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Chapter 7 · Fractions

दो भिन्नों को एक साझा fractional unit देकर उनकी तुलना करना

Comparing fractions12 मिनट

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1 चॉकलेट 2 बच्चों में, या 5 चॉकलेट 8 बच्चों में — किसे ज़्यादा मिलता है? 1 बटा 2 और 5 बटा 8 के टुकड़े अलग आकार के हैं, इसलिए देखकर नहीं आँक सकते। 1 बटा 2 का नाम बदलिए: 4 बटा 8। अब 4 टुकड़े बनाम 5 — 5 बटा 8 बड़ा है।

मुख्य idea

दो गिनतियों में बड़ा-छोटा तभी तय हो सकता है जब वे एक ही चीज़ गिन रही हों। अलग नीचे वाली संख्याओं वाली भिन्न दो अलग मुद्राओं में की गई गिनतियाँ हैं, इसलिए "कौन-सी बड़ी है?" असल में तुलना का सवाल है ही नहीं — यह बदलने का सवाल है, और equivalent भिन्न विनिमय दर हैं। जैसे ही दोनों भिन्नों को एक साझा क़दम के आकार में फिर से लिखा जाता है, पूरी समस्या सिमटकर दो पूर्ण संख्याओं की तुलना बन जाती है। और यह तरीक़ा कभी नाकाम नहीं हो सकता, क्योंकि साझा क़दम का आकार हमेशा मौजूद होता है: दोनों नीचे वाली संख्याओं को आपस में गुणा कर दो और तुम्हारे पास एक मिल जाता है, हालाँकि आम तौर पर उससे छोटा भी चल जाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • ऐसी दो भिन्नों की तुलना करना जिनकी नीचे वाली संख्या पहले से एक है, और बताना कि यह आसान क्यों है
  • एक जैसी ऊपर वाली संख्या वाली दो भिन्नों की तुलना करना, और नतीजे को बाँटने से समझाना
  • भिन्नों की किसी जोड़ी को एक साझा fractional unit में बदलना और उससे उनका क्रम तय करना
  • किसी दी गई जोड़ी के लिए चलने वाली कम से कम दो साझा units बताना, और बताना कि दोनों नीचे वाली संख्याओं का गुणनफल हमेशा क्यों चलता है
  • तुलना के तरीक़े को क्रम से चलने वाली विधि के रूप में बताना
  • तीन या चार भिन्नों को आरोही या अवरोही क्रम में लगाना
  • समझाना कि सिर्फ़ ऊपर वाली संख्याओं की, या सिर्फ़ नीचे वाली संख्याओं की तुलना सही जाँच क्यों नहीं है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
compareतय करना कि दो भिन्नों में से कौन-सी बड़ी हैतुलना करना§7.7 के शीर्षक में और पूरे section में छपा, pp.173–174
common denominatorएक नीचे वाली संख्या जिसे इस्तेमाल करने के लिए दोनों भिन्नें फिर से लिखी गई हैंउभयनिष्ठ हर§7.7, p.173 पर छपा
fractional unitवह क़दम का आकार जो दोनों भिन्नों को साझा करना पड़ता हैइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा; §7.6, p.171 में तरीक़े की धुरी
equivalent fractionsफिर से लिखे गए रूप जो दोनों को तुलना लायक़ बनाते हैंतुल्य भिन्न§7.6, p.164 पर छपा
common multipleऐसी संख्या जिसे दोनों नीचे वाली संख्याएँ भाग देती हैं, साझा denominator के रूप में इस्तेमालउभयनिष्ठ गुणज§7.7, p.173 पर छपा
greaterफ़ैसले वाला शब्द जिसके पीछे section हैबड़ा§7.7, p.173 पर छपा
ascendingसबसे छोटा पहलेआरोही§7.7, p.174 पर छपा
descendingसबसे बड़ा पहलेअवरोही§7.7, p.174 पर छपा
numerator / denominatorगिनती, और एक पूरे में क़दमों की संख्याअंश / हर§7.3, p.158 पर छपा
cross-multiplicationहर ऊपर वाली को दूसरी की नीचे वाली से गुणा करके जोड़ी का क्रम तय करनातिर्यक गुणनयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़ी नीचे वाली संख्या मतलब बड़ी भिन्न।" §7.1 में fractional units के लिए यह पहले ही टूट चुकी है, और जैसे ही दो पूरी भिन्न आती हैं यह लौट आती है। p.169 की chikki वाली जोड़ी वह उल्टा उदाहरण है जो किताब चुनती है।
  • "बड़ी ऊपर वाली संख्या मतलब बड़ी भिन्न।" सिर्फ़ तब सच है जब नीचे वाली संख्याएँ एक जैसी हों। बारह पाँचवें आठ पाँचवें से बड़ा है; नौ चौथाई पाँच आधे से बड़ा नहीं है। दोनों हालतें p.174 के अभ्यास में हैं, और उन्हें अगल-बगल रखना सबसे साफ़ सुधार है।
  • "पहले ऊपर वाली की तुलना करो, फिर नीचे वाली की, फिर तय करो।" ऐसा कोई नियम नहीं है। अगर student ऐसा कोई नियम ढूँढ़ रहा है, तो उसने अभी तक यह नहीं माना कि भिन्न एक ही संख्या है।
  • "दोनों नीचे वाली संख्याओं का गुणनफल ही इस्तेमाल करना ज़रूरी है।" किताब ख़ुद p.171 पर ध्यान दिलाती है कि एक छोटी साझा unit पहले ही आ चुकी थी। कोई भी उभयनिष्ठ गुणज चलता है। गुणनफल गारंटी है, ज़रूरत नहीं।
  • "बदलने से भिन्न बदल जाती हैं।" उनके नाम बदलते हैं, जगहें नहीं। फिर से लिखते समय दोनों भिन्नों को एक ही number line पर mark करके रखो, ताकि साफ़ दिखे कि निशान अपनी जगह पर हैं।
  • "तुलना और equivalence अलग-अलग topics हैं।" यह एक ही topic है, जो दो बार इस्तेमाल होता है।
  • "equivalent भिन्नों की छोटी सूची मतलब ग़लत जवाब।" p.174 वाली जोड़ी को तिरसठ चाहिए, एक सौ नवासी नहीं। जल्दी रुकना किफ़ायत है, ग़लती नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7.7 Q1, Figure it Out · 7.7 Q2, Figure it Out · 7.7 Q3

पूरा transcript1,714 शब्द

पहला समूह: 1 चॉकलेट बार, 2 बच्चों में बराबर बँटी। दूसरा समूह: 5 चॉकलेट बार, 8 बच्चों में बराबर बँटीं। किस समूह में हर बच्चे को ज़्यादा मिलेगा? एक का हिस्सा 1 बटा 2 है, दूसरे का 5 बटा 8। पर दोनों के टुकड़े अलग आकार के हैं। दोनों समूहों में हर बच्चे को पूरी बार से कम मिलता है। दोनों हिस्से 1 से छोटे हैं, इसलिए देखते ही कोई बड़ा नहीं लगता।

अलग-अलग आकार के कदमों में गिनी हुई चीज़ों को, देखकर नहीं आँका जा सकता। तो एक हिस्से का नाम बदलिए, ताकि दोनों एक ही कदम में गिने जाएँ। 1 बटा 2 बराबर 4 बटा 8 है — वही लंबाई, बस 1 बटा 8 के कदमों में गिनी हुई। हर आधे को 4 बराबर टुकड़ों में काटिए। अब वही आधा, 1 बटा 8 वाले 4 टुकड़ों से बना है। बार ज़रा भी नहीं बदली।

बदला सिर्फ़ ये, कि हमने उसे कितना बारीक काटा। अब मुक़ाबला आसान है: 1 बटा 8 के 4 टुकड़े, बनाम 5 टुकड़े। 5 ज़्यादा है। इसलिए दूसरे समूह के हर बच्चे को ज़्यादा मिलता है: 5 बटा 8, 1 बटा 2 से बड़ा है। और औज़ार वही है जो पिछली बार बनाया था: तुल्य भिन्न। एक और जोड़ी: 1 चॉकलेट 2 बच्चों में, बनाम 4 चॉकलेट 7 बच्चों में। इस बार जान-बूझकर 1 बटा 2 को 4 बटा 8 लिखिए।

अब ऊपर वाली संख्याएँ बराबर हैं: 4 बटा 8, बनाम 4 बटा 7। ध्यान दीजिए, इस बार हमने नीचे वाली नहीं, ऊपर वाली संख्याएँ एक जैसी कीं। ये भी एक रास्ता है। मतलब खाना उतना ही — 4 चॉकलेट — पर बच्चे अलग-अलग। 4 चॉकलेट 7 बच्चों में बँटें, तो टुकड़ा 1 बटा 7 का। 8 बच्चों में, तो 1 बटा 8 का। हर बच्चे को दोनों बार 4 टुकड़े मिलते हैं, पर 1 बटा 7 का टुकड़ा, 1 बटा 8 वाले से बड़ा है।

इसलिए 4 बटा 7, 4 बटा 8 से बड़ा है — यानी 1 बटा 2 से भी। नियम: खाना तय हो, तो बच्चे जितने ज़्यादा, थाली उतनी छोटी। इसलिए नीचे वाली संख्या बड़ी होने से भिन्न बड़ा नहीं हो जाता — अक्सर उल्टा होता है। अब बच्चे तय कीजिए: 7 बच्चे — 4 चॉकलेट हों या 5? टुकड़े दोनों बार 1 बटा 7 के। 4 चॉकलेट से हर बच्चे को 4 टुकड़े, 5 चॉकलेट से 5 टुकड़े।

जब टुकड़ों का आकार एक है, तो फ़ैसला सिर्फ़ टुकड़ों की गिनती करती है। यानी 5 बटा 7, 4 बटा 7 से बड़ा है। बच्चे तय हों, तो खाना जितना ज़्यादा, थाली उतनी बड़ी। 1 बटा 5 बनाम 2 बटा 5: कदम एक जैसे, तो 2 कदम, 1 से ज़्यादा। number line पर भी, 2 बटा 5, 1 बटा 5 से एक कदम दाईं ओर बैठता है। 3 बटा 7 बनाम 4 बटा 7: 4, 3 से ज़्यादा।

1 बटा 2 बनाम 5 बटा 8 में पहले एक नाम बदलना पड़ता है: 4 बटा 8, बनाम 5 बटा 8। कदम एक जैसे हो जाएँ, तो गिनतियों को पूरे अंकों की तरह मिलाइए। 3 गिलास जूस 4 बच्चों में, बनाम 7 गिलास 10 बच्चों में। और 4 गिलास 7 बच्चों में, बनाम 5 गिलास 7 बच्चों में। दूसरी जोड़ी तुरंत सुलझ जाती है: बच्चे वही 7, तो 5 गिलास वाले ज़्यादा पाते हैं।

पहली जोड़ी में मेहनत लगेगी: बच्चे भी अलग, गिलास भी अलग। आसान का मतलब: कदम एक जैसे। मुश्किल का मतलब: कदम अलग। 1 बटा 4 और 1 बटा 10 — ये 2 अलग पैमाने हैं। 3 बटा 4 और 7 बटा 10, दोनों 1 से थोड़े कम हैं, और आपस में बहुत पास हैं। आँख से फ़र्क पकड़ना मुश्किल है। 2 पैमानों की गिनती तब तक नहीं मिलाई जा सकती, जब तक दोनों को एक ही पैमाने से न नापा जाए।

तो कौन बड़ा, असल में ये सवाल नाम बदलने का सवाल है। 3 बटा 4 के नामों की सीढ़ी बनाइए: दोनों संख्याओं को 2 से, 3 से, 4 से गुणा करते जाइए। 3 बटा 4, 6 बटा 8, 9 बटा 12, 12 बटा 16, 15 बटा 20, और आगे। सीढ़ी का हर डंडा एक ही लंबाई है। बदलता है सिर्फ़ उसका नाम। अब 7 बटा 10 की सीढ़ी: 14 बटा 20, 21 बटा 30, 28 बटा 40।

अब वो पहली नीचे वाली संख्या ढूँढिए, जो दोनों सीढ़ियों पर आती है। दोनों सीढ़ियाँ 20 पर मिलती हैं: 15 बटा 20, और 14 बटा 20। यानी 15 बनाम 14, तो 3 बटा 4 बड़ा है। इतने पास के हिस्सों को आँख से आँकना लगभग नामुमकिन है। गिनती ने ये काम पल भर में कर दिया। यानी 3 गिलास 4 बच्चों में बाँटने पर, हर बच्चे को 7 गिलास 10 बच्चों वाले से थोड़ा ज़्यादा मिलता है।

पर सीढ़ी पर कब तक चढ़ें? क्या मिलने की जगह हमेशा होगी? हाँ — 4 गुणा 10, यानी 40, दोनों सीढ़ियों पर है: 3 बटा 4 बराबर 30 बटा 40, और 7 बटा 10 बराबर 28 बटा 40। 30 बनाम 28: फ़ैसला फिर वही। 3 बटा 4 की सीढ़ी 10 डंडे चढ़कर 40 पर पहुँचती है, और 7 बटा 10 की सीढ़ी सिर्फ़ 4 डंडे चढ़कर। दोनों नीचे वाली संख्याओं का गुणा हमेशा दोनों सीढ़ियों पर आता है — क्योंकि हर सीढ़ी, दूसरे की नीचे वाली संख्या जितनी ऊँची चढ़कर वहाँ पहुँचती है।

इसलिए ये तरीका कभी फेल नहीं होता। पर ध्यान दीजिए, 40 से पहले ही 20 आ चुका था। कोई भी साझा नीचे वाली संख्या चलेगी। गुणा बस गारंटी है, ज़रूरी शर्त नहीं। छोटी साझा नीचे वाली संख्या का मतलब: छोटी गिनतियाँ, और हिसाब में गलती की कम गुंजाइश। जल्दी रुक जाना बचत है, गलती नहीं। अभ्यास: हर जोड़ी को एक साझा नीचे वाली संख्या दीजिए। 7 बटा 2 और 3 बटा 5: 10 पर मिलते हैं — 35 बटा 10, और 6 बटा 10।

8 बटा 3 और 5 बटा 6: 6 तो पहले से 3 की सीढ़ी पर है, इसलिए 16 बटा 6, और 5 बटा 6। गुणा वाला 18 ज़रूरी नहीं। 3 बटा 4 और 3 बटा 5: 15 बटा 20, और 12 बटा 20। ध्यान दीजिए, 3 बटा 4 और 3 बटा 5 में ऊपर वाली संख्या पहले से एक है। तो बिना नाम बदले भी, 1 बटा 4 के बड़े टुकड़े जीतते हैं।

6 बटा 7 और 8 बटा 5: 30 बटा 35, और 56 बटा 35। 9 बटा 4 और 5 बटा 2: 4 पर — 9 बटा 4, और 10 बटा 4। 1 बटा 10 और 2 बटा 9: 9 बटा 90, और 20 बटा 90। 8 बटा 3 और 11 बटा 4: 32 बटा 12, और 33 बटा 12। 13 बटा 6 और 1 बटा 9: 39 बटा 18, और 2 बटा 18।

नाम बदलते ही, हर जोड़ी को उसकी गिनती से आँका जा सकता है। 4 बटा 5 बनाम 7 बटा 9: 45 दोनों सीढ़ियों पर है। यहाँ 45 खुद 5 गुणा 9 है। इससे छोटी कोई संख्या दोनों सीढ़ियों पर नहीं आती। 36 बटा 45, बनाम 35 बटा 45। तो 4 बटा 5 बड़ा है — बस ज़रा सा। 7 बटा 9 बनाम 17 बटा 21: ये 63 पर मिलते हैं।

49 बटा 63, बनाम 51 बटा 63। तो 17 बटा 21 बड़ा है। 9 गुणा 21, यानी 189, भी चलता — पर 63 उससे कहीं छोटा और आसान है। तो तरीका, 2 कदमों में। पहला कदम: दोनों भिन्नों के नाम बदलिए, ताकि उनके टुकड़ों का आकार एक हो जाए। दूसरा कदम: अब गिनतियों को पूरे अंकों की तरह मिलाइए। दोनों सीढ़ियों की कोई भी साझा नीचे वाली संख्या चलेगी। सबसे छोटी वाली बस सबसे साफ़-सुथरी है।

पहले ऊपर वाली मिलाओ, फिर नीचे वाली — ऐसा कोई नियम नहीं है। भिन्न एक ही संख्या है। 8 बटा 3 बनाम 5 बटा 2: 6 पर — 16 बटा 6, बनाम 15 बटा 6। तो 8 बटा 3 बड़ा। 4 बटा 9 बनाम 3 बटा 7: 28 बटा 63, बनाम 27 बटा 63। तो 4 बटा 9 बड़ा। 7 बटा 10 बनाम 9 बटा 14: 70 पर — 49 बटा 70, बनाम 45 बटा 70।

तो 7 बटा 10 बड़ा। हर बार फ़ैसला गिनती ने किया — कदम साझा होने के बाद। क्या ऊपर की बड़ी संख्या वाला भिन्न हमेशा जीतता है? 12 बटा 5 बनाम 8 बटा 5: नीचे वाली एक, तो हाँ — 12 बटा 5 बड़ा। 9 बटा 4 बनाम 5 बटा 2: ऊपर 9, 5 से बड़ा है — फिर भी 5 बटा 2 बराबर 10 बटा 4, और वही जीतता है।

जब तक नीचे वाली संख्याएँ बराबर न हों, सिर्फ़ ऊपर वाली देखकर कुछ तय नहीं होता। यही बात नीचे वाली संख्या पर भी लागू है। सिर्फ़ नीचे की बड़ी संख्या देखकर भी कुछ नहीं कहा जा सकता। अब 4 भिन्न क्रम में लगाइए, सबसे छोटे से शुरू करके: 3 बटा 4, 1 बटा 2, 5 बटा 8, 4 बटा 7। चारों के लिए एक साझा नीचे वाली संख्या: 56। गिनतियाँ बनती हैं: 42, 28, 35, और 32।

छोटे से बड़े: 28, 32, 35, 42 — यानी 1 बटा 2, 4 बटा 7, 5 बटा 8, 3 बटा 4। अब सबसे बड़े से शुरू करते हैं — 7 बटा 10, 4 बटा 5, 3 बटा 4, 7 बटा 9। चारों की साझा नीचे वाली संख्या: 180। 180 क्यों? क्योंकि ये पहली संख्या है, जो 10, 5, 4 और 9 — चारों की सीढ़ियों पर एक साथ आती है।

बड़े से छोटे, गिनतियाँ हैं: 144, 140, 135, 126। यानी पहले 4 बटा 5, फिर 7 बटा 9, फिर 3 बटा 4, और आख़िर में 7 बटा 10। जो भिन्न आपस में बहुत पास हों, उन्हें अलग करने के लिए बारीक साझा कदम चाहिए। अब पहले वाले क्रम को number line पर जाँचिए। 0 और 1 के बीच 4 बिंदु लगाइए: 1 बटा 2, 4 बटा 7, 5 बटा 8, और 3 बटा 4।

बाएँ से दाएँ देखने पर ठीक वही क्रम मिलता है, जो गिनतियों ने दिया था। जो छोटा, वो बाईं ओर। गिनती और line का फ़ैसला हमेशा एक ही होता है। क्या नाम बदलने से भिन्न बदल जाते हैं? नहीं — number line पर हर निशान अपनी जगह रहता है, सिर्फ़ उसका नाम बदलता है। बच्चे को जितना हिस्सा मिलता है, वो उतना ही रहता है — हम उसे किसी भी नाम से पुकारें।

आज के हर फ़ैसले की पुष्टि line पर बिंदुओं की जगह से होती है। तुलना असल में तुल्य भिन्नों का ही दोहरा इस्तेमाल है। अगली बार: भिन्नों को जोड़ना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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