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Chapter 5 · Prime Time

Prime factorisation, और हर number का यह एक ही क्यों होता है

Co-primes and prime factorisation16 मिनट

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कक्षा में सवाल पूछा गया: क्या 56 और 63 सह-अभाज्य हैं? एक बच्चे ने लिखा 56 बराबर 14 गुणा 4, और 63 बराबर 21 गुणा 3 — टुकड़ों में कुछ साझा नहीं, तो जवाब सह-अभाज्य। दूसरे बच्चे ने लिखा 7 गुणा 8, और 9 गुणा 7 — दोनों तरफ़ 7, तो सह-अभाज्य नहीं। दोनों का गुणा सही है। तो सही कौन?

मुख्य idea

किसी number को दो factors में तोड़ने से जो जवाब मिलता है, वह इस पर निर्भर करता है कि आपने शुरुआत कहाँ से की, इसीलिए chapter एक ऐसे बच्चे से शुरू होता है जो बिल्कुल सही factorisation से पूरे भरोसे के साथ एक ग़लत नतीजे पर पहुँचता है। तब तक तोड़ते रहिए जब तक सिर्फ़ primes न बचें, और यह निर्भरता ग़ायब हो जाती है: छपा हुआ diagram 36 में चार अलग-अलग दरवाज़ों से घुसता है और हर दरवाज़े से निकलकर दो 2 और दो 3 पर पहुँचता है। यही स्थिरता prime factorisation को उँगलियों के निशान (fingerprint) की तरह इस्तेमाल करने लायक बनाती है — आप दो numbers की तुलना उनकी prime सूचियों की तुलना करके कर सकते हैं, और ठीक यही कोई आम factorisation आपको करने नहीं देता।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि किसी number का एक factorisation उसके सारे factors क्यों नहीं बताता
  • किसी composite number को बार-बार तब तक तोड़ना जब तक सिर्फ़ primes न बचें
  • रुकने का नियम बताना और कहना कि prime को और क्यों नहीं तोड़ा जा सकता
  • शब्द prime factorisation और prime factors सही-सही इस्तेमाल करना, और दोनों में फ़र्क़ करना
  • बताना कि किताब 1 के बारे में, और किसी prime के अपने factorisation के बारे में क्या कहती है
  • दिखाना कि एक ही number में घुसने के अलग-अलग रास्ते primes के एक ही समूह पर ख़त्म होते हैं
  • समझाना कि primes का क्रम जवाब का हिस्सा क्यों नहीं है, और परिपाटी के हिसाब से factorisation बढ़ते क्रम में लिखना
  • किसी number का prime factorisation उसके दो factors के factorisations से ऊपर की ओर बनाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
prime factorisationकिसी number को सिर्फ़ primes के गुणनफल के रूप में फिर से लिखनाअभाज्य गुणनखंडन§5.4, p.118 में छपा और परिभाषित
prime factorउस गुणनफल में आने वाला कोई एक primeअभाज्य गुणनखंड§5.4, p.118 में छपा और परिभाषित
factorवह number जो किसी दूसरे को पूरा-पूरा बाँट देगुणनखंड§5.1, p.109 में छपा
composite numberदो से ज़्यादा factors वाला number, यानी जिसे अभी और तोड़ा जा सकता हैभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा
prime numberठीक दो factors वाला number, यानी जिसे तोड़ा नहीं जा सकताअभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा
commutativityयह गुण कि क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलताक्रमविनिमेयता§5.4, p.119 में छपा — वहीं नाम दिया गया और आगे की कक्षा के लिए टाला गया
associativityयह गुण कि समूह बदलने से गुणनफल नहीं बदलतासाहचर्यता§5.4, p.119 में छपा — वहीं नाम दिया गया और आगे की कक्षा के लिए टाला गया
factor treeशाखाओं वाला diagram जो primes तक नीचे जाने का एक रास्ता दर्ज करता हैगुणनखंड वृक्षयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए स्रोतों में नहीं है, इसलिए इन शब्दों का Hindi छपाई से मिलान नहीं किया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "मुझे एक factorisation मिल गया, इसलिए मुझे factors पता हैं।" ठीक वही ग़लती जिससे section शुरू होता है। एक factor pair आपको दो factors बताता है और बाक़ी के बारे में कुछ नहीं कहता। ग़लत तर्क को सुधारने से पहले उसे पूरी लंबाई तक चलने दीजिए, वरना सुधार किसी के काम नहीं आता।
  • "ज़्यादा factorisations मतलब ज़्यादा पक्का।" 80 को तोड़ने के चार तरीक़े भी कुछ साबित नहीं करते, क्योंकि आप यह नहीं बता सकते कि आप पूरा कर चुके हैं। सिर्फ़ पूरा नीचे तक तोड़ना ही कहीं ख़त्म होता है।
  • "अलग-अलग रास्ते अलग-अलग जवाब देते हैं।" 36 वाले diagram की पूरी बात यही है। जो अलग हो सकता है वह है primes के निकलने का क्रम और मेहनत की मात्रा; समूह ख़ुद नहीं बदल सकता।
  • "2 × 2 × 2 × 7 के चार prime factors हैं।" इसमें चार factors लिखे हुए हैं और prime factors दो हैं, 2 और 7। किताब यह फ़र्क़ 56 के लिए साफ़ बताती है और students अक्सर इसे भूल जाते हैं।
  • "1 हर चीज़ का prime factor है, क्योंकि हर चीज़ 1 से बँटती है।" किताब p.118 पर यह कहकर इसे रोक देती है कि 1 का कोई prime factorisation नहीं होता। अगर 1 को आने दिया जाता, तो कोई factorisation कभी पूरा न होता।
  • "बढ़ता क्रम एक नियम है, और 3 × 2 × 5 लिखना ग़लत है।" यह साफ़-सुथरेपन की एक परिपाटी है। क्रम कोई जानकारी नहीं रखता — section 9 का पूरा तर्क यही है — इसलिए अलग क्रम में लिखा जवाब भी सही जवाब है।
  • "किसी prime का prime factorisation नहीं हो सकता, क्योंकि उसे तोड़ा नहीं जा सकता।" होता है, और वह ख़ुद वही prime है। यह p.118 पर कहा गया है।

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पूरा transcript2,334 शब्द

कक्षा में एक सवाल पूछा गया — क्या 56 और 63 सह-अभाज्य हैं? एक बच्चे ने दोनों को तोड़ा। 56 बराबर 14 गुणा 4, और 63 बराबर 21 गुणा 3। फिर उसने सारे टुकड़े साथ रखकर देखे — 14, 4, 21 और 3। इनमें कोई भी संख्या दोबारा नहीं आती। तो उसका जवाब था — कुछ साझा नहीं, तो जोड़ी सह-अभाज्य है। और ये जवाब पूरे भरोसे से दिया गया।

दूसरे बच्चे ने वही संख्याएँ अलग तरह से तोड़ीं। 56 बराबर 7 गुणा 8, और 63 बराबर 9 गुणा 7। उसे दोनों तरफ़ एक ही संख्या दिखी — 7। तो उसका जवाब उल्टा था — जोड़ी सह-अभाज्य नहीं है। गुणा दोनों के सही हैं, और जवाब एक-दूसरे के उल्टे। इनमें से सही कौन है? सही जवाब दूसरे बच्चे का है। 7, 56 को भी बाँटता है और 63 को भी।

56 को 7 से बाँटें तो 8 आता है, और 63 को 7 से बाँटें तो 9 — दोनों बार कुछ नहीं बचता। तो 56 और 63 के बीच 7 साझा है, और ये जोड़ी सह-अभाज्य नहीं है। और ध्यान दीजिए — पहले बच्चे का गुणा भी पूरी तरह सही था। 14 गुणा 4 सच में 56 है, और 21 गुणा 3 सच में 63। ग़लती गुणा में नहीं थी।

ग़लती उस बात में थी, जो उसने उस गुणा से निकाल ली। 56 के सारे गुणनखंड ये हैं — 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 और 56। कुल 8। 56 को 14 गुणा 4 में तोड़ने से इनमें से सिर्फ़ 2 सामने आते हैं — 14 और 4। बाक़ी 6 छिपे रहते हैं, और 7 भी उन्हीं में था। वो 14 के अंदर छिपा था, और 63 की तरफ़ 21 के अंदर।

एक जोड़ी गुणनखंड मिल जाने से पूरी सूची नहीं मिल जाती। वो सिर्फ़ 2 गुणनखंड बताती है, बाक़ी के बारे में कुछ नहीं। 56 को 2 गुणनखंडों में 3 तरह से तोड़ा जा सकता है, और 63 को 2 तरह से। तो दोनों को एक साथ तोड़ने के कुल 6 तरीक़े बनते हैं। इन 6 में से सिर्फ़ 1 तरीक़ा साझा 7 दिखाता है — 7 गुणा 8 के साथ 9 गुणा 7।

बाक़ी 5 तरीक़ों में कोई साझा टुकड़ा नहीं दिखता — और फिर भी 56 और 63 सह-अभाज्य नहीं हैं। पहले बच्चे ने कोई अजीब चुनाव नहीं किया था। ज़्यादातर तरीक़े यही धोखा देते हैं। तो क्या ज़्यादा तरीक़ों से तोड़ने पर बात बन जाएगी? अब 80 और 63 लीजिए। 80 बराबर 40 गुणा 2, 20 गुणा 4, 10 गुणा 8, और 16 गुणा 5। और 63 बराबर 9 गुणा 7, और 3 गुणा 21।

80 के 4 तरीक़े, 63 के 2 — कुल 8 मेल बनते हैं। और एक भी मेल में कोई टुकड़ा साझा नहीं। तो इतना सब लिखने के बाद — क्या 80 और 63 सह-अभाज्य हैं? सच ये है कि इन टुकड़ों से कुछ तय नहीं होता। हो सकता है कोई और तरीक़ा हो, जो अभी लिखा ही नहीं गया। और पिछली बार 6 में से 5 तरीक़ों ने कुछ साझा नहीं दिखाया था, जबकि जोड़ी सह-अभाज्य थी ही नहीं।

यानी साझा टुकड़ा न दिखना किसी भी तरफ़ का सबूत नहीं है। ज़्यादा तरीक़े लिखने से भरोसा नहीं बढ़ता, क्योंकि पता ही नहीं चलता कि सूची पूरी हुई या नहीं। जवाब तक पहुँचने का एक ही रास्ता है — तोड़ते जाइए, जब तक तोड़ने को कुछ बचे ही नहीं। 56 से शुरू करते हैं। 56 बराबर 4 गुणा 14। 14 को अभी और तोड़ा जा सकता है — 2 गुणा 7।

तो 56 बराबर 4 गुणा 2 गुणा 7। 4 को भी तोड़ा जा सकता है — 2 गुणा 2। तो 56 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7। हर पंक्ति का गुणा करके देखिए — हर बार 56 ही आता है। बस टुकड़े छोटे होते गए। अब इस पंक्ति में से किसी को और तोड़ा जा सकता है क्या? 2 को तोड़ने का एक ही तरीक़ा है — 1 गुणा 2।

और 7 का भी एक ही — 1 गुणा 7। अभाज्य संख्या के पास देने को कुछ बचा ही नहीं है। उसके सिर्फ़ 2 गुणनखंड हैं — 1 और वो ख़ुद। तो रुकने का नियम सीधा है — जब पंक्ति में सिर्फ़ अभाज्य संख्याएँ बचें, तब रुकिए। 100 से नीचे की हर अभाज्य संख्या जाँची गई — एक भी तोड़ी नहीं जा सकती। और उनके बीच की हर भाज्य संख्या तोड़ी जा सकती है।

पर 1 गुणा 56 भी तो 56 ही है — तो 1 को अलग क्यों नहीं कर देते? क्योंकि उससे कुछ बदलता ही नहीं। 56 को 1 गुणा 56 लिखने के बाद भी हाथ में वही 56 है। और अगर 1 की इजाज़त हो, तो 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7 के आगे 1 गुणा 1 गुणा 1 जोड़ते रहिए — ये कभी ख़त्म ही नहीं होगा। इसीलिए हर सही तोड़ दोनों टुकड़ों को छोटा करता है — 200 तक की हर भाज्य संख्या पर ये जाँचा गया।

और छोटे होते-होते टुकड़े कहीं न कहीं रुकेंगे ही। अब इसके नाम। 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7 — ये पूरी पंक्ति 56 का अभाज्य गुणनखंडन है। और इसमें जो अभाज्य संख्याएँ आती हैं — 2 और 7 — वो 56 के अभाज्य गुणनखंड हैं। यहाँ एक आम ग़लती होती है। पंक्ति में 4 संख्याएँ लिखी हैं, पर अभाज्य गुणनखंड सिर्फ़ 2 हैं — 2 और 7। 2 इस पंक्ति में 3 बार आता है, पर अभाज्य गुणनखंड के तौर पर वो एक ही है।

किनारे के 2 मामले भी तय करने हैं। पहला मामला है 1। 1 अभाज्य नहीं है, और उसे तोड़ा भी नहीं जा सकता — वो न अभाज्य है, न भाज्य। इसलिए 1 का कोई अभाज्य गुणनखंडन होता ही नहीं। और 1 किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंड भी नहीं है, भले ही वो हर संख्या को बाँटता है। उसे मान लिया, तो कोई गुणनखंडन कभी पूरा नहीं होगा। दूसरा मामला — ख़ुद एक अभाज्य संख्या, जैसे 7।

उसे तोड़ा नहीं जा सकता, तो उसका अभाज्य गुणनखंडन वो ख़ुद है — 7 बराबर 7। 100 से नीचे की हर अभाज्य संख्या के लिए ठीक यही निकला। अब पहले सवाल पर लौटिए। 56 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7, और 63 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 7। दोनों तरफ़ 7 है — एक नज़र में, बिना किसी अंदाज़े के। जोड़ी सह-अभाज्य नहीं है। और 80 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 5।

63 के साथ इसका एक भी अभाज्य साझा नहीं। तो 80 और 63 सह-अभाज्य हैं — और इस बार ये पक्का है, क्योंकि अभाज्य गुणनखंडन पूरी तस्वीर है, सिर्फ़ एक टुकड़ा नहीं। पर एक सवाल बचता है। क्या तोड़ने का रास्ता बदलने से जवाब बदल सकता है? 63 को 9 गुणा 7 से शुरू करें, तो 3 गुणा 3 गुणा 7 मिलता है। और 21 गुणा 3 से शुरू करें, तो 3 गुणा 7 गुणा 3 मिलता है।

क्रम अलग है, पर सामान वही है — दोनों रास्तों में 3, 3 और 7। अब एक बड़ी जाँच। 36 को 2 गुणनखंडों में तोड़ने के 4 तरीक़े हैं। 2 गुणा 18, 3 गुणा 12, 4 गुणा 9, और 6 गुणा 6। इन्हें 4 दरवाज़े मानिए। हर दरवाज़े से अंदर जाकर तोड़ते चलिए, जब तक सिर्फ़ अभाज्य बचें। हर दरवाज़े के पीछे क्या मिलेगा — अलग-अलग कमरे, या एक ही कमरा?

पहला दरवाज़ा — 2 गुणा 18। 18 बराबर 2 गुणा 9, तो 2 गुणा 2 गुणा 9। फिर 9 बराबर 3 गुणा 3 — तो 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3। दूसरा दरवाज़ा — 3 गुणा 12। 12 बराबर 3 गुणा 4, तो 3 गुणा 3 गुणा 4। फिर 4 बराबर 2 गुणा 2 — तो 3 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 2। छोटे से बड़े के क्रम में रखें, तो 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3।

तीसरा दरवाज़ा — 4 गुणा 9। 4 बराबर 2 गुणा 2, तो 2 गुणा 2 गुणा 9। फिर 9 बराबर 3 गुणा 3 — तो 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3। चौथा दरवाज़ा — 6 गुणा 6। पहला 6 बराबर 2 गुणा 3, तो 2 गुणा 3 गुणा 6। दूसरा 6 भी 2 गुणा 3 है — तो 2 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 3। क्रम में रखें, तो फिर वही 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3।

4 दरवाज़े, और हर एक के पीछे एक ही कमरा — 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3। हर दरवाज़े में ठीक 3 बार तोड़ना पड़ा। फ़र्क़ बस इतना था कि दूसरे और चौथे दरवाज़े पर संख्याएँ आगे-पीछे निकलीं, और उन्हें एक बार क्रम में लगाना पड़ा। तो रास्ता बदलने से क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य संख्याओं का संग्रह नहीं। असल में रास्ते 4 से ज़्यादा हैं। 18 को 2 गुणा 9 भी तोड़ सकते हैं और 3 गुणा 6 भी, और 12 को 2 गुणा 6 भी और 3 गुणा 4 भी।

तो 36 को तोड़ने के कुल 6 अलग पेड़ बनते हैं — और सारे 6 उसी कमरे में ख़त्म होते हैं। ये जाँच 200 तक की हर संख्या पर चलाई गई, और हर संख्या के हर पेड़ पर। एक बार भी 2 पेड़ अलग-अलग अभाज्य संख्याओं पर नहीं पहुँचे। सबसे ज़्यादा पेड़ 192 के बनते हैं — 46 अलग पेड़, और सारे 46 एक ही जवाब पर पहुँचते हैं। ये एक कमाल की बात है — हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन एक ही होता है।

यहाँ इसे जाँचा गया है, साबित नहीं किया गया — पर एक भी अपवाद नहीं मिला। अब क्रम की बात। 30 के अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं — पर इन्हें किस क्रम में गुणा करें? छोटे घनों का एक ढाँचा बनाइए — 3 घन चौड़ा, 5 घन गहरा, और 2 घन ऊँचा। ऊपर की सतह पर 3 गुणा 5, यानी 15 घन दिखते हैं। सामने की सतह पर 3 गुणा 2, यानी 6।

और दाईं सतह पर 5 गुणा 2, यानी 10। अब पूरे ढाँचे को ऊपर से परतों में गिनिए — 15 घनों की 2 परतें, यानी 30। सामने से फाँकों में गिनिए — 6 घनों की 5 फाँकें, फिर से 30। और बगल से गिनिए — 10 घनों की 3 फाँकें, फिर वही 30। घन वही हैं, बस गिनने का तरीक़ा बदला। तो 3, 5 और 2 को किसी भी क्रम में गुणा कीजिए, जवाब 30 ही आएगा।

इन बातों के नाम भी हैं — क्रमविनिमेयता और साहचर्यता — पर यहाँ बस इतना काफ़ी है कि गुणा का क्रम कुछ नहीं बदलता। 2, 3 और 5 को 6 अलग क्रमों में लिखा जा सकता है, और सारे 6 बराबर 30 हैं। तो क्रम में कोई जानकारी है ही नहीं। फिर भी सुविधा के लिए छोटे से बड़े के क्रम में लिखा जाता है। जैसे 30 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 5, और 225 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5।

पर ये एक आदत है, नियम नहीं। 3 गुणा 2 गुणा 5 लिखना भी पूरी तरह सही जवाब है। अब उल्टी दिशा — नीचे तोड़ने के बजाय ऊपर जोड़ना। 72 बराबर 12 गुणा 6। 12 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3, और 6 बराबर 2 गुणा 3। दोनों को साथ रख दीजिए — 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 3। यही 72 है। क्रम में लगाएँ, तो 72 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3।

अब गिनती मिलाइए। जवाब में 2 कितनी बार है? 3 बार — 12 में से 2 बार, और 6 में से 1 बार। और 3 कितनी बार है? 2 बार — 12 में से 1 बार, और 6 में से भी 1 बार। 60 तक की हर जोड़ी पर यही जाँचा गया — 2 संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन साथ रखिए, तो उनके गुणनफल का अभाज्य गुणनखंडन बन जाता है। इसका फ़ायदा देखिए — बड़े गुणनफल को बिना गुणा किए तोड़ा जा सकता है।

56 गुणा 25 लीजिए। 56 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7, और 25 बराबर 5 गुणा 5। तो 56 गुणा 25 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 5 गुणा 5 गुणा 7। ये 1400 है — पर इस जवाब तक पहुँचने के लिए 1400 निकालने की ज़रूरत पड़ी ही नहीं। 108 गुणा 75 भी ऐसे ही — 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5।

और 1000 गुणा 81 — पहले 2 गुणा 2 गुणा 2, फिर 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3, फिर 5 गुणा 5 गुणा 5। अब एक बड़ी संख्या तोड़िए — 1728। ये 12 गुणा 144 है, और 144 ख़ुद 12 गुणा 12 है। तो 1728 बराबर 12 गुणा 12 गुणा 12, और हर 12 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3। सब साथ रखकर क्रम में लगाइए — 6 बार 2, और 3 बार 3।

1728 को तोड़ने के 1404 अलग पेड़ बनते हैं। हर एक में ठीक 8 बार तोड़ना पड़ता है, और हर एक इसी जवाब पर पहुँचता है। और 1331 को तोड़ने पर सिर्फ़ 11 मिलता है, 3 बार — 11 गुणा 11 गुणा 11। अब उल्टा सवाल। अभाज्य गुणनखंडन है 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 11 — तो संख्या क्या है? गुणा कर दीजिए — 198। और 198 को तोड़ें, तो वापस यही अभाज्य संख्याएँ मिलती हैं।

और एक पहेली — 30 से छोटी 3 अभाज्य संख्याएँ, जिनका गुणनफल 1955 है। जवाब है 5, 17 और 23 — और 30 से नीचे ऐसी अकेली यही तिकड़ी है। वो सबसे छोटी संख्या कौन सी है, जिसके अभाज्य गुणनखंडन में 3 अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हों? सबसे छोटी अभाज्य संख्याएँ लीजिए — 2 गुणा 3 गुणा 5, यानी 30। और 4 अलग अभाज्य संख्याओं वाली सबसे छोटी संख्या — 2 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 7, यानी 210।

तो सफ़र ये रहा। एक जोड़ी गुणनखंड पूरी कहानी नहीं बताती, और ज़्यादा जोड़ियाँ लिखने से भी नहीं। तोड़ते जाइए, जब तक सिर्फ़ अभाज्य बचें — और ये रुकना पक्का है, क्योंकि हर तोड़ टुकड़ों को छोटा करता है। किसी भी दरवाज़े से जाइए, अभाज्य संख्याएँ वही मिलती हैं — बस क्रम बदल सकता है। इसीलिए अभाज्य गुणनखंडन हर संख्या की पहचान है। 2 संख्याओं के अभाज्य मिलाइए, और तुरंत दिख जाता है कि उनमें क्या साझा है — ठीक वही सवाल, जिस पर पहले बच्चे से चूक हुई थी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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