं। 100 तक जो पहले बचे थे, वो फिर से बचते हैं, और 21 बचे हुए 100 के ऊपर वाले नए हैं। तरीक़ा ज़रा भी नहीं बदला। बस एक चीज़ खिसकी — वो जगह जहाँ बारियाँ बेकार होने लगती हैं। इस तालिका पर 11 की बारी कुछ हटाती है, और वो सबसे पहले जो ख़ाना लेती है वो है 121 — यानी 11 को ख़ुद से गुणा करके।

फिर 13 भी कुछ हटाता है, 169 से शुरू करके। यानी 200 तक आख़िरी कुछ हटाने वाली बारी 13 की है, 7 की नहीं। इस तालिका पर 7 के बाद रुक जाइए, तो 4 भाज्य ख़ाने अब भी खड़े रह जाते हैं — 121, 143, 169 और 187, ठीक वही जिनका सबसे छोटा गुणनखंड 11 या उससे बड़ा है। अब बचे हुओं को गिनिए, एक बार में 100 के हिसाब से।

पहले 100 में 25 मिलते हैं। अगले 100 में 21 मिलते हैं। उसके अगले में 16। यानी तालिका जैसे-जैसे ऊपर चढ़ती है, ये विरल होते जाते हैं। यही बात पंक्तियों में पहले ही दिख गई थी — ऊपर वाले आधे में 15, और नीचे वाले में 10। पर एक जैसी रफ़्तार से नहीं। पहली गिरावट 4 की है और दूसरी 5 की, तो ये विरल होना किसी ऐसे ढर्रे में भी नहीं बैठ रहा जिसे आगे बढ़ाया जा सके।

और ये ख़त्म भी नहीं होते। तालिका को 1000 तक ले जाइए, और दसवें 100 में अब भी 14 बचे मिलते हैं। इससे एक सवाल खड़ा रह जाता है, और यहाँ का सबसे बड़ा सवाल वही है। ये विरल होते जाते हैं — तो क्या कभी पूरी तरह रुक भी जाते हैं? क्या कोई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है? ये तरीक़ा इसका जवाब नहीं दे सकता, और क्यों नहीं दे सकता, ये साफ़ कह देना चाहिए।

ये तालिका पर चलता है, और हर तालिका का एक किनारा होता है। किनारा जहाँ भी रखिए, ये आपको उसके अंदर की ख़बर देता है, बाहर की बिल्कुल नहीं। और विरल होते जाना, रुक जाने के बराबर नहीं है। कोई चीज़ हमेशा के लिए और-और विरल होती जा सकती है, और फिर भी कभी ख़त्म न हो। इस सवाल का जवाब है, और वो बहुत पहले तय भी हो चुका है — पर किसी तालिका से नहीं, और गिनकर तो बिल्कुल नहीं।

अभी इसे खड़ा ही रहने दीजिए — इससे ठीक से मिलना बेहतर है, चलते-चलते नहीं। तो साथ क्या ले जाना है, ये रहा। ये तरीक़ा एक भी ख़ाने की अभाज्य होने की जाँच नहीं करता। ये 1 हटाता है, फिर सबसे छोटे बिना छुए ख़ाने पर घेरा लगाकर उसके आगे वाले गुणज काटता है, बार-बार। और 2 बातें इसे काफ़ी बना देती हैं। पहली — कोई अभाज्य कभी कटती नहीं, क्योंकि किसी ख़ाने को हमेशा अपने से छोटी किसी संख्या के गुणज की तरह ही काटा जाता है।

और दूसरी — कोई भाज्य कभी बचती नहीं, क्योंकि उसका 1 से बड़ा सबसे छोटा गुणनखंड ख़ुद अभाज्य होता है, तो उसकी अपनी एक बारी आती है — और उसी बारी में वो भाज्य संख्या चली जाती है। और अगर जानना हो कि रुकना कब है, तो अगुआ को ख़ुद से गुणा करके देखिए। जब तक वो नतीजा तालिका के अंदर है, बारी काम की है। जैसे ही बाहर निकला, अब कुछ नया नहीं जाएगा।

आख़िर में जो बचा है, उसे किसी ने चुना नहीं। वो बस वही है जिस तक कोई कभी पहुँच ही नहीं पाया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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