इन figures का हर curve किसी circle का हिस्सा है

0:00ये 5 चित्र देखिए। कुछ भी कहने से पहले, इन्हें एक पल ध्यान से देखिए। 2 circle, जो बस एक-दूसरे को छू रहे हैं। एक छल्ला, यानी circle के अंदर circle। और एक कतार में 3 circle, हर एक अगले वाले पर थोड़ा चढ़ा हुआ। फिर एक चेहरा, कान और आँखों के साथ। और 2 सीधी लकीरें, जो एक-दूसरे को काटती हैं, और नीचे के हर सिरे पर एक छोटा circle।

0:29अब काम ये है: इन्हें हाथ से बनाइए। बिना किसी औज़ार के, सिर्फ़ पेंसिल से। बन तो जाएगा, और मोटे तौर पर ठीक भी दिखेगा — पर ठीक होगा नहीं। क्योंकि इन सब चित्रों में एक बात साझा है, जिसका वादा हाथ नहीं कर सकता। पहले एक शब्द चाहिए, और उसका मतलब यहाँ थोड़ा बड़ा है: curve। curve का मतलब है, कोई भी लकीर जो पेंसिल काग़ज़ पर खींच सके।

0:58ये टेढ़ी-मेढ़ी लकीर एक curve है। ये बंद, गोल-मटोल आकार भी एक curve है। और ये सीधी line भी एक curve है। हाँ, सीधी line भी गिनी जाती है। ये चालाकी नहीं है। इसी से हम पूरे चित्र की बात एक साथ कर पाते हैं — सीधी और गोल लकीरें, सब curve हैं, उन्हें अलग-अलग गिनना नहीं पड़ता। अब वो सवाल, जिस पर बाकी सब टिका है। ये एक point है।

1:27इसे P कहिए। P से ठीक 4 सेंटीमीटर दूर एक point लगाइए। ये रहा — सीधा दाईं ओर। इस point का नाम Q है। पर वो दिशा तो हमने चुनी थी, उसमें कुछ ख़ास नहीं था। ये है R, ये भी P से ठीक 4 सेंटीमीटर दूर, पर तिरछा। दूरी वही, पर जगह बिल्कुल अलग। तो असली सवाल ये है: अगर P से 4 सेंटीमीटर दूर वाला हर एक point लगा दें, तो क्या दिखेगा?

1:59चलिए, करके देखते हैं। पहले 2 निशान। फिर 8। फिर 40। निशान बिखरे हुए नहीं लगते, अब उनमें एक आकार उभरने लगता है। और ये रहा: वो जुड़कर एक circle बन जाते हैं। ये इत्तेफ़ाक़ नहीं है, और अंदाज़ा भी नहीं। circle यही है: एक चुने हुए point से, एक तय दूरी पर, हर point। ये कोई गोल आकार भर नहीं — दूरी का एक नियम है। यानी point बताइए, दूरी बताइए — और circle पहले से तय हो गया।

2:32अभी बनाया नहीं, पर चुनने को कुछ बचा ही नहीं। तो एक circle में ठीक 2 बातें होती हैं, और दोनों के नाम हैं। जिस point से नापा, वो है centre। और जो दूरी तय की, वो है radius। ध्यान दीजिए, centre circle पर नहीं है। centre से centre की दूरी 0 है, और circle तक 4 सेंटीमीटर। वो पूरी तरह circle से हटकर है। पूरे चित्र में ये अकेली जगह है, जो circle के हर हिस्से से बराबर दूर है।

3:05ज़रा सा भी हटाइए, और कुछ हिस्से पास हो जाते हैं, कुछ दूर। centre और radius बता दीजिए, तो circle बिना देखे बन सकता है। और circle दिखा दीजिए, तो दोनों ढूँढे जा सकते हैं। वो भी हम थोड़ी देर में करेंगे। अब औज़ार की बात। compass 2 चीज़ों को एक तय दूरी पर पकड़े रखता है, और उन्हें घूमने देता है। एक नुकीली नोक, और एक पेंसिल। बस इतना ही करता है।

3:32वो सीधी line नहीं खींच सकता। टेढ़ी-मेढ़ी लकीर भी नहीं। वो एक दूरी पकड़ता है, और घूमता है। इसलिए उसका छोड़ा हर निशान, या तो पूरा circle है, या उसका एक टुकड़ा। ऐसे टुकड़े को arc कहते हैं। तो circle बनाना अब हाथ की मज़बूती की परीक्षा नहीं रहा। अब ये 2 फ़ैसले हैं: नोक कहाँ टिके, और पेंसिल उससे कितनी दूर हो। इसीलिए बनाने से पहले एक और कदम है।

4:01compass को ruler पर रखिए। उसे तब तक खोलिए, जब तक नोक 0 पर, और पेंसिल 4 पर न आ जाए। अब खुलाव ठीक 4 सेंटीमीटर है। अब नोक P पर टिकाइए, और घुमाइए। पेंसिल के नीचे वही circle बनता है, जो निशानों ने दिखाया था। ruler वाला कदम छोड़ दीजिए, तो आकार सही बनेगा, पर नाप ग़लत। और ग़लत नाप का circle, 'लगभग सही' नहीं है — वो कोई दूसरा circle है।

4:30अब उल्टी दिशा, जो ज़्यादा मज़ेदार है। कोई आपको एक arc देता है, और कहता है: इसे वैसा ही बनाइए। उसका बाकी circle कभी बना ही नहीं। आपके पास बस ये टुकड़ा है। तो नोक कहाँ टिके, और compass कितना खुले? एक centre आज़माइए, और उससे एक जाँच वाला circle घुमाइए। बहुत पास रखा, तो circle arc से ज़्यादा मुड़ता है। बहुत दूर रखा, तो उससे ज़्यादा सपाट चलता है।

4:59और यहाँ — एक जगह, एक खुलाव — जाँच वाला circle ठीक arc के ऊपर बैठ जाता है। और ये जगह अकेली है। arc के 2 points लीजिए — उनसे बराबर दूर तो बहुत सारे centre हो सकते हैं, एक पूरी line भर। पर 3 points लीजिए, तो तीनों से बराबर दूर ठीक 1 centre है, और उसके साथ ठीक 1 radius। arc के कोई भी 3 points लीजिए — जवाब वही आता है।

5:27बस एक हालत में जवाब नहीं मिलता: जब 3 points एक सीधी line में हों। तब कोई भी circle तीनों से होकर नहीं जाता। यानी arc की नकल करना कोई हुनर नहीं। ये एक सवाल है, जिसका जवाब है। अब इसका इस्तेमाल कीजिए। A से B तक एक line, 8 सेंटीमीटर लंबी। उस पर कहीं एक point X। A से X तक, ऊपर उभरा हुआ एक half circle। X से B तक, बिल्कुल वैसा ही half circle, पर नीचे उभरा हुआ।

6:02बिल्कुल एक जैसे: वही नाप, वही आकार, बस उल्टे। तो X कहाँ है? एक जैसे half circle, बराबर लंबाई घेरते हैं। 8 को 2 बराबर हिस्सों में बाँटिए: तो AX है 4 सेंटीमीटर, और XB भी 4 सेंटीमीटर। और compass कितना खोलें? half circle जितनी चौड़ाई घेरता है, वो उसके पूरे circle की पूरी चौड़ाई है — एक सिरे से, centre से होकर, दूसरे सिरे तक। तो radius उसका आधा: 4 का आधा, यानी 2 सेंटीमीटर।

6:39और हर half circle का centre, line के अपने हिस्से के ठीक बीच में है। पहले का A और X के बीच, दूसरे का X और B के बीच। ये चित्र से नापा नहीं गया। line से पढ़ा गया। अब आपकी बारी है — 6 सेंटीमीटर पर half circle बनाना है। compass कितना खुले? 6 का आधा — 3 सेंटीमीटर। अब एक बात, जिसमें अक्सर गड़बड़ होती है। 8 सेंटीमीटर के ऊपर half circle बनाइए: वो 4 ऊपर उठता है, और उसका radius 4 है।

7:12अब उसी 8 पर एक सपाट arc बनाइए, जो बस 2 ऊपर उठे। radius का क्या होगा? arc छोटा दिखता है, तो लगता है radius भी घटेगा। पर वो बढ़ता है — 5 हो जाता है। सपाट arc, एक बड़े circle का टुकड़ा है। circle इतना बड़ा, कि जो टुकड़ा दिखता है, वो मुश्किल से मुड़ता है। और centre, line से नीचे, बहुत दूर चला जाता है। उसी 8 सेंटीमीटर पर बस 1 मिलीमीटर उठाइए — तो radius 80 सेंटीमीटर से भी ज़्यादा है।

7:47वो circle इस पन्ने पर समाएगा ही नहीं। नियम साफ़ है: जितना सपाट arc, उतना बड़ा radius। और half circle सबसे ज़्यादा मुड़ा हुआ arc है, जो बन सकता है। 8 सेंटीमीटर पर कोई भी arc बनाइए, उसका radius 4 से कम नहीं हो सकता। इसीलिए 2 सपाट arc का मिलान मुश्किल है। उभार ज़रा सा बदलिए, और centre बहुत दूर खिसक जाता है। इससे वो आकार समझ आता है, जिसमें सबसे ज़्यादा सावधानी चाहिए: एक आँख।

8:192 arc, जो दोनों सिरों पर मिलते हैं — एक ऊपर उभरा, एक नीचे। मन करता है कि compass एक बार टिकाएँ, और दोनों arc घुमा दें। ऐसा हो ही नहीं सकता। देखिए centre कहाँ बैठता है। ऊपर उभरे arc का centre, line के नीचे होता है। नीचे उभरे arc का centre, line के ऊपर। मान लीजिए सिरे 6 सेंटीमीटर दूर हैं, और radius 5। तो centre मिलते हैं line से 4 सेंटीमीटर ऊपर, और 4 सेंटीमीटर नीचे।

8:52दोनों, दोनों सिरों से ठीक 5 दूर। ठीक 2 जगहें काम करती हैं, 1 कभी नहीं। 2 arc, नोक टिकाने की 2 जगहें। अब वापस उन 5 चित्रों पर चलिए, क्योंकि अब आप उन्हें ठीक से पढ़ सकते हैं। छल्ला: 1 centre, और 2 radius — मान लीजिए 2 और 4। एक centre वाले 2 circle कभी नहीं मिलते, क्योंकि कोई point एक ही जगह से 2 अलग दूरियों पर नहीं हो सकता।

9:21छूते हुए 2 circle, दोनों का radius 3। वो ठीक 1 point पर छूते हैं, जब उनके centre 6 दूर हों — 2 radius जितने। वो point, दोनों centre से 3 दूर, ठीक बीच में है। centre को 6 से ज़रा भी पास लाइए, तो वो छूते नहीं, काटते हैं — 1 point पर नहीं, 2 points पर। कतार के 3 circle: पड़ोसी एक-दूसरे पर चढ़ते हैं, तो उनके centre 6 से कम दूर हैं।

9:51पर पहला और तीसरा नहीं मिलते — तो पड़ोसी centre 3 से ज़्यादा दूर हैं। यानी ये दूरी पसंद की बात नहीं। ये एक सच्ची शर्त है। और चेहरा: 1 बड़ा circle सिर के लिए, 2 कान, 2 आँखें, 1 नाक, और 1 सीधी लकीर। कुल 7 हिस्से, जिनमें 6 गोल। और आख़िरी चित्र: 2 सीधी लकीरें, और 2 छोटे circle। हर गोल लकीर, किसी circle का हिस्सा। तो बात उतनी बड़ी नहीं, जितनी लगी थी।

10:26हर चित्र की हर गोल लकीर, किसी न किसी circle का हिस्सा है। और हर एक के पीछे वही 2 फ़ैसले: नोक कहाँ टिके, और पेंसिल कितनी दूर। centre और radius — arc, half circle, छल्ला, सबकी जड़ यही है। ये फिर मिलेंगे: एक square में कटे छेद में, बाहर उभरी भुजाओं वाले square में, और एक घर की गोल छत में। हर बार सवाल अलग दिखेगा, पर होगा वही सवाल: centre कहाँ, और radius कितना।