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Chapter 1 · Patterns in Mathematics

आकृतियों की sequence के हिस्से गिनने से एक number sequence बनती है

Shape sequences12 मिनट

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एक आकृति में कई चीज़ें गिनी जा सकती हैं — sides, कोने, lines, छोटे squares, छोटे triangles, सीधे टुकड़े। जो भी गिनो, shapes की sequence numbers की sequence बन जाती है।

मुख्य idea

आकृतियों की sequence अपने साथ कोई number sequence लेकर नहीं आती — वह तुम्हें गिनने के लिए कुछ चुनने से मिलती है, और यह चुनाव तुम्हारा है। दो चुनाव एक ही जवाब पर आकर मिल सकते हैं, जैसे भुजाएँ और कोने; दो अलग sequences बिल्कुल अलग कारणों से Table 1 की एक ही row पर पहुँच सकती हैं, जैसे stacked squares और stacked triangles। तो number कभी व्याख्या नहीं होता। व्याख्या हमेशा इस बात में होती है कि आकृति बनी कैसे।

आपको क्या आना चाहिए

  • आकृतियों की sequence की कोई गिनने लायक़ विशेषता चुनना और उससे बनने वाली number sequence निकालना
  • regular polygons की भुजाएँ गिनना और पहचानना कि ये गिनतियाँ Table 1 की किस row की हैं
  • समझाना कि भुजाओं के बजाय कोने गिनने से कुछ क्यों नहीं बदलता
  • हर complete graph की lines गिनना और बनावट से triangular numbers को सही ठहराना
  • किसी stacked square के छोटे squares गिनना और कारण देना
  • किसी stacked triangle के छोटे triangles गिनना, उलटे वालों समेत, और कारण देना
  • बताना कि दोनों stacks एक ही number sequence देते हैं, और दोनों अलग कारण देना
  • Koch के segment वाली गिनतियाँ निकालना और उन्हें 4 से बार-बार गुणा के रूप में बताना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
sideकिसी बंद आकृति का एक सीधा किनाराभुजा§1.6, p.11 पर छपा
cornerवह point जहाँ किसी आकृति की दो भुजाएँ मिलती हैंकोना§1.6, p.11 पर छपा
verticesउन्हीं कोनों का दूसरा नामशीर्षइस chapter के साथ जुड़े solutions appendix में छपा, वह पन्ना जिसके नीचे [5] लिखा है
closed figureऐसी आकृति जिसकी सीमा वहीं लौट आती है जहाँ से शुरू हुई थीबंद आकृतिइस chapter के साथ जुड़े solutions appendix में छपा, वह पन्ना जिसके नीचे [5] लिखा है
regularसारी भुजाएँ एक लंबाई की, सारे कोने एक जैसेसम§1.6, p.11 पर छपा
complete graphdots, जिनकी हर जोड़ी के बीच एक line खींची गई होपूर्ण ग्राफ़Table 3 के label के रूप में छपा, p.10
stacked squaresछोटे squares में बँटा एक square blockस्तरित वर्गTable 3 के label के रूप में छपा, p.10
stacked trianglesछोटे triangles में बँटा एक triangleस्तरित त्रिभुजTable 3 के label के रूप में छपा, p.10
triangular numbers1, 3, 6, 10, 15, …त्रिभुजाकार संख्याएँTable 1, p.3 में छपा
square numbers1, 4, 9, 16, 25, …वर्ग संख्याएँ§1.3 के Figure it Out, p.5 में छपा
powers of 44 से बार-बार गुणा — किताब इस row का नाम लेती है पर इसकी values नहीं गिनाती4 की घातें§1.6, p.12 पर छपा
Koch snowflakeआकृतियों की वह sequence जो हर सीधे टुकड़े की जगह एक उभार रखकर बनती हैकोख हिमकणTable 3 के label के रूप में छपा, p.10

Hindi column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को इस chapter की हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर आकृति sequence की एक number sequence होती है।" उसकी उतनी होती हैं जितनी चीज़ें गिनने लायक़ हैं। सिर्फ़ regular polygons पर ही तुम भुजाएँ, कोने, या diagonals गिन सकते हो, और सिर्फ़ पहली दो आपस में मेल खाती हैं।
  • "भुजाएँ कोनों के बराबर हैं क्योंकि दोनों संयोग से 3, 4, 5, 6 हैं।" यह numbers का इत्तफ़ाक़ नहीं है। किसी भी बंद आकृति के चारों ओर चलो, तो हर भुजा एक कोने पर ख़त्म होती है और हर कोने से एक भुजा शुरू होती है, इसलिए उनकी जोड़ियाँ बन जाती हैं। यह दलील उन आकृतियों पर भी चलती है जो Table 3 में हैं ही नहीं।
  • "K6 में 6 lines हैं।" उसमें 15 हैं। गिनती dots की जोड़ियों पर होती है, dots पर नहीं, और p.10 का चित्र सभी पंद्रह दिखाता है।
  • "4 rows वाले stacked triangle में 1 + 2 + 3 + 4 छोटे triangles हैं।" यह सिर्फ़ सीधे वालों को गिनता है और 10 देता है। उलटे वालों को भी गिनने पर 1 + 3 + 5 + 7 = 16 मिलता है। §1.6 में यही सबसे आम अकेली ग़लती है, और किताब का छपा संकेत इसी की वजह से है।
  • "दोनों stacks एक ही sequence देते हैं, इसलिए असल में वे एक ही सवाल हैं।" नहीं हैं। दो अलग बनावटें एक ही numbers पर मिल सकती हैं; उनका मिलना दिलचस्प ठीक इसीलिए है कि कारण आपस में असंबंधित हैं।
  • "तुम्हें मिलने वाली हर sequence Table 1 में होनी चाहिए।" Koch की गिनतियाँ उसमें नहीं हैं, और §1.6 पन्ने पर यही कहता है। Table 1 एक नमूना थी, कभी पूरी सूची नहीं।
  • "Koch की गिनती दोगुनी होती है।" हर दौर में उसे 4 से गुणा किया जाता है, क्योंकि एक सीधा टुकड़ा चार बन जाता है।

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पूरा transcript1,672 शब्द

पिछली बार हमने 5 shape sequences देखे थे — regular polygons, complete graphs, stacked squares, stacked triangles और snowflake। इनमें कहीं कोई number नहीं है, बस आकृतियाँ और उन्हें बनाने के नियम। तो numbers कहाँ से आते हैं? numbers तुम्हारे एक फ़ैसले से आते हैं। आकृति में कोई ऐसी चीज़ चुनो जिसे गिना जा सके, और जैसे ही तुम गिनते हो, एक number sequence सामने आ जाती है। गिनने के लिए बहुत कुछ है।

polygons में sides और कोने, complete graphs में lines, stacks में छोटे squares और छोटे triangles, और snowflake में सीधे टुकड़े। हर चुनाव से एक अलग number sequence बनती है। यानी एक shape sequence के पास एक नहीं, कई number sequences हैं — उतनी, जितनी चीज़ें गिनने लायक हैं। और आज हम देखेंगे कि 2 अलग sequences बिल्कुल एक ही numbers पर पहुँचते हैं, पर बिल्कुल अलग वजहों से। शुरुआत polygons से करते हैं, और सबसे सीधी चीज़ गिनते हैं — sides।

triangle में 1, 2, 3, यानी 3 sides। square में 4। pentagon में 5, hexagon में 6, heptagon में 7 और octagon में 8। nonagon में 9, और decagon में 10। 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — यह हमारी table की एक row है, यानी counting numbers, बस 1 की जगह 3 से शुरू। 3 से ही क्यों? क्योंकि 2 सीधी sides से कोई बंद आकृति बनती ही नहीं — वो बस एक-दूसरे पर पड़ी रहती हैं, और अंदर कोई जगह नहीं घिरती।

polygons 3 sides से ही शुरू होते हैं। और ध्यान दो, हर नाम अपनी गिनती साथ लेकर चलता है। pentagon सुनते ही 5, hexagon सुनते ही 6, octagon सुनते ही 8। नाम याद रखने का सबसे अच्छा तरीका है, उसे उसकी गिनती से जोड़ना। regular के 2 हिस्से हैं। सारी sides एक ही लंबाई की हों, और सारे कोने एक जैसे हों। sides वाला हिस्सा तुम ruler से जाँच सकते हो।

पर कोनों वाला हिस्सा जाँचने के लिए, कोनों को नापने का तरीका चाहिए, और वो, यानी angles, हम आगे सीखेंगे। तो regular का आधा मतलब अभी हमारे पास है, और बाकी आधा एक वादा है, जो आगे पूरा होगा। यह साफ़ कह देना बेहतर है, बजाय यह दिखाने के कि शब्द पूरा समझ में आ चुका है। अब उन्हीं आकृतियों पर कोई और चीज़ गिनो — कोने। triangle में 1, 2, 3 कोने।

square में 4 कोने। pentagon में 5, hexagon में 6, और ऐसे ही आगे 7, 8, 9 और 10। 3 से 10 तक, बिल्कुल वही numbers। हमने गिनने की चीज़ बदली, पर जवाब ज़रा भी नहीं हिला। अब एक तीसरी चीज़ गिनो — diagonals, यानी वो lines जो ऐसे 2 कोनों को जोड़ती हैं, जो पड़ोसी नहीं हैं। triangle में 0 diagonals, square में 2, pentagon में 5, और hexagon में 9।

फिर 14, 20, 27 और 35। देखो, pentagon में diagonals भी 5 और sides भी 5। पर यह बस एक इत्तफ़ाक़ है — 8 में से सिर्फ़ pentagon में ऐसा होता है। बाकी किसी polygon में diagonals और sides बराबर नहीं हैं। तो एक ही shape sequence से, गिनने की चीज़ बदलने पर, अलग number sequence निकलती है। sides और कोने हर बार बराबर क्यों हैं, जबकि diagonals सिर्फ़ एक बार?

कोई भी बंद आकृति लो, जो सीधी sides से बनी हो। उसका regular होना ज़रूरी नहीं, और हमारी table में होना भी ज़रूरी नहीं। अब इस आकृति के किनारे पर चलो। एक कोने से शुरू करो, एक side पर चलो, और तुम एक कोने पर पहुँचते हो। अगली side पर चलो, और अगले कोने पर। हर side जिस पर तुम चले, ठीक एक कोने पर खत्म होती है। और हर कोना जिस पर तुम पहुँचे, ठीक एक side का अंत है।

इसलिए sides और कोने जोड़ियों में बँट जाते हैं, और किसी तरफ़ कुछ नहीं बचता। ध्यान दो, इस तर्क में 3, 4 या 10 कहीं नहीं आया। यह हर बंद आकृति पर चलता है, टेढ़ी-मेढ़ी पर भी। 200 बेढंगी आकृतियों पर जाँचा, और हर एक में sides और कोने बराबर निकले। यही फ़र्क है वजह और इत्तफ़ाक़ में। अगली row, complete graphs, और इस बार हम lines गिनेंगे। K2 में 2 dots और 1 line।

K3 में हर जोड़ी जुड़ी है, यानी 3 lines। K4 में square की 4 sides और 2 diagonals, यानी 6 lines। K5 में ध्यान से गिनो, 10 lines। और K6 में 15। इतनी lines गिनते हुए कोई line दोबारा न गिन जाए, इसके लिए dot-दर-dot चलो, और हर dot से सिर्फ़ आगे वाले dots तक की lines गिनो। पहले dot से 5, अगले से 4, फिर 3, फिर 2, और फिर 1।

5, 4, 3, 2 और 1 मिल कर 15। कई लोग सोचते हैं कि K6 में 6 lines होंगी। पर lines dots की नहीं, dots की जोड़ियों की गिनती हैं, इसलिए K6 में 15 lines हैं। 1, 3, 6, 10 और 15 — ये पुराने दोस्त हैं, यानी triangular numbers। पर dots जोड़ने से triangular numbers क्यों निकलते हैं? K5 में 10 lines हैं। अब एक नया dot रखो। उसे पहले से रखे हर dot से जुड़ना है, और ऐसे 5 dots हैं, यानी 5 नई lines।

10 और 5 मिल कर 15, और यह K6 है। यही तर्क पीछे की ओर चलाओ। K4 से K5 में 4 नई lines आईं, K3 से K4 में 3, और K2 से K3 में 2। यानी हर बार की छलांग 2, फिर 3, फिर 4, फिर 5। हर छलांग पिछली से 1 बड़ी है, और triangular numbers ठीक ऐसे ही बढ़ते हैं — हर बार triangle के नीचे 1 लंबी row।

नया dot जोड़ना, lines की 1 लंबी row जोड़ने जैसा है। इसलिए K7 को बनाए बिना बता सकते हैं। नया dot पहले के 6 dots से जुड़ेगा, यानी 15 और 6, कुल 21 lines। अब stacked squares, और हम छोटे squares गिनते हैं। 1, फिर 4, फिर 9, फिर 16, और फिर 25। ये squares हैं, और वजह तस्वीर में ही है। चौथा block 4 rows का है, और हर row में 4 छोटे squares।

4 की 4 rows, यानी 16। हर block इसी तरह बना है — जितनी rows, हर row में उतने ही squares। यह बराबर rows वाला तर्क है। इसे याद रखना, क्योंकि अब यही numbers एक बिल्कुल अलग रास्ते से आने वाले हैं। अब stacked triangles, और हम छोटे triangles गिनते हैं — नीचे की ओर नुकीले भी। 1, 4, 9, 16 और 25। फिर से squares। सबसे आम गलती है सिर्फ़ ऊपर वाले गिनना।

4 rows में वो 1, 2, 3 और 4 हैं, कुल 10। पर सही जवाब 16 है। 4 rows वाले stack को row-दर-row देखो। सबसे ऊपर 1 triangle। अगली row में 3 — 2 ऊपर वाले, 1 नीचे वाला। उसके बाद 5 — 3 ऊपर, 2 नीचे। और आख़िरी row में 7 — 4 ऊपर, 3 नीचे। हर row odd क्यों है? क्योंकि नीचे वाले triangles, ऊपर वालों के बीच की खाली जगहों में बैठते हैं।

जितने ऊपर वाले, उनके बीच की जगहें उनसे 1 कम। इसलिए हर row में ऊपर वाले और उनसे 1 कम नीचे वाले — यानी हमेशा एक odd number। 1, 3, 5, 7 — ये odd numbers हैं। और इन्हें जोड़ते चलो — 1 और 3 मिल कर 4, फिर 5 जोड़ो तो 9, फिर 7 जोड़ो तो 16। odd numbers का running total squares होता है, यह हम पहले एक अलग तस्वीर से देख चुके हैं।

दोनों stacks को साथ रखो। stacked squares से 1, 4, 9, 16, 25। stacked triangles से भी 1, 4, 9, 16, 25। हर एक value बिल्कुल वही, 30 rows तक जाँचो तो भी। पर वजहें आपस में बिल्कुल नहीं मिलतीं। squares वाले block की rows 4, 4, 4, 4 हैं — बराबर rows। triangles वाले stack की rows 1, 3, 5, 7 हैं — odd numbers, जिनका running total squares है।

एक value को दोनों रास्तों से देखो। 5 rows वाले block में 5 की 5 rows, यानी 25। 5 rows वाले stack में rows 1, 3, 5, 7 और 9 हैं, और ये जुड़ कर भी 25 होते हैं। जवाब एक, पर गिनती का ढाँचा बिल्कुल अलग। मंज़िल एक, रास्ते अलग। अगर कोई तुम्हें सिर्फ़ 1, 4, 9, 16 दे और पूछे क्यों, तो तुम जवाब नहीं दे सकते। numbers को अपनी वजह नहीं पता — वजह उस आकृति में है, जिससे वो निकले।

यानी गिनती कभी वजह नहीं होती। वजह हमेशा इसमें होती है कि आकृति बनाई कैसे गई — sides और कोने चलने से जुड़ते हैं, lines नए dot से, squares बराबर rows से, और triangles odd rows से। आख़िरी row, snowflake, और हम सीधे टुकड़े गिनते हैं। पहली आकृति triangle है, यानी 3 टुकड़े। हर टुकड़ा 4 बन जाता है, तो 3 से 12। 12 से 48, 48 से 192, और 192 से 768।

और snowflake के कोने गिनो, तो भी 3, 12, 48, 192, 768 ही आते हैं। क्योंकि snowflake भी एक बंद आकृति है, और किनारे पर चलने वाला तर्क यहाँ भी लागू होता है — हर सीधा टुकड़ा ठीक एक कोने पर खत्म होता है। यहाँ गलती से कहा जा सकता है कि यह दोगुना होता है। पर ऐसा नहीं है। हर round में 4 गुना होता है, क्योंकि एक टुकड़ा 4 टुकड़े बनता है।

यानी 3 गुना 1, फिर 3 गुना 4, फिर 3 गुना 16, और ऐसे ही। और हमारी table की 10 rows में ऐसी कोई row नहीं, जो हर बार 4 से गुणा हो। उसमें powers of 2 और powers of 3 थीं, पर यह नहीं। यानी वो table बस कुछ उदाहरण थी, पूरी सूची नहीं। तुम कल कोई shape sequence बनाओ, और वो ऐसे numbers पर पहुँचे जो किसी table में नहीं, तब भी वो पूरी गणित है।

अब तुम्हारी बारी। stacked triangles में सिर्फ़ नीचे की ओर नुकीले triangles गिनो। 1 row में 0, 2 rows में 1, 3 rows में 3, और 4 rows में 6। जवाब numbers से नहीं, stack की बनावट से समझाना। यह कौन-सी sequence है, और क्यों? और एक 6 rows वाला stack लो। उसके छोटे triangles एक-एक करके मत गिनो, rows से गिनो — हर row में कितने होंगे, और कुल कितने?

अपने जवाब comments में लिखो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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