Co-prime जोड़ियाँ, और कोई factor साझा न होना ही असली बात क्यों है

0:00एक खेल है। 2 ख़ज़ाने कहीं छिपाने हैं, एक ही कतार में। ढूँढने वाला एक छलाँग की लंबाई चुनता है, और पूरे खेल में वही लंबाई रखता है। शुरुआत सबसे पहले ख़ाने से, और फिर हर बार उतना ही आगे। जीतने के लिए उसे दोनों ख़ज़ानों पर उतरना पड़ेगा। एक ही नियम जोड़ा गया है — 1 की छलाँग नहीं चलेगी। ये एक नियम इतना ज़रूरी क्यों है? इसके बिना खेल में कुछ बचता ही नहीं, और ये कहने की नहीं, दिखाने की बात है।

0:331 की छलाँग लगाकर चलिए। पहले ख़ाने पर, फिर अगले पर, फिर अगले पर — हर एक ख़ाने पर। तो 1 की छलाँग हर ख़ज़ाने तक पहुँच जाती है, आप उसे कहीं भी छिपाइए। उसे चलने दीजिए, और 60 से नीचे की कोई भी जोड़ी सुरक्षित जगह नहीं बचती — एक भी नहीं। उसे रोक दीजिए, और सुरक्षित जगहें बनने लगती हैं। वो नियम सफ़ाई के लिए नहीं है — वही पूरा खेल है।

1:00पहली जगह — 12 और 26। 2 की छलाँग लगाकर चलिए। वो 12 पर उतरती है। आगे चलती रहिए, और 26 पर भी उतर जाती है। एक ही छलाँग ने दोनों ख़ज़ाने ढूँढ लिए, तो ये जगह गिर गई। हर चलने वाली छलाँग आज़माइए, और सिर्फ़ वही एक इन्हें पकड़ती है — ढूँढने वाले को उतनी ही चाहिए थी। दूसरी जगह — 4 और 9। 2 की छलाँग 4 पर उतरती है, और 9 पर कभी नहीं उतरती।

1:313 की छलाँग 9 पर उतरती है, और 4 पर कभी नहीं उतरती। फिर 4, फिर 5, फिर 6, फिर 7, फिर 8, फिर 9 — हर एक किसी न किसी को छोड़ देती है। कोई भी चलने वाली छलाँग दोनों तक नहीं पहुँचती, तो ये जगह टिक जाती है। अब खेल छोड़िए और गुणनखंड लिखिए। 12 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6 और 12। 26 के गुणनखंड हैं 1, 2, 13 और 26।

2:06दोनों सूचियों में साझा हैं 1 और 2 — और वही 2 थी जो दोनों ख़ज़ानों तक पहुँची थी। 4 के गुणनखंड हैं 1, 2 और 4। 9 के हैं 1, 3 और 9। इनमें साझा है 1, और कुछ नहीं। और 1 छलाँग बन ही नहीं सकती। इसीलिए कोई छलाँग बची ही नहीं थी। ये 2 उदाहरणों का संयोग नहीं है। 80 से नीचे की हर जोड़ी पर खेल भी खेला गया और सूचियाँ भी मिलाई गईं, और दोनों का जवाब हमेशा एक ही निकला।

2:40जिस जोड़ी में 1 के अलावा कुछ साझा न हो, उसे सह-अभाज्य जोड़ी कहते हैं। यही खेल की सुरक्षित जगह है, दूसरे शब्दों में। और नाम ही सबसे बड़ा जाल है। आपको क्या लगता है, ये नाम लोगों से क्या मनवा देता है? नाम सुनकर लगता है कि जोड़ी की दोनों संख्याएँ अभाज्य होनी चाहिए। पर 4 और 9 सह-अभाज्य जोड़ी है, और इनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है।

3:094 भाज्य है और 9 भी भाज्य है, और फिर भी जोड़ी सह-अभाज्य है। और ये कोई इकलौता उदाहरण नहीं है। 40 से नीचे ऐसी 103 जोड़ियाँ हैं जिनकी दोनों संख्याएँ भाज्य हैं और जोड़ी फिर भी सह-अभाज्य है। और उन सब में सबसे छोटी वही है जो सामने रखी है। उल्टी ग़लती भी उतनी ही आम है — कि जोड़ी में एक अभाज्य हो तो वो सह-अभाज्य हो ही जाएगी।

3:363 और 9 लीजिए। 3 अभाज्य है। पर दोनों के गुणनखंडों में 3 मौजूद है, तो जोड़ी सह-अभाज्य नहीं है। अभाज्य संख्या असल में ये नियम मानती है — जिसे वो बाँटती नहीं, उसके साथ सह-अभाज्य है, और जिसे बाँटती है, उसके साथ नहीं। ये 50 से नीचे की हर अभाज्य संख्या पर, 200 तक के हर साथी के साथ जाँचा गया। तो सवाल सीधे पूछिए — क्या 9 सह-अभाज्य है?

4:06इस सवाल का कोई जवाब नहीं है, और ये बचकर निकलना नहीं है। 9, 4 के साथ सह-अभाज्य है। वही 9, 6 के साथ सह-अभाज्य नहीं है। ये गुण किसी एक संख्या का है ही नहीं। ये जोड़ी का गुण है। 60 तक की हर संख्या पर यही निकला — किसी न किसी के साथ सह-अभाज्य, और किसी न किसी के साथ नहीं। सवाल ठीक से पूछिए, तो जवाब मिल जाता है।

4:3320 से नीचे 9 किन-किन संख्याओं के साथ सह-अभाज्य है? 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17 और 19 — यानी 19 में से 13। और जो 6 छूट गईं, वो ठीक-ठीक 3 के गुणज हैं — क्योंकि 9 के पास साझा करने को 3 के सिवा कुछ है ही नहीं। अब 4 जोड़ियाँ ख़ुद जाँचिए, और कुछ तय करने से पहले हर बार गुणनखंड लिख लीजिए।

5:0915 और 39। 15 के गुणनखंड हैं 1, 3, 5 और 15। 39 के हैं 1, 3, 13 और 39। इनमें साझा हैं 1 और 3, तो 3 की छलाँग दोनों ख़ज़ानों तक पहुँच जाएगी। ये जगह सुरक्षित नहीं है। 4 और 15। 4 के गुणनखंड हैं 1, 2 और 4। 15 के हैं 1, 3, 5 और 15। इनमें साझा है सिर्फ़ 1, तो कोई छलाँग दोनों तक नहीं पहुँचती।

5:46अब तीसरी जोड़ी — 18 और 29। यहाँ 29 अभाज्य है और 18 नहीं। 29, 18 को बाँटती नहीं, तो यहाँ भी साझा सिर्फ़ 1 बचता है। ये दोनों जगहें टिक जाती हैं। और आख़िरी जोड़ी — 20 और 55। इनमें साझा हैं 1 और 5। 5 की छलाँग 20 पर उतरती है, और 55 पर भी उतर जाती है। तो 4 में से 2 जगहें टिकती हैं — 4 के साथ 15, और 18 के साथ 29।

6:21अब 5 और जोड़ियाँ, जो नाम का जाल दोनों तरफ़ से एक साथ दिखा देती हैं। 18 और 35। दोनों भाज्य हैं, और जोड़ी सह-अभाज्य है। 15 और 37। 37 अभाज्य है और 15 को बाँटती नहीं, तो जोड़ी सह-अभाज्य है। 30 और 415। दोनों के गुणनखंडों में 5 है, तो ये जोड़ी सह-अभाज्य नहीं है। 17 और 69। 17 अभाज्य है और 69 को बाँटती नहीं, तो जोड़ी सह-अभाज्य है।

6:5781 और 18। दोनों भाज्य हैं, इनमें साझा हैं 1, 3 और 9, और जोड़ी सह-अभाज्य नहीं है। 5 में से 3 सह-अभाज्य निकलीं, और भाज्य या अभाज्य होने ने एक बार भी फ़ैसला नहीं किया। अब दूसरी तस्वीर, और ये पहले भी सामने आ चुकी है। 2 लय, एक ही पटरी पर। एक 4-4 के क़दम लेती है, दूसरी 9-9 के। दोनों पहली बार एक ही ख़ाने पर कब उतरती हैं?

7:31दोनों को चलाइए। पहली जाती है 4, 8, 12, 16 और आगे। दूसरी जाती है 9, 18, 27 और आगे। दोनों पहली बार 36 पर मिलती हैं। और 36 है 4 गुणा 9। मुलाक़ात ठीक गुणनफल पर हुई। अब 12 और 26 लीजिए। गुणा करने पर 312 बनता है। पर चलाकर देखिए तो दोनों पहली बार 156 पर ही मिल जाती हैं — गुणनफल से काफ़ी पहले। 312 को 156 से बाँटिए, और 2 निकलता है।

8:09और 12 और 26 में साझा भी ठीक 2 ही था। 40 से नीचे की हर जोड़ी पर यही निकला। जब जोड़ी सह-अभाज्य हो, मुलाक़ात ठीक गुणनफल पर होती है। और जब कुछ साझा हो, तो गुणनफल को मुलाक़ात से बाँटने पर वही साझा संख्या वापस मिल जाती है। और इसकी वजह कह देनी चाहिए। जहाँ भी वो मिलती हैं, वो ख़ाना पहली संख्या का भी गुणज है और दूसरी का भी।

8:35पहला ऐसा ख़ाना, जोड़ी के साझा हिस्से से गुणा करने पर, हर बार गुणनफल ही बनता है — 40 से नीचे की हर जोड़ी पर। तो साझा हिस्सा ही मुलाक़ात को जल्दी करवाता है। कुछ साझा न हो, तो पहले मिलने की कोई जगह ही नहीं बचती। अब तीसरी तस्वीर, और ये देखने में बाक़ी 2 से बिल्कुल अलग है। एक गोल घेरे पर बराबर दूरी पर खूँटियाँ लगी हैं — 12 खूँटियाँ।

9:01एक खूँटी से धागा बाँधिए, 4 खूँटी आगे जाकर फिर बाँधिए, और तब तक चलते रहिए जब तक शुरुआत पर वापस न आ जाएँ। धागा सिर्फ़ 3 खूँटियों से बँधता है, और एक तिकोना आकार बनाकर बंद हो जाता है। अब 13 खूँटियाँ, और धागा हर 3 खूँटी पर बँधता हुआ। वो जाता है 3, फिर 6, फिर 9, फिर 12, और फिर शुरुआत के पार निकलकर आगे। इस बार वो वापस आने से पहले सारी 13 खूँटियों से बँध जाता है।

9:33नियम वही, और नतीजा बिल्कुल उलटा — तो बदला क्या? फ़र्क़ जोड़ी में है, और कहीं नहीं। 12 और 4 में 4 साझा है। 13 और 3 में कुछ भी साझा नहीं। और धागा जिन खूँटियों से बँधता है, वो ठीक-ठीक उसी साझा संख्या के गुणज हैं। 12 और 4 में 4 साझा है, तो धागा हर चौथी खूँटी पर जाता है, और 12 को 4 से बाँटने पर 3 बचती हैं।

10:0413 और 3 में 1 साझा है, तो धागा हर खूँटी पर जाता है, और 13 को 1 से बाँटने पर पूरी 13 बचती हैं। और वजह चलने में ही छिपी है। हर बँधन के बाद धागे ने कुछ अंतराल गिने होते हैं और घेरे के कुछ चक्कर लगाए होते हैं। तो वो जहाँ भी खड़ा हो, वो खूँटी अंतरालों से और पूरे घेरों से बनी होती है — और साझा हिस्सा उन दोनों को बाँटता है।

10:29ये 30 खूँटियों तक के हर घेरे पर, और हर घेरे के हर अंतराल पर चलाकर देखा गया, और धागा एक बार भी कहीं और खड़ा नहीं मिला। तो क्या अंतराल का बड़ा होना ही धागे से खूँटियाँ छुड़ाता है? नहीं, और इसका जवाब पिछले घेरे में ही पड़ा है — 13 खूँटियाँ और 3 का अंतराल हर खूँटी तक पहुँच गया था। 24 खूँटियाँ और 6 का अंतराल सिर्फ़ 4 खूँटियों तक पहुँचता है।

10:57इन 2 में से 6 ही बड़ा अंतराल है, और वही कम खूँटियों तक पहुँचा। 30 खूँटियों तक ऐसे 717 मौक़े हैं जहाँ बड़ा अंतराल पूरा घेरा भर देता है और छोटा नहीं भर पाता। आकार कुछ तय नहीं करता। इन 2 संख्याओं का साझा हिस्सा सब कुछ तय करता है। यहाँ 2 और घेरे हैं, और इनका अंतराल बताया ही नहीं गया। पहले में 16 खूँटियाँ हैं, और उसका धागा सिर्फ़ सम खूँटियों से बँधता है — कुल 8 खूँटियाँ।

11:26अंतराल 2 भी हो सकता है, 6 भी, 10 भी और 14 भी। सब उन्हीं 8 खूँटियों से बँधते हैं। और 6 और 10 तो बिल्कुल एक ही तस्वीर बनाते हैं — धागे का हर टुकड़ा वहीं का वहीं। दूसरे में 24 खूँटियाँ हैं, और उसका धागा उनमें से 4 से बँधता है, एक-दूसरे से चौथाई घेरा दूर। वहाँ अंतराल 6 भी हो सकता है और 18 भी, और दोनों वही चौकोर बनाते हैं।

11:54तस्वीर ये तय कर देती है कि धागा कहाँ गया। ये तय नहीं करती कि कौन सा अंतराल उसे वहाँ ले गया। और इसकी वजह भी नापी जा सकती है। कोई भी अंतराल और उसका पूरक — यानी खूँटियों की गिनती में से अंतराल घटाने पर जो बचे — एक ही तस्वीर बनाते हैं। 16 में से 6 घटाइए तो 10 मिलता है। 24 में से 6 घटाइए तो 18 मिलता है।

12:19धागा घेरे पर उल्टी तरफ़ चलता है, और उसका हर टुकड़ा वहीं का वहीं पड़ता है। 30 खूँटियों तक के हर घेरे पर यही निकला। अब 4 और घेरे, और हर बार बनाने से पहले बताइए कि क्या होगा। 15 खूँटियाँ, 10 का अंतराल। इनमें 5 साझा है, तो 15 को 5 से बाँटने पर 3 खूँटियाँ बचती हैं। 10 खूँटियाँ, 7 का अंतराल। इनमें 1 साझा है, तो धागा पूरा घेरा भर देता है — सारी 10।

12:5114 खूँटियाँ, 6 का अंतराल। इनमें 2 साझा है, तो 7 खूँटियाँ। 8 खूँटियाँ, 3 का अंतराल। इनमें 1 साझा है, तो घेरा भर जाता है — सारी 8। 4 में से 2 घेरे भरते हैं, और दोनों बार वजह वही एक थी। तो साथ क्या ले जाना है, ये रहा। सह-अभाज्य होना जोड़ी का गुण है, किसी एक संख्या का नहीं, और इसी बात पर नाम धोखा देता है।

13:21जिस जोड़ी में 1 के अलावा कुछ साझा न हो, वही सह-अभाज्य है, और जाँच यही है — गुणनखंड लिखिए, और साझा हिस्सा देखिए। और वही एक बात 3 ऐसी तस्वीरें बना देती है जो एक-दूसरे से बिल्कुल नहीं मिलतीं। कोई छलाँग दोनों ख़ज़ानों तक नहीं पहुँचती। 2 लय गुणनफल से पहले मिल नहीं सकतीं। धागा हर खूँटी से बँध जाता है। 40 से नीचे की हर जोड़ी पर तीनों सच निकलीं, या तीनों ग़लत — एक बार भी अलग-अलग नहीं।