आकृतियाँ भी sequences में आती हैं, अपने ख़ुद के नियमों के साथ

0:00यहाँ 4 आकृतियाँ हैं — triangle, square, pentagon और hexagon। इनके बाद अगली आकृति क्या होगी? जवाब है heptagon, यानी 7 sides वाली आकृति। पर ध्यान दो कि तुमने जवाब कैसे निकाला। तुमने कुछ जोड़ा नहीं, और कुछ गुणा भी नहीं किया। तुमने देखा कि हर आकृति कैसे बनाई जा रही है, और फिर अगली आकृति खुद बना ली। यह भी एक sequence है, बस numbers की नहीं, आकृतियों की।

0:31इसे shape sequence कहते हैं। number sequence की तरह, shape sequence का भी एक नियम होता है। फ़र्क बस इतना है कि number sequence का नियम किसी number पर किया गया एक कदम है, जबकि shape sequence का नियम एक बनावट है, यानी कुछ बनाने का तरीका। आज हम 5 shape sequences देखेंगे। हर एक का नियम ढूँढेंगे, और फिर हर एक की अगली आकृति बनाने की कोशिश करेंगे। उनमें से एक ऐसी है, जो सबसे ज़्यादा सिखाती है।

1:02पहले इस पढ़ाई का नाम जान लो। गणित की जो शाखा आकृतियों में patterns ढूँढती है, उसे geometry कहते हैं। numbers के patterns number theory का हिस्सा हैं, और आकृतियों के patterns geometry का हिस्सा। आज हमारा विषय geometry है। पर सोचने का तरीका वही है — पहले pattern ढूँढो, फिर उसकी वजह। बस सामग्री बदल गई है, numbers की जगह अब आकृतियाँ हैं। आकृतियों के बारे में एक बड़ी बात यहीं छुपी है, जो आसानी से छूट जाती है।

1:34अलग-अलग आकृतियों को अलग गिनती की दिशाएँ चाहिए होती हैं। एक line segment को बस एक दिशा चाहिए, यानी लंबाई। इसे 1 dimension कहते हैं। square को 2 दिशाएँ चाहिए, लंबाई और चौड़ाई, यानी 2 dimensions। cube को 3 दिशाएँ चाहिए — लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई। यानी 3 dimensions। और आकृतियाँ 3 dimensions पर रुकती नहीं हैं। गणित में 3 से ज़्यादा dimensions वाली आकृतियाँ भी होती हैं। segment के 2 कोने हैं, square के 4, और cube के 8।

2:10अगली आकृति के 16 कोने हैं — यह 2 cubes हैं, जिनके मिलते-जुलते कोने 8 lines से जुड़े हैं। यह आकृति हमारी आम जगह में नहीं समाती, क्योंकि इसे 4 दिशाएँ चाहिए। अब पहली row, यानी regular polygons। polygon एक बंद आकृति है, जो सीधी sides से बनी होती है। regular का मतलब है कि उसकी सारी sides एक ही लंबाई की हों, और उसके सारे कोने एक जैसे हों।

2:38कोनों को नापने का तरीका, यानी angles, हम आगे सीखेंगे। अभी इतना काफ़ी है कि हर कोना बराबर खुला हो। 3 sides हों, तो triangle बनता है। 4 sides हों, और आकृति regular हो, तो square। फिर 5 sides का pentagon, 6 का hexagon, 7 का heptagon, और 8 का octagon। फिर 9 sides का nonagon, और 10 sides का decagon। इस row में कुल 8 polygons हैं। इसका नियम बहुत सीधा है — 1 side और जोड़ो, और आकृति को regular रखो।

3:16यहाँ एक गलतफ़हमी से बचना है। quadrilateral का मतलब square नहीं है। quadrilateral कोई भी बंद आकृति है, जिसकी 4 सीधी sides हों। यह rhombus है। इसकी 4 sides एक ही लंबाई की हैं, पर इसके कोने एक जैसे नहीं — कुछ नुकीले हैं और कुछ चौड़े। इसलिए यह regular नहीं है। और यह rectangle है। इसके 4 कोने एक जैसे हैं, पर इसकी sides एक लंबाई की नहीं हैं।

3:43यह भी regular नहीं है। regular होने के लिए sides और कोने, एक साथ बराबर होने चाहिए। इन 3 quadrilaterals में से सिर्फ़ square ऐसा है। इसीलिए regular quadrilateral हमेशा square ही होता है। दूसरी row का नाम थोड़ा अजीब है — complete graphs। नाम को एक पल के लिए छोड़ो, और नियम देखो। कुछ dots रखो, और हर जोड़ी dots के बीच एक line खींचो। हर एक जोड़ी के बीच, कोई जोड़ी छूटनी नहीं चाहिए।

4:17बस यही नियम है। 2 dots, और उनके बीच 1 line — इसे K2 कहते हैं। 3 dots हों, और हर जोड़ी जुड़ी हो, तो triangle बनता है, यानी K3। 4 dots पर square की 4 sides और 2 diagonals बनते हैं — यह K4 है। 5 dots पर pentagon और उसके सारे diagonals बनते हैं, यानी K5। और 6 dots पर K6 बनता है, जो अब मकड़ी के जाले जैसा दिखने लगता है।

4:46इस row को बढ़ाने का एक और तरीका भी है। एक नया dot रखो, और उसे पहले से रखे हर dot से जोड़ो। जैसे K5 से शुरू करो। नया dot रखो, और उसे पहले के 5 dots से जोड़ो। 5 नई lines बनती हैं, और K6 तैयार हो जाता है। यह तरीका हर बार काम करता है, क्योंकि पुरानी हर जोड़ी पहले से जुड़ी है, और हर नई जोड़ी में नया dot है।

5:122 से 12 dots तक, बढ़ाने वाला तरीका ठीक वही graph देता है, जो हर जोड़ी जोड़ कर मिलता है। तुम्हारा मन lines गिनने का कर रहा होगा। उसे अभी रोक कर रखो, गिनती का काम बाद में करेंगे। अभी हमें सिर्फ़ नियम चाहिए। तीसरी row है stacked squares। पहले 1 छोटा square, फिर 2 की 2 rows वाला block, फिर 3 का, फिर 4 का, और फिर 5 का।

5:41यह आकृति तुमने पहले dots के square के रूप में देखी है। यहाँ dots की जगह छोटे squares हैं, जो बड़े square को भरते हैं। अगला block कैसे बनता है? एक नई row, एक नया column, और कोने का 1 square। 5 से 6 पर जाने में 5 और 5 और 1, यानी 11 नए squares जुड़ते हैं। तो नियम है — side को 1 लंबा करो, और block भर दो।

6:07अगली आकृति 6 की 6 rows वाला block है, जिसमें 36 छोटे squares हैं। चौथी row है stacked triangles। तरीका वही है, बस squares की जगह triangles। 1 row, फिर 2 rows, फिर 3, 4 और 5। यहाँ एक पल रुक कर सोचो, 2 rows वाले triangle में कितने छोटे triangles हैं? ज़्यादातर लोग 3 कहते हैं, यानी ऊपर की ओर नुकीले 3 triangles। पर उनके बीच की जगह देखो।

6:40वहाँ एक और triangle है, जो नीचे की ओर नुकीला है। वो उल्टा है, इसलिए नज़र से छूट जाता है, पर उसका size बिल्कुल वही है। तो 2 rows में 3 ऊपर वाले और 1 नीचे वाला, कुल 4 triangles हैं। और 3 rows में 6 ऊपर वाले और 3 नीचे वाले, कुल 9। यह फ़र्क छोटा नहीं है। अगर सिर्फ़ ऊपर वाले गिनो, तो 1, 3, 6, 10 और 15 मिलते हैं, यानी triangular numbers।

7:16और अगर सब गिनो, ऊपर वाले भी और नीचे वाले भी, तो 1, 4, 9, 16 और 25 मिलते हैं, यानी squares। इसकी वजह हर row में है। 5 rows वाले triangle की हर row में, नीचे वाले triangles ऊपर वालों से 1 कम हैं। इसलिए rows में 1, 3, 5, 7 और 9 triangles हैं, यानी odd numbers, और odd numbers जुड़ कर squares बनाते हैं। एक ही आकृति से 2 बिल्कुल अलग जवाब निकले, बस इस पर कि तुमने क्या गिना।

7:49इसलिए उल्टे triangles को कभी मत भूलना। पाँचवीं row बाकी सब से अलग है। इसे snowflake कहते हैं, और यह कुछ जोड़ कर नहीं, बल्कि बदल कर बनती है। इसका नियम यह है। एक सीधा टुकड़ा लो, और उसे 3 बराबर हिस्सों में बाँटो। अब बीच वाला हिस्सा हटाओ, और उसकी जगह एक उभार बनाओ — एक छोटा triangle, जिसकी 2 नई sides बीच वाले हिस्से जितनी ही लंबी हों।

8:17इस उभार को speed breaker भी कहा जाता है। अब एक सीधे टुकड़े की जगह 4 टुकड़े हैं, हर एक पुराने टुकड़े का एक-तिहाई, और बीच में एक नोक। अब यही काम triangle की हर side पर एक साथ करो। 3 sides पर 3 उभार, और एक तारा बनता है, जिसकी 6 नोकें हैं। फिर से करो। तारे का हर सीधा टुकड़ा अपना उभार पाता है, और ऐसे 12 टुकड़े हैं।

8:4412 से 48 टुकड़े बनते हैं, फिर 48 से 192, और 192 से 768। हर round में टुकड़े 4 गुना हो जाते हैं, और हर टुकड़ा पिछले का एक-तिहाई रह जाता है। 3 हिस्सों की लंबाई की जगह अब 4 हिस्से हैं, इसलिए बाहरी line हर round में पहले से लंबी हो जाती है। नियम को एक बार पूरा लगाने को iteration कहते हैं। यह शब्द याद रखना, आगे बहुत काम आएगा।

9:13अब असली सवाल। हर row को फिर से बनाओ, उसकी अगली आकृति बनाओ, बताओ कि वो बनती है या नहीं और क्यों, और नियम अपने शब्दों में कहो। regular polygons में अगली आकृति 11 sides की है। complete graphs में 7 dots, जिनकी हर जोड़ी जुड़ी हो, यानी K7। थोड़ी मेहनत लगती है, पर बन जाता है। stacked squares में 6 की 6 rows, और stacked triangles में 6 rows।

9:405 में से 4 rows में कोई दिक्कत नहीं आती। और snowflake? क्या तुम उसकी अगली आकृति बना सकते हो? नियम साफ़ बताता है कि क्या करना है — सारे 768 टुकड़ों पर एक-एक उभार। मान लो triangle की side 90 मिलीमीटर है। तो टुकड़े पहले 90, फिर 30, फिर 10 मिलीमीटर के होते हैं, और round 4 में हर टुकड़ा 1 मिलीमीटर से थोड़ा ज़्यादा है। अगली आकृति, यानी round 5 में, हर टुकड़ा आधे मिलीमीटर से भी छोटा है।

10:16और pencil की line लगभग आधा मिलीमीटर मोटी होती है। यानी नया उभार pencil की नोक से भी छोटा है, और स्याही आपस में मिल जाती है। बाकी 4 rows की अगली आकृतियों में, सबसे छोटा हिस्सा भी 10 मिलीमीटर से बड़ा है। तो क्या sequence रुक गया? बिल्कुल नहीं, नियम पूरी तरह काम करता है। अगली आकृति मौजूद है, और उसके बाद वाली भी, और यह कभी खत्म नहीं होता।

10:41जो रुका, वो तुम्हारी pencil है, नियम नहीं। 'मैं नहीं बना सकता' और 'नियम रुक गया' — ये 2 अलग बातें हैं। इन्हें मिला दिया, तो पूरा सबक उल्टा हो जाता है। अब सारे नियम ज़ोर से बोलो। regular polygons में 1 side और जोड़ो, और सारी sides बराबर रखो। complete graphs में 1 dot और रखो, और उसे पहले से रखे हर dot से जोड़ो। stacked squares में side को 1 लंबा करो और block भर दो।

11:12stacked triangles में नीचे 1 row और जोड़ो। और snowflake में हर सीधे टुकड़े की जगह एक उभार बनाओ। ये 5 नियम ऐसे निर्देश हैं, जो तुम pencil वाले किसी भी इंसान को थमा सकते हो। अगर नियम सच्चा है, तो वो तुम्हारी अगली आकृति बना लेगा, उसे कभी देखे बिना। पर अगर नियम धुंधला हो, जैसे 'इसे थोड़ा और बड़ा बनाओ', तो वो वहीं अटक जाएगा, क्योंकि उसे पता ही नहीं कि क्या बनाना है।

11:39अब तक ये सिर्फ़ आकृतियाँ हैं। पर हर आकृति के हिस्से गिने जा सकते हैं — sides, कोने, lines, और छोटे triangles। जैसे ही तुम कुछ गिनना चुनते हो, shape sequence से एक number sequence निकल आती है। polygons की sides गिनो, तो 3, 4, 5, 6 मिलते हैं। छोटे squares गिनो, तो 1, 4, 9, 16। और छोटे triangles गिनो, ऊपर वाले और नीचे वाले, तो भी 1, 4, 9, 16 ही मिलते हैं — squares, एक बिल्कुल अलग आकृति से।

12:14अब तुम्हारी बारी। K6 की तस्वीर में उसकी lines गिनो, और अपना जवाब comments में लिखो। फिर बिना बनाए सोचो, K7 में कितनी lines होंगी?