10, 5, 2, 4 और 8 की divisibility जाँचें: सिर्फ़ आख़िरी अंक ही क्यों मायने रखते हैं

0:00ये रही एक संख्या — 8560। और ये रहे 9 उम्मीदवार — 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और 10। इनमें से कौन-कौन 8560 को पूरा बाँटते हैं, यानी भाग देने पर कुछ नहीं बचता? आप 9 बार भाग कर सकते हैं। या फिर संख्या का आख़िरी हिस्सा पढ़कर ज़्यादातर जवाब एक साथ जान सकते हैं। अभी एक अंदाज़ा लगाइए — इन 9 में से कितने 8560 के गुणनखंड हैं?

0:38सबसे आसान से शुरू करते हैं — 10। 10 के गुणज गिनिए और उनका आख़िरी अंक देखिए। 10, 20, 30, 40, 50, 60। हर एक का आख़िरी अंक 0 है। और 10 का कोई भी गुणज किसी और अंक पर ख़त्म नहीं होता। तो नियम ये बना — 10 किसी संख्या को तभी बाँटता है, जब उसका आख़िरी अंक 0 हो। अब जाँचिए — क्या 125, 10 का गुणज है?

1:08उसका आख़िरी अंक 5 है, तो नहीं। और 8560 का आख़िरी अंक 0 है। तो 10 उसे बाँटता है। 1 जवाब मिल गया। अब 5, और वही तरीक़ा। 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40। आख़िरी अंक बारी-बारी आते हैं — 5, 0, 5, 0। तो 5 किसी संख्या को तब बाँटता है, जब वो 5 या 0 पर ख़त्म हो। इस बार 1 नहीं, 2 अंत। 399 से छोटी सबसे बड़ी संख्या कौन सी है, जिसे 5 बाँटता है?

1:49पीछे की ओर गिनिए — 398, नहीं। फिर 397, नहीं। फिर 396, वो भी नहीं। और 395 — हाँ, ये 5 पर ख़त्म होती है। और 8560 का आख़िरी अंक 0 है, तो 5 भी उसे बाँटता है। अब बारी है 2 की। 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20। आख़िरी अंक घूमते रहते हैं — 2, 4, 6, 8, 0। तो कोई संख्या सम है, यानी 2 से विभाज्य है, जब उसका आख़िरी अंक इन 5 में से कोई हो।

2:39682 का आख़िरी अंक 2 है, तो ये सम है। 399 से 411 तक की सम संख्याएँ? 400, 402, 404, 406, 408 और 410 — कुल 6। और 8560 भी 0 पर ख़त्म होती है, तो ये भी सम है। तो 10, 5 और 2 — तीनों का फ़ैसला सिर्फ़ आख़िरी अंक से हो गया। एक भी भाग नहीं करना पड़ा। और ये नियम 100000 तक की हर संख्या पर जाँचे गए।

3:14एक बार भी ग़लत नहीं निकले। आख़िरी अंक अच्छा चल रहा है। तो 4 पर भी आज़माते हैं। 12 को 4 बाँटता है। पर 22 को 4 नहीं बाँटता। और दोनों का आख़िरी अंक 2 है। 14 को 4 नहीं बाँटता। 24 को बाँटता है। दोनों 4 पर ख़त्म होती हैं। 16 — हाँ, 26 — नहीं, दोनों 6 पर। 18 — नहीं, 28 — हाँ, दोनों 8 पर। 4 बार, आख़िरी अंक एक जैसा, और जवाब उल्टा।

3:50तो आख़िरी अंक 4 का फ़ैसला कर ही नहीं सकता। उसमें इतनी जानकारी है ही नहीं। एक और जाल। 14, 34 और 54 — तीनों 4 पर ख़त्म होती हैं, और 4 इनमें से किसी को नहीं बाँटता। 4 पर ख़त्म होना और 4 का गुणज होना — ये 2 अलग बातें हैं। नया तरीक़ा नहीं चाहिए। बस खिड़की थोड़ी चौड़ी कीजिए। 1 अंक काफ़ी नहीं था, तो आख़िरी 2 अंक देखिए।

4:20330 से 340 तक 4 के गुणज — 332, 336 और 340। अब यही खिड़की काफ़ी ऊपर — 1730 से 1740 तक। 1732, 1736 और 1740। और एक बार — 2030 से 2040 तक। 2032, 2036 और 2040। अब तीनों खिड़कियों में आख़िरी 2 अंक देखिए — 32, 36, 40। हर बार वही। ऊपर के अंक पूरी तरह बदल गए, पर जवाब पर कोई असर नहीं पड़ा। तो 4 का नियम — आख़िरी 2 अंकों को छोड़कर बाक़ी सब भूल जाइए।

5:05अगर उन 2 अंकों की संख्या को 4 बाँटता है, तो पूरी संख्या को भी बाँटता है। इसमें असल में 3 दावे हैं। पहला, आख़िरी 2 अंकों से ऊपर का हिस्सा जवाब नहीं बदलता। दूसरा, अगर आख़िरी 2 अंक 4 से विभाज्य हैं, तो संख्या भी है। तीसरा, उल्टी तरफ़ से — अगर संख्या 4 से विभाज्य है, तो आख़िरी 2 अंक भी हैं। तीनों दावे 100000 तक की हर संख्या पर जाँचे गए।

5:31कोई अपवाद नहीं मिला। 8560 के आख़िरी 2 अंक हैं 60। 60 को 4 से बाँटें तो 15 आता है। तो 4, 8560 को बाँटता है। अब 8। क्या आख़िरी 2 अंक काफ़ी हैं? 108 और 208 — दोनों 08 पर ख़त्म होती हैं। 8, 208 को बाँटता है, पर 108 को नहीं। तो खिड़की और चौड़ी। 120 से 140 तक 8 के गुणज — 120, 128 और 136। 1120 से 1140 तक — 1120, 1128, 1136।

6:15और 3120 से 3140 तक — 3120, 3128, 3136। आख़िरी 3 अंक तीनों बार वही — 120, 128, 136। तो 8 के लिए खिड़की 3 अंकों की है। 8 का नियम — अगर आख़िरी 3 अंकों की संख्या को 8 बाँटता है, तो पूरी संख्या को भी। और उल्टा भी सच है। ये भी 100000 तक हर संख्या पर जाँचा गया। 8560 के आख़िरी 3 अंक हैं 560। और 560 बराबर 8 गुणा 70।

6:55तो 8 भी 8560 को बाँटता है। पर ध्यान रहे — 4 से विभाज्य होना 8 से विभाज्य होना नहीं है। 12, 20 और 28 को 4 बाँटता है, 8 किसी को नहीं। एक छोटी पहेली। 8560 के आख़िरी 2 अंक बदलकर 8 का गुणज बनाइए। पर 8560 तो पहले से ही 8 का गुणज है। तो सवाल का मतलब है — कोई दूसरा गुणज, जो 85 से शुरू हो।

7:268500 से 8599 तक 8 के 12 गुणज हैं। उनमें से एक है 8552। अब असली सवाल। खिड़की काम क्यों करती है? ये 5 अलग तरकीबें नहीं हैं। ये एक ही बात है, 3 बार इस्तेमाल हुई। 8560 को देखिए। आख़िरी अंक से बाईं तरफ़ जो कुछ है, वो 10 के पूरे समूह हैं — यहाँ 856 समूह। जो संख्या 10 को पूरा बाँटती है, वो 10 के हर समूह को बाँटती है।

8:00तो वो पूरा हिस्सा हट जाता है, और सिर्फ़ आख़िरी अंक बचता है। 2, 5 और 10 — तीनों 10 को बाँटते हैं। इसीलिए आख़िरी अंक इनका फ़ैसला कर देता है। अब दीवार 1 जगह बाईं ओर खिसकाइए। 8560 बराबर 8500 और 60। और 8500, 100 के पूरे समूह हैं। देखिए, 100 को 4 पूरा बाँटता है। तो वो 8500 को भी बाँटता है — 2125 बार। बचे सिर्फ़ आख़िरी 2 अंक, 60।

8:35एक बार और। 8560 बराबर 8000 और 560। 8, 1000 को बाँटता है, तो 8000 को भी — 1000 बार। बचते हैं आख़िरी 3 अंक, यानी 560। तो 5 नियम नहीं। एक ही बात — दीवार बस 3 अलग जगहों पर। एक तालिका बनाइए। 10 को बाँटते हैं 2, 5 और 10। 100 को इनके साथ 4 भी। और 1000 को 8 भी। हर नियम की खिड़की उतनी चौड़ी है, जितने शून्य उस पहली संख्या में हैं, जिसे वो पूरा बाँटता है — 2, 5 और 10 के लिए 1, 4 के लिए 2, 8 के लिए 3।

9:20इससे ये भी पता चलता है कि ये तरीक़ा कहाँ रुकेगा। 3 को आज़माइए। 10 को 3 से बाँटें — 1 बचता है। 100 को — 1 बचता है। 1000 को — फिर 1 बचता है। 3 इनमें से किसी को पूरा नहीं बाँटता। और 6, 7, 9 भी नहीं। देखिए — 1000 और 3000, दोनों के आख़िरी 3 अंक 000 हैं। पर 3, 3000 को बाँटता है और 1000 को नहीं।

9:496, 7 और 9 के साथ भी यही होता है। तो इन 4 के लिए 3 अंकों तक की कोई भी खिड़की काम नहीं करती। इनकी जाँच किसी दूसरे तरीक़े से होती है। तो 8560 पर वापस। 9 में से 5 उसे बाँटते हैं — 2, 4, 5, 8 और 10। और 3, 6, 7, 9 नहीं बाँटते — ये भाग करके पक्का किया गया। आपका अंदाज़ा कितना सही था?

10:20अब एक मज़ेदार पहेली। क्या 14560, 2, 4, 5, 8 और 10 — पाँचों जाँचों में पास है? पर आपको सिर्फ़ 2 जाँचें करने की इजाज़त है। 8 से शुरू कीजिए। अगर 8 बाँटता है, तो 4 भी बाँटेगा, क्योंकि 4, 8 को बाँटता है। और 2 भी। और अगर 10 बाँटता है, तो 5 भी बाँटेगा। तो 8 और 10 — बस 2 जाँचें, और पाँचों जवाब। 5 जाँचों से 10 जोड़ियाँ बनती हैं।

10:52उनमें से सिर्फ़ 2 काम करती हैं — 8 और 10, या 8 और 5। दोनों में 8 ज़रूरी है। 14560 के आख़िरी 3 अंक 560 हैं, जिसे 8 बाँटता है। और ये 0 पर ख़त्म होती है। तो पाँचों पास। अब 5 संख्याएँ, 5 जाँचें। 572, 2352, 5600, 6000 और 77622160 — कौन सी पाँचों में पास हैं? 572 — 2 और 4 में पास। पर 72, 8 के लिए काफ़ी नहीं, और ये 0 या 5 पर ख़त्म नहीं होती।

11:30फिर 2352 — उसके आख़िरी 3 अंक हैं 352, जिसे 8 बाँटता है। तो 2, 4 और 8 में पास, पर 5 और 10 में नहीं। बाकी तीनों — 5600, 6000 और 77622160 — पाँचों में पास। संख्या 77622160 बड़ी दिखती है, पर उसके आख़िरी 3 अंक 160 हैं, और 160 बराबर 8 गुणा 20। एक आदत और, जो आसानी से छूट जाती है। हर नियम में असल में 2 दावे होते हैं, उल्टी दिशाओं में।

12:124 के लिए दोनों सच हैं — आख़िरी 2 अंक 4 से विभाज्य, तो संख्या भी। और संख्या 4 से विभाज्य, तो आख़िरी 2 अंक भी। पर हमेशा ऐसा नहीं होता। अगर 8 बाँटता है, तो 4 भी — ये हमेशा सच। उल्टा पूछिए — अगर 4 बाँटता है, तो क्या 8 भी? 12, 20, 28 — नहीं। एक ही जोड़ी, 2 सवाल, 2 अलग जवाब। इसलिए हर दावे को दोनों तरफ़ से जाँचिए।

12:45अब पैलिंड्रोम — वो संख्याएँ जो उल्टी पढ़ने पर भी वही रहती हैं, जैसे 2112। 4 अंकों का सबसे छोटा और सबसे बड़ा पैलिंड्रोम कौन सा है, जिसे 4 बाँटता है? 4 का नियम सिर्फ़ आख़िरी 2 अंक देखता है। और पैलिंड्रोम में आख़िरी 2 अंक, पहले 2 अंक उल्टे होते हैं। तो पहला अंक सम होना ही चाहिए। सबसे छोटा है 2112, और सबसे बड़ा 8888। 9999 और 1001 जैसे जवाब लुभाते हैं, पर दोनों विषम हैं, तो 4 उन्हें बाँट ही नहीं सकता।

13:234 अंकों के कुल 90 पैलिंड्रोम हैं। उनमें से 20 को 4 बाँटता है, और सबका पहला अंक 2, 4, 6 या 8 है। और आख़िरी पहेली — 10000 को 2 गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए, पर किसी का भी आख़िरी अंक 0 न हो। 10000 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2, गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 5। कोई संख्या 0 पर तभी ख़त्म होती है, जब उसमें 2 भी हो और 5 भी।

13:59तो सारे 2 एक तरफ़, सारे 5 दूसरी तरफ़। यानी 16 और 625। दोनों में से कोई 0 पर ख़त्म नहीं होती, और गुणा करें तो 10000। और ये अकेला तरीक़ा है। आख़िरी अंक शेषफल भी बता देता है। 8563 को 10 से बाँटें तो 3 बचता है, 5 से बाँटें तो 3, और 2 से बाँटें तो 1। और ठीक यही शेषफल सिर्फ़ आख़िरी अंक 3 से भी मिलते हैं — बाक़ी हिस्सा तो 10 के पूरे समूह हैं।

14:33तो पूरी बात ये है। 10, 100 और 1000 बाक़ी हिस्से को हटा देते हैं। जो इनमें से किसी को बाँटता है, उसका फ़ैसला आख़िरी अंकों से हो जाता है। 2, 5 और 10 के लिए 1 अंक। 4 के लिए 2। 8 के लिए 3। और 3, 6, 7, 9 के लिए कोई खिड़की नहीं। और एक सवाल आपके लिए — 125 की जाँच कैसी होगी, और उसकी खिड़की कितने अंकों की होगी?

15:03125 किसको पूरा बाँटता है, ये सोचिए।