एक भुजा और एक diagonal से rectangle की रचना करना

0:00एक काम है: एक rectangle बनाइए। पर कोई नहीं बताएगा कि उसकी भुजाएँ कितनी लंबी हैं। आपको बस इतना मिलता है: आमने-सामने के 2 कोनों को जोड़ने वाली line, यानी diagonal, नीचे वाली भुजा से 60 degree पर निकलती है। बस इतना ही निर्देश है: 60 degree। पहली नज़र में ये बहुत कम लगता है। rectangle के कोने भी हैं, लंबाइयाँ भी, और आपके पास बस 1 angle है। पर ये काफ़ी है।

0:28और ये क्यों काफ़ी है, ये देखने लायक है, क्योंकि यही वजह आगे एक कहीं मुश्किल काम को भी बचाती है। तो शुरुआत वहीं से, जहाँ से हर बनावट शुरू होती है: चीज़ को बुरी तरह बनाकर। जान-बूझकर, बुरी तरह। हाथ से एक जल्दी वाला rectangle। कुछ नापा नहीं, कुछ सीधा नहीं। कोनों के नाम रखिए, घूमते हुए: नीचे बाएँ A, नीचे दाएँ B, ऊपर दाएँ C, और ऊपर बाएँ D।

1:00A से C तक line खींचिए, और जहाँ वो नीचे वाली भुजा से निकलती है, वहाँ 60 लिख दीजिए। ये कच्चा चित्र जवाब की कोशिश नहीं है। ये वो जगह है, जहाँ आप जो जानते हैं, उसे रख सकें। और इसे देखते ही एक बात साफ़ हो जाती है, जो शब्दों में साफ़ नहीं थी। 60 degree, A वाले कोने के अंदर बैठा है। पर A का पूरा कोना right angle है: 90।

1:26तो बचा हुआ हिस्सा, line और बाईं भुजा के बीच, 30 ही होगा। किसी ने नापा नहीं। उसके पास कहीं और जाने की जगह ही नहीं थी। ज़रा रुककर सोचिए: अगर diagonal 60 की जगह 50 पर निकलता, तो बचा हुआ हिस्सा कितना होता? 40, वही तरीक़ा: 90 में से घटाइए। अब असली drawing। नीचे वाली भुजा खींचिए, A से B तक। और यहाँ हैरानी वाली बात: इसे जितना चाहे उतना लंबा रखिए।

1:596 सेंटीमीटर। 10 सेंटीमीटर। जो भी पन्ने पर आ जाए। इससे सच में फ़र्क़ नहीं पड़ता, और ये लापरवाही नहीं है। निर्देश ने एक angle तय किया है, और angle शक्ल तय करता है, नाप नहीं। हर वो rectangle, जिसका diagonal 60 पर झुका है, हर दूसरे जैसा ही दिखता है। बस बड़ा, या छोटा। फिर B पर, दूसरे सिरे पर, एक खड़ी line उठाइए। ठीक ऊपर, अभी खींची भुजा से right angle पर।

2:30कोना C इसी खड़ी line पर कहीं होना चाहिए, क्योंकि B का कोना भी right angle है। पर इस line पर ठीक कहाँ? A पर लौटिए, और नीचे वाली भुजा से 60 degree पर एक ray छोड़िए। देखिए वो ray चलते-चलते क्या करती है। वो ऊपर चढ़ रही है, और B वाली खड़ी line अपनी जगह खड़ी है। देर-सवेर दोनों को मिलना ही है। वो मिलती हैं 1 बार। और वो भी ठीक 1 बार।

3:02खड़ी line पर एक बिंदु ऊपर-नीचे सरकाइए, और A वाला angle हर कदम पर बदलता है। ज़रा ऊपर, तो 60 से ज़्यादा। ज़रा नीचे, तो कम। पूरी line पर बस 1 ऊँचाई 60 देती है, और ray सीधे वहीं पहुँचती है। उसे C कहिए। 2 कोने आपने ख़ुद रखे थे। तीसरा अभी मिला। 3 कोने हो गए, 1 बाक़ी। D कहाँ हो सकता है? D, A से जुड़ा है, और A का कोना right angle है।

3:36तो A से D तक की भुजा, नीचे वाली भुजा से right angle पर निकलेगी। A पर वो खड़ी line उठाइए। D उसी पर है। और देखिए, drawing ने आपको मुफ़्त में क्या दे दिया। वो 30 degree, A के 90 में से बचा हुआ, अब पन्ने पर ray और नई line के बीच बैठा है। उसे कभी नापा नहीं गया। वो आया, क्योंकि 60 और 30 मिलकर एक कोना बनाते हैं।

4:01D उस line पर है। बस इतना सवाल बचा कि कितना ऊपर। इसे तय करने के 2 तरीक़े हैं, और दोनों करने लायक हैं। पहला तरीका, C पर जाइए, खड़ी line से right angle घुमाइए, और पन्ने के आर-पार वापस line खींचिए। जहाँ वो A वाली खड़ी line को काटे, वही D है। ये इसलिए चलता है, क्योंकि rectangle का हर कोना right angle है, C वाला भी। दूसरा तरीका, compass को B से C तक की लंबाई जितना खोलिए।

4:35उसे A पर ले जाइए, और line पर उतनी ही लंबाई ऊपर नापिए। वही D है। ये इसलिए चलता है, क्योंकि rectangle की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं, तो A D को B C के बराबर होना ही है। 2 अलग गुण। 2 अलग औज़ार। 2 अलग दलीलें। दोनों बिंदु लगाइए, और वो एक-दूसरे पर पड़ते हैं: पास-पास नहीं, बिल्कुल वही बिंदु। ये संयोग नहीं है। rectangle में दोनों गुण एक साथ होते हैं।

5:06इसलिए कोई भी 1 तरीक़ा अकेले काफ़ी है, और दोनों को एक ही जगह पहुँचना ही है। और आख़िर में जाँचिए: आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं, और हर कोना right angle है। दोनों जाँचें पास। अब वो मुश्किल काम, जिसकी तरफ़ ये सब बढ़ रहा था। इस बार निर्देश angle नहीं है। 2 लंबाइयाँ हैं, पर 2 भुजाएँ नहीं। 1 भुजा, 5 सेंटीमीटर। और diagonal, 7 सेंटीमीटर। तुरंत एक लालच आता है: 7 चित्र की सबसे लंबी चीज़ है, तो पहले वही खींचिए, और उसके चारों ओर बनाइए।

5:43पर ये हो नहीं सकता। सोचिए, आप असल में पन्ने पर क्या रखेंगे। आप जानते हैं कि diagonal 7 लंबा है। पर उसके दोनों सिरे कहाँ हैं, ये नहीं जानते। और जिस लंबाई की कोई जगह न हो, उसे pencil नहीं खींच सकती। तो वहाँ से शुरू कीजिए, जिसे रखा जा सके: भुजा। 5 सेंटीमीटर, नीचे। बायाँ सिरा D, दायाँ सिरा C। 2 कोने, पक्के और पूरे। ये अब नहीं हिलेंगे।

6:16अब C के ऊपर वाला कोना। उसे B कहिए। B के बारे में क्या पता है? 2 बातें। पहली शर्त, वो C के ठीक ऊपर है, क्योंकि C का कोना right angle है। तो B, C पर उठी खड़ी line पर कहीं है। दूसरी शर्त, वो D से 7 सेंटीमीटर दूर है, क्योंकि diagonal यही था। 2 शर्तें। दोनों मिलकर B को पूरी तरह तय कर देनी चाहिए। करती भी हैं।

6:45मुश्किल बस pencil को वहाँ तक पहुँचाने की है। ज़्यादातर लोग यही आज़माते हैं: ruler का 0, D पर रखिए और उसे घुमाइए। दूसरा सिरा C वाली खड़ी line पर ऊपर घसीटिए, और जहाँ दोनों कटें, वहाँ पढ़िए। 6 सेंटीमीटर 4 मिलीमीटर। 6 सेंटीमीटर 8 मिलीमीटर। 7 सेंटीमीटर 1 मिलीमीटर: ज़्यादा हो गया, वापस नीचे। और ये पास पहुँचता भी है, क्योंकि ऊपर सरकाने पर reading सिर्फ़ बढ़ती है। वो 7 को 1 बार पार करती है, और कभी वापस नहीं आती।

7:21पर ठीक 7 सेंटीमीटर पर रुककर दिखाइए। line पर 0 से 80 मिलीमीटर तक, हर मिलीमीटर पर रुकिए: 81 जगहें। किसी पर भी दूरी ठीक 7 नहीं है। सही ऊँचाई मिलीमीटर के किसी निशान पर पड़ती ही नहीं। वो 48 और 49 के बीच कहीं है। तो ruler पास पहुँचता है, और पास, और फिर रुक जाता है। कल फिर कीजिए, तो शायद ज़रा अलग जगह रुकेंगे। ये बनावट नहीं है, ये तलाश है।

7:56बाहर निकलने का रास्ता ये है कि बिंदु ढूँढना बंद कीजिए। सवाल बदल दीजिए। ये नहीं कि वो कोना कहाँ है, जो D से 7 दूर है। बल्कि ये कि वो सारी जगहें कहाँ हैं, जो D से 7 दूर हैं? compass की नोक D पर रखिए, उसे 7 खोलिए, और पूरा घुमा दीजिए। उस circle का हर एक बिंदु, D से ठीक 7 सेंटीमीटर दूर है। circle होता ही यही है।

8:23ये आसानी से छूट जाता है, क्योंकि circle अक्सर बनाने वाली शक्ल की तरह आता है, किसी सवाल के जवाब की तरह नहीं। यहाँ ये जवाब है। उन सारी जगहों की पूरी list, जहाँ B हो सकता है। और दूसरी शर्त की अपनी list पहले से है: C वाली खड़ी line। उसका हर बिंदु, और कुछ नहीं। तो B, circle पर है, और B, line पर है। ऊपर की तरफ़ ठीक 1 जगह है, जो दोनों काम करती है।

8:53वो कटते हैं। वही कटान कोना है। उसे B कहिए। D पर भी खड़ी line उठाइए, B से आर-पार line खींचकर उससे मिलाइए, और चित्र बंद हो जाता है। अब जाँचिए, क्योंकि लगाया हुआ बिंदु अभी पूरा काम नहीं है। आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं या नहीं, ये नापकर देखिए। हर कोना right angle? हर एक को right angle बनाकर ही खींचा गया था। और जो भुजा किसी ने कभी माँगी ही नहीं, वो नापने पर 4 सेंटीमीटर 9 मिलीमीटर निकलती है।

9:255 से ज़रा कम। उसे न माँगा गया, न चुना गया। 2 दी गई संख्याओं ने उसे पहले ही तय कर दिया था। और एक बचत: जब कटान पर भरोसा हो जाए, तो पूरा circle मत खींचिए। बस छोटा-सा arc, वहीं जहाँ आपको कटने की उम्मीद है। वही बिंदु, कहीं कम स्याही। 1 आख़िरी बात, और यही दिखाती है कि circle असल में क्या कर रहा था। यही काम कीजिए, भुजा 5 और diagonal 4 के साथ।

9:56भुजा खींचिए, और C पर खड़ी line उठाइए। compass D पर, 4 खोलिए, और घुमाइए। ये circle वहाँ तक पहुँचता ही नहीं। वो line से पहले ही मुड़ जाता है, और दोनों कभी नहीं छूते। ऐसा कोई rectangle है ही नहीं। circle ने ये तुरंत बता दिया, बिना किसी के कोशिश करके हारे। घसीटता ruler ये मानने से पहले बहुत देर तलाश करता रहता। और अगर diagonal भुजा के बराबर हो?

10:26तब circle, line को बस C पर छूता है, और rectangle चपटा होकर एक line रह जाता है। तो rectangle का diagonal उसकी भुजा से लंबा होना ही चाहिए, और circle ठीक वो जगह है, जहाँ ये दिखता है। 10 तक की हर भुजा और 12 तक के हर diagonal पर जाँचा गया: rectangle तभी बनता है, जब diagonal भुजा से लंबा हो। अब आपकी बारी है, एक rectangle बनाइए, जिसकी 1 भुजा 4 सेंटीमीटर हो, और diagonal 8 सेंटीमीटर।

10:58पहले क्या खींचेंगे, और compass कितना खोलेंगे? पहले 4 वाली भुजा, क्योंकि उसे रखा जा सकता है। फिर उसके एक सिरे पर खड़ी line, और दूसरे सिरे पर compass, 8 खोलकर। कटान पर कोना। नापेंगे, तो दूसरी भुजा लगभग 6 सेंटीमीटर 9 मिलीमीटर निकलेगी। तो पूरी चाल ये थी: जब कोई बिंदु ढूँढना मुश्किल हो, तो पूछिए कि हर शर्त उसे कहाँ-कहाँ रहने देती है। हर शर्त एक line या एक circle बनाती है।

11:30और बिंदु वहीं है, जहाँ वो मिलती हैं। तलाश की जगह, कटान।