वे sequences जो भेस बदले हुए एक ही sequence निकलती हैं

0:00यहाँ 6 सवाल हैं, और हर सवाल numbers की एक row को किसी दूसरी row से जोड़ता है। पहली नज़र में लग सकता है कि ये 6 अलग-अलग tricks हैं, जिन्हें बस रट लेना है। पर ऐसा नहीं है। इनमें से 4 सवाल बिल्कुल एक ही काम करते हैं — all ones, counting numbers, powers of 2 और hexagonal numbers का running total। बाकी 2 सवालों में काम अलग है — पड़ोसी triangular numbers के जोड़े, और triangular numbers का 6 गुना जमा 1।

0:29पर उनकी भी तस्वीर बन सकती है। आज हम हर संबंध की तस्वीर बनाएँगे, क्योंकि जिस संबंध की तस्वीर न बने, वो बस एक इत्तफ़ाक़ है जो संयोग से दिख गया। पहला काम है running total, जिसका मतलब है कि किसी sequence को जोड़ते चलो, और हर कदम पर अब तक का जोड़ लिखते जाओ। यहाँ देखो, मान लो sequence है 2, 5, 1 और 3। पहला total 2 है।

0:58उसमें 5 जोड़ो, तो 7 होता है। फिर 1 जोड़ो, तो 8, और फिर 3 जोड़ो, तो 11। यानी 2, 5, 1, 3 से एक नई sequence बनी — 2, 7, 8, 11। ऊपर पुरानी row है, और नीचे उससे बनी नई row। पुरानी row से नई row बनाने का यह एक तरीका है। अब सोचो, अगर जानी-पहचानी rows पर यही काम करें, तो कौन-सी rows मिलेंगी? सबसे आसान row से शुरू करते हैं, यानी all ones।

1:33इसका running total क्या होगा? यहाँ पहला total 1 है, फिर 1 और 1 मिल कर 2, फिर 3, फिर 4, और फिर 5। all ones का running total counting numbers हैं। शायद तुम्हें लगे कि यह बहुत आसान है, पर यहीं से पूरा तरीका दिखता है। इसकी तस्वीर में हर 1 एक dot है, और हर total में line पर 1 dot और जुड़ता है, इसलिए line हर बार 1 लंबी होती है।

2:02और यह तस्वीर बताती है कि ऐसा हर बार होगा, सिर्फ़ पहले 5 बार नहीं। अब counting numbers का running total लो। पहले 1, फिर 1 में 2 जोड़ो तो 3, फिर 3 जोड़ो तो 6, फिर 4 जोड़ो तो 10, और 5 जोड़ो तो 15। ये कौन-से numbers हैं? ये triangular numbers हैं। यहाँ देखो, हर counting number dots की एक row है — 1 dot की row, उसके नीचे 2 की, फिर 3 की, 4 की और 5 की।

2:33rows को एक के नीचे एक रखते जाओ, तो triangle बनता जाता है। तो तस्वीर में running total का मतलब है, पिछली तस्वीर के नीचे एक row और रख देना। जैसे, 6 dots वाले triangle के नीचे 4 dots की row रखो, तो 10 dots का triangle बन जाता है। odd numbers का running total तुम पहले देख चुके हो — 1, 4, 9, 16 और 25, यानी squares। वहाँ हर odd number एक मुड़ी हुई पट्टी था, और पट्टियाँ एक के बाद एक लपेट कर square बनाती थीं।

3:08ध्यान दो कि काम वही है, बस टुकड़े अलग हैं। triangle में rows एक के नीचे एक रखी जाती हैं, और square में पट्टियाँ कोने के चारों ओर लपेटी जाती हैं। अब एक अलग काम करते हैं — पड़ोसी triangular numbers को जोड़ो। 1 और 3 से 4 बनता है, 3 और 6 से 9, 6 और 10 से 16, और 10 और 15 से 25। फिर से squares आ गए, पर ऐसा क्यों होता है?

3:38अब यहाँ तस्वीर देखो — 10 dots वाला triangle लो, और 6 dots वाले triangle को घुमा कर उसके ऊपर रखो। ये 2 triangles मिल कर 4 की 4 rows वाला square बना देते हैं — कोई dot नहीं बचता, और कोई dot दोबारा नहीं गिना जाता। बड़े triangle की rows में 4, 3, 2 और 1 dots हैं, और घुमाए हुए की rows में 0, 1, 2 और 3 — इसलिए हर row में मिला कर ठीक 4 dots आते हैं।

4:07और यह किसी भी size पर होता है — 15 dots वाला triangle और 10 dots वाला, घुमा कर, 5 की 5 rows वाला square भर देते हैं, यानी 25। शायद तुम सोच रहे हो कि कोई भी 2 triangular numbers जोड़ो, तो square आएगा। पर यहाँ पड़ोसी triangular numbers ही चाहिए। 1 और 6 जोड़ो, तो 7 आता है, और 7 square नहीं है। अब powers of 2 का running total लो।

4:35पहले 1, फिर 1 और 2 मिल कर 3, फिर 4 जोड़ो तो 7, फिर 8 जोड़ो तो 15, और 16 जोड़ो तो 31। शायद तुम सोच रहे हो कि powers of 2 जोड़ने पर powers of 2 ही मिलेंगे। पर 3, 7, 15 और 31 में से कोई भी power of 2 नहीं है। अब हर total में 1 जोड़ो — 2, 4, 8, 16 और 32। अब powers of 2 आ गए।

5:05यानी हर total, अगली power of 2 से ठीक 1 कम है। तो बिना जोड़े बताओ — 1 से 64 तक की powers of 2 का total क्या होगा? अगली power 128 है, तो total उससे 1 कम, यानी 127। इसकी वजह एक छोटी सी तस्वीर है। यहाँ 1, 2, 4, 8 और 16 dots के blocks रखो, और साथ में एक अकेला extra dot। extra dot पहले block से मिलता है, तो 2 बनते हैं।

5:35ये 2, अगले 2 वाले block से मिल कर 4 बनाते हैं, फिर 4 और 4 से 8, 8 और 8 से 16, और 16 और 16 से 32। हर कदम पर जो हमारे पास है, वो अगले block के ठीक बराबर होता है, इसलिए हर बार दुगुना हो जाता है। तो total में 1 जोड़ना कोई सजावट नहीं है — वही 1 पूरी बात है। अब एक और अलग काम — हर triangular number को 6 से गुणा करो, और 1 जोड़ो।

6:041 का 6 गुना 6 है, और 1 जोड़ो तो 7। 3 का 6 गुना 18 है, और 1 जोड़ो तो 19। इसी तरह आगे 37, 61 और 91 आते हैं। ये hexagonal numbers हैं, वही जो पिछली बार dots के घेरों से बने थे। यहाँ 37 dots का hexagon देखो। बीच में 1 dot है, और उसके आस-पास 6 triangles हैं, और हर triangle में 6 dots हैं। 6 का 6 गुना 36, और बीच का 1 जोड़ो, तो 37।

6:37हर hexagon इसी तरह कटता है — बीच का 1 dot, और 6 बराबर triangles। 61 dots वाले hexagon में हर triangle 10 dots का है, और 10 का 6 गुना 60, जमा 1, यानी 61। पर ध्यान दो कि पहला hexagonal number 1 है — बस बीच का अकेला dot, और उसके आस-पास कोई triangle नहीं। इसलिए यह काम hexagonal numbers को दूसरे number से, यानी 7 से देता है।

7:05जो इन lists को जल्दी में मिलाते हैं, वे अक्सर 1 जगह पीछे रह जाते हैं। अब hexagonal numbers का running total लो — क्या मिलेगा? यहाँ पहले 1, फिर 1 और 7 मिल कर 8, फिर 19 जोड़ो तो 27, और 37 जोड़ो तो 64। 1, 8, 27 और 64 — ये cubes हैं। पहली नज़र में लग सकता है कि इनका कोई संबंध नहीं, क्योंकि hexagon तो सपाट है, और cube में ऊँचाई है।

7:35इनका आपस में क्या संबंध हो सकता है? एक cube लो जो छोटे cubes से बना है, और जिसकी हर edge पर 4 छोटे cubes हैं। अब उसे उसके एक कोने की तरफ़ से देखो। देखो, सामने 1 कोने वाला cube दिखता है। उस कोने से 3 edges निकलती हैं, और हर edge पर 3 cubes हैं। और उनके बीच 3 faces हैं, हर face पर 3 की 3 rows, यानी 9 cubes।

8:03कुल मिला कर 1, 9 और 27, यानी 37। और 37 एक hexagonal number है। अब यह परत हटाओ, तो 3 की लंबाई वाला cube बचता है। उसकी सामने वाली परत में 1, 6 और 12 cubes हैं, यानी 19। उसे भी हटाओ, तो अगली परत 7 की है, और आख़िर में बस 1 cube बचता है। यानी 64 का cube, 37, 19, 7 और 1 की परतों से बना है।

8:35यही तो hexagonal numbers का running total है। और यह size पर निर्भर नहीं करता — 5 की लंबाई वाले cube की सामने वाली परत में 1, 12 और 48 cubes हैं, यानी 61, जो अगला hexagonal number है। अगर इस परत को सीधे कोने के सामने से देखो, तो यह एक सपाट hexagon जैसी दिखती है। cube में बीच में कोना है, उससे निकलती 3 edges हैं, और उनके बीच 3 faces हैं।

9:04hexagon में भी बीच का 1 dot है, 3 बाहें हैं जिनमें हर एक में 3 dots हैं, और बाहों के बीच 3 हिस्से हैं, हर हिस्से में 9 dots। 1, 9 और 27 — cube की परत और hexagon, हिस्सा-दर-हिस्सा एक ही गिनती हैं। इसलिए cube की हर परत एक hexagonal number है। अब सारे arrows को एक जगह रखो। table की 10 rows हैं, और एक row ऐसी है जो table में नहीं है — hexagonal numbers।

9:35arrows ये हैं — all ones से counting numbers, counting numbers से triangular numbers, odd numbers से squares, और triangular numbers से squares, पड़ोसी जोड़ों के ज़रिए। फिर powers of 2 से वापस powers of 2, बस 1 जोड़ कर। triangular numbers से hexagonal numbers, और hexagonal numbers से cubes। यहाँ कुल 7 arrows बनते हैं। देखो, squares तक 2 अलग रास्ते पहुँचते हैं। और table के बाहर वाली hexagonal row के बिना, cubes तक पहुँचने वाला रास्ता ही नहीं बनता।

10:10कुछ rows पर अभी कोई arrow नहीं है — even numbers, पिछली 2 का जोड़, और powers of 3। शायद तुम्हें लगता था कि यह table अलग-अलग अनजान rows की list है। पर ऐसा नहीं है। यह लगभग एक जाल है, जिसमें rows एक-दूसरे से जुड़ी हुई हैं। शायद तुम सोच रहे हो कि सही row बता देना काफ़ी है। पर किसी संबंध का जवाब आधा ही है, अगर तुम बस यह बताओ कि आख़िर में कौन-सी row मिली।

10:39पूरा जवाब है — row भी, और उसकी तस्वीर भी। जैसे, यह कहना कि counting numbers जोड़ने पर triangular numbers आते हैं, आधा जवाब है। पूरा जवाब यह है कि हर counting number एक row है, और rows को एक के नीचे एक रखते जाने पर triangle बनता है। जिस arrow की तस्वीर बन जाए, वो इत्तफ़ाक़ नहीं रहता, क्योंकि तब तुम देख सकते हो कि तस्वीरें आपस में कैसे बैठती हैं।

11:06अब यहाँ से तुम्हारी बारी है। table में से ऐसा कोई संबंध ढूँढो जो यहाँ नहीं आया, और उसकी तस्वीर बना कर बताओ कि ऐसा क्यों होता है। शुरुआत के लिए, even numbers का running total लो — 2, 6, 12 और 20। ये कौन-से numbers हैं, और इनकी तस्वीर कैसी होगी? इस पर सोचो, क्योंकि इसकी भी एक साफ़ तस्वीर है, और अपना जवाब comments में बताओ।