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Chapter 6 · Perimeter and Area

एक ही area, कई perimeters: एक से दूसरा तय क्यों नहीं होता

Area and perimeter are independent14 मिनट

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tangram के 7 टुकड़ों से वर्ग बनाइए, फिर उन्हीं से आयत — क्षेत्रफल दोनों का 16, पर किनारी एक की 16 और दूसरी की लगभग 17। 24 वर्ग इकाई के 4 आयतों के परिमाप 50, 28, 22 और 20 हैं। क्षेत्रफल और परिमाप 2 अलग सुइयाँ हैं — एक को रोकिए, दूसरी फिर भी दूर तक घूम सकती है।

मुख्य idea

Area अंदर को गिनता है; perimeter किनारे को नापता है; और chapter का सबसे ज़ोरदार दावा यह है कि इनमें से कोई भी दूसरे को तय नहीं करता। वह यह बात सिर्फ़ कहकर नहीं, बनाकर साबित करता है: area को पक्का कर दो, फिर भी boundary एक बड़े दायरे में बदलती रहती है, जिसके दोनों छोर सबसे खिंची हुई आकृति और सबसे सघन आकृति पर बैठते हैं। यह क्रिया एक square वाली पहेली में खुलकर दिखती है — एक तय अतिरिक्त area जोड़ो, तो perimeter दो बढ़ जाता है, वहीं रहता है, या दो घट जाता है, और यह सिर्फ़ इस पर निर्भर है कि जोड़ कितने किनारे छिपाता है। इसमें कुछ भी जोड़े जा रहे square के area पर निर्भर नहीं है, और ठीक इसीलिए दोनों नाप एक-दूसरे से स्वतंत्र बदल सकते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि दो आकृतियों का area एक हो सकता है और perimeter अलग, और इसका उलटा भी
  • दिए गए area के लिए पूर्ण संख्या वाली sides के हर rectangle की सूची बनाना और उन्हें perimeter के हिसाब से क्रम में रखना
  • पहचानना कि दिए गए area के किस rectangle का perimeter सबसे ज़्यादा है और किसका सबसे कम, और क्यों
  • तय संख्या के unit squares से अलग-अलग perimeters वाली आकृतियाँ बनाना
  • तय संख्या के unit squares से मिल सकने वाला सबसे छोटा और सबसे बड़ा perimeter निकालना, और इन छोरों को सही ठहराना
  • एक unit square जोड़ने पर perimeter में होने वाले बदलाव का अनुमान, उसके साझा किनारों की संख्या से लगाना
  • बराबर area और अलग perimeter वाले दो floor plans की तुलना करना
  • दोनों नापों पर दी गई शर्तों के हिसाब से आकृतियों की एक जोड़ी बनाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
perimeterकिसी बंद आकृति के चारों ओर पूरे रास्ते की लंबाईपरिमाप§6.1, p.129 पर छपा और परिभाषित
areaकिसी बंद आकृति से घिरे region का आकारक्षेत्रफल§6.2, p.137 पर bold में छपा और परिभाषित
unit squaregrid का एक square, नौ squares वाली पहेली की बुनियादी ईंटइकाई वर्ग§6.3, p.145 पर छपा
square unitउस square का area, जिसे गिनती की unit की तरह इस्तेमाल किया जाता हैवर्ग इकाई§6.2, p.140 पर छपा
holesआकृति के अंदर छूटी ख़ाली जगहें, जिन्हें पहेली के नियम मना करते हैंछिद्र§6.3, p.145 पर छपा
connectedजुड़कर एक टुकड़ा बना हुआ, जो पहेली के नियम माँगते हैंसंयुक्त§6.3, p.145 पर छपा
tangramसात टुकड़ों वाला विभाजन जिसके square और rectangle की तुलना होती हैटैनग्राम§6.2, p.139 पर छपा
plotज़मीन का वह rectangular टुकड़ा जिसमें घर का नक़्शा बैठता हैभूखंड§6.3, p.146 पर छपा
compactअपने area के लिए सबसे कम boundary में सिमटा हुआसघनव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा
stretchedएक लंबी पतली पट्टी में खिंचा हुआखिंचा हुआव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को Hindi छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़े area का मतलब बड़ा perimeter।" यही वह अकेली ग़लतफ़हमी है जिसे हटाने के लिए यह पूरा module है। 18 और 20 square units की दो आकृतियाँ, जिनमें छोटी की boundary लंबी है — p.149 पर छपा उलटा उदाहरण यही है।
  • "बराबर areas के perimeters बराबर होने ही चाहिए।" tangram का square और rectangle बिना किसी हिसाब के इसका खंडन कर देते हैं।
  • "टुकड़ों का फेरबदल करने से चीज़ की मात्रा बदल जाती है।" इससे boundary बदलती है और कुछ नहीं। दोनों तथ्य साथ-साथ नज़र में रखो।
  • "सबसे बड़े perimeter वाला rectangle ही सबसे बड़ा rectangle होगा।" सूची के हर rectangle का area एक ही है। लंबे पतले वाले की boundary सबसे लंबी है और वह ज़रा भी ज़्यादा नहीं घेरता।
  • "square जोड़ने से perimeter हमेशा लंबा होता है।" वह उसे वैसा ही छोड़ सकता है और छोटा भी कर सकता है। यही वह तथ्य है जो students को सचमुच हैरान करता है, और हैरानी इसलिए होती है कि उनका ध्यान area पर है, जोड़ पर नहीं।
  • "एक ही area और एक ही गिनती के squares वाली दो आकृतियाँ एक ही आकार की होंगी।" नौ squares वाली पहेली 20 perimeter के लिए कई आकृतियाँ देती है और 18 के लिए भी कई; cached PDF के साथ जुड़ी answer key बताती है कि सिर्फ़ सबसे छोटा perimeter ही आकृति को पक्का तय करता है।
  • "बराबर area वाले plots पर बने दो घरों की दीवार का ख़र्च बराबर होगा।" दीवार का दाम perimeter से चुकाया जाता है। Charan और Sharan के plots में area बराबर है और boundary की लंबाई अलग चाहिए।
  • "square को आधा काटने से दोनों नाप आधे हो जाते हैं।" हर टुकड़े का area आधा हो जाता है, पर दोनों टुकड़ों की boundaries मिलकर square की boundary से ज़्यादा होती हैं। सवाल 8, p.149, ठीक इसी पर बना है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q8, Figure it Out · 6 Q1, Figure it Out · 6 Q5, Figure it Out · 6 Q7, Figure it Out · 6 Q8

पूरा transcript1,962 शब्द

अब तक आपके पास किसी आकृति को नापने के 2 तरीके हैं। किनारी पर चलकर कितनी दूरी तय होती है — यानी परिमाप। और अंदर कितनी जगह है — यानी क्षेत्रफल। ज़्यादातर लोग इन दोनों को एक ही चीज़ मान लेते हैं। उन्हें लगता है कि आकृति बड़ी हुई, तो दोनों बड़े होंगे। ये एहसास गलत है, और आज हम इसे जड़ से हटाएँगे। तो 2 सुइयों वाले डायल सोचिए।

एक पर क्षेत्रफल लिखा है, दूसरे पर परिमाप। आज की बात ये है — आप किसी एक सुई को रोककर रखिए, दूसरी फिर भी दूर तक घूम सकती है। और ये बात हम कहकर नहीं, बनाकर दिखाएँगे — हर बार आकृति ख़ुद बनाकर। शुरुआत tangram से करते हैं — 7 टुकड़े, जिनसे एक वर्ग बनता है। 2 बड़े त्रिभुज, 1 मझला त्रिभुज, 2 छोटे त्रिभुज, 1 वर्ग, और 1 समांतर चतुर्भुज।

अब इन्हीं 7 टुकड़ों को अलग कीजिए, और उनसे एक आयत बनाइए — जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दुगनी हो। दोनों बड़े त्रिभुज दोनों सिरों पर जाते हैं, और बाकी 5 टुकड़े बीच की जगह भर देते हैं। न कुछ जोड़ा, न कुछ हटाया, न कुछ काटा। इसलिए दोनों का क्षेत्रफल एक ही है — बिना कोई हिसाब लगाए। अगर वर्ग की भुजा 4 हो, तो दोनों का क्षेत्रफल 16 वर्ग इकाई है।

पर एक सवाल अब भी खुला है — क्या दोनों के चारों ओर की दूरी भी एक ही है? वर्ग के चारों ओर 4 भुजाएँ हैं, हर एक 4 की। तो परिमाप 16। आयत की छोटी भुजा ठीक बड़े त्रिभुज की छोटी भुजा है। और लंबी भुजा उसकी दुगनी। बड़े त्रिभुज की वो छोटी भुजा करीब 2 दशमलव 8 3 है। तो आयत करीब 5 दशमलव 6 6 लंबा और 2 दशमलव 8 3 चौड़ा है।

अब चारों ओर जोड़िए — करीब 16 दशमलव 9 7, यानी लगभग 17। 16 और 17 — दोनों की किनारियाँ बराबर नहीं हैं। वही टुकड़े, वही क्षेत्रफल, पर किनारी अलग। और यही आज का पूरा विषय है — संख्याओं की कोई सूची आने से पहले ही। अब इसे पक्का करते हैं। ऐसे सारे आयत बनाइए, जिनकी भुजाएँ पूरी इकाइयों में हों, और क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई। ये असल में गुणनखंडों के जोड़ों का सवाल है — 1 और 24, 2 और 12, 3 और 8, 4 और 6।

कुल 4 आयत, और हर एक ठीक 24 खाने ढकता है। अब हर एक का परिमाप। 1 और 24 — दोनों का जोड़ 25, उसका दुगना 50। 2 और 12 — जोड़ 14, दुगना 28। 3 और 8 का परिमाप 22। 4 और 6 का 20। 50, 28, 22, 20। क्षेत्रफल हर बार 24, पर सबसे बड़ा परिमाप सबसे छोटे का 2 दशमलव 5 गुना है। अब इस सूची के दोनों सिरे साथ रखिए, क्योंकि तस्वीर ख़ुद वजह बता देती है।

1 और 24 एक लंबी, पतली पट्टी है। 4 और 6 एक गठा हुआ टुकड़ा। दोनों में 24 खाने हैं। एक का परिमाप 50, दूसरे का 20। वजह देखनी हो, तो देखिए कि खाने कहाँ-कहाँ एक दूसरे को छूते हैं। पट्टी में 22 खानों की 2-2 भुजाएँ खुली हैं, और सिरों वाले 2 खानों की 3-3। गठे टुकड़े में बीच के 8 खाने चारों तरफ़ से घिरे हैं — उनकी एक भी भुजा बाहर नहीं।

जहाँ 2 खाने मिलते हैं, वो भुजा किनारी का हिस्सा नहीं रहती। यही पूरी बात है — परिमाप ये नापता है कि कितना खुला है, ये नहीं कि कितना है। अब असली सवाल। कोई भी क्षेत्रफल दिया हो, क्या आप सूची बनाए बिना बता सकते हैं कि किस आयत का परिमाप सबसे बड़ा होगा, और किसका सबसे छोटा? सबसे बड़ा हमेशा 1 चौड़ी पट्टी का होता है — सबसे लंबी, सबसे पतली।

सबसे छोटा हमेशा उस जोड़े का, जिसकी 2 संख्याएँ एक दूसरे के सबसे पास हैं। इसे 32 पर आज़माइए। जोड़े हैं — 1 और 32, 2 और 16, 4 और 8। परिमाप — 66, 36, 24। सबसे बड़ा पट्टी का, और सबसे छोटा 4 और 8 का, जो सबसे पास वाला जोड़ा है। और ये सिर्फ़ 24 और 32 पर नहीं चलता — 1 से 400 तक हर क्षेत्रफल पर जाँचा गया है, और हर बार यही निकलता है।

मतलब साफ़ है — परिमाप छोटा चाहिए, तो भुजाएँ जितनी हो सकें उतनी बराबर रखिए, आकृति को जितना हो सके वर्ग जैसा बनाइए। अब आयत छोड़िए। 9 इकाई वर्ग लीजिए, और जो आकृति चाहें बनाइए। बस 3 शर्तें हैं। हर खाना किसी दूसरे से पूरी भुजा पर मिले। पूरी आकृति एक टुकड़े में हो। और बीच में कोई छेद न हो। सबसे सीधा तरीका — 3 और 3 का वर्ग।

उसका परिमाप 12। और एक दूसरी आकृति — ऊपर 4 खानों की कतार, नीचे 4 की, और 1 खाना बाएँ छोर पर दोनों को जोड़ता है। इसका परिमाप 20। 12 और 20। वही 9 खाने — आप एक को उठाकर दूसरी में बदल सकते हैं। क्षेत्रफल वाली सुई ज़रा नहीं हिली। पर परिमाप वाली 12 से 20 तक घूम गई। अब सवाल ये है — 9 खानों से सबसे छोटा और सबसे बड़ा परिमाप कितना हो सकता है?

और क्या हर एक तक एक से ज़्यादा आकृतियाँ पहुँचती हैं? अंदाज़ा लगाने के बजाय, computer से 9 खानों की हर मुमकिन आकृति बनवाई गई — इन्हीं 3 शर्तों के साथ। घुमाने या पलटने पर एक जैसी दिखने वाली आकृतियों को एक ही गिना गया। कुल 1248 आकृतियाँ निकलीं। और परिमाप हमेशा 12, 14, 16, 18 या 20 आता है। इसके अलावा कभी कुछ नहीं — न कोई विषम संख्या, न 12 से कम, न 20 से ज़्यादा।

12 सिर्फ़ 1 आकृति का है — 3 और 3 का वर्ग, और कोई नहीं। और 20 तक 815 अलग-अलग आकृतियाँ पहुँचती हैं। यानी दोनों छोर एक जैसे नहीं हैं। सबसे गठी आकृति अकेली है, और सबसे फैली हुई आकृतियाँ बहुत आम हैं। और 18 वाली आकृतियाँ 334 हैं — उनमें से एक आप ख़ुद ढूँढ लेंगे। पर 12 से 20 ही क्यों? इसकी वजह एक छोटी सी गिनती है।

अलग-अलग रखे 9 खानों की कुल 36 भुजाएँ होती हैं — 9 गुणा 4। जब भी 2 खाने एक भुजा पर जुड़ते हैं, 2 भुजाएँ छिप जाती हैं — दोनों तरफ़ की एक-एक। तो परिमाप बराबर 36, घटा 2 गुणा जोड़ों की गिनती। ये सभी 1248 आकृतियों पर जाँचा गया है। इसीलिए परिमाप हमेशा सम आता है — 36 में से हर बार 2 का कोई गुणज ही घटता है।

9 खानों को एक टुकड़ा बनाने के लिए कम से कम 8 जोड़ चाहिए। 36 में से 16 घटाइए — 20। और ज़्यादा से ज़्यादा 12 जोड़ बन पाते हैं, वो भी सिर्फ़ 3 और 3 के वर्ग में। 36 में से 24 घटाइए — 12। यानी परिमाप कोई रहस्य नहीं — वो बस ये गिनता है कि खाने कितनी बार आपस में जुड़े। अब सबसे पैनी बात। 11 खानों की एक आकृति है, जिसका परिमाप 24 है।

और 1 खाना और है, जो जुड़ने का इंतज़ार कर रहा है। सवाल ये है — जोड़ने के बाद परिमाप कितना होगा, पूरी किनारी फिर से गिने बिना? खाने को ऐसे लगाइए कि वो सिर्फ़ 1 भुजा पर छुए। परिमाप 2 बढ़ जाता है — 26। अब उसी खाने को एक सीढ़ी के मोड़ में रखिए, जहाँ वो 2 भुजाओं पर छुए। परिमाप ज़रा नहीं बदलता — 24 ही रहता है।

अब उसे एक खाँचे में डालिए, जहाँ 3 तरफ़ खाने हैं। परिमाप 2 घट जाता है — 22। वही खाना, हर बार वही जुड़ा हुआ क्षेत्रफल। और किनारी बढ़ी भी, वैसी ही रही, और घटी भी। इसकी वजह एक ही पंक्ति में आ जाती है। नए खाने की 4 भुजाएँ हैं। उसकी जो भुजा आकृति से सटती है, वो 2 भुजाएँ छिपा देती है — अपनी भी, और जिससे सटी उसकी भी।

तो परिमाप में बदलाव बराबर 4, घटा हर छुई भुजा के लिए 2। 1 भुजा छुई — 4 घटा 2, यानी 2 ज़्यादा। 2 भुजाएँ छुईं — 4 घटा 4, यानी कोई बदलाव नहीं। 3 भुजाएँ — 4 घटा 6, यानी 2 कम। आकृति के पास की हर खाली जगह पर ये जाँचा गया है — हर बार यही नियम। अब इस पंक्ति को ध्यान से देखिए — उसमें क्या नहीं है।

जोड़े गए खाने का क्षेत्रफल इसमें कहीं नहीं आता। एक बार भी नहीं। क्षेत्रफल पूछता है कि कितना। परिमाप पूछता है कि कैसे जुड़ा। अब इसे 2 घरों में डालते हैं, जहाँ ये बात सच में मायने रखती है। 2 आयताकार ज़मीनें हैं, और उन पर कमरों के नाप लिखे हैं। पहली ज़मीन पर, बाईं ओर 15 फ़ुट चौड़ी पट्टी में शयनकक्ष हैं, उसके बगल में 5 फ़ुट का गुसलखाना, और दाईं ओर 15 फ़ुट की रसोई।

तो चौड़ाई 15 जोड़ 5 जोड़ 15, यानी 35 फ़ुट। और लंबाई 30 फ़ुट दी हुई है। दूसरी ज़मीन की चौड़ाई 42 फ़ुट दी हुई है। शयनकक्षों की पट्टी में एक कमरा 15 फ़ुट गहरा है, और दूसरा 10। तो गहराई 15 जोड़ 10, यानी 25 फ़ुट। गायब नाप कमरों से ही निकल आए — किसी से पूछना नहीं पड़ा। अब क्षेत्रफल निकालिए। 35 गुणा 30 — 1050 वर्ग फ़ुट।

42 गुणा 25 — 1050 वर्ग फ़ुट। दोनों बिल्कुल बराबर हैं। अब चारों ओर चलिए। पहली ज़मीन की चारदीवारी 130 फ़ुट। दूसरी की 134 फ़ुट। ज़मीन एक जितनी, और दीवार 4 फ़ुट ज़्यादा। और दीवार फ़ुट के हिसाब से बनती है — ईंटें, मेहनत, सब परिमाप से गिना जाता है, क्षेत्रफल से नहीं। वहीं फ़र्श बिछाना हो, तो क्षेत्रफल काम आता है — और वहाँ दोनों घर बराबर हैं। एक ही ज़मीन के लिए 2 अलग सवाल, और 2 अलग जवाब।

अब वो सवाल, जो दिखाता है कि बात सच में समझ आई — क्योंकि उल्टा उदाहरण आप ख़ुद बनाते हैं। 2 आकृतियाँ बनाइए। पहली 18 वर्ग इकाई की, दूसरी 20 की — और पहली की किनारी लंबी होनी चाहिए। अगर दोनों साथ-साथ बढ़ते, तो ये नामुमकिन होता। पर ये आसान है। अब ये 18 खाने एक कतार में रखिए — 1 और 18 की पट्टी। उसका परिमाप 38। 20 को एक गठा हुआ 4 और 5 का आयत बनाइए।

उसका परिमाप 18। कम क्षेत्रफल, और किनारी दुगनी से भी ज़्यादा। एक और, जिसमें अक्सर लोग फँस जाते हैं। एक वर्ग को किनारे पर किनारा मिलाकर आधा मोड़िए, और मोड़ पर काट दीजिए। हर टुकड़े का क्षेत्रफल ठीक आधा है — ये हिस्सा ठीक चलता है। पर हर टुकड़े का परिमाप आधा नहीं। मान लीजिए वर्ग की भुजा 4 है, तो वर्ग का परिमाप 16। हर टुकड़ा 4 और 2 का आयत है।

उसका परिमाप 12 — यानी वर्ग के परिमाप के 4 में से 3 हिस्से। और दोनों टुकड़ों का परिमाप मिलाइए, तो 24 — यानी वर्ग से आधा और ज़्यादा। भुजा 2 हो, 6 हो, 10 हो या 14 — हर बार यही हिस्से निकलते हैं। काटने से कोई नया क्षेत्रफल नहीं बना, पर बहुत सारी नई किनारी बन गई। अब तक हमने आधी बात देखी — बराबर क्षेत्रफल, और अलग परिमाप।

अब उल्टी तरफ़ से। परिमाप 20 रखिए, और देखिए कौन-कौन से आयत बनते हैं। 1 और 9, 2 और 8, 3 और 7, 4 और 6, और 5 और 5। सबका परिमाप 20 है। पर क्षेत्रफल — 9, 16, 21, 24, 25। पतली पट्टी सबसे कम जगह घेरती है, और वर्ग सबसे ज़्यादा। यानी बराबर परिमाप से भी बराबर क्षेत्रफल नहीं मिलता। तो अब दोनों बातें पक्की हो गईं। बराबर क्षेत्रफल वाली आकृतियों के परिमाप अलग हो सकते हैं — tangram, 24 के 4 आयत, 9 खानों की 12 से 20 तक की आकृतियाँ, और 2 बराबर ज़मीनें।

और बराबर परिमाप वाली आकृतियों के क्षेत्रफल अलग हो सकते हैं — 20 की किनारी के अंदर 9 से 25 तक। कोई भी नाप दूसरे को तय नहीं करता — न इस तरफ़ से, न उस तरफ़ से। क्षेत्रफल गिनता है कि कितना है। परिमाप गिनता है कि कितना खुला है। अगली बार वो आकृति, जो आख़िरकार बिना एक भी खाना गिने क्षेत्रफल पक्का कर देती है — त्रिभुज।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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