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Chapter 5 · Prime Time

Prime factorisation से सीधे co-prime होना और divisibility पढ़ना

Co-primes and prime factorisation14 मिनट

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14 min.

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क्या 56 और 63 सह-अभाज्य हैं? दोनों की अभाज्य पंक्तियाँ लिखिए — 56 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7, और 63 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 7 — और 7 दोनों में बिल्कुल सामने खड़ा है। अब उसके छिपने की कोई जगह नहीं। 80 और 63 में कोई अभाज्य साझा नहीं, तो वो सह-अभाज्य हैं। और कोई साझा गुणनखंड भाज्य हो, जैसे 12 और 18 का 6, तो उसकी अभाज्य संख्याएँ भी दोनों पंक्तियों में पहले से बैठी होती हैं।

मुख्य idea

जब हर number उसके primes के रूप में लिख दिया जाता है, तो दो सवाल जिनके लिए पहले खोजबीन करनी पड़ती थी, अब सिर्फ़ देखने के सवाल बन जाते हैं। दो numbers ठीक तब co-prime होते हैं जब उनकी prime सूचियों में कुछ भी साझा न हो — और यह एक पूरी जाँच है, उम्मीद पर टिकी नहीं, क्योंकि दोनों में छिपा कोई composite अपने primes को भी खींचकर दोनों सूचियों में ले आता। एक number दूसरे को ठीक तब बाँटता है जब पहले की prime सूची दूसरे की सूची के अंदर बैठी हो, और वहाँ असली काम शब्द अंदर करता है: 42 में वह हर prime है जो 12 में है और फिर भी वह 12 का multiple नहीं है, क्योंकि 12 को दो 2 चाहिए और 42 के पास सिर्फ़ एक है। प्रतियों (copies) को गिनना वह आधा हिस्सा है जिसे students छोड़ देते हैं, और यही वह आधा है जिस पर chapter पूरा एक हल किया हुआ उदाहरण लगाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो numbers के prime factorisations की तुलना करके तय करना कि वे co-prime हैं या नहीं
  • समझाना कि सिर्फ़ primes देखना काफ़ी क्यों है, भले ही कोई साझा factor composite रहा हो
  • दोनों factorisations से, बिना भाग दिए, तय करना कि एक number दूसरे को बाँटता है या नहीं
  • अंदर बैठने वाली जाँच को उस रूप में कहना जो सिर्फ़ मौजूदगी नहीं, दोहराव भी गिनता है
  • ऐसी जोड़ी बनाना जिसमें हर prime साझा हो और फिर भी एक दूसरे को न बाँटे, और कारण बताना
  • factorise करने से पहले जवाब का अंदाज़ा लगाना, फिर जाँचना — वह आदत जो अभ्यास का set माँगता है
  • बताना कि दो अलग-अलग primes हमेशा co-prime जोड़ी क्यों होते हैं, और दोनों primes एक ही हों तो क्या होता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
prime factorisationकिसी number को सिर्फ़ primes के गुणनफल के रूप में फिर से लिखनाअभाज्य गुणनखंडन§5.4, p.118 में छपा और परिभाषित
prime factorउस गुणनफल में आने वाला कोई एक primeअभाज्य गुणनखंड§5.4, p.118 में छपा और परिभाषित
co-primeऐसी जोड़ी के लिए कहा जाता है जिसमें 1 से बड़ा कोई common factor न होसह-अभाज्य§5.3, p.116 में छपा और परिभाषित
divisibleभाग देने पर कोई शेषफल न छोड़नाविभाज्य§5.4, p.121 में छपा
common factorवह number जो जोड़ी के दोनों सदस्यों को बाँटता हैउभयनिष्ठ गुणनखंड§5.1, p.110 में छपा
composite numberदो से ज़्यादा factors वाला numberभाज्य संख्या§5.2, p.112 में छपा
multiplicityकिसी factorisation में एक prime की कितनी प्रतियाँ हैंबहुलतायहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
inclusionएक factorisation का पूरी तरह दूसरे के अंदर बैठना, प्रतियाँ गिनकरअंतर्वेशनइस विचार के लिए यहाँ जोड़ा गया शब्द; किताब यह विचार शब्दों में कहती है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए स्रोतों में नहीं है, इसलिए इन शब्दों का Hindi छपाई से मिलान नहीं किया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "उनमें एक prime साझा है, इसलिए एक दूसरे को बाँटता है।" 56 और 63 में 7 साझा है और कोई भी दूसरे को नहीं बाँटता। साझा होना co-prime होने को रद्द करता है; divisibility के बारे में कुछ नहीं कहता।
  • "छोटे number के सारे primes बड़े में हैं, इसलिए वह बाँटता है।" 42 और 12, जो p.122 पर ठीक इसी वजह से छपे हैं। मौजूदगी काफ़ी नहीं है; प्रतियाँ भी वहाँ होनी चाहिए।
  • "सिर्फ़ primes जाँचने हैं क्योंकि किताब ऐसा कहती है।" किताब बस कह नहीं देती — वह composite common factor वाली आपत्ति ख़ुद p.120 पर उठाती है और p.121 पर उसका जवाब देती है। इस क़दम को छोड़ने से एक साबित तरीक़ा, बस याद किया हुआ तरीक़ा बन जाता है।
  • "divisibility जाँचनी है तो सीधे भाग दे देना चाहिए।" कभी तेज़ है, कभी नहीं, और यह हर जगह काम नहीं करता: p.122 का अभ्यास दो numbers सिर्फ़ factorisations के रूप में देता है, इसलिए जब तक आप पहले उन्हें गुणा न करें, भाग देने को कुछ है ही नहीं।
  • "Co-prime और 'कोई भी factor साझा न होना' अलग चीज़ें हैं।" वे एक ही चीज़ हैं, क्योंकि 1 हर चीज़ को बाँटता है और हमेशा साझा होता है। परिभाषा "1 से बड़ा कोई common factor नहीं" सिर्फ़ इसी वजह से कहती है।
  • "कोई भी दो primes co-prime होते हैं, इसलिए 7 और 7 co-prime हैं।" नहीं हैं। दावे के लिए दोनों primes का अलग होना ज़रूरी है, और सवाल 4 class से यह बात ज़ोर से कहलवाने की अच्छी जगह है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q2, Figure it Out · 5 Q3, Figure it Out · 5 Q4

पूरा transcript1,896 शब्द

एक सवाल से शुरू करते हैं। क्या 56 और 63 सह-अभाज्य हैं? यानी, क्या 1 के अलावा इनका कोई साझा गुणनखंड है? गुणनखंडों की जोड़ियाँ ढूँढते रहें, तो कभी पक्का नहीं होता कि सूची पूरी हो गई। कोई जोड़ी छूट गई हो, तो? तो इस बार ढूँढना छोड़िए। हर संख्या को उसकी अभाज्य संख्याओं में लिख दीजिए। 56 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 7। और 63 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 7।

अब दोनों पंक्तियों को देखिए, और बताने से पहले ख़ुद तय कीजिए — क्या इनमें कुछ साझा है? ये रहा 7 — दोनों पंक्तियों में, बिल्कुल सामने। जो अभाज्य संख्या किसी पंक्ति में है, वो उस संख्या को बाँटती है। तो 7, 56 को भी बाँटता है और 63 को भी। 56 को 7 से बाँटें तो 8 आता है। 63 को 7 से बाँटें तो 9। दोनों बार कुछ नहीं बचता।

तो 56 और 63 सह-अभाज्य नहीं हैं। 7 इनका साझा गुणनखंड है। और ध्यान दीजिए, इसके लिए कुछ ढूँढना नहीं पड़ा। 2 पंक्तियाँ लिखीं, और देख लिया। बस इतना ही। अब यही दोनों संख्याएँ दूसरी तरह लिखिए। 56 बराबर 14 गुणा 4, और 63 बराबर 21 गुणा 3। इन टुकड़ों में कोई भी दोबारा नहीं आता। पर 7 तो वहीं है। वो 14 के अंदर छिपा है, और 21 के अंदर भी।

बड़े टुकड़ों में तोड़ने से साझा अभाज्य संख्या अंदर छिप सकती है। पर अभाज्य गुणनखंडन में छिपने की कोई जगह नहीं। हर अभाज्य संख्या ऊपर, सामने लिखी होती है। अब एक ऐसी जोड़ी, जिसमें कुछ साझा नहीं। 80 और 63। 80 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 5। 63 फिर से 3 गुणा 3 गुणा 7। यानी 80 बना है 2 और 5 से। और 63 बना है 3 और 7 से।

2, 5, 3, 7 — इनमें से एक भी दोनों पंक्तियों में नहीं है। तो 80 और 63 सह-अभाज्य हैं। पर एक मिनट रुकिए। हमने तो सिर्फ़ अभाज्य संख्याएँ मिलाई थीं। अगर कोई भाज्य संख्या दोनों को बाँटती हो, तो? वो तो किसी पंक्ति में लिखी ही नहीं होगी। अगर ऐसा हो सकता, तो ये पूरा तरीक़ा बस एक अंदाज़ा होता, पक्का सबूत नहीं। तो इस सवाल को सुलझाना ज़रूरी है।

एक असली उदाहरण लेते हैं। 12 और 18, दोनों को 6 बाँटता है। और 6 भाज्य संख्या है। इनकी पंक्तियाँ लिखिए। 12 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3, और 18 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 3। अब 6 को देखिए। 6 बराबर 2 गुणा 3। और 2 भी, 3 भी — दोनों पंक्तियों में पहले से मौजूद हैं। तो अभाज्य वाला तरीक़ा पहले ही कह देता है कि 12 और 18 सह-अभाज्य नहीं हैं।

6 कुछ छिपा नहीं पाया। अब ये बात हर संख्या के लिए देखते हैं। मान लीजिए कोई भाज्य संख्या दोनों संख्याओं को बाँटती है। हर भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं से बनी होती है। उसके अंदर की कोई भी एक अभाज्य संख्या चुन लीजिए। वो अभाज्य संख्या उस भाज्य संख्या को बाँटती है। और वो भाज्य संख्या दोनों संख्याओं को बाँटती है। तो वो अभाज्य संख्या भी दोनों को बाँटेगी, और दोनों पंक्तियों में दिखेगी।

यानी साझा भाज्य संख्या छिप नहीं सकती। वो अपनी अभाज्य संख्याओं को दोनों पंक्तियों में साथ ले आती है। इसलिए अगर दोनों पंक्तियों में कुछ साझा नहीं, तो 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड है ही नहीं। ये तर्क जाँचा भी गया। 100 तक की संख्याओं की जोड़ियों में साझा भाज्य गुणनखंड 740 बार मिलते हैं। और हर बार उसकी अभाज्य संख्याएँ दोनों पंक्तियों में थीं। फिर 200 तक की हर जोड़ी ली गई — कुल 19701 जोड़ियाँ।

हर एक पर अभाज्य वाला तरीक़ा और सारे गुणनखंड गिनने वाला तरीक़ा एक ही जवाब देते हैं। तर्क बताता है कि ऐसा क्यों है। और जाँच दिखाती है कि कहीं कोई चूक नहीं हुई। तो ये तरीक़ा पूरा है। ये कोई उम्मीद वाली जाँच नहीं, जिसमें कुछ छूट जाए। ये पक्का जवाब है। चलिए इसे इस्तेमाल करते हैं। क्या 40 और 231 सह-अभाज्य हैं? 40 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 5।

231 बराबर 3 गुणा 7 गुणा 11। एक तरफ़ 2 और 5, दूसरी तरफ़ 3, 7 और 11। कुछ भी साझा नहीं। तो 40 और 231 सह-अभाज्य हैं। और इस बार भी एक भी गुणनखंड ढूँढना नहीं पड़ा। एक और जोड़ी। 242 और 195। 242 बराबर 2 गुणा 11 गुणा 11। 195 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 13। ध्यान दीजिए, पहली पंक्ति में 11, 2 बार लिखा है। पर अभाज्य गुणनखंड के रूप में 11 एक ही है।

तो अभाज्य गुणनखंड हैं — एक तरफ़ 2 और 11, दूसरी तरफ़ 3, 5 और 13। कुछ साझा नहीं, तो ये जोड़ी सह-अभाज्य है। तो पहला नियम ये रहा। 2 संख्याएँ सह-अभाज्य हैं, जब उनके अभाज्य गुणनखंडन में कोई अभाज्य संख्या साझा न हो। और अगर एक भी अभाज्य संख्या दोनों में है, तो जवाब तुरंत मिल गया — सह-अभाज्य नहीं। अब दूसरा सवाल, और यही तरकीब इसका भी जवाब देती है।

क्या एक संख्या दूसरी को पूरा बाँटती है? जैसे, 48 को 12 से बाँटें तो 4 आता है, और कुछ नहीं बचता। तो 48, 12 से विभाज्य है। पर इसके लिए भाग करना पड़ा। क्या अभाज्य पंक्तियाँ देखकर ही ये पता चल सकता है? 48 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3। और 12 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3। 12 की हर अभाज्य संख्या, जितनी बार वो आती है उतनी बार, 48 की पंक्ति में मिल जाती है।

तो दूसरा नियम ये है। एक संख्या दूसरी को बाँटती है, जब उसकी अभाज्य पंक्ति दूसरी की पंक्ति के अंदर समा जाए। और असली शब्द है — अंदर समाना। थोड़ा मेल खाना नहीं, कुछ साझा होना नहीं, बल्कि पूरा का पूरा अंदर। हर अभाज्य संख्या चाहिए, और उसकी हर प्रति भी। अगर 2 की 2 प्रतियाँ चाहिए, तो बड़ी पंक्ति में भी कम से कम 2 प्रतियाँ होनी चाहिए। आज़माकर देखते हैं — क्या 168, 12 से विभाज्य है?

168 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 7। और 12 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3। 12 को चाहिए 2 की 2 प्रतियाँ, और 3 की 1। क्या 168 में हैं? 2 की 2 प्रतियाँ — हाँ। 3 — हाँ। पूरी पंक्ति अंदर समा गई। तो 12, 168 को बाँटता है। अब एक मज़ेदार बात। 168 की पंक्ति में 12 वाली अभाज्य संख्याओं को आगे खिसका दीजिए।

2 गुणा 2 गुणा 3 बराबर 12। और जो बचा, 2 गुणा 7, वो 14 है। तो 168 बराबर 12 गुणा 14। यानी ये तरीक़ा सिर्फ़ हाँ नहीं कहता। भाग का जवाब भी साथ में दे देता है — 168 को 12 से बाँटें, तो 14। अब एक ऐसा, जो नहीं समाता। क्या 75, 21 से विभाज्य है? 75 बराबर 3 गुणा 5 गुणा 5। और 21 बराबर 3 गुणा 7।

21 को चाहिए एक 3 और एक 7। 3 तो मिल गया। पर 7 कहाँ है? 75 में कोई 7 है ही नहीं। तो पंक्ति नहीं समाती, और 21, 75 को नहीं बाँटता। भाग करके देखिए — 21, 75 में 3 बार जाता है, और 12 बच जाता है। और अब वो सवाल, जिसमें लगभग हर कोई फँसता है। क्या 42, 12 से विभाज्य है? 42 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 7।

और 12 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 3। 12 की अभाज्य संख्याएँ देखिए। उसे 2 चाहिए — 42 में 2 है। उसे 3 चाहिए — 42 में 3 भी है। तो 12 की हर अभाज्य संख्या 42 में मौजूद है। लगता है बात पक्की हो गई, है ना? नहीं, बात पक्की नहीं हुई। 12 को 2 की 2 प्रतियाँ चाहिए। और 42 में 2 की सिर्फ़ 1 प्रति है। तो 12 की पंक्ति 42 से मेल तो खाती है, पर उसके अंदर नहीं समाती।

एक 2 कम पड़ जाता है। और भाग भी यही कहता है। 12, 42 में 3 बार जाता है, और 6 बच जाता है। तो 42, 12 से विभाज्य नहीं है। यही वो हिस्सा है जो लोग भूल जाते हैं। अभाज्य संख्या का मौजूद होना काफ़ी नहीं। उसकी प्रतियाँ गिननी पड़ती हैं। उस आधे नियम को एक नाम दे देते हैं — अगर सारी अभाज्य संख्याएँ मौजूद हैं, तो बाँटता है।

100 तक की संख्याओं पर इसे चलाया गया। ये आधा नियम 503 बार ग़लत हाँ कहता है। और ये कभी ग़लत ना नहीं कहता। इसकी हर ग़लती एक ही तरह की है — कोई प्रति कम पड़ना, जैसे 42 में दूसरा 2। और प्रतियाँ गिनने वाला पूरा नियम? 200 तक की 39402 जोड़ियों पर, हर एक पर, उसका जवाब भाग से मेल खाता है। अब आपकी बारी। ये 4 जोड़ियाँ सह-अभाज्य हैं या नहीं?

30 और 45। 57 और 85। 121 और 1331। 343 और 216। 30 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 5, और 45 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5। 3 और 5 दोनों साझा हैं, तो ये सह-अभाज्य नहीं। 57 बराबर 3 गुणा 19, और 85 बराबर 5 गुणा 17। कुछ साझा नहीं, तो ये सह-अभाज्य हैं। 121 में 11 की 2 प्रतियाँ हैं, और 1331 में 3। 11 साझा है, तो ये सह-अभाज्य नहीं।

343 बराबर 7 गुणा 7 गुणा 7। और 216 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3। कुछ साझा नहीं, तो ये सह-अभाज्य हैं। और ये 4 — क्या पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है? 225 और 27। 96 और 24। 343 और 17। 999 और 99। 225 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 5 गुणा 5। 27 को 3 की 3 प्रतियाँ चाहिए, पर 225 में सिर्फ़ 2 हैं, तो 225 विभाज्य नहीं।

96 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3। 24 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 — ये पूरा समा जाता है। बचता है 2 गुणा 2, यानी 4। तो 96 बराबर 24 गुणा 4। 343 में सिर्फ़ 7 है। 17 वहाँ है ही नहीं, तो 343 विभाज्य नहीं। 999 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 37। और 99 बराबर 3 गुणा 3 गुणा 11।

3 तो काफ़ी हैं, पर 11 नहीं है, तो 999 विभाज्य नहीं। अब एक ऐसा सवाल, जिसमें संख्याएँ बताई ही नहीं गईं। एक संख्या है 2 गुणा 3 गुणा 7, और दूसरी 3 गुणा 7 गुणा 11। क्या ये सह-अभाज्य हैं? और क्या एक दूसरी को बाँटती है? 3 और 7 दोनों में हैं। तो ये सह-अभाज्य नहीं हैं। पहली में 11 नहीं है, और दूसरी में 2 नहीं है।

तो कोई भी पंक्ति दूसरी में नहीं समाती — कोई किसी को नहीं बाँटती। और दोनों जवाब बिना गुणा किए मिल गए। ये संख्याएँ 42 और 231 हैं, पर उनकी ज़रूरत ही नहीं पड़ी। और आख़िरी सवाल — क्या कोई भी 2 अभाज्य संख्याएँ हमेशा सह-अभाज्य होती हैं? अगर दोनों अलग हैं, जैसे 7 और 13, तो हाँ। हर पंक्ति में बस एक ही अभाज्य संख्या है, और वो दोनों अलग हैं।

100 से नीचे 25 अभाज्य संख्याएँ हैं। उनकी अलग-अलग 300 जोड़ियाँ बनती हैं, और सारी की सारी सह-अभाज्य हैं। पर अगर दोनों एक ही हों — 5 और 5 — तो 5 दोनों में है। 5 और 5 सह-अभाज्य नहीं हैं। तो सही बात ये है — 2 अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हमेशा सह-अभाज्य होती हैं। तो पूरी बात 2 पंक्तियों में। सह-अभाज्य — जब दोनों अभाज्य पंक्तियों में कुछ साझा न हो।

बाँटना — जब एक पंक्ति दूसरी के अंदर समा जाए, हर प्रति समेत। साझा भाज्य गुणनखंड छिप नहीं सकता। और असली जाल है — कम पड़ी हुई प्रति। जिन 2 सवालों के लिए पहले ढूँढना पड़ता था, अब उनके लिए बस देखना काफ़ी है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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