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Chapter 6 · Perimeter and Area
Triangles और regular polygons: जब बराबर sides गुणा करने देती हैं
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5, 4 और 7 सेंटीमीटर का त्रिभुज — परिमाप 16, और कोई छोटा रास्ता नहीं, क्योंकि कुछ दोहराया ही नहीं। 5, 5 और 7 वाले पर 3 गुणा 5 करने का मन करता है, पर जवाब 17 है, 15 नहीं। गुणा तभी चलता है जब सारी भुजाएँ बराबर हों: समबाहु त्रिभुज 3 गुणा भुजा, वर्ग 4 गुणा भुजा, और हर regular polygon भुजाओं की गिनती गुणा एक भुजा।
मुख्य idea
तीन अलग-अलग sides वाले triangle में सिमटाने लायक़ कुछ नहीं होता, इसलिए उसका perimeter बस जोड़ है — और यही आम हालत है, अपवाद नहीं। जोड़ने से गुणा करने पर जाने की इजाज़त एक ही ख़ासियत देती है, और सिर्फ़ वही: बराबर लंबाई की sides. जिस परिवार में यह पक्का होता है उसके लिए किताब का नाम, regular polygon, असल में shortcut की ज़रूरत से ज़्यादा माँगता है, क्योंकि वह बराबर angles भी चाहता है। और यह सिमटाव दो बार दिखाने के बाद — तीन बराबर sides के लिए और चार के लिए — chapter जान-बूझकर रुक जाता है और आम कथन पढ़ने वाले को सौंप देता है: pattern ही सबक़ है, और जवाब छाप देने से वह मिट जाता।
आपको क्या आना चाहिए
- तीन दी गई sides की लंबाइयों से triangle का perimeter निकालना
- perimeter और बाक़ी दो sides से triangle की छूटी हुई side निकालना
- बताना कि किताब regular polygon से क्या मतलब लेती है, उसके दोनों हिस्सों के साथ
- आम triangle वाले नियम से equilateral triangle का नियम निकालना
- बताना कि equilateral triangle और square में ऐसा क्या साझा है जिसकी वजह से दोनों नियम बनते हैं
- pattern को पाँच sides वाली और छह sides वाली बराबर sides की आकृति तक बढ़ाना, और आम नियम शब्दों में बताना
- shortcut को जिस ख़ासियत की ज़रूरत है (बराबर sides) उसे regular की पूरी definition (बराबर sides और बराबर angles) से अलग पहचानना
- पहचानना कि कब कोई polygon irregular है और shortcut इस्तेमाल नहीं करना है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| polygon | बंद, सपाट आकृति जिसकी boundary line segments से बनी हो | बहुभुज | §6.1, p.129 पर bold में छपा |
| regular polygon | ऐसा polygon जिसकी सारी sides एक ही लंबाई की हों और सारे angles एक ही नाप के | सम बहुभुज | §6.1, p.135 पर bold में छपा और परिभाषित |
| equilateral triangle | ऐसा triangle जिसकी तीनों sides बराबर हों और तीनों angles बराबर हों | समबाहु त्रिभुज | §6.1, p.135 पर छपा और परिभाषित |
| pentagon | पाँच sides वाली आकृति; regular pentagon की पाँचों sides और angles बराबर होते हैं | पंचभुज | §6.1, p.135 पर छपा |
| hexagon | छह sides से घिरी बंद आकृति | षड्भुज | §6.1, p.132 पर छपा और समझाया गया |
| triangle | तीन sides वाली बंद आकृति | त्रिभुज | §6.1, p.131 पर छपा |
| square | चार sides वाला regular polygon | वर्ग | §6.1, p.130 पर छपा |
| irregular | regular वाली जाँच के एक या दोनों हिस्सों में खरा न उतरने वाला | विषम | §6.2, p.137 पर छपा |
| equal-sided | जिसकी हर side एक ही लंबाई की हो, angles के बारे में कुछ कहे बिना | समान भुजाओं वाला | व्याख्या का अपना जोड़ा हुआ शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
| scalene | ऐसा triangle जिसकी तीनों sides अलग-अलग हों | विषमबाहु | व्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को Hindi छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "Regular का मतलब साधारण या आम है।" यहाँ यह दो हिस्सों वाली definition का एक तकनीकी शब्द है, और students इसे रोज़मर्रा वाले मतलब में पढ़ लेते हैं। व्याख्या के पहले आधे हिस्से में जब भी यह शब्द आए, दोनों हिस्से बोलकर कहो।
- "किसी भी triangle का perimeter एक side का तीन गुना होता है।" chapter ठीक इसी वजह से section की शुरुआत 4-5-7 triangle से करता है। तीन से गुणा करने के लिए sides का बराबर होना ज़रूरी है, और ज़्यादातर triangles की sides बराबर नहीं होतीं।
- "Rectangle regular है, क्योंकि उसकी आमने-सामने की sides बराबर हैं।" Regular के लिए सारी sides बराबर चाहिए, सिर्फ़ आमने-सामने की जोड़ियाँ नहीं। जो rectangle square नहीं है उसके angles बराबर होते हैं और sides असमान, इसलिए वह definition के दूसरे हिस्से में पास होते हुए भी पहले हिस्से में फ़ेल हो जाता है — दिखाने लायक़ उदाहरण, क्योंकि यह दोनों हिस्सों को अलग कर देता है।
- "बराबर sides और regular एक ही बात है।" नहीं है, और shortcut हमेशा सिर्फ़ sides का इस्तेमाल करता है। चार sides वाली किसी आकृति की चारों sides बराबर हो सकती हैं और उसके कोने square न हों; उसका perimeter फिर भी एक side का चार गुना है, और फिर भी वह वैसी नहीं है जिसे यह किताब regular कहती है। बताओ कि यह आकृति यहाँ जोड़ा गया उदाहरण है — यह chapter ऐसी कोई आकृति नहीं छापता।
- "दो उदाहरण आम नियम को साबित कर देते हैं।" किताब तीन sides और चार sides देती है और फिर रुक जाती है।
- "लंबा धागा बड़ी side देता है, आकृति चाहे जो हो।" सवाल 5 में एक धागा है और तीन जवाब; sides की गिनती बढ़ने के साथ side की लंबाई घटती है।
- "Hexagon का perimeter = 6 × side." सिर्फ़ तब, जब छहों sides बराबर हों। किताब का सवाल यह साफ़-साफ़ कहता है।
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पूरा transcript1,631 शब्द
एक त्रिभुज लीजिए। एक तरफ़ 5 सेंटीमीटर ऊपर, दूसरी तरफ़ 4, और नीचे 7 सेंटीमीटर। इसका परिमाप कितना है? हमेशा की तरह — किनारी पर चक्कर लगाइए और जोड़िए। 5 जोड़ 4 जोड़ 7 — 16 सेंटीमीटर। और देखिए क्या नहीं हुआ। कोई छोटा रास्ता नहीं, कोई सूत्र नहीं, न दोगुना, न गुणा। क्योंकि कुछ दोहराया ही नहीं — 3 भुजाएँ, 3 अलग संख्याएँ, तो जोड़ जोड़ ही रहता है।
और यही आम हालत है — ज़्यादातर त्रिभुज ऐसे ही होते हैं। जो छोटे रास्ते हम आगे बनाएँगे, वो अपवाद हैं — एक मेहरबानी, जो कुछ ख़ास आकृतियाँ ही करती हैं। तो त्रिभुज का नियम बस इतना है — परिमाप बराबर तीनों भुजाओं का जोड़। लगता है ये कुछ काम ही नहीं करता। पर इसे उल्टा चलाइए। एक त्रिभुज का परिमाप 55 सेंटीमीटर है, और उसकी 2 भुजाएँ 20 और 14 हैं।
तीसरी भुजा कितनी है? 20 जोड़ 14 है 34। और 55 में से 34 घटाइए — 21 सेंटीमीटर। जाँच कर लीजिए — 20 जोड़ 14 जोड़ 21, फिर से पूरे 55। आपने एक ऐसी लंबाई निकाल ली, जो दिख नहीं रही थी — कुल जोड़ और 2 हिस्सों से। नियम का काम यही है। सीधा चलाओ तो थोड़ा बचाता है, उल्टा चलाओ तो कुछ नया बताता है। अब एक ऐसा त्रिभुज, जिसकी 2 भुजाएँ बराबर हैं — 5 और 5 — और तीसरी 7।
मन करता है कि 3 गुणा 5 कर दें — 15। पर किनारी पर चलिए — 5 जोड़ 5 जोड़ 7 — 17 सेंटीमीटर। गलती कहाँ हुई? 3 गुणा 5 ने 7 वाली भुजा को भी 5 मान लिया, और पूरे 2 सेंटीमीटर गायब हो गए। 3 में से 2 बराबर होना काफ़ी नहीं। गुणा तभी चलेगा, जब सारी भुजाएँ बराबर हों — एक भी अलग हुई, तो वापस जोड़ना पड़ेगा।
अब एक त्रिभुज A B C, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हैं। इसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं — सम यानी बराबर, बाहु यानी भुजा। शुरुआत वहीं से, जहाँ से हमेशा करते हैं। परिमाप है A B जोड़ B C जोड़ C A। पर B C उतनी ही है जितनी A B, और C A भी। तो उन्हें बदल दीजिए — A B जोड़ A B जोड़ A B। एक ही संख्या 3 बार — और एक ही चीज़ 3 बार जोड़ो तो वो उसका 3 गुना है।
तो समबाहु त्रिभुज का परिमाप है एक भुजा का 3 गुना। भुजा 5 हो, तो परिमाप 15। ध्यान दीजिए, कोई नया तथ्य नहीं सीखा। बस एक दोहराव देखा, और उसे समेट लिया। और ये चाल आप पहले देख चुके हैं। वर्ग — भुजा जोड़ भुजा जोड़ भुजा जोड़ भुजा। चारों बराबर, तो एक ही संख्या 4 बार — भुजा का 4 गुना। भुजा 5 हो, तो 20। दोनों को साथ रखिए — एक ही वाक्य है, बस गिनती अलग।
3 बराबर भुजाएँ, तो 3 गुना। 4 बराबर भुजाएँ, तो 4 गुना। तो अब एक बहुत अच्छा सवाल। समबाहु त्रिभुज और वर्ग में ऐसा क्या साझा है? जवाब एक नाम है — दोनों regular polygon हैं। और यहाँ regular एक तकनीकी शब्द है, जिसके 2 हिस्से हैं। दोनों को ज़ोर से कहिए। Regular polygon की हर भुजा एक ही लंबाई की होती है। और हर angle एक ही माप का।
दोनों शर्तें, सिर्फ़ एक नहीं। समबाहु त्रिभुज में 3 बराबर भुजाएँ और 3 बराबर angle। regular पंचभुज में 5 बराबर भुजाएँ और 5 बराबर angle। और यहाँ regular का मतलब आम या रोज़ का नहीं है, जैसा बाक़ी हर जगह होता है। यहाँ ये एक जाँच है, जिसमें आकृति पास होती है या फ़ेल — और उसके 2 हिस्से हैं। दोनों हिस्से याद रखिए — क्योंकि थोड़ी देर में पता चलेगा कि छोटे रास्ते को उनमें से बस एक चाहिए।
इस परिवार को एक कतार में खड़ा कीजिए — त्रिभुज, वर्ग, 5 भुजाओं वाला पंचभुज, और 6 भुजाओं वाला षड्भुज। हर एक की सारी भुजाएँ बराबर, और सारे angle बराबर। सबकी भुजा 5 सेंटीमीटर रखिए, और हर एक के चारों ओर चलिए। त्रिभुज — 3 बार 5, यानी 15। फिर वर्ग — 4 भुजाएँ, हर एक 5, यानी 20। पंचभुज — 5 बार 5, यानी 25। षड्भुज — 6 बार 5, यानी 30।
और एक मज़ेदार बात — 6 सेंटीमीटर भुजा वाला पंचभुज भी 30 है, और 5 भुजा वाला षड्भुज भी 30। 5 गुणा 6, और 6 गुणा 5 — गिनती और लंबाई जगह बदल लें, तो भी परिमाप वही। अब जवाबों को देखिए — 15, 20, 25, 30। हर एक पिछले से 5 ज़्यादा। होना ही था — हर आकृति में एक भुजा ज़्यादा है, और हर भुजा 5 की है।
और देखिए हर जवाब बना कैसे। 3 बार 5, 4 बार 5, 5 बार 5, 6 बार 5। भुजाओं की गिनती, गुणा एक भुजा की लंबाई — हर बार यही। तो 7 भुजाओं वाली regular आकृति, जिसकी भुजा 5 सेंटीमीटर हो — उसका परिमाप 35। और इसके लिए आकृति देखनी भी नहीं पड़ी। और उल्टा भी — किसी regular षड्भुज का परिमाप 30 हो, तो हर भुजा 30 भाग 6, यानी 5।
पर यहाँ सावधान रहिए, और ईमानदारी से देखिए कि अभी हुआ क्या। हमने इसे 3 भुजाओं के लिए निकाला, 4 भुजाओं के लिए निकाला। 2 उदाहरण, जो आपस में मेल खाते हैं, एक पैटर्न हैं — सबूत नहीं। पैटर्न एक न्योता है। इसे ख़ुद जाँचिए — एक regular पंचभुज बनाइए, एक भुजा नापिए, 5 से गुणा कीजिए — फिर उसकी किनारी पर एक धागा बिछाकर नापिए, और मिलाइए। नियम इस जाँच में पास होगा।
फिर भी कीजिए — बना-बनाया जवाब मिल जाता, तो ये समझ छिन जाती। अब यही नियम दूसरे सिरे से। एक डोरी, 36 सेंटीमीटर लंबी। इससे वर्ग बनाइए। 4 बराबर भुजाएँ 36 को बाँटती हैं — 36 भाग 4, यानी हर भुजा 9 सेंटीमीटर। अब खोलकर बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज — 36 भाग 3, यानी 12। और षड्भुज — 36 भाग 6, यानी 6। डोरी वही, परिमाप वही — फिर भी भुजाएँ जितनी ज़्यादा, हर भुजा उतनी छोटी।
3, 4 और 6 इसलिए चुने, क्योंकि 36 उनसे पूरा बँट जाता है। पर पंचभुज भी चलेगा — 36 भाग 5, यानी 7 दशमलव 2 सेंटीमीटर। असली आकृति, बस भुजा पूरी संख्या नहीं। और 9 भुजाओं वाली regular आकृति? 36 भाग 9 — हर भुजा 4 सेंटीमीटर, और चारों ओर फिर वही 36। अब इस विषय का सबसे तीखा सवाल। छोटे रास्ते को बराबर भुजाएँ चाहिए। क्या उसे बराबर angle भी चाहिए?
ये लीजिए — 4 भुजाओं वाली एक आकृति, हर भुजा 2 सेंटीमीटर, पर एक तरफ़ धकेली हुई, तो कोने सीधे नहीं हैं। 2 कोने 60 के, और 2 कोने 120 के। ये regular polygon नहीं है — angle वाली शर्त में सीधा फ़ेल। पर इसके चारों ओर चलिए — 2 जोड़ 2 जोड़ 2 जोड़ 2, यानी 8 सेंटीमीटर। भुजा का 4 गुना, ठीक पहले जैसा। इसे जितना चाहे धकेलिए।
जब तक चारों भुजाएँ 2 की रहेंगी, परिमाप 8 ही रहेगा। angle हिसाब में कभी आए ही नहीं — परिमाप तो बस लंबाइयाँ जोड़ता है। और इसे सीधा खड़ा कर दें, तो ये 2 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग बन जाता है — अब regular, और परिमाप फिर भी 8। regular होने से परिमाप में कुछ नहीं बदला। और ये उल्टी तरफ़ से भी फ़ेल होता है, जिससे बात पक्की हो जाती है।
6 गुणा 2 का एक आयत। हर कोना सीधा है, तो बराबर angle वाली शर्त में पूरा पास। फिर भी छोटा रास्ता आज़माइए — 4 गुणा 6, यानी 24। असली परिमाप 16 है। और ध्यान दीजिए — आयत की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं, पर इससे वो regular नहीं बनता। regular के लिए सारी भुजाएँ बराबर चाहिए, सिर्फ़ जोड़े नहीं। एक और — 6 भुजाओं वाली आकृति, जिसकी भुजाएँ बारी-बारी से 4 और 6 हैं, और हर कोना 120 का।
कोने सब बराबर, फिर भी 6 गुणा 4 से 24 आता है, और 6 गुणा 6 से 36। असली परिमाप 30। तो दोनों को साथ रखिए। भुजाएँ बराबर, angle नहीं — छोटा रास्ता चलता है। angle बराबर, भुजाएँ नहीं — छोटा रास्ता फ़ेल। दोनों शर्तों में से काम सिर्फ़ एक कर रही है। regular होना छोटे रास्ते की गारंटी देता है — पर उससे ज़्यादा माँगता है, जितनी उसे ज़रूरत है।
इसे 3 घेरों में देखिए। सबसे बाहर का घेरा — हर बहुभुज, यानी सीधी भुजाओं वाली कोई भी बंद आकृति। यहाँ बस जोड़ना काम करता है। उसके अंदर का घेरा — जिनकी सारी भुजाएँ बराबर हैं। गिनती गुणा भुजा वाला छोटा रास्ता यहीं से शुरू होता है। और सबसे अंदर का घेरा — regular polygon, जिसकी भुजाएँ भी बराबर और angle भी। regular होना सबसे अंदर का घेरा है। अब इनमें आकृतियाँ रखिए।
5, 4, 7 वाला त्रिभुज, आयत, और 4 और 6 वाली आकृति — तीनों बाहर वाले घेरे में ही रह जाती हैं। धकेली हुई आकृति बीच वाले घेरे तक पहुँचती है। समबाहु त्रिभुज और वर्ग सबसे अंदर तक। और छोटे रास्ते को बस बीच वाला घेरा चाहिए। अंदर वाला घेरा उसकी गारंटी तो देता है, पर ज़रूरी नहीं। तो ये रहा नियम, और इसे आप ख़ुद लिखिए। जिस बहुभुज की सारी भुजाएँ बराबर हों, उसका परिमाप है — भुजाओं की गिनती, गुणा एक भुजा की लंबाई।
और हर बार इसे लिखते वक़्त शर्त भी ज़ोर से कहिए — सारी भुजाएँ बराबर। regular नहीं, बराबर भुजाओं वाला। काम का हिस्सा यही है। इसलिए षड्भुज का परिमाप 6 गुणा भुजा तभी है, जब उसकी छहों भुजाएँ बराबर हों — जैसा अभी 4 और 6 वाली आकृति में देखा। अब अपने आस-पास regular आकार की चीज़ें ढूँढिए — फ़र्श की टाइल, बोल्ट का नट, सड़क का कोई चिह्न, या फ़ुटपाथ का पत्थर।
एक भुजा नापिए, भुजाएँ गिनिए, गुणा कीजिए। फिर किनारी पर फ़ीता घुमाइए, और देखिए कि आप सही थे या नहीं। परिमाप का पूरा सार यही है — किनारी पर चलिए, जोड़िए, और छोटा रास्ता तभी लीजिए, जब आकृति ने उसे कमाया हो। अगली बार हम किनारी को पीछे छोड़ देंगे, और अंदर के बारे में पूछेंगे।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
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इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Area as a count of unit squaresकक्षा 6 · Ch 6, Perimeter and Area