PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 2, Lines and AnglesPrepShorts

Chapter 2 · Lines and Angles

Acute, obtuse और reflex: एक बँटवारा जो हर angle को समेटता है

Naming angles by their measure11 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

11 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 6 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

acute, obtuse, reflex — ये 5 अलग-अलग रटने वाले नाम नहीं हैं। 0 से 360 तक हर घुमाव को एक कतार में रखो, 90 और 180 पर निशान लगाओ, और नाम अपने आप टुकड़ों से निकल आते हैं।

मुख्य idea

ये नाम रटने लायक़ पाँच अलग-अलग तथ्य नहीं हैं। संभव घुमावों की रेंज पर दो संदर्भ निशान 90° और 180° रख दो, और नाम अपने आप उनके बीच और आसपास की ख़ाली जगहों के रूप में निकल आते हैं — और इसीलिए chapter बीच में रुककर पूछ सकता है कि क्या अब हर संभव माप समेट ली गई है, और जवाब देता है नहीं। आधे घुमाव से आगे का सब कुछ अब भी बिना नाम का था, और reflex उसी कमी को भरने के लिए है। पैमाना पूरा होते ही पता चलता है कि भुजाओं की एक ही बनी हुई जोड़ी में दो angles हैं जिनका जोड़ 360° है, और उनमें से कौन-सा चुना जाए, यह figure के निशान को बताना पड़ता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • straight angle और right angle की degree मापें बताना
  • acute angle को दो सीमाओं से परिभाषित करना, और उदाहरण देना
  • obtuse angle को दो सीमाओं से परिभाषित करना, और उदाहरण देना
  • समझाना कि reflex angles जोड़ने से पहले बँटवारा अधूरा क्यों है
  • reflex angle को दो सीमाओं से परिभाषित करना
  • नापे गए angle को सही समूह में रखना, सीमा वाले मानों समेत
  • पहचानना कि भुजाओं की एक जोड़ी में दो angles होते हैं जिनका जोड़ 360° है, और mark किया curve पढ़कर बताना कि कौन-सा मतलब है
  • dot grid पर हर प्रकार के angles बनाना और जिस angle का मतलब है उसे mark करना
  • straight angle की मदद से घटाकर अज्ञात angle निकालना
  • angle के प्रकारों या मापों की सूची के रूप में दी गई शर्त के हिसाब से figure बनाना
  • संख्या वाली ऐसी पहेली हल करना जिसका जवाब कोई एक मान नहीं, एक रेंज हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
acute angle0° से ज़्यादा और 90° से कम का angleन्यून कोण§2.8, p.31 पर बिना संख्याओं के; §2.11, p.50 पर संख्याओं के साथ — दोनों में bold में छपा
obtuse angle90° से ज़्यादा और 180° से कम का angleअधिक कोण§2.8, p.31 पर बिना संख्याओं के; §2.11, p.51 पर संख्याओं के साथ — दोनों में bold में छपा
reflex angle180° से ज़्यादा और 360° से कम का angleप्रतिवर्ती कोण§2.11, p.51 — वहाँ bold में छपा, और chapter में इसी जगह नया
right angleठीक 90° का angleसमकोण§2.8, p.29; §2.11, p.50 पर अपनी माप के साथ दोबारा कहा गया
straight angleठीक 180° का angleऋजु कोण§2.8, p.27; §2.11, p.50 पर अपनी माप के साथ दोबारा कहा गया
whole angleपूरा घुमाव, 360°, जो reflex angles की ऊपरी सीमा के रूप में इस्तेमाल होता हैसंपूर्ण कोण§2.11, p.51 — वहीं छपा, reflex की परिभाषा में
classifyहर angle को नाम वाले समूहों में से ठीक एक में रखनावर्गीकृत करना§2.11, p.52 — वहीं छपा, Figure it Out Q2 में
Ashoka Chakra24 तीलियों वाला पहिया, जो chapter का आख़िरी हल किया हुआ उदाहरण हैअशोक चक्र§2.11, p.54 — वहीं छपा, italics में
boundary valueठीक 90°, 180° या 360° पर बैठी माप, जिसे कोई खुला समूह अपना नहीं मानतासीमांत मानयहाँ जोड़ा गया शब्द — इस chapter में नहीं छपा, हालाँकि chapter की सख़्त सीमाएँ यह हालत पैदा करती हैं

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इसे Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से मिलाकर नहीं देखा गया है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "right angle एक तरह का acute angle है, क्योंकि वह obtuse नहीं है।" सीमाएँ सख़्त हैं: acute 90° से नीचे रुक जाता है, obtuse उससे ऊपर शुरू होता है, और 90° का अपना नाम है। pp.50–51 की दोनों परिभाषाएँ साथ-साथ पढ़कर सुधारो।
  • "हर angle acute, right या obtuse होता है।" ठीक इसी धारणा को §2.11, p.51 बीच में रोकता है, यह पूछकर कि क्या सारी संभव मापें समेट ली गई हैं।
  • "reflex angle drawing की ग़लती है।" वह उसी vertex पर बना दूसरा angle है, और curve उसे चुनता है। §2.11, p.52 में ऐसे अभ्यास से सुधारा गया जो दोनों माँगता है।
  • "180° reflex angle है क्योंकि भुजाएँ दूर तक फैली हैं।" reflex 180° से ऊपर शुरू होता है; 180° straight angle है। p.51 पर reflex की परिभाषा के सख़्त शब्दों से सुधारा गया।
  • "angle 360° का, या 0° का हो सकता है।" chapter के चारों नाम वाले समूहों में से कोई भी इन सिरों को शामिल नहीं करता — acute 0° से ऊपर शुरू होता है और reflex 360° से नीचे रुकता है। इसे टालने की जगह एक खुले किनारे के रूप में नाम देना ठीक है, क्योंकि students इसे पकड़ लेते हैं।
  • "समूह में रखना तस्वीर देखकर अंदाज़ा लगाना है।" chapter का अपना अभ्यास (p.52, Q2) पहले नापना और फिर समूह में रखना माँगता है, इसी क्रम में।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 10 Q1, Figure it Out · 10 Q2, Figure it Out · 11 Q2, Figure it Out · 11 Q3, Figure it Out · 11 Q4, Figure it Out · 11 Q5, Figure it Out · 11 Q6, Figure it Out · 11 Q7

पूरा transcript1,588 शब्द

पिछले videos में 2 माप पक्के हो चुके हैं। पहला, straight angle 180 degree का है, और right angle 90 का — दोनों पूरे चक्कर को आधा करते-करते मिले। अब एक तस्वीर बनाओ। हर वो angle जो हो सकता है, एक कतार में रखो — बिल्कुल कुछ नहीं से लेकर पूरे चक्कर, यानी 360 तक। इस कतार पर 2 निशान लगाओ — एक 90 पर, और एक 180 पर। ये निशान कतार को टुकड़ों में काट देते हैं।

और आज जो नाम मिलेंगे, वो बस इन्हीं टुकड़ों के नाम हैं — अलग-अलग रटने वाली बातें नहीं। सबसे पहले 90 से नीचे वाला टुकड़ा। जो angle 0 से ज़्यादा हो, पर 90 से कम, उसे acute angle कहते हैं। ध्यान दो — दोनों तरफ़ 'से ज़्यादा' और 'से कम' है। यानी कोई भी सिरा इस टुकड़े में शामिल नहीं। इसलिए 90 degree acute नहीं है। वो right angle है, और उसका अपना अलग नाम है।

तो acute को 'जो obtuse नहीं, वो सब' मत समझो। यह एक पट्टी है, जिसके दोनों सिरे खुले हैं। नीचे वाला सिरा भी खुला है। ठीक 0 पर तो दोनों arms एक-दूसरे पर पड़ी होती हैं — कोई खुलापन ही नहीं, इसलिए वो acute नहीं। यहाँ 3 angles हैं, अलग-अलग झुकाव पर — vertex P पर 40 degree, vertex T पर 50, और vertex F पर 75। तीनों 90 से कम हैं, इसलिए तीनों acute — 3 में से 3।

झुकाव से कोई फ़र्क नहीं पड़ता, सिर्फ़ माप देखो। और 75 वाला right angle से सिर्फ़ 15 कम है — फिर भी वो acute ही है। शब्द acute का मतलब है नुकीला। देखो, 40 वाला सचमुच नुकीला दिखता है; 75 वाला थोड़ा भोथरा है, पर है निशान के नुकीले तरफ़ ही। पर निशान के पास तस्वीर धोखा देती है। मसलन 88 degree acute है, और 92 obtuse — फ़र्क सिर्फ़ 4 का, आँख से पता ही नहीं चलता।

इसलिए पहले नापो, फिर नाम दो। अब दोनों निशानों के बीच वाला टुकड़ा। जो angle 90 से ज़्यादा हो, पर 180 से कम, उसे obtuse angle कहते हैं। यहाँ 2 उदाहरण हैं — vertex I पर 110 degree, और vertex W पर 130। दोनों obtuse हैं। शब्द obtuse का मतलब है भोथरा — खुले, चौड़े कोने। और यहाँ भी दोनों सिरे खुले हैं। यानी 180 degree obtuse नहीं है — वो straight angle है।

अब तक 4 नाम हो गए — acute, right angle, obtuse, और straight angle। तो एक सवाल। कतार को ठीक से देखो, और बताओ — क्या अब हर माप का कोई न कोई नाम है? जवाब है — नहीं। देखो, 0 और 360 के बीच 359 पूरे degrees हैं। इनमें से सिर्फ़ 180 का नाम है, और 179 का कोई नाम नहीं। बिना नाम वाले 181 से 359 तक चलते हैं — यानी कतार का पूरा पिछला आधा हिस्सा।

और ये असली angles हैं। जैसे कोई दरवाज़ा, जो आधे से भी ज़्यादा घूम गया हो। इनके लिए एक नाम चाहिए। जो angle 180 से ज़्यादा हो, पर 360 से कम, उसे reflex angle कहते हैं। अब कतार पूरी भर गई। यानी 359 में से हर एक degree का ठीक एक नाम है। और दशमलव वाले 3599 मापों में से भी, हर एक का ठीक एक नाम। यहाँ 2 reflex angles बने हैं — vertex A पर 290 degree, और vertex M पर 220।

दोनों में एक बड़ा घुमावदार निशान है, जो लंबे रास्ते से घूमता है। यही घुमावदार निशान असली बात बताता है। उसके बिना, वही arms एक छोटा angle दिखतीं। शब्द reflex का मतलब है पीछे की ओर मुड़ा हुआ। घुमाव straight line से आगे निकलकर वापस मुड़ने लगता है। अब पूरा पैमाना एक पट्टी पर देखो। पहले acute, फिर right angle, फिर obtuse, फिर straight angle, और फिर reflex। पूरे degrees में गिनो — acute में 89, right angle में 1, obtuse में 89, straight में 1, और reflex में 179।

और 360 खुद, यानी पूरा चक्कर, whole angle कहलाता है। पर एक सच्ची बात। पट्टी के दोनों सिरे, 0 और 360, इन 5 में से किसी में नहीं आते। क्योंकि acute 0 के ऊपर से शुरू होता है, और reflex 360 से पहले रुकता है। और 360 पर arm घूमकर ठीक वापस अपनी जगह आ जाती है। यानी whole angle देखने में बिल्कुल बिना angle जैसा लगता है — फ़र्क सिर्फ़ घुमाव बताता है।

अब vertex T पर 4 rays हैं — P, R, Q और W की तरफ़। अब एक पहेली। यहाँ angle PTW और angle WTP — वही letters, बस उल्टे क्रम में। तो ये 2 अलग सवाल क्यों? क्योंकि arms का एक जोड़ा एक नहीं, 2 angles देता है — एक छोटे रास्ते से घूमकर, और एक लंबे रास्ते से। छोटे रास्ते वाला 102 degree है, यानी obtuse। लंबे रास्ते वाला, एक-एक हिस्सा गिनकर, 258 — यानी reflex।

और protractor से इसे कैसे नापें? छोटे वाले को पढ़ो, और 360 में से घटाओ — 360 में से 102, यानी 258। और 102 और 258 मिलकर 360। और T पर arms के सारे 6 जोड़ों में यही होता है, 6 में से 6। और 200 random जोड़ों में भी, 200 में से 200। इसलिए reflex angle कोई ड्राइंग की गलती नहीं है। दोनों angles हमेशा मौजूद हैं — figure पर बना घुमावदार निशान बताता है कि कौन सा चाहिए।

अब बिंदुओं की एक जाली लो — 7 गुणा 6, यानी 42 बिंदु। इनमें A और B तय कर दो। दूसरी arm के लिए 40 बिंदु बचते हैं। इन 40 में से 25 acute देते हैं, 5 right angle, 5 obtuse, 1 straight angle, और 4 तो पहली arm पर ही पड़ते हैं। और ये कहाँ हैं? यहाँ 5 right angle वाले बिंदु A के ठीक ऊपर-नीचे वाली कतार में हैं।

और 1 straight वाला, A के ठीक पीछे। मसलन एक बिंदु से 34 degree बनता है — acute। और दूसरे से 117 — obtuse। और reflex के लिए नई arms की ज़रूरत ही नहीं। वही acute वाली arms रखो, बस निशान दूसरी तरफ़ से घुमाओ — 326 degree। यानी जाली का कोई बिंदु अपने आप reflex नहीं देता। यानी reflex हमेशा निशान से आता है। अब line BR पर एक point E है, और E से 2 rays निकलती हैं — ET और ES।

यहाँ angle TER 80 degree है, और angle SER 90। अब angle BET कितना होगा? यहाँ B, E और R एक line पर हैं, तो angle BER straight angle है, 180। उसमें से 80 घटाओ — angle BET 100 degree, यानी obtuse। और angle S-E-T कितना है? वो right angle में से 80 घटाकर मिलता है — 90 में से 80, यानी 10 degree, acute। अब जाँच करो — 100 और 80 मिलकर 180, और 10 और 80 मिलकर 90।

दोनों निशान सही बैठते हैं। यानी 2 घटाने, 2 अलग निशानों से। ये निशान सिर्फ़ नाम नहीं हैं — ये औज़ार भी हैं। अब letters बनाओ। पहला, एक M — जिसके बाहर वाले 2 angles 40-40 degree के हों, और बीच वाला 60 का। दूसरा, एक Y — जिसके 3 angles 150, 60 और 150 degree के हों। बनाने से पहले, हर set को जोड़कर देखो। किसका जोड़ कुछ ख़ास निकलता है?

पहले Y वाला — 150, 60 और 150 मिलकर 360, यानी पूरा चक्कर। क्योंकि Y के तीनों angles एक ही point पर मिलते हैं। इसलिए Y बनाने के लिए सिर्फ़ डंडी और दोनों 150 वाली arms बनाओ। बाकी 60 अपने आप बन जाता है — 360 में से 150 और 150 घटाकर। पर M वाले — 40, 60 और 40 मिलकर सिर्फ़ 140। वो 3 अलग-अलग कोनों पर हैं, इसलिए उन पर ऐसी कोई शर्त नहीं।

अब एक पहिया, जिसमें 24 तीलियाँ बराबर दूरी पर हैं। पास-पास वाली 2 तीलियों के बीच का angle — 360 को 24 से बाँटो, यानी 15 degree। जाँच — 15 degree के 24 खाने मिलकर पूरा चक्कर, यानी 360, भर देते हैं। अब सवाल — 2 तीलियों के बीच सबसे बड़ा acute angle कितना हो सकता है? यहाँ हर angle 15 का कोई गुणा है। इनमें acute वाले हैं 15, 30, 45, 60 और 75 — कुल 5।

यानी 75 degree, 15 के 5 खाने हैं — किसी भी तीली से 5 तीलियाँ आगे गिनो। अगला 90 है, पर वो right angle है, acute नहीं। इसलिए सबसे बड़ा acute angle 75 degree है। अब एक पहेली। एक acute angle है। उसका दुगना, तिगुना और 4 गुना भी acute है — पर 5 गुना obtuse हो जाता है। पहले सीमाएँ ढूँढो, फिर गिनो — तो वो angle कितना हो सकता है?

देखो, 4 गुना 90 से कम है, तो angle 22.5 से कम। और 5 गुना 90 से ज़्यादा है, तो angle 18 से ज़्यादा। पूरे degrees में जवाब हैं — 19, 20, 21 और 22। यानी 4 जवाब। यहाँ एक जवाब नहीं, एक पूरा दायरा है। और किनारे वाले क्यों नहीं? देखो, 18 का 5 गुना ठीक 90 है — वो right angle है, obtuse नहीं। और 23 का 4 गुना 92 है, जो पहले ही obtuse हो गया।

जाँच के लिए 22 लो — दुगना 44, तिगुना 66, 4 गुना 88, तीनों acute। और 5 गुना 110, जो obtuse है। आज की बात। यहाँ 90 और 180 के 2 निशान घुमावों की कतार को काटते हैं, और हर टुकड़ा एक नाम है। फिर reflex कतार को पूरा करता है। और arms का हर जोड़ा 2 angles देता है, जिनका जोड़ हमेशा 360 है। अब तुम्हारी बारी। अगर पहिये में 20 तीलियाँ हों, तो पास वाली तीलियों के बीच कितना angle होगा, और सबसे बड़ा acute angle कितना?

और एक 195 degree का angle बनाओ — उसका नाम क्या है? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab