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Chapter 5 · Prime Time

Prime और composite: किसी number के factors के लिए rectangle वाली जाँच

Primes13 मिनट

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2 पेटियाँ भरनी हैं — एक में फल के 12 टुकड़े, दूसरी में 7। शर्त ये है कि उन्हें बराबर पंक्तियों में बिछाना है, बीच में कोई ख़ाली जगह नहीं और आख़िर में कुछ बचा हुआ नहीं। सवाल सीधा सा है: किसमें बिछाने के ज़्यादा तरीक़े बनेंगे?

मुख्य idea

किसी number को आप जिस भी rectangle में सजा सकें, वह आपको एक factor pair थमा देता है, इसलिए layouts और factor सूची एक ही चीज़ के दो रूप हैं: बारह के तीन छपे layouts में 1 और 12, 2 और 6, 3 और 4 मिलते हैं — पूरी factor सूची, एक बार भी भाग दिए बिना। दोनों रूपों में जो चीज़ एक जैसी नहीं है, वह है गिनती। एक layout दो factors के बराबर है, इसलिए तीन layouts छह factors के बराबर हैं और किसी prime का अकेला layout ठीक दो factors के बराबर है; सिर्फ़ square layout यह दुगुनापन तोड़ता है, क्योंकि उसकी दोनों भुजाएँ एक ही factor हैं। यही बात "prime" को ऐसी चीज़ बनाती है जिसे रटना नहीं पड़ता, देखा जा सकता है: prime ऐसा number है जिसका कोई दिलचस्प rectangle नहीं होता, सिर्फ़ एक अकेली line होती है। इससे वह सवाल भी बिना किसी ख़ास दलील के सुलझ जाता है जो बच्चे 1 के बारे में हमेशा पूछते हैं — 1 का एक ही layout है, एक अकेला square खाना, इसलिए उसकी जोड़ी सिमटकर एक रह जाती है और उसका एक ही factor होता है। वर्गीकरण इस बात से होता है कि किसी number के कितने factors हैं — दो, या दो से ज़्यादा — और 1 का एक है। उसे किसी फ़रमान से बाहर नहीं किया गया; वह बस किसी भी डिब्बे में कभी पहुँचता ही नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • दी गई संख्या की चीज़ों की हर rectangle वाली सजावट बनाना, और हर एक से factor pair पढ़ना
  • किताब का वर्गीकरण बताना: ठीक दो factors, या दो से ज़्यादा
  • बिना table देखे शुरुआती कई primes और शुरुआती कई composites के नाम बताना
  • नियम के बजाय factors की गिनती से समझाना कि 1 किसी भी वर्ग में क्यों नहीं आता
  • समझाना कि 2 अकेला सम (even) prime क्यों है
  • तय करना कि दिया गया दो अंकों वाला number prime है या नहीं, और अगर नहीं है तो वह factor दिखाना जिससे बात तय होती है
  • primes और composites के बारे में सही-ग़लत वाले दावों को परखना, और दावा ग़लत हो तो उसका उल्टा उदाहरण (counterexample) देना
  • तीन अलग-अलग primes के गुणनफल वाले number को पहचानना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
prime numberठीक दो factors वाला number, 1 और वह ख़ुदअभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा और परिभाषित
composite numberदो से ज़्यादा factors वाला numberभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा और परिभाषित
factorवह number जो किसी दूसरे को पूरा-पूरा बाँट देगुणनखंड§5.1, p.109 में छपा
twin primesऐसे दो primes जिनमें 2 का अंतर होजुड़वाँ अभाज्य§5.2, p.114 में छपा और परिभाषित
prime factorisationकिसी number को primes के गुणनफल के रूप में फिर से लिखनाअभाज्य गुणनखंडन§5.4, p.118 में छपा — इसी chapter में आगे नाम दिया गया
rectangular arrangementचीज़ों को बराबर पंक्तियों और बराबर स्तंभों में सजानाआयताकार व्यवस्था§5.2, p.112 में छपा
even numberऐसा number जिसके factors में 2 होसम संख्या§5.2, p.114 में छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए स्रोतों में नहीं है, इसलिए इन शब्दों का Hindi छपाई से मिलान नहीं किया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Prime वह number है जिसे बाँटा नहीं जा सकता।" हर number को 1 से और ख़ुद से बाँटा जा सकता है। prime वह number है जिसका कोई और भाजक नहीं होता, और किताब इसे मनाही के बजाय गिनती बनाती है — ठीक दो।
  • "1 prime है, क्योंकि उससे सिर्फ़ एक ही rectangle बनता है।" बनता है, और वह rectangle एक खाना है। पर यहाँ prime होना factors में गिना जाता है, और 1 का एक factor है, दो नहीं। किसी prime का अकेला layout एक पट्टी है जिसकी दोनों भुजाएँ अलग-अलग numbers हैं, इसलिए उससे दो factors मिलते हैं; 1 का अकेला layout square है, इसलिए उसकी दोनों भुजाएँ एक ही number हैं और उससे एक factor मिलता है। layouts गिनकर इन दोनों में फ़र्क़ नहीं किया जा सकता — फ़ैसला factors की गिनती करती है।
  • "विषम (odd) मतलब prime।" 9, 15, 21 और 25 विषम हैं और composite हैं; किताब की अपनी composite सूची 4, 6, 8, 9 से शुरू होती है। और दूसरी तरफ़ 2 सम है और prime है।
  • "बड़े numbers के prime होने की संभावना ज़्यादा है, क्योंकि उनके पास ज़्यादा जगह है।" उल्टा है। number जितना बड़ा हो, उसे उतने ही ज़्यादा संभावित factors से बचकर निकलना पड़ता है — इसीलिए साथी topic वाली छलनी ऊपर चढ़ते-चढ़ते पतली होती जाती है।
  • "किसी number के prime होने की जाँच के लिए हर छोटे number से आज़माना पड़ता है।" आपको सिर्फ़ वहाँ तक जाँचना है जहाँ factor pairs एक-दूसरे को पार करते हैं, क्योंकि factors जोड़ियों में आते हैं और हर जोड़ी का एक सदस्य ज़्यादा से ज़्यादा square root जितना होता है। यह यहाँ जोड़ा गया तर्क है, किताब का नहीं — यह बता दीजिए — लेकिन यह सवाल 4 को बोझ से एक तरीक़े में बदल देता है।
  • "Primes का कोई factor नहीं होता।" p.115 पर ठीक इसी वजह से सही-ग़लत वाले दावे के रूप में छपा है। उनके दो factors होते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q4, Figure it Out · 3 Q5, Figure it Out · 3 Q6, Figure it Out · 3 Q8, Figure it Out · 3 Q9, Figure it Out · 3 Q10, Figure it Out · 3 Q11, Figure it Out · 3 Q12

पूरा transcript2,001 शब्द

2 पेटियाँ भरनी हैं। पहली में फल के 12 टुकड़े हैं, और दूसरी में 7। यहाँ देखो — इन्हें बराबर पंक्तियों में बिछाना है। बीच में कोई ख़ाली जगह नहीं, और आख़िर में कुछ बचा हुआ भी नहीं। अगर किसी तरतीब को घुमाकर बग़ल में रखा जाए, तो वो नई तरतीब नहीं मानी जाएगी। वो वही पुरानी है। तो सवाल ये है — इन 2 पेटियों में से किसमें बिछाने के ज़्यादा तरीक़े बनेंगे?

कोई भी एक तरतीब लो। पहले गिनो कि कितनी पंक्तियाँ हैं, फिर गिनो कि एक पंक्ति में कितने रखे हैं। अब ऊपर देखो — इन 2 संख्याओं को आपस में गुणा करो, तो पूरी पेटी वापस मिल जाती है। इसका मतलब ये है कि दोनों संख्याएँ पूरी पेटी को ठीक-ठीक बाँट देती हैं। दोनों गुणनखंड हैं — और आयत ने ये जोड़ी बिना एक भी भाग किए हमें दे दी।

12 को एक ही लंबी कतार में बिछा दीजिए। ये पहली तरतीब है — 1 पंक्ति, और उसमें 12। अब इसे 2 पंक्तियों में मोड़ो। हर पंक्ति में 6 आ जाते हैं, और कुछ बचता नहीं। फिर से मोड़ो, अब 3 पंक्तियों में। हर पंक्ति में 4 आते हैं, और फिर भी कुछ बचता नहीं। 5 पंक्तियों में बाँटकर देखो, या 7 में — हर बार कुछ न कुछ बच जाता है।

12 की कुल 3 तरतीबें हैं, और चौथी कोई नहीं। अब दूसरी पेटी। 7 को एक लंबी कतार में बिछाओ — ये तो बन जाती है। पर 2 पंक्तियों में मोड़ो तो एक टुकड़ा बाहर रह जाता है। उसे किनारे पड़ा हुआ देखो। 3 पंक्तियों में मोड़ो, तब भी एक बाहर रह जाता है। 7 की सिर्फ़ एक ही तरतीब है, और कोई आयत उसमें बैठता ही नहीं। यही वो फ़र्क़ है जिसके लिए सवाल पूछा गया था — 12 के पास विकल्प हैं, और 7 के पास कोई नहीं।

अब हर तरतीब से उसकी जोड़ी पढ़ लो। पहली से 1 और 12, दूसरी से 2 और 6, और तीसरी से 3 और 4। अब इन 3 जोड़ियों को एक साथ रखकर देखो — 1, 2, 3, 4, 6 और 12। यही 12 के गुणनखंडों की पूरी सूची है, और हमने इसके लिए एक भी भाग नहीं किया। और 7 की इकलौती तरतीब से सिर्फ़ 1 और 7 निकलते हैं।

बस इतनी ही उसकी सूची है। यानी एक तरतीब से 2 गुणनखंड मिलते हैं। तो 3 तरतीबों से 6 मिलेंगे, और इकलौती तरतीब से सिर्फ़ 2। तो क्या गुणनखंडों की गिनती हमेशा तरतीबों की गिनती का दुगना होगी? नीचे देखो — 16 की भी 3 तरतीबें हैं, यानी 1 पंक्ति में 16, फिर 2 पंक्तियों में 8-8, और फिर 4 पंक्तियों में 4-4। पर आख़िरी वाली तो वर्ग है। उसकी दोनों भुजाएँ एक ही संख्या हैं, इसलिए वो 4 को एक ही बार देती है, 2 बार नहीं।

तो 16 के 5 गुणनखंड हैं, 6 नहीं। यानी जिन संख्याओं की किसी तरतीब में वर्ग नहीं आता, उनमें दुगने का हिसाब ठीक बैठता है। और जिनमें वर्ग आ जाता है, उनमें ठीक 1 की कमी रह जाती है। तो अब आकार देखना छोड़ो और गुणनखंड गिनो। यही गिनती है जिस पर सारा बँटवारा टिका हुआ है। जिस संख्या के ठीक 2 गुणनखंड हों, उसे अभाज्य संख्या कहते हैं। और जिसके 2 से ज़्यादा हों, उसे भाज्य संख्या कहते हैं।

7 के 2 गुणनखंड हैं, तो 7 अभाज्य है। 12 के 6 हैं, तो 12 भाज्य है। ये नाम गिनती के अलावा और कुछ हैं ही नहीं। 20 तक अभाज्य संख्याएँ हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19। और 4 से ऊपर बाक़ी सब भाज्य हैं — 4, 6, 8, 9, 10, और आगे इसी तरह। और 1 कहाँ जाएगा? 1 की ठीक एक ही तरतीब है, और वो तरतीब है एक अकेला चौकोर ख़ाना।

यहाँ 1 को अभाज्य कह देने का मन करता है, क्योंकि 7 की भी तो इकलौती तरतीब है। पर वो अकेला ख़ाना तो वर्ग है। उसकी दोनों भुजाएँ एक ही संख्या हैं, इसलिए जोड़ी बैठती ही नहीं। 1 का सिर्फ़ 1 गुणनखंड है, 2 नहीं। तो 1 के पास एक गुणनखंड है, और दोनों में से कोई भी नाम एक की माँग नहीं करता। उसे किसी नियम से बाहर नहीं निकाला गया — वो किसी भी वर्ग में घुसता ही नहीं।

तरतीबें गिनकर 1 और 7 में फ़र्क़ नहीं किया जा सकता, पर गुणनखंड गिनकर किया जा सकता है। 2 के ठीक 2 गुणनखंड हैं — 1 और ख़ुद 2। तो 2 अभाज्य है। और 2 तो सम संख्या भी है। अब बाक़ी सम संख्याओं को देखो। इनमें 1 और ख़ुद उनके अलावा 2 भी गुणनखंड है — यानी तीसरा गुणनखंड वहीं आ गया। इसलिए 2 ही इकलौती सम अभाज्य संख्या है।

इसी ग़लती का दूसरा आधा हिस्सा ये है कि विषम संख्या को अभाज्य मान लिया जाए। 9, 15, 21 और 25 — ये सब विषम हैं और सब भाज्य हैं। इनमें सबसे पहली 9 है। भाज्य संख्याओं की सूची में वो 4, 6 और 8 के ठीक बाद आ जाती है। 21 से 30 के बीच कितनी संख्याएँ अभाज्य हैं? यहाँ देखो — सिर्फ़ 23 और 29। यानी 10 संख्याओं की इस कतार में सिर्फ़ 2 अभाज्य हैं।

बाक़ी 8 सब भाज्य हैं। 2 और 8 मिलकर पूरी की पूरी 10 संख्याएँ भर देते हैं, कोई तीसरी जगह बचती ही नहीं। अब 4 संख्याएँ हैं, जिनके बारे में तय करना है — 23, 51, 37 और 26। 26 सम है, तो 2 उसे बाँट देता है। यही तीसरा गुणनखंड है, और इसी से 26 भाज्य साबित हो जाता है। 51 का आख़िरी अंक 1 है, इसलिए पहली नज़र में वो अभाज्य लगता है।

पर 3 उसे बाँट देता है — 51 असल में 3 गुणा 17 है। 23 और 37 हर जाँच से बच निकलते हैं, तो ये दोनों अभाज्य हैं। और ध्यान दो कि बाक़ी 2 को किसने पकड़ा — सिर्फ़ एक गुणनखंड, जो सामने रखकर दिखा दिया गया। लगता है कि किसी संख्या को जाँचने के लिए उससे छोटी हर संख्या आज़मानी पड़ेगी। पर ऐसा करना नहीं पड़ता। गुणनखंड जोड़ियों में आते हैं, और हर जोड़ी में एक छोटा होता है और एक बड़ा।

तो जैसे ही जोड़ियाँ आपस में क्रॉस कर जाती हैं, उसके बाद जो बचता है वो दूसरी तरफ़ से पहले ही देखा जा चुका होता है। नीचे देखो — 51 को हर संख्या से आज़माओ तो 50 उम्मीदवार जाँचने पड़ेंगे। और क्रॉस होने पर रुक जाओ तो सिर्फ़ 7। 97 में 9 उम्मीदवार लगते हैं, और उनमें से कोई उसे बाँटता नहीं। इसलिए 97 अभाज्य है। अभाज्य संख्याओं के बारे में कुछ बातें सुनने में बिलकुल ठीक लगती हैं।

उन्हें मान लेने के बजाय जाँचना पड़ता है। पहली बात देखो — कोई भी अभाज्य संख्या 4 पर ख़त्म नहीं होती। ये बात सही है, और वजह छोटी सी है — जिस संख्या का आख़िरी अंक 4 हो वो सम होती है, तो 2 उसे बाँट देता है। और 2 से बड़ी हर ऐसी संख्या में यही तीसरा गुणनखंड बन जाता है। अगली बात — अभाज्य संख्याओं का गुणनफल ख़ुद भी अभाज्य हो सकता है।

पर ये बात सही नहीं है। 2 गुणा 3 बराबर 6, और 6 के 4 गुणनखंड हैं। गुणनफल बनाते ही वो भाज्य हो जाता है। अभाज्य संख्याओं का कोई गुणनखंड होता ही नहीं। ये ग़लत है, और ये परिभाषा को उल्टा कर देता है — अभाज्य के 2 गुणनखंड होते हैं, और ठीक 2 होना ही उस शब्द का पूरा मतलब है। अगली बात देखो। हर सम संख्या भाज्य होती है।

ये भी ग़लत है, और इसे गिराने के लिए एक ही संख्या काफ़ी है — 2। 2 और 3 के बाद कोई अभाज्य संख्या के ठीक अगली संख्या फिर से अभाज्य नहीं होती। ये बात सही है, और वजह ये है कि आमने-सामने की 2 संख्याओं में से एक तो सम होगी ही। 2 और 3 ही इकलौती ऐसी आमने-सामने की जोड़ी है जिसमें दोनों अभाज्य हैं — कहीं और ऐसी जोड़ी मिलती ही नहीं।

जब आमने-सामने बैठना मना है, तो 2 अभाज्य संख्याएँ ज़्यादा से ज़्यादा 2 के फ़ासले पर आ सकती हैं। ऐसी जोड़ी को जुड़वाँ अभाज्य कहते हैं। 100 से नीचे ऐसी 8 जोड़ियाँ हैं — 3 और 5, फिर 5 और 7, फिर 11 और 13, 17 और 19, 29 और 31, 41 और 43, 59 और 61, और आख़िर में 71 और 73। इन 8 में से हर जोड़ी का फ़ासला सचमुच 2 है, और इनमें आई 16 की 16 संख्याएँ सचमुच अभाज्य हैं।

20 से नीचे की कौन सी अभाज्य जोड़ियाँ ऐसी हैं जिनका जोड़ 5 का गुणज बने? 2 और 3 का जोड़ 5 है। 2 और 13 का जोड़ 15 है। और 3 और 7 का जोड़ 10 है। अगर दोनों अभाज्य अलग-अलग होने चाहिए, तो ऐसी कुल 7 जोड़ियाँ हैं। और अगर कोई अभाज्य ख़ुद अपने साथ भी जुड़ सकता है, तो 8 — क्योंकि 5 और 5 का जोड़ भी तो 10 ही है।

13 अभाज्य है। अब उसके अंक उल्टे करके लिखो तो 31 बनता है, और वो भी अभाज्य है। 100 से नीचे ऐसी 4 जोड़ियाँ बनती हैं — 13 और 31, फिर 17 और 71, फिर 37 और 73, और 79 और 97। ये इसलिए कम होता है क्योंकि उल्टा करने पर आख़िरी जगह पर कोई और अंक आ जाता है। आख़िरी अंक ही तय करता है कि 2 या 5 अंदर घुसेगा या नहीं, और उल्टा करते ही ये काम दूसरे अंक के हाथ चला जाता है।

कोई अभाज्य संख्या लो, उसे दुगना करो, और उसमें 1 और जोड़ दीजिए। 3 से शुरू करो — दुगना करके 6, और 1 जोड़कर 7। और 7 फिर से अभाज्य है। 50 से नीचे 7 अभाज्य संख्याएँ ऐसा करती हैं — 2, 3, 5, 11, 23, 29 और 41। ख़ुद 7 उस सूची में नहीं है। उसे दुगना करके 14, और 1 जोड़कर 15 — और 15 तो 3 गुणा 5 है।

45, 60, 91, 105 और 330 में से कौन सी संख्या ठीक 3 अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है? जवाब है 105। वो 3 गुणा 5 गुणा 7 है — 3 अभाज्य, तीनों अलग, और गुणनफल में इनके सिवा कुछ नहीं। यहाँ फँसाने वाली संख्या 60 है। उसमें 3 अलग-अलग अभाज्य तो हैं, पर वो असल में 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 5 है। एक अभाज्य 2 बार आ गया, और गुणनफल में 3 नहीं, 4 टुकड़े हो गए।

330 में 4 अलग-अलग अभाज्य हैं। 45 और 91 में सिर्फ़ 2-2 हैं। और 91 पर एक बार रुककर देखो — वो 7 गुणा 13 है, और इसी वजह से पहली नज़र में अभाज्य लगता है। अंक 2, 4 और 5 लो, और इनसे बनने वाली हर 3 अंकों की संख्या लिख डालो। ऐसी 6 संख्याएँ बनती हैं। नीचे देखो — वो हैं 245, 254, 425, 452, 524 और 542।

अब इनमें से कौन सी अभाज्य है? इनमें से एक भी अभाज्य नहीं है, और हर बार वजह आख़िरी अंक ही बताता है। इनमें 4 संख्याओं का आख़िरी अंक सम है, तो 2 अंदर आ जाता है। और बाक़ी 2 का आख़िरी अंक 5 है, तो 5 अंदर आ जाता है। बड़ी संख्या में जगह ज़्यादा होती है, तो लगता है कि उसके अभाज्य होने के आसार भी ज़्यादा होंगे।

पर बात ठीक उल्टी है। गिनकर देखो — 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, और उसके अगले 100 में सिर्फ़ 21। संख्या जितनी बड़ी होती जाती है, उसे उतने ही ज़्यादा उम्मीदवारों से बचकर निकलना पड़ता है। जगह से कुछ तय नहीं होता — बचकर निकलने से तय होता है। जिस भी आयत में कोई संख्या बैठ जाए, वो आयत आपको एक जोड़ी गुणनखंड दे देता है। इसलिए तरतीबें और गुणनखंडों की सूची एक ही चीज़ के 2 रूप हैं।

और वर्ग किससे तय होता है? गिनती से — एक गुणनखंड, ठीक 2, या 2 से ज़्यादा। 1 के पास एक गुणनखंड है, इसलिए वो दोनों में से किसी वर्ग में नहीं घुसता। और उसे बाहर रखने के लिए कोई नियम लिखना ही नहीं पड़ा। और जब किसी संख्या को हाथ से जाँचना हो, तो जोड़ियाँ ही बचाती हैं — देखना सिर्फ़ वहीं तक पड़ता है जहाँ वो आपस में क्रॉस करती हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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