PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 1, Patterns in MathematicsPrepShorts

Chapter 1 · Patterns in Mathematics

sequence का चित्र बनाने से उसका नियम दिखने लगता है

Number sequences10 मिनट

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10 dots से triangle बनेगा? और 11 dots से? triangular numbers का नाम असल में एक दावा है — और दावे को बना कर परखा जा सकता है। 10 dots से 1, 2, 3 और 4 की rows बनती हैं और कुछ नहीं बचता; 11 से 1 dot बच जाता है।

मुख्य idea

Table 1 के नाम सजावट नहीं हैं — "triangular", "square" और "cube" ऐसे दावे हैं कि उतने dots के ढेर को उस आकृति में सजाया जा सकता है, और §1.3 हर दावे को एक चित्र में बदलकर पूरा करता है। चित्र बन जाने के बाद तीन चीज़ें मुफ़्त मिलती हैं जो अंकों की row ने कभी नहीं दीं: अगली value, उसके अगली value होने का कारण, और यह खोज कि एक ही number दो अलग इमारतें हो सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • Table 1 की पहली सात rows में से हर एक को Table 2 में उसके चित्र से मिलाना
  • उन सात में से किसी में भी अगला चित्र बनाना, और उससे अगली value पढ़ना
  • चित्र से समझाना कि triangular numbers, squares और cubes के ये नाम क्यों हैं
  • दिखाना कि 36 को dots के triangle की तरह भी बनाया जा सकता है और dots के square की तरह भी, और बताना कि इसका उस number के बारे में क्या मतलब है
  • किताब hexagonal numbers का नाम तो लेती है पर उन्हें Table 1 में नहीं गिनाती — इसलिए उन्हें चित्र से पढ़ना और sequence को आगे बढ़ाना
  • बताना कि Table 1 की कौन-सी rows के चित्र Table 2 में नहीं बने, और उनमें से एक को आगे कहाँ उठाया जाता है
  • powers of 2 के लिए किताब जो दोगुना करने वाला चित्र देती है उसका वर्णन करना, और बताना कि पाँचवीं figure पर उसे आम जगह क्यों कम पड़ जाती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
visualisingकिसी गणितीय चीज़ को ऐसी चीज़ में बदलना जिसे देखा जा सकेदृश्यीकरण§1.3 के शीर्षक, p.3 में छपा
pictorial representationवह चित्र जो किसी number या sequence की जगह खड़ा होता हैचित्रीय निरूपणTable 2 के शीर्षक के रूप में छपा, p.4
dotsवह इकाई जिसमें किताब इन चित्रों में गिनती करती हैबिंदु§1.3 के Figure it Out, p.5 में छपा
triangular numbersdots की वे गिनतियाँ जो triangle में सज जाती हैंत्रिभुजाकार संख्याएँTable 1, p.3 में छपा, और Table 2, p.4 में चित्र बना
square numbersdots की वे गिनतियाँ जो square में सज जाती हैं; किताब "squares" को दूसरे नाम की तरह देती हैवर्ग संख्याएँ§1.3 के Figure it Out, p.5 में छपा
cubesunit cubes की वे गिनतियाँ जो जमकर एक cube बन जाती हैंघन संख्याएँTable 1, p.3 में छपा, और Table 2, p.4 में चित्र बना
hexagonal numbers1, 7, 19, 37, … — किताब की षट्भुजाकार जमावट में dots की गिनतियाँषट्भुजाकार संख्याएँ§1.3 के Figure it Out, p.5 में छपा
powers of 21, 2, 4, 8, … — बार-बार दोगुना करना2 की घातेंTable 1, p.3 में छपा
dimensionकिसी आकृति को कितनी स्वतंत्र दिशाओं की ज़रूरत हैविमा§1.5, p.9 में छपा — इसी chapter में आगे नाम आता है
figurate numbersdots की जमावट से परिभाषित numbers का आम नामआकृति संख्याएँयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को इस chapter की हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "चित्र पन्ने को सुंदर दिखाने के लिए है।" Table 2 में चित्र ही नाम का मतलब है। चित्र हटा दो, तो "triangular number" एक बिना समझाया हुआ label रह जाता है।
  • "odd numbers को बीच में ख़ाली जगह वाली एक row की तरह बनाया जाता है।" Table 2 में किताब उन्हें एक के अंतर वाली दो rows की तरह बनाती है, और यहाँ उसी जमावट की नक़ल करनी है। लेकिन यह वह चित्र नहीं जिससे §1.4 आगे दलील देता है: वहाँ हर odd number को नए सिरे से एक square के कोने के चारों ओर लिपटी मुड़ी हुई पट्टी की तरह बनाया गया है। गिनतियाँ वही, जमावट अलग।
  • "36 का triangular और square होना एक पंक्ति लायक़ इत्तफ़ाक़ है।" यह किताब का उदाहरण है कि कोई number एक ही चीज़ नहीं होता — और दोनों जमावटें बनाना एक असली exercise है, सिर्फ़ टिप्पणी नहीं।
  • "Hexagonal numbers Table 1 में हैं।" नहीं हैं। वे सिर्फ़ p.5 पर एक चित्र की तरह आते हैं, और यही बात है: चित्र पहले आया और नाम बाद में।
  • "powers of 2 का चित्र बन ही नहीं सकता, इसलिए §1.3 उन्हें छोड़ देता है।" §1.3 अपने Figure it Out में उनका चित्र माँगता है और फिर ठीक अगले पन्ने पर एक जवाब दे देता है।
  • "पाँचवीं powers-of-2 figure बस दो cubes है।" बनी तो दो cubes की तरह है — लेकिन जोड़ने वाली lines उसे सोलह कोनों वाली एक ही चीज़ बना देती हैं, और यह वही दोगुना करने वाला क़दम है, एक बार और।
  • "Cubes भेस बदले हुए square numbers हैं।" Table 2 उन्हें ठोस चीज़ों की तरह बनाती है: 1, 8, 27, 64, 125 एक ढेर में unit cubes गिनते हैं, चपटे पन्ने पर dots नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.3 Q1, Figure it Out · 1.3 Q2, Figure it Out · 1.3 Q3, Figure it Out · 1.3 Q4, Figure it Out · 1.3 Q5

पूरा transcript1,569 शब्द

यहाँ देखो — मान लो तुम्हारे पास 10 dots हैं, और तुम्हें इन्हें एक triangle की शक्ल में सजाना है, बिना किसी ख़ाली जगह के। मन में कोशिश करके बताओ — 10 dots से triangle बनेगा या नहीं? और अगर 11 dots हों, तो? यह कोई पहेली नहीं है। triangular numbers का नाम असल में यही दावा करता है। पिछली बार हमने 1, 3, 6, 10, 15 को triangular numbers कहा, और नाम को बस एक नाम मान कर आगे बढ़ गए।

पर नाम असल में एक दावा है, कि इतने dots लो, तो वे एक triangle में बैठ जाएँगे। और देखो, दावे को परखा जा सकता है — तो चलो, इसे और बाकी rows के दावों को बना कर परखते हैं। तस्वीर बनाना समझने के बाद मिलने वाला इनाम नहीं है। तस्वीर बनाना ख़ुद समझने का एक तरीका है। तो तस्वीर से असल में मिलता क्या है? list से कहीं ज़्यादा।

तुम्हें अगली value मिलती है, उसकी वजह मिलती है, और कभी-कभी कुछ ऐसा भी जो किसी ने बताया नहीं था। तो यहाँ देखो, 7 rows हैं, हर row में 5 तस्वीरें हैं, और हर तस्वीर के नीचे उसके dots की गिनती लिखी है। पहले आसान rows देखते हैं। क्या आसान rows भी कुछ कहती हैं? हाँ, कहती हैं। all ones की हर तस्वीर में बस 1 dot है। 5 तस्वीरें हैं, और तस्वीर कभी नहीं बदलती।

यह वो row है जो कुछ नहीं करती — और अब तुम उसे कुछ न करते हुए देख सकते हो। अब देखो, counting numbers में dots की एक line है, जो हर बार 1 dot लंबी होती जाती है: 1, 2, 3, 4, 5। यहाँ तस्वीर साफ़ दिखाती है कि number में 1 जोड़ना और line में 1 dot जोड़ना एक ही बात है। even numbers में dots की 2 rows हैं, जिनकी लंबाई हमेशा बराबर रहती है।

1 और 1 मिल कर 2 बनते हैं, 2 और 2 मिल कर 4, 3 और 3 मिल कर 6, 4 और 4 मिल कर 8, और 5 और 5 मिल कर 10। तो even number वो है जो 2 बराबर rows में बँट जाए। यह कोई नया नियम नहीं है — यह तस्वीर बता रही है कि even का मतलब क्या है। अब odd numbers, और यहाँ थोड़ा रुकना ज़रूरी है।

यहाँ भी 2 rows हैं, पर बराबर नहीं। ऊपर वाली row नीचे वाली से ठीक 1 dot छोटी है। सबसे पहले अकेला 1 dot है। उसके बाद 1 के नीचे 2 रखो तो 3 होते हैं, 2 के नीचे 3 रखो तो 5, 3 के नीचे 4 रखो तो 7, और 4 के नीचे 5 रखो तो 9। इसीलिए इन सब तस्वीरों में odd number 2 बराबर rows में नहीं बँटता — हर बार 1 dot बच जाता है।

तो अगली तस्वीर कैसी होगी? 5 के नीचे 6 dots की row — यानी 11। एक बात ध्यान रखना, कि odd number को सजाने का यह अकेला तरीका नहीं है। यही गिनती किसी और शक्ल में भी सजाई जा सकती है, और आगे हम ऐसा करेंगे भी। अब triangular numbers की बारी। क्या यह नाम सच में ठीक बैठता है? चलो, बना कर देखते हैं। सबसे ऊपर 1 dot है।

उसके नीचे 2 dots की row जोड़ो, तो 3 होते हैं। फिर 3 dots की row जोड़ो, तो 6 होते हैं। फिर 4 की, तो 10, और फिर 5 की, तो 15। हर नई row पिछली से 1 dot लंबी है। यही वो छलाँग है जो पिछली बार numbers में दिखी थी — 2, 3, 4, 5 — पर अब तुम देख सकते हो कि वह आती कहाँ से है।

अब शुरू वाले सवाल का जवाब। 10 dots से 1, 2, 3 और 4 की rows बनती हैं, और एक भी dot नहीं बचता — तो हाँ, 10 से triangle बनता है। 11 dots से भी वही 4 rows बनती हैं, पर 1 dot बच जाता है, और 5 dots वाली row के लिए dots कम पड़ जाते हैं — तो 11 से triangle नहीं बनता। squares में dots एक square में सजते हैं।

देखो, पहले 1 dot, फिर 2 dots की 2 rows, फिर 3 dots की 3 rows, और इसी तरह आगे — 1, 4, 9, 16, 25। 5 dots की 5 rows में 25 dots हैं — हर dot गिनने की ज़रूरत नहीं, rows गिन लो और एक row के dots, फिर गुणा करो। पिछली बार squares की छलाँगें 3, 5, 7, 9 निकली थीं — यानी odd numbers। पर ऐसा क्यों?

तस्वीर जवाब देती है। 4 की 4 rows से 5 की 5 rows बनाने के लिए ऊपर 4 dots की एक row जोड़नी पड़ती है, किनारे पर 4 dots का एक column, और कोने में 1 dot — यानी 9। हर बार यही मुड़ी हुई पट्टी जुड़ती है। उसमें 2 बराबर हिस्से होते हैं और 1 कोने का dot, इसलिए वो हर बार odd होती है। cubes में dots नहीं, छोटे-छोटे cubes गिने जाते हैं, जो एक बड़े cube में जमाए गए हैं।

5 परतें हैं, और हर परत में 25 छोटे cubes हैं — तो कुल 125 छोटे cubes होते हैं। इसलिए cubes, squares का कोई बदला हुआ रूप नहीं हैं। square सपाट होता है, और cube में ऊँचाई भी होती है। अब असली काम यह है कि अगली value नहीं, अगली तस्वीर बनानी है। यहाँ देखो, triangular numbers की अगली तस्वीर में नीचे 6 dots की नई row आएगी — यानी 15 में 6 जुड़ कर 21 बनेंगे।

squares की अगली तस्वीर में 6 dots की 6 rows होंगी — यानी 36। cubes की अगली तस्वीर में 6 परतें होंगी, और हर परत में 36 — यानी 216 छोटे cubes। ध्यान दो, हर बार पहले तस्वीर बनी, फिर उसे गिन कर number मिला। तस्वीर ने बताया कि अगला number यही क्यों है। अभी squares की अगली तस्वीर में 36 आया था। क्या यही 36 dots एक triangle भी बना सकते हैं?

बना कर देखते हैं। 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 dots की rows बनाओ — और 36 dots ठीक-ठीक ख़त्म हो जाते हैं। तो वही 36 dots एक बार triangle बनाते हैं, और एक बार 6 dots की 6 rows वाला square। यह कोई इत्तफ़ाक़ नहीं है जिसे देख कर भूल जाओ। एक number एक ही चीज़ नहीं होता — उसे जिस तरह सजाओ, वो वैसी भूमिका निभाता है।

50 से छोटे numbers में ऐसा सिर्फ़ 2 बार होता है — 1 के साथ, और 36 के साथ। अब एक ऐसी sequence, जिसका नाम उसकी तस्वीर से ही आया है। बीच में 1 dot है। उसके आस-पास 6 dots का एक घेरा बनाओ, तो कुल 7 होते हैं। फिर अगला घेरा 12 dots का है, तो 19 होते हैं। फिर उसके बाहर 18 dots का घेरा, तो 37 होते हैं।

इन्हें hexagonal numbers कहते हैं, क्योंकि ये dots एक hexagon की शक्ल में सजते हैं: 1, 7, 19, 37। इसके बाद कौन-सा number आएगा? हर घेरा अपने अंदर वाले घेरे से 6 dots बड़ा है — 6, 12, 18। तो अगला घेरा 24 dots का होगा। और 6 ही क्यों? क्योंकि हर घेरे के 6 किनारे होते हैं, और अगले घेरे में हर किनारा 1 dot लंबा हो जाता है।

37 में 24 जोड़ो, तो 61 मिलता है। और यह जवाब किसी list से नहीं, तस्वीर से निकला। अब देखो कि क्या नहीं बना। पिछली बार की table में 10 rows थीं, पर अब तक तस्वीरें सिर्फ़ पहली 7 की बनीं। जो 3 rows छूट गईं, वो हैं पिछली 2 जोड़ने वाली row, powers of 2, और powers of 3। क्या इनकी तस्वीरें बन ही नहीं सकतीं? एक की तो बन सकती है, और वो भी बड़े मज़ेदार तरीके से।

powers of 2 लो, जो 1, 2, 4, 8, 16 हैं। पहली तस्वीर एक अकेला dot है, और इसका मतलब है 1। अब उस dot की एक copy बनाओ और उसे पहले dot से एक line से जोड़ो — 2 कोने बनते हैं। अब इस line की copy बनाओ और मिलते-जुलते कोनों को जोड़ो — एक square बनता है, जिसके 4 कोने हैं। square की copy बनाओ और मिलते-जुलते कोने जोड़ो — अब cube बनता है, 8 कोनों वाला।

हर बार वही काम होता है: पिछली तस्वीर की copy, और हर कोने को उसकी copy से जोड़ना। copy बनाना ही तो दुगुना करना है। अब यही काम cube के साथ करो। cube की एक copy बनाओ, और उसके 8 कोनों को उनकी copies से 8 lines से जोड़ो। जो चीज़ बनती है, उसमें 16 कोने हैं। इसे 2 अलग cubes मत समझो। जोड़ने वाली lines इसे एक ही चीज़ बना देती हैं — 16 कोनों वाली एक चीज़।

यह चीज़ हमारी आम दुनिया में ठीक से नहीं बैठती — कागज़ पर हम बस उसकी परछाईं बना पाते हैं। पर दुगुना करने का कदम बिल्कुल वही है। और गिनती भी यही कहती है: 1, 2, 4, 8, 16 — हर कदम पर कोने दुगुने हो जाते हैं। तो तस्वीर ने हमें वो दिया जो list नहीं दे पाई। अगली value मिली, क्योंकि अगली तस्वीर बनाई जा सकती थी। उसकी वजह मिली — triangle में हर नई row 1 dot लंबी है, इसलिए छलाँग हर बार 1 बढ़ती है।

और एक हैरानी भी मिली: 36 triangle भी है, और square भी। अब तुम्हारी बारी। powers of 3, यानी 1, 3, 9, 27 — इनकी तस्वीरें तुम कैसे बनाओगे? एक इशारा ले लो, कि powers of 2 में हर बार 2 copies थीं, यहाँ हर बार 3 copies चाहिए। अपनी तस्वीर comments में बताओ।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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