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Chapter 6 · Perimeter and Area

Rectangle और square के formulas उसी जोड़ के shortcuts हैं

Perimeter12 मिनट

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12 और 8 सेंटीमीटर का आयत। किनारी पर चलिए तो 12 जोड़ 8 जोड़ 12 जोड़ 8 — 40। वही 2 संख्याएँ, हर एक 2 बार, तो जोड़ना छोड़कर दोगुना कीजिए: 2 गुणा, bracket में 12 जोड़ 8। यही आयत का सूत्र है, और वर्ग का 4 गुणा भुजा उसी का छोटा रूप। पर bracket हटाइए तो 32 आता है, और लंबाई गुणा चौड़ाई 96 — दोनों ग़लत।

मुख्य idea

इस section के दोनों formulas definition के साथ-साथ रटने वाली कोई अतिरिक्त बातें नहीं हैं — वे वही definition हैं, बस आकृति के अपने दोहराव इकट्ठे करके। rectangle में बराबर sides के दो जोड़े होते हैं, इसलिए चार पदों का जोड़ सिमटकर दोगुना करने में बदल जाता है; square में चारों sides बराबर होती हैं, इसलिए वह चार से गुणा करने में सिमट जाता है। इसीलिए ये shortcuts जितनी आसानी से आगे चलते हैं उतनी ही आसानी से उलटे भी, और इसीलिए जैसे ही दोहराव ख़त्म होता है, ये वहीं रुक जाते हैं: किसी rectangle को दो हिस्सों में काटकर उन्हें अलग तरह से जोड़ दो, तो हर टुकड़ा अपनी लंबाई बनाए रखता है पर boundary बदल जाती है, इसलिए इस फेरबदल के बाद सिर्फ़ मूल definition ही टिकी रहती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • चारों sides जोड़कर और दोहराए गए पदों को इकट्ठा करके rectangle का नियम निकालना
  • उसी तरह square का नियम निकालना, और बताना कि square की कौन-सी ख़ासियत यह काम कर रही है
  • दोनों नियम शब्दों में बताना और दिए गए नापों पर उनका इस्तेमाल करना
  • किसी नियम को उलटा चलाना: perimeter से, या perimeter और एक दूसरी side से, कोई side निकालना
  • समझाना कि अकेला perimeter rectangle की दोनों sides तय क्यों नहीं करता
  • पहचानना कि तार या धागे को नई आकृति में मोड़ने पर उसकी लंबाई वही रहती है पर उससे घिरा region बदल जाता है
  • समझाना कि rectangle को काटकर टुकड़ों को फिर से जोड़ने पर boundary की लंबाई क्यों बदलती है, और बदलाव की दिशा का अनुमान लगाना
  • बताना कि formula कब लागू होना बंद हो जाता है और कब definition का इस्तेमाल करना पड़ता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
perimeterकिसी बंद आकृति के चारों ओर पूरे रास्ते की लंबाईपरिमाप§6.1, p.129 पर छपा और परिभाषित
rectangleचार sides वाली आकृति जिसकी आमने-सामने की sides बराबर हों और कोने square होंआयत§6.1, p.129 पर छपा
squareचार sides वाली आकृति जिसकी चारों sides बराबर हों और कोने square होंवर्ग§6.1, p.130 पर छपा
lengthrectangle के दो नापों में से बड़ा, जैसा यह section इस्तेमाल करता हैलंबाई§6.1, p.129 पर छपा
breadthछोटा नाप; यह किताब §6.1 में breadth और §6.2 से आगे width इस्तेमाल करती हैचौड़ाईदोनों छपे — breadth §6.1, p.130 पर; width पहली बार p.137 पर, फिर p.138 और p.150 पर
opposite sidesrectangle की वे दो sides जो एक-दूसरे के सामने हैं और बराबर हैंसम्मुख भुजाएँ§6.1, p.130 के बगल वाले panel में छपा
quadrupleचार गुना — square के नियम के लिए किताब का शब्दचार गुना§6.1, p.130 पर छपा
formulaएक बार लिखा गया और बार-बार इस्तेमाल होने वाला नियम, जो किसी हिसाब की जगह खड़ा हैसूत्र§6.1, p.129 पर छपा
factoring outकिसी साझा गुणक को bracket के बाहर निकालनागुणनखंड बाहर निकालनाव्याख्या का अपना वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को Hindi छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Rectangle का perimeter length × breadth होता है।" इस chapter का अकेला सबसे आम ग़लत जवाब, और यह दो sections बाद आने वाले area के formula से टकराव है। इसे यहीं पहले से रोक दो, जब तक सिर्फ़ एक ही नाप चल रहा है।
  • "2 × (length + breadth) का मतलब 2 × length + breadth है।" bracket को दोगुना करने से आता हुआ दिखाओ, ताकि वह कभी बिना समझाया निशान न लगे।
  • "Formula कोई नई चीज़ है जिसे सीखना है।" Sections 3 और 6 इसीलिए हैं कि नियमों को definition में से बनता हुआ दिखाया जाए। जो student उन्हें फिर से बना सकता है, उसे उन्हें याद रखने की ज़रूरत नहीं।
  • "Perimeter पता हो तो rectangle पता है।" वह length + breadth तय करता है, इससे ज़्यादा कुछ नहीं; बहुत-से rectangles का perimeter एक ही होता है। Section 9 में ऐसे दो-तीन rectangles साथ-साथ दिखाने चाहिए। यही Same area, many perimeters: why one does not determine the other का दरवाज़ा है।
  • "किसी आकृति को दो हिस्सों में काटो, तो boundary की लंबाइयाँ जुड़कर अब भी मूल के बराबर होनी चाहिए।" काटने से दो बिल्कुल नए किनारे बनते हैं; फिर से जोड़ने पर कुछ किनारे छिप जाते हैं और कुछ खुल जाते हैं। p.136 के चारों arrangements में वही दो टुकड़े हैं और boundaries अलग-अलग।
  • "हर बंद आकृति का एक perimeter formula होता है।" p.136 के L, T और खिसकी हुई जोड़ी का कोई formula नहीं है। आप sides जोड़ते हैं।
  • "Square rectangle नहीं है, इसलिए उसका नियम अलग तरह का नियम है।" जब दोनों नाप बराबर हों तो square का नियम rectangle का ही नियम है; 4 × s को 2 × (s + s) में से निकलता हुआ दिखाना तीस सेकंड का काम है और बात तय कर देता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q2, Figure it Out · 6 Q6

पूरा transcript1,656 शब्द

एक आयत लीजिए — ऊपर की भुजा 12 सेंटीमीटर, और बगल की 8 सेंटीमीटर। परिमाप निकालना हम पहले से जानते हैं — किनारी पर पूरा चक्कर लगाइए, और जितना चले, उसे जोड़िए। तो वही करते हैं, और देखते हैं कि एक छोटा रास्ता अपने आप कैसे निकल आता है। कोनों के नाम रखिए — ऊपर बाएँ A, ऊपर दाएँ B, नीचे दाएँ C, और नीचे बाएँ D। अब हर भुजा का नाम है — ऊपर A B, दाईं ओर B C, नीचे C D, और बाईं ओर D A।

परिमाप है A B जोड़ B C जोड़ C D जोड़ D A — 4 भुजाएँ, एक के बाद एक जोड़ी हुई। अब आयत के बारे में हम क्या जानते हैं? उसकी आमने-सामने की भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं। तो C D उतनी ही है जितनी A B — दोनों 12। और D A उतनी ही है जितनी B C — दोनों 8। यानी इस जोड़ में 4 अलग-अलग संख्याएँ नहीं हैं।

ये है 12 जोड़ 8 जोड़ 12 जोड़ 8 — कुल 40। 2 बार 12 और 2 बार 8। वही 2 संख्याएँ, हर एक 2 बार आई। और जब कोई चीज़ 2 बार आए, तो जोड़ना छोड़कर उसे दोगुना कर सकते हैं। 2 बार 12 है 2 गुणा 12, यानी 24। 2 बार 8 है 2 गुणा 8, यानी 16। तो परिमाप है 24 जोड़ 16। अब दोनों हिस्सों में 2 है।

तो उस 2 को bracket के बाहर निकाल लीजिए — 2 गुणा, bracket में 12 जोड़ 8। 12 जोड़ 8 है 20। 20 का दोगुना 40। 40 सेंटीमीटर — ठीक वही जवाब, जो पूरा चक्कर लगाकर मिला था। और यही है आयत का सूत्र — परिमाप बराबर 2 गुणा, bracket में लंबाई जोड़ चौड़ाई। ये कोई नया तथ्य नहीं, वही जोड़ है, बस दोहराव समेटकर। इस सूत्र के बारे में 2 बातें ध्यान से।

पहली — bracket सजावट नहीं है। इसका मतलब है पहले जोड़िए, फिर दोगुना कीजिए। bracket हटा दें, तो सिर्फ़ लंबाई दोगुनी होती है — 2 गुणा 12 जोड़ 8, यानी 32। और 32 गलत है, क्योंकि चौड़ाई भी तो 2 बार आनी थी। दूसरी बात, जिसमें लगभग सब फँसते हैं। परिमाप लंबाई गुणा चौड़ाई नहीं है। 12 गुणा 8 है 96, और 96 किसी चीज़ के चारों ओर की दूरी नहीं।

वो एक अलग ही माप है, जिससे हम आगे मिलेंगे। परिमाप जोड़ता है। इसे पकड़कर रखिए। और देखिए कि सूत्र आया कहाँ से। परिमाप से नहीं, आयत से। ये इसलिए काम करता है, क्योंकि आयत में बराबर भुजाओं के 2 जोड़े होते हैं। अब एक वर्गाकार फ़ोटो फ़्रेम, जिसकी हर भुजा 1 मीटर है, और उसके चारों ओर रंगीन टेप लगाना है। सवाल वही, तरीका वही — चक्कर लगाइए और जोड़िए।

1 जोड़ 1 जोड़ 1 जोड़ 1 — 4 मीटर टेप। जवाब यही है, और हमने जानबूझकर लंबा रास्ता लिया। क्योंकि अब इस जोड़ को देखिए — 1, पूरे 4 बार। एक ही चीज़ 4 बार जोड़ी जाए, तो वो उस चीज़ का 4 गुना है। तो वर्ग का परिमाप है उसकी भुजा का 4 गुना। और यहाँ तक आयत के सूत्र से, बिना कुछ नया सोचे, पहुँच सकते हैं।

वर्ग एक ऐसा आयत है, जिसकी लंबाई और चौड़ाई बराबर हैं। दोनों को s कहिए। आयत का सूत्र कहता है — 2 गुणा, bracket में s जोड़ s। पर s जोड़ s है 2 s। तो 2 गुणा 2 s — यानी 4 s। तो वर्ग का सूत्र कोई दूसरा सूत्र नहीं। ये आयत का ही सूत्र है, जब दोनों माप बराबर हों। एक ही विचार — भुजाएँ जोड़िए — बस अलग-अलग कपड़ों में।

इसलिए ये मत सोचिए कि वर्ग आयत नहीं है, तो उसका नियम किसी अलग तरह का होगा। नियम वही है, बस और छोटा हो गया। अब सूत्रों को सीधा चलाते हैं। 3 मीटर लंबा और 2 मीटर चौड़ा मेज़पोश, चारों ओर लेस। 2 गुणा, bracket में 3 जोड़ 2 — यानी 5 का दोगुना, 10 मीटर। और 75 मीटर भुजा वाला एक वर्गाकार पार्क, जिसके 3 चक्कर दौड़ने हैं। एक चक्कर — 4 गुणा 75, यानी 300 मीटर।

3 चक्कर — 900 मीटर। ध्यान दीजिए, दूसरे सवाल में वर्ग का सूत्र एक बड़े हिसाब के अंदर इस्तेमाल हुआ। सूत्र एक क़दम है, पूरा जवाब नहीं। अब उल्टा चलते हैं — और सूत्र की असली कीमत यहीं पता चलती है। एक आयत का परिमाप 14 है, और चौड़ाई 2। लंबाई कितनी है? 2 गुणा, bracket में लंबाई जोड़ 2, बराबर 14। तो लंबाई जोड़ 2 है 7। और लंबाई 5।

एक वर्ग का परिमाप 20 है। भुजा का 4 गुना 20, तो भुजा 5। एक आयत, परिमाप 12 मीटर, लंबाई 3 मीटर। आधा कीजिए तो 6, और 6 में से 3 घटाकर चौड़ाई भी 3। ये तो वर्ग निकला। और अब सबसे अच्छा सवाल। एक तार को मोड़कर 5 गुणा 3 सेंटीमीटर का आयत बनाया। फिर उसे सीधा करके उसी से एक वर्ग बनाया। वर्ग की भुजा कितनी है? तार न लंबा हुआ, न छोटा।

उसकी लंबाई आयत का परिमाप है — 16 सेंटीमीटर। और वही 16 अब वर्ग का परिमाप है। भुजा का 4 गुना 16, तो भुजा 4। जाँच कर लीजिए — 4 गुणा 4 है 16, यानी पूरा तार, एक सेंटीमीटर भी कम या ज़्यादा नहीं। एक ही तार के बारे में 2 सूत्रों को सहमत होना था, और वो हुए — क्योंकि दोनों एक ही जोड़ हैं। पर उल्टा चलने की एक सीमा है, और उसे साफ़ देख लेना चाहिए।

मान लीजिए मैं बस इतना बताऊँ कि एक आयत का परिमाप 20 सेंटीमीटर है। उसकी भुजाएँ क्या हैं? आप नहीं बता सकते। इससे बस इतना पता चलता है कि लंबाई जोड़ चौड़ाई 10 है, और कुछ नहीं। 9 और 1 हो सकते हैं, 8 और 2, 7 और 3, 6 और 4, या 5 और 5। और ये दिखने में बिल्कुल अलग हैं। 9 और 1 वाला एक लंबी पतली पट्टी है, और 5 और 5 वाला तो पूरा वर्ग है।

फिर भी चारों ओर की दूरी सबकी बराबर। 5 अलग-अलग आयत, सबका परिमाप 20 — और आधे सेंटीमीटर भी लें, तो और भी। परिमाप बस भुजाओं का जोड़ तय करता है, और कुछ नहीं। तो इन आयतों को अलग कौन सी चीज़ करती है? वो हम आगे देखेंगे। अब वो हिस्सा, जहाँ सूत्र काम करना बंद कर देते हैं। कागज़ की एक पर्ची लीजिए, 6 सेंटीमीटर गुणा 4। उसका परिमाप 20 है।

उसे लंबाई में बीच से काटिए — 2 टुकड़े, हर एक 6 गुणा 2। अब उन्हें अलग ढंग से जोड़िए। सिरे से सिरा मिलाइए — 12 गुणा 2 का एक लंबा पतला आयत बनता है, जिसका परिमाप 28 है। 28, 20 नहीं। कागज़ ज़रा भी नहीं जुड़ा, हर टुकड़े ने अपनी किनारी रखी, और फिर भी सीमा 8 सेंटीमीटर बढ़ गई। अब L बनाइए — एक टुकड़ा लेटा हुआ, और दूसरा उसके दाएँ सिरे से नीचे लटकता हुआ।

परिमाप फिर से 28। अब T — एक टुकड़ा दूसरे के ठीक बीच में खड़ा, और परिमाप फिर 28। अब दोनों को खड़ा करके साथ-साथ रखिए, पर दाएँ वाले को 3 सेंटीमीटर नीचे खिसका दीजिए। इसका परिमाप 26 है। इनमें से 3 का जवाब बिल्कुल एक जैसा आया। ये संयोग लगता है, पर है नहीं। हर टुकड़े का परिमाप 16 है — 2 गुणा, bracket में 6 जोड़ 2। 2 टुकड़े, यानी कुल 32 सेंटीमीटर किनारी।

जब उन्हें जोड़ते हैं, तो जहाँ वो छूते हैं, वहाँ की किनारी बाहर नहीं रहती — और वो 2 बार गायब होती है, हर टुकड़े से एक बार। तो परिमाप है 32, घटा 2 गुणा वो लंबाई, जिस पर टुकड़े छूते हैं। पहले 3 में टुकड़े 2 सेंटीमीटर के पूरे सिरे पर छूते थे। 2 गुणा 2 है 4, और 32 घटा 4 है 28 — तीनों के लिए। चौथे में वो 3 सेंटीमीटर पर छूते थे।

2 गुणा 3 है 6, और 32 घटा 6 है 26। अब एक पहेली हल हो जाती है — परिमाप 22 चाहिए, तो? 32 में से 22 घटाइए, 10 बचता है, यानी 5 सेंटीमीटर का छूना। खड़े टुकड़ों को साथ रखिए, और एक को बस 1 सेंटीमीटर नीचे खिसकाइए। एक बात और निकलती है। सबसे ज़्यादा वो 6 सेंटीमीटर पर छू सकते हैं — तब परिमाप 20, और वो असली पर्ची ही है, वापस जुड़ी हुई।

तो काटकर दोबारा जोड़ने से सीमा बस बढ़ सकती है। 20 सबसे कम है, और वहाँ पहुँचने का एक ही तरीका है — कटाई को वापस जोड़ देना। अब देखिए हमारे सूत्रों का क्या हुआ। L का कोई सूत्र नहीं। और T आकार का भी कोई सूत्र नहीं। खिसकी हुई जोड़ी का भी कोई सूत्र नहीं। इनमें से कोई आयत नहीं है, इसलिए नियम लागू ही नहीं होता। पर हर एक का परिमाप है, और आपने उसे उसी पुराने तरीके से निकाला — किनारी पर चलकर, जोड़कर।

L पर चलकर देखिए, ऊपर बाएँ कोने से। ऊपर 6, दाईं ओर नीचे 8, नीचे 2, फिर ऊपर 6, बाईं ओर 4, और ऊपर 2। कुल 28 — ठीक वही, जो छूने वाले नियम से मिला था। यही है परिभाषा और सूत्र का रिश्ता। परिभाषा हमेशा काम करती है। सूत्र एक छोटा रास्ता है, जो आकृति अपने दोहराव से कमाती है। आयत में दोहराव 2 बार, तो दोगुना कीजिए। वर्ग में 4 बार, तो 4 गुना।

L में कोई दोहराव नहीं, तो बस जोड़िए। अब एक काम ख़ुद करने के लिए। अपनी कॉपी के किसी पन्ने पर एक आयताकार किनारी खींचिए — ऊपर और नीचे से 1 सेंटीमीटर अंदर, और दोनों तरफ़ से 1 दशमलव 5 सेंटीमीटर अंदर। पहले पन्ना नापिए। फिर एक दिशा से 2 सेंटीमीटर घटाइए, और दूसरी से 3 — क्योंकि किनारी दोनों तरफ़ से अंदर है। उसके बाद सूत्र लगाइए। और एक मज़ेदार बात।

पन्ना कोई भी हो, किनारी का परिमाप पन्ने के परिमाप से हमेशा 10 सेंटीमीटर कम निकलेगा — 2 बार 2, और 2 बार 3। यहाँ नाप आपका है, सूत्र का नहीं। सूत्र बस जोड़ने को छोटा कर देता है। अगली बार, किसी आकृति के बारे में दूसरा सवाल — उसके चारों ओर कितनी दूरी है, ये नहीं, बल्कि वो पन्ने का कितना हिस्सा घेरती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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