गणित patterns की खोज है, और इस बात की कि वे सच क्यों होते हैं

0:00कुछ भी कहने से पहले, इन्हें देखो। 5 figures हैं — न कोई number, न कोई नाम, न कोई सवाल। चाहो तो strokes गिन लो — और बताओ, छठा figure कैसा दिखेगा? अभी तुम्हारे मन में जो हुआ — तुमने ढूँढा कि figure हर बार कैसे बढ़ता है — वही maths है। इसकी वजह पर हम आख़िर में लौटेंगे। तो maths असल में है क्या? maths है patterns को ढूँढना — और यह ढूँढना कि वे patterns सच क्यों होते हैं।

0:32ध्यान दो, ये 2 चीज़ें हैं, एक नहीं। एक है pattern, और दूसरी है उसकी वजह। बहुत से students सोचते हैं कि maths नियमों का एक ढेर है, जिसे किसी ने बहुत पहले पूरा कर के रख दिया। पर असल में यह खोज है — ढूँढना, पता लगाना, समझाना — और यह काम आज भी चल रहा है। इसका पहला आधा हिस्सा तुम अभी कर चुके हो, उन 5 figures को देख कर।

1:00ये patterns मिलते कहाँ हैं? लगभग हर जगह। कुदरत में, घर में और school में। सूरज, चाँद और तारे आसमान में जिस तरह चलते हैं, उसमें भी। खाना बनाने में, खरीदारी में, गेंद फेंकने में, खेलों में। मौसम में, और उस technology में भी जिस पर तुम यह video देख रहे हो। इस list की ज़्यादातर चीज़ें maths की class से बहुत दूर हैं। patterns पहले दुनिया में होते हैं, और हम उन्हें बाद में लिखते हैं।

1:33पर pattern ढूँढना आधा ही काम है, और यह दिखाने के लिए एक puzzle लेते हैं। एक circle बनाओ और उसके किनारे पर कुछ points लगाओ। फिर हर point को बाक़ी हर point से एक सीधी line से जोड़ो। points बराबर दूरी पर मत लगाना, ताकि कोई 3 lines एक ही जगह से न गुज़रें। अब गिनो कि circle कितने हिस्सों में बँट गया। 1 point हो, तो कोई line नहीं बनती, और circle 1 ही हिस्सा रहता है।

1:592 points से 1 line बनती है, और 2 हिस्से। 3 points से एक त्रिभुज बनता है — 3 lines, और 4 हिस्से। देखो, 4 points पर अब 6 lines बनती हैं, और 8 हिस्से। और 5 points पर 10 lines बनती हैं। ध्यान से गिनो — 16 हिस्से। अब जो मिला है उसे एक साथ रखो: 1, 2, 4, 8, 16। 4 steps हैं, और हर step पर गिनती दुगुनी हुई है।

2:33तो बनाने से पहले बताओ: 6 points पर कितने हिस्से होंगे? तुम्हें लगेगा 32 — और सच कहूँ तो यह बहुत अच्छा अंदाज़ा है। 4 बार लगातार दुगुना होना बहुत बड़ा सबूत लगता है। तो बना कर देखते हैं। 6 points, 15 lines। अब गिनते हैं। 31। 32 नहीं — 31। बस 1 कम, और इतना सुंदर pattern यहीं टूट गया। 31 कोई गिनने की चूक नहीं है। board पर देखो — इस drawing में कोई 3 lines एक जगह नहीं मिलतीं — हर crossing पर ठीक 2 lines हैं।

3:13और अगर points लापरवाही से लगाओ, जैसे 3 lines circle के बीच एक ही जगह से गुज़रें, तो गिनती 31 भी नहीं रहती — 30 रह जाती है। यानी drawing ठीक होने पर भी जवाब 31 है, 32 नहीं। pattern टूटा है, drawing नहीं। वह अंदाज़ा बेवकूफ़ी नहीं था — उस वक़्त का सबसे अच्छा अंदाज़ा था। दिक़्क़त यह है कि cases check करते रहने से काम कभी पूरा नहीं होता, वह बस इशारा करता है।

3:42तुम्हें लग सकता है कि 5 बार नियम सही बैठ गया तो बात पक्की है। पर उससे छठे case के बारे में कोई पक्की बात नहीं मिली। यही वह बाक़ी आधा काम है: क्या होता है, यह नहीं — बल्कि ऐसा क्यों होना ही चाहिए। एक check सिर्फ़ एक case तय करता है। एक वजह हर case एक साथ तय कर देती है — उन cases को भी जिन्हें अभी तक किसी ने देखा ही नहीं।

4:066 points पर ठीक 15 lines ही क्यों बनती हैं — बिना एक-एक गिने? हर point बाक़ी 5 points की तरफ़ एक line भेजता है। 6 points, हर एक से 5 — कुल 30 सिरे। पर हर line के 2 सिरे होते हैं, तो हर line 2 बार गिनी गई। 30 का आधा — 15। और यह वजह किसी भी गिनती पर चलती है। 10 points हों तो 10 गुणा 9, उसका आधा — 45 lines, बिना एक भी line बनाए।

4:38यही वजह की ताक़त है: एक बार समझ लो, तो हर case का जवाब उसके साथ आ जाता है। अब हिस्सों की गिनती की वजह। हर नई line, जिस हिस्से से गुज़रती है, उसे 2 में काट देती है। अगर वह कोई पुरानी line न काटे, तो 1 नया हिस्सा बनाती है। और जितनी पुरानी lines वह काटती है, हर एक पर 1 और नया हिस्सा। यहाँ 6 points वाली drawing में 15 lines एक-एक करके बनाई गईं, और हर line ने ठीक इतने ही हिस्से जोड़े — 15 में से 15 बार।

5:12तो कुल हिस्से बनते हैं: 1, उसमें सारी lines जोड़ो, और सारे crossings जोड़ो। 5 points पर: 1 जोड़ 10 जोड़ 5 — 16। 6 points पर: 1 जोड़ 15 जोड़ 15 — 31। और crossings कहाँ से आते हैं? देखो, कोई भी 4 points लो — उनमें आमने-सामने वाले points को जोड़ने वाली 2 lines ठीक 1 जगह एक-दूसरे को काटती हैं। तो crossings उतने ही हैं जितने 4-4 points के groups बनते हैं।

5:476 points से ऐसे 15 groups बनते हैं — इसलिए 15 crossings। यह वजह pattern के टूटने को भी समझाती है। हिस्से lines और crossings से बनते हैं — दुगुना होना इस वजह में कहीं था ही नहीं, पहले 5 बार बस वैसा दिख गया। यानी वजह ने बिना बनाए ही 31 बता दिया। check करने से हमें बस 32 का अंदाज़ा मिला था। वजहें इतनी क़ीमती इसलिए हैं क्योंकि वजह सफ़र कर सकती है — उसे ऐसी जगह ले जा सकते हो जहाँ वह कभी मिली ही नहीं थी।

6:19पहला उदाहरण आसमान का है: लोगों ने बहुत पुराने समय से आसमान को देखा, और तारे, ग्रह और उनके चाँद जिस तरह चलते हैं, उसमें patterns पाए। फिर किसी ने पूछा — ऐसा क्यों होता है? और उस सवाल से gravitation की theory निकली। अब देखो वह वजह किस काम आई। उसी से हमने अपने satellites छोड़े, और मंगल और चाँद तक rockets भेजे। आसमान देखने वाले लोग satellite बनाने की कोशिश नहीं कर रहे थे।

6:46वजह वहाँ पहुँच गई जहाँ उसका pattern कभी नहीं गया था। दूसरा उदाहरण हमारे और पास है। हर जीव के अंदर एक genome होता है — निर्देशों की एक बहुत लंबी list। बहुत समय तक यह एक बड़ी उलझन जैसा दिखता था। फिर लोगों ने उसमें patterns पाए — कुछ टुकड़े जो बार-बार आते हैं, और कुछ जो कुछ लोगों में होते हैं और कुछ में नहीं। फिर वही सवाल: यह टुकड़ा वहाँ क्यों है, और करता क्या है?

7:15उन वजहों से बीमारियों को पहचानना आया, और कुछ को ठीक करना भी। दोनों बार कहानी का आकार एक-सा है: पहले pattern, फिर वजह, फिर कुछ ऐसा जिसकी किसी ने उम्मीद नहीं की थी। maths को विज्ञान भी कहा जाता है और कला भी। सुनने में यह थोड़ा अजीब लगता है, है न? सोचो, शुरू में उन 5 figures के साथ तुमने क्या किया। किसी ने कोई तरीका नहीं दिया था — ध्यान देने का कोई तय तरीका होता ही नहीं।

7:44तुमने देखा, अंदाज़ा लगाया, कुछ आज़माया, और शायद कुछ ग़लत ख़याल छोड़ भी दिए। pattern ढूँढना एक रचने वाला काम है, और उसकी वजह ढूँढना भी — यही कला वाला हिस्सा है। विज्ञान वाला हिस्सा उसके बाद आता है: जब तुम उस ख़याल को ईमानदारी से जाँचते हो, और ज़रूरत हो तो उसे गिर जाने देते हो — जैसे हमारा दुगुना होना गिर गया। अब सवाल तुम्हारी तरफ़। तुम्हारे एक आम दिन में maths कहाँ-कहाँ दिखता है — class में नहीं, एक आम दिन में?

8:18केक बनाने का सामान दुगुना करना। school समय पर पहुँचने के लिए घर से कब निकलना है, यह तय करना। गेंद पकड़ने के लिए कहाँ खड़े होना है। खेल में score रखना। अंदाज़ा लगाना कि बारिश होगी या नहीं। और एक दूसरा, बड़ा सवाल: maths ने इंसानों को आगे कैसे बढ़ाया? ये लिख कर जवाब देने वाले सवाल नहीं हैं — इन पर किसी ऐसे के साथ बहस करो जो तुमसे सहमत न हो।

8:46तो आगे के लिए यह आदत रखो: जब भी कोई pattern दिखे, उसके साथ एक सवाल जोड़ो — ऐसा क्यों होता है? यह सवाल कोई आख़िर में मिलने वाला bonus नहीं है। यही असली काम है — pattern वह जगह है जहाँ से शुरू करते हो, जहाँ ख़त्म करते हो वह नहीं। तो 1 की जगह 2 सवाल पूछने की आदत डालो: pattern क्या है? और यह ऐसा ही क्यों होना चाहिए?

9:11पहला सवाल तुम्हें अच्छे अंदाज़े लगाना सिखाता है। दूसरा सवाल तुम्हें mathematician बनाता है। और इसी से हम शुरू वाले 5 figures पर लौटते हैं — यहाँ देखो। हर figure strokes की कतारों से बना है — सबसे ऊपर 1, उसके बाद 2, फिर 3, और इसी तरह। गिनो तो: 1 stroke, फिर 3, फिर 6, फिर 10, फिर 15। छठे में 21 होंगे। और pattern भी दिख जाता है: हर बार तुम पिछली बार से 1 ज़्यादा जोड़ते हो — 2, 3, 4, 5, और फिर 6।

9:50यह एक सुंदर pattern है। पर अब तुम जानते हो कि यह आधा ही काम है। तो असली सवाल यह है: figure में ऐसा क्या है जो हर छलाँग को पिछली छलाँग से ठीक 1 ज़्यादा होने पर मजबूर करता है? सिर्फ़ check मत करो — समझाओ। अपना जवाब comments में लिखो, और अगली बार हम नियम ढूँढने निकलेंगे।