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Chapter 2 · Lines and Angles

दो angles की तुलना, किसी को भी नापे बिना

What an angle is10 मिनट

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2 angles, लगभग बराबर खुले — कौन बड़ा है? आँख यहाँ नाकाम है, और अंदाज़ा जवाब नहीं है। तरीका: एक angle को उठाकर दूसरे पर रखो — पहले vertex पर vertex, फिर arm पर arm — और देखो दूसरी arm कहाँ गिरती है।

मुख्य idea

"इन दो angles में कौन-सा बड़ा है?" — यह सवाल किसी के पास संख्या आने से पहले ही पूरी तरह सुलझाया जा सकता है, और जो तरीक़ा तुम अपनाते हो वही दिखा देता है कि angle असल में है क्या। एक angle को दूसरे पर रखना इसलिए काम करता है कि angles की बराबरी का मतलब है दोनों घुमाव एक-दूसरे पर पूरी तरह बैठ जाएँ — लंबाई की कोई तुलना हो ही नहीं रही। दोनों angles को एक ही circle के अंदर पकड़ लेना भी इसी वजह से काम करता है, और यह protractor से बस एक छोटा क़दम दूर है: circle पहले ही दो घुमावों की तुलना को दो arcs की तुलना में बदल चुका है, और कमी बस किनारे पर निशानों की है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बने हुए angles के समूह को देखकर सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रम में लगाना, और बताना कि देखना कब काफ़ी नहीं है
  • दो angles को सही ढंग से एक-दूसरे पर रखना (superimpose करना) — vertices साथ, एक भुजा एक भुजा के साथ
  • superimposition के हिसाब से दो angles के बराबर होने की शर्त बताना
  • बराबरी को दूसरे तरीक़े से, घुमाव की बराबर मात्राओं के रूप में, समझाना
  • दिखाना कि भुजा की लंबाई बदलने से angle में कुछ नहीं बदलता
  • ऐसे दो angles की तुलना करना जिन्हें हिलाया नहीं जा सकता, हर vertex पर रखे circle की मदद से
  • घूमने वाली भुजाओं की एक जोड़ी बनाना और उससे कई angles को क्रम में लगाना
  • अंदाज़ा लगाना कि घूमने वाली भुजाओं में से कौन-सी angle के आकार वाली झिरी से निकल जाएगी, और उस अंदाज़े को सही ठहराना
  • समझाना कि झिरी वाली जाँच भुजाओं की लंबाई को क्यों नज़रअंदाज़ करती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
superimpositionतुलना के लिए एक figure को दूसरी के ऊपर रखनाअध्यारोपण§2.6, p.22 — वहीं छपा, bold उप-शीर्षक के रूप में और text में
equal anglesऐसे दो angles जिनकी भुजाएँ vertices को साथ रखने पर एक-दूसरे पर बैठ जाती हैंबराबर कोण§2.6, p.22 — वहीं छपा, bold शुरुआती शब्दों के रूप में
greaterज़्यादा घुमाव वाले angle के लिए chapter का क्रम बताने वाला शब्दबड़ा§2.6, pp.21–23 — पूरे section में बार-बार छपा
centreपारदर्शी circle का वह point जो vertex पर रखा जाता हैकेंद्र§2.6, p.24 — वहीं छपा
rotating armspaper clip से जुड़े दो straws, ताकि एक जोड़ के चारों ओर घूम सकेघूर्णी भुजाएँ§2.7, p.25 — वहीं छपा, section के शीर्षक के रूप में और text में उद्धरण चिह्नों के अंदर
slitगत्ते में angle के आकार का कटाव, जो बराबरी की जाँच के लिए इस्तेमाल होता हैझिरी§2.7, p.25 — वहीं छपा, bold में Passing through a slit के रूप में
tracingकिसी figure को पारदर्शी चीज़ पर उतारना ताकि उसे हिलाया जा सकेअनुरेखण§2.6, p.24 — वहीं छपा
arccircle के किनारे का वह टुकड़ा जो दोनों भुजाओं के बीच पड़ता हैचापयहाँ जोड़ा गया शब्द — इस chapter में नहीं छपा; book बीच वाले हिस्से का नाम लेने की जगह किनारे के दो points A और B mark करती है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से मिलाकर नहीं देखा गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "लंबी भुजाओं वाला angle बड़ा है।" यही chapter का घोषित निशाना है: §2.6, p.25 पर शिक्षकों के लिए एक note है जो कहता है कि students अक्सर ठीक यही मानते हैं। दो बार सुधारा गया — p.23 पर ∠XOB बनाम ∠XOC से, और झिरी से, जिससे भुजाएँ अपनी लंबाई की परवाह किए बिना निकलती हैं या नहीं निकलतीं।
  • "Superimpose करने का मतलब दोनों drawings को सीध में रखना है।" इसका मतलब है पहले vertices को साथ रखना। §2.6, p.22 में सुधारा गया, जहाँ vertex वाली शर्त सबसे पहले बताई गई है।
  • "दो angles तब बराबर होते हैं जब page पर एक ही आकार के दिखें।" ∠AOB और ∠XOY से सुधारा गया, जिनकी भुजाएँ साफ़ अलग लंबाई की बनी हैं और फिर भी वे बराबर हैं, और उस जोड़ी से जिसका फ़ैसला नहीं हो सकता, जो क्रम लगाने लायक़ दिखती है पर है नहीं।
  • "अगर figures हिलाई नहीं जा सकतीं, तो उनकी तुलना नहीं हो सकती।" पारदर्शी circle से सुधारा गया: disc हिलती है, figures नहीं, और disc angle को अपने साथ ले जाती है।
  • "circle इसलिए काम करता है कि वह angle नापता है।" वह अभी कुछ भी नहीं नापता — उस पर कोई निशान नहीं हैं। वह इसलिए काम करता है कि दोनों angles को एक ही किनारे पर निशानों में बदल देता है। यह फ़र्क़ साफ़ रखने से ही अगले topic का degrees की ओर बढ़ना छलाँग नहीं, एक क़दम लगता है।
  • "angle को काट-छाँटकर छोटा किया जा सकता है।" §2.7, p.27 का काटने वाला cartoon इसी के लिए है। यह इस व्याख्या का भी आख़िरी चुटीला जवाब है और पिछली का भी।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3

पूरा transcript1,561 शब्द

पिछली बार हमने देखा कि angle का size घुमाव से तय होता है। आज का सवाल है — 2 angles में से कौन सा बड़ा है, और यह बिना नापे कैसे तय करें? ये 4 जानवर देखो, सबके मुँह खुले हैं — एक ईल मछली, एक मछली, एक चूज़ा, और एक मगरमच्छ। हर मुँह एक angle है: जहाँ जबड़े जुड़ते हैं वहाँ vertex, और दोनों जबड़े उसकी arms। किसका मुँह सबसे ज़्यादा खुला है?

आँख तुरंत बता देती है — ईल का सबसे कम, फिर मछली का, फिर चूज़े का, और मगरमच्छ का सबसे ज़्यादा। यहाँ हर मुँह पिछले से कम से कम डेढ़ गुना ज़्यादा खुला है, 3 में से 3 कदमों पर। इसलिए आँख आराम से क्रम बना लेती है। अब ये 2 angles देखो — angle ABC और angle PQR। दोनों लगभग बराबर खुले हैं। इनमें से कौन सा angle बड़ा है?

सच यह है कि इनका फ़र्क, छोटे angle के बीसवें हिस्से से भी कम है। ऐसे में आँख पर भरोसा नहीं किया जा सकता, और अंदाज़ा लगाना सही जवाब नहीं है। हमें एक तरीका चाहिए। एक बात और उलझाती है — ये दोनों अलग-अलग झुकाव पर बने हैं, और इनकी arms की लंबाइयाँ भी अलग हैं। आँख इन सब बातों को एक साथ नहीं सँभाल पाती। पहला तरीका है superimposition — यानी एक angle को उठाकर दूसरे के ऊपर रखना।

ठीक वैसे, जैसे 2 पेंसिलों की लंबाई मिलाने के लिए उन्हें साथ रखते हैं। अब angle PQR को उठाओ। सबसे पहले उसका vertex Q, angle ABC के vertex B पर रखो। फिर उसे घुमाओ, ताकि arm QR ठीक arm BC के ऊपर पड़े। उठाते और घुमाते समय angle को न खींचो, न मोड़ो — arms की लंबाई और उनके बीच का घुमाव वैसे ही रहें। पर vertex पहले क्यों? अगर Q को B से हटाकर रखो, तो arms एक-दूसरे को कहीं और काटेंगी।

तब यह पढ़ना मुश्किल हो जाता है कि किसका घुमाव बड़ा है। ध्यान दो, सिर्फ़ दोनों drawings को पास-पास रख देना superimposition नहीं है। पहले vertex पर vertex, फिर arm पर arm। अब देखो कि दूसरी arm QP कहाँ गिरती है। वो BC और BA के बीच, यानी angle ABC के अंदर गिरती है। इसका मतलब है कि QR से QP तक का घुमाव, BC से BA तक के घुमाव से कम है।

तो angle ABC बड़ा है। उल्टी तरह से भी करके देखो — QP को BA के ऊपर रखो। तब QR, angle ABC के अंदर गिरती है। जवाब वही है। नियम सीधा है: जिस angle की दूसरी arm अंदर गिरे, वो angle छोटा है। अब 2 और angles। पहले angle AOB की arms छोटी हैं, और angle XOY की arms उनसे दुगुनी से भी ज़्यादा लंबी। देखने में AOB छोटा दिखता है, क्योंकि उसकी arms छोटी हैं और पूरी figure भी छोटी है।

पर angles की तुलना arms से नहीं, घुमाव से होती है। अब angle AOB को उठाओ। पहले उसका vertex O, दूसरे vertex O पर रखो, और OB को OY के ऊपर। तब OA भी, OX के बिल्कुल ऊपर आ जाती है। दोनों arms एक-दूसरे पर पूरी तरह बैठ जाती हैं — बस XOY की arms आगे तक जाती हैं। यही बराबर angles की पहचान है। पहले vertex पर vertex रखो, एक arm पर एक arm, और अगर दूसरी arms भी एक-दूसरे पर पड़ें, तो दोनों angles बराबर हैं — arms कितनी भी लंबी हों।

यही बात घुमाव से भी कह सकते हैं, बिना कुछ उठाए। पहले OB को घुमाकर OA तक ले जाओ — यह एक घुमाव है। अब OY को घुमाकर OX तक ले जाओ। यह घुमाव ठीक उतना ही निकलता है। यानी एक angle दूसरे के बराबर तब है, जब दोनों में एक arm को घुमाकर दूसरी तक ले जाने में उतना ही घुमाव लगे। घुमाव बराबर, तो angles बराबर। और arms की लंबाई इस हिसाब में कहीं आती ही नहीं।

अब एक figure, जिसकी सब rays एक ही point O से निकलती हैं — O से A, X और Y की ओर, और एक सीधी arm पर पहले B, फिर और आगे C। पहला सवाल — angle AOB बड़ा है या angle XOY? अब AOB को उठाकर OB को OX पर रखो। देखो, OA angle XOY के अंदर गिरती है, तो angle XOY बड़ा है। दूसरा सवाल — angle AOB या angle XOB?

यहाँ उठाना भी नहीं पड़ता, क्योंकि arm OB दोनों में साझा है। और OX, angle AOB के अंदर है, इसलिए angle AOB बड़ा है। तीसरा सवाल — C तो B से और आगे है, तो क्या angle XOC, angle XOB से बड़ा है? देखो, B और C एक ही ray पर हैं, जो O से निकलती है। तो OB और OC एक ही arm के 2 नाम हैं। यानी angle XOB और angle XOC एक ही angle है, बस 2 तरह से लिखा गया।

दोनों बराबर हैं। अब C को उस ray पर कहीं भी ले जाओ। हमने 200 अलग दूरियाँ आज़माईं, और हर बार angle XOC, angle XOB के बराबर निकला। तो 'जिसकी arm लंबी, वो angle बड़ा' वाला जाल यहाँ भी गलत है। कोई arm कहाँ तक खींची, इससे फ़र्क नहीं पड़ता। वो किस ओर जाती है, बस वही मायने रखता है। अब 2 सारस, दोनों की चोंच खुली है। पर ये अलग-अलग फ्रेम में बने हैं, और किसी को उठाकर दूसरे पर नहीं रख सकते।

तो बिना उठाए, इनकी चोंचों के angles की तुलना कैसे करें? तरीका यह है कि figures को मत हिलाओ। उनके बीच एक ऐसी चीज़ ले जाओ, जो angle को अपने साथ ले जा सके। एक पारदर्शी कागज़ का गोल टुकड़ा लो — एक circle। उसका centre पहले सारस की चोंच के vertex पर रखो। जहाँ पहली arm circle के किनारे को काटती है, वहाँ निशान A लगाओ। और जहाँ दूसरी arm काटती है, वहाँ निशान B।

अब यह circle उस angle को अपने साथ ले जा रहा है — किनारे पर A से B तक का हिस्सा, यानी एक arc। ध्यान दो, circle पर पहले से कोई गिनती या निशान नहीं है। यह कुछ नाप नहीं रहा, बस angle की नकल अपने साथ ले जा रहा है। अब circle को दूसरे सारस तक ले जाओ। उसका centre उसके vertex पर रखो, और घुमाकर निशान A को उसकी पहली arm पर लाओ।

ध्यान रहे, circle को उसी ओर से रखना है जिस ओर से चोंच खुलती है, वरना निशान B दूसरी तरफ़ पड़ेगा। अब दूसरी arm देखो। वो किनारे को A और B के बीच काटती है, B तक पहुँचती ही नहीं। अगर दूसरी चोंच ठीक उतनी ही खुली होती, तो उसकी arm ठीक निशान B पर किनारे को काटती। और अगर ज़्यादा खुली होती, तो B से भी आगे जाती। तो दूसरे सारस का arc छोटा है, और उसकी चोंच का angle भी छोटा।

पहला सारस अपनी चोंच ज़्यादा खोले हुए है। क्या यह तरीका हमेशा काम करता है? हमने 200 random जोड़ियाँ लीं, arms किसी भी लंबाई की। हर बार एक ही circle पर arcs ने angles को ठीक उसी क्रम में रखा, जिस क्रम में उनके घुमाव थे। पर एक शर्त है — दोनों angles पर एक ही circle इस्तेमाल करना है। अगर छोटा angle उससे दुगुने बड़े circle पर रखो, तो उसका arc लंबा निकल आता है, और जवाब उल्टा हो जाता है।

इस तरह circle ने 2 घुमावों की तुलना को, किनारे पर 2 arcs की तुलना में बदल दिया। अगर किनारे पर बराबर दूरी के निशान लगा दें, तो यही circle नापने का औज़ार बन जाएगा। एक और औज़ार घर पर बनाओ। 2 straws लो, और उन्हें एक paper clip से एक सिरे पर जोड़ो। अब ये घूमने वाली arms हैं। एक straw को पकड़ो, और दूसरी को घुमाओ। जोड़ vertex है।

इन straws को किसी angle के बराबर खोलो, और बिना हिलाए उठा लो। अब ये उस angle की नकल अपने साथ ले जाती हैं, बिल्कुल उस circle की तरह। 3 angles लो। अब straws को पहले angle के बराबर खोलो, और उन्हें बाकी 2 पर रखो — देखो कि दूसरी arm straws के अंदर गिरती है या बाहर। ऐसा हर angle के साथ करो, तो क्रम निकल आता है — पहला सबसे छोटा, फिर तीसरा, और दूसरा सबसे बड़ा।

अब एक गत्ते में, angle के आकार की एक पतली slit काटो। घूमने वाली arms की 3 जोड़ियाँ लो — एक slit से ज़्यादा खुली, एक उससे कम खुली, और एक ठीक उतनी ही। इनमें से कौन सी जोड़ी slit से निकल पाएगी? सिर्फ़ वो जोड़ी, जो ठीक उतनी ही खुली है। हमने 200 अलग-अलग arm लंबाइयाँ आज़माईं, सब slit से छोटी। बराबर वाली जोड़ी 200 में से 200 बार निकली, और बाकी 2 जोड़ियाँ एक बार भी नहीं।

ज़्यादा खुली जोड़ी की arms slit के किनारों से टकरा जाती हैं। और कम खुली जोड़ी में, एक arm अंदर जाए तो दूसरी बाहर रह जाती है। यानी निकलना सिर्फ़ angle पर निर्भर है, arms की लंबाई पर नहीं। बस शर्त इतनी है कि arms slit से लंबी न हों — लंबी arm वाली बराबर जोड़ी भी नहीं निकलती। आज की बात। 2 angles की तुलना के लिए नापना ज़रूरी नहीं।

बस vertex पर vertex रखो, arm पर arm, और देखो कि दूसरी arm कहाँ गिरती है। अब तुम्हारी बारी। एक आयताकार कागज़ को मोड़ो, और देखो कि मोड़ की लकीर किनारों के साथ कौन से angles बनाती है। फिर superimposition से उनकी तुलना करो। अपने जवाब comments में लिखना। और सोचो — रोज़ की ज़िंदगी में और कहाँ हम चीज़ों को एक-दूसरे पर रखकर उनकी तुलना करते हैं?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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