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Chapter 7 · Fractions

भिन्न यानी बराबर हिस्सा, और नौवाँ हिस्सा पाँचवें हिस्से से छोटा क्यों है

What a fraction is10 मिनट

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1 बटा 5 और 1 बटा 9 — इनमें बड़ा कौन सा है? बहुत से लोग कहते हैं 1 बटा 9, क्योंकि 9, 5 से बड़ा है। पर भिन्न को एक वाक्य की तरह पढ़िए: एक केक, 5 बच्चों में बराबर बँटा, और एक बच्चे का हिस्सा। नीचे वाली संख्या बाँटने वालों को गिनती है, आपके टुकड़ों को नहीं।

मुख्य idea

भिन्न ऊपर-नीचे रखी दो संख्याओं की जोड़ी नहीं है; वह बाँटने के एक सवाल का जवाब है, और नीचे वाली संख्या लोगों को गिनती है, आपके पास के टुकड़ों को नहीं। यही एक बात उस आदत को उलट देती है जिसे बच्चा पाँच साल से बनाता आ रहा है: पूर्ण संख्याओं में, बड़ा लिखा मतलब बड़ा। हिस्सों में, नीचे बड़ा लिखा मतलब हाथ में छोटा, क्योंकि वही चीज़ ज़्यादा लोगों में बँट रही है। नौ पाँच से बड़ा है और नौवाँ हिस्सा पाँचवें हिस्से से छोटा है, और दोनों बातें एक ही वजह से सच हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि भिन्न में line के नीचे वाली संख्या क्या गिनती है
  • बाँटने के हिसाब से समझाना कि नीचे बड़ी संख्या होने पर हिस्सा छोटा क्यों होता है
  • दो fractional units को देखते ही सही क्रम में रखना और उस क्रम को सही ठहराना
  • fractional unit को पहचानना और उसका नाम लेना, और किताब में दिया उसका दूसरा नाम बताना
  • जब कई चीज़ें कई लोगों में बराबर बाँटी जाएँ, तो एक व्यक्ति का हिस्सा निकालना, उन हालतों समेत जिनमें एक से ज़्यादा चीज़ बाँटी जा रही हो
  • एक kilogram के दो असमान, नाम वाले हिस्सों को जोड़कर एक भिन्न बनाना
  • किसी भारतीय भाषा में बोले जाने वाले भिन्न-शब्द को उस भिन्न से जोड़ना जिसका वह नाम है
  • बोले जाने वाले भिन्न-शब्दों को आकार के हिसाब से क्रम में रखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
fractionबराबर बँटवारे के बाद एक व्यक्ति को कितना मिलता हैभिन्नइस पूरे chapter में छपा, p.151 से
fractional unitउन बराबर हिस्सों में से एक जिनमें एक पूरी चीज़ बँटती हैइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा और परिभाषित
unit fractionउसी चीज़ का किताब में दिया दूसरा नामइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा
equal shareहर व्यक्ति को जो मिलता है, जब किसी को किसी और से ज़्यादा नहीं मिलताबराबर हिस्सा§7.1 के शीर्षक में और Summary, p.186 पर छपा
wholeवह एक चीज़ जो बाँटी जा रही है, जिसे तुलना की मात्रा माना जाता हैपूर्णपूरे §7.1 और §7.2 में छपा
halfजब दो लोग एक पूरी चीज़ बाँटें, तब का हिस्साआधाchapter की शुरुआत, p.151 पर छपा
quarterजब चार लोग एक पूरी चीज़ बाँटें, तब का हिस्सापाव / चौथाई§7.1, p.153 पर छपा
tri-padaतीन चौथाई के लिए Rig Veda का शब्दतीन पाव (Hindi), मुक्काल mukkaal (Tamil)§7.1, p.153 पर छपा
numerator / denominatorline के ऊपर वाली और नीचे वाली संख्याअंश / हर§7.3, p.158 पर छपा — इस chapter में आगे नाम मिलता है
proper fractionऐसी भिन्न जिसका मान 1 से कम होउचित भिन्नयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है, सिवाय teen paav और mukkaal के, जिन्हें chapter ख़ुद p.153 पर छापता है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए बाक़ी cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "नौ पाँच से बड़ा है, इसलिए नौवाँ हिस्सा पाँचवें हिस्से से बड़ा है।" chapter इस ग़लती से अमूर्त ढंग से सावधान करने के बजाय p.152 पर इसे एक पात्र के मुँह से कहलवाता है, और यही सही तरीक़ा है। इसे लोगों पर लौटकर सुधारो: एक रोटी के चारों ओर बैठे नौ बच्चों में हर एक को, एक रोटी के चारों ओर बैठे पाँच बच्चों से कम मिलता है।
  • "नीचे वाली संख्या मेरे पास के टुकड़े गिनती है।" वह उन टुकड़ों को गिनती है जिनमें पूरी चीज़ काटी गई — यानी बाँटने वाले लोगों को। जिस student के मन में यह उलझन है, वह नौवें हिस्से को "नौ टुकड़े" पढ़ता है।
  • "भिन्न दो संख्याएँ है, इसलिए उनकी तुलना दो संख्याओं की तरह करो।" भिन्न एक संख्या है।
  • "हिस्सा हमेशा बराबर टुकड़ों में से एक होता है।" चार दोस्त और तीन गिलास इस बात को तोड़ देते हैं: हिस्सा चौथाई-टुकड़ों में से तीन है, एक नहीं।
  • "हिस्से तभी बराबर गिने जाते हैं जब उनकी शक्ल एक जैसी हो।" यह बात यहाँ उठती है और इसका जवाब §7.2 में मिलता है; section 4 में इस पर निशान लगाओ और इसे यहीं निपटाने के बजाय आगे सौंप दो।
  • "भिन्न स्कूल का एक आधुनिक topic है।" p.153 पर Rig Veda का शब्द, और घर के वे शब्द जिन्हें student से इकट्ठा करने को कहा गया है, इसी सोच को तोड़ने के लिए हैं।

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पूरा transcript1,465 शब्द

मेज़ पर एक केक रखा है, और उसे खाने वाले 2 बच्चे हैं। बँटवारा बराबर होना चाहिए। किसी को भी दूसरे से ज़्यादा नहीं मिलना चाहिए। तो बीच से एक सीधा कट लगाइए, और हर बच्चे को एक टुकड़ा दे दीजिए। इस टुकड़े का नाम तो आप पहले से जानते हैं — आधा। गणित में इसे ऐसे लिखते हैं: ऊपर 1, बीच में एक लकीर, और नीचे 2। पढ़ते हैं, 1 बटा 2।

और ध्यान दीजिए, नीचे वाला 2 केक के टुकड़े नहीं गिन रहा — वो बच्चों को गिन रहा है। अब उसी तरह के केक के पास 4 बच्चे आ गए। अब 2 कट लगेंगे, एक खड़ा और एक आड़ा। 4 बराबर टुकड़े बनेंगे, और हर बच्चे को एक मिलेगा। इस हिस्से को लिखते हैं 1 बटा 4। इसका घरेलू नाम है पाव, या चौथाई। अब बताइए, कौन सा बच्चा ज़्यादा खुश है — 2 में से वाला, या 4 में से वाला?

दोनों केक पास-पास रखिए, बराबर नाप के। आधा वाला टुकड़ा साफ़ बड़ा है। सच तो ये है कि आधे टुकड़े को बीच से काटें, तो ठीक 2 पाव बन जाते हैं। यानी 1 बटा 2 बराबर 2 बार 1 बटा 4। अब एक थोड़ी मुश्किल जोड़ी लीजिए: 1 बटा 5, और 1 बटा 9। आगे बढ़ने से पहले अपना जवाब मन में तय कर लीजिए: इनमें बड़ा कौन सा है?

बहुत से लोग तुरंत कहते हैं: 9, 5 से बड़ा है, तो 1 बटा 9 भी 1 बटा 5 से बड़ा होगा। ये गलती बेवकूफ़ी नहीं है। बरसों तक पूरे अंकों के साथ यही सीखा है — जो लिखने में बड़ा, वो असल में भी बड़ा। पर ये अंदाज़ा भिन्न को 2 अलग-अलग संख्याएँ मान लेता है, जिन्हें ऊपर-नीचे रख दिया गया हो। जबकि भिन्न एक ही संख्या है — बँटवारे के एक सवाल का जवाब।

तो 1 बटा 5 को एक वाक्य की तरह पढ़िए। एक केक, 5 बच्चों में बराबर बाँटा गया — एक बच्चे को जितना मिला, वही 1 बटा 5 है। बीच की लकीर का मतलब है: बराबर बाँटो। नीचे वाली संख्या बाँटने वालों को गिनती है — यानी केक कितने बराबर टुकड़ों में कटा। ये आपके हाथ के टुकड़े नहीं गिनती। 1 बटा 9 का मतलब 9 टुकड़े नहीं है — हाथ में तो बस एक टुकड़ा है।

और 1 बटा 9: एक केक, 9 बच्चे, और एक बच्चे का हिस्सा। अब बराबर नाप के 2 केक पास-पास रखिए। पहले के चारों तरफ़ 5 बच्चे बैठे हैं, और दूसरे के चारों तरफ़ 9। केक उतना ही है। पर दूसरे को ज़्यादा लोगों में बाँटना है, तो उसके टुकड़े ज़्यादा पतले बनेंगे। दोनों का एक-एक टुकड़ा उठाकर मिलाइए। 1 बटा 9 वाला टुकड़ा छोटा है, 1 बटा 5 वाले से।

9, 5 से ज़्यादा है। और 1 बटा 9, 1 बटा 5 से कम है। दोनों बातें सच हैं, और एक ही वजह से। वजह ये है: बाँटने वाले ज़्यादा, तो हर एक के हिस्से में कम। ये बात सिर्फ़ 5 और 9 के साथ नहीं होती। किसी भी गिनती में एक बच्चा और जुड़ जाए, तो केक एक टुकड़ा ज़्यादा में कटेगा। केक वही है, टुकड़े ज़्यादा हैं — तो हर टुकड़ा छोटा हो जाता है।

पूरे अंकों में जो लिखने में बड़ा, वो असल में भी बड़ा। पर हिस्सों में उल्टा है। नीचे वाली संख्या बड़ी, तो हाथ में आने वाला हिस्सा छोटा। इसे हर बार बँटवारे की तरह बोलिए, कितने लोग और एक केक, तो क्रम में कभी शक नहीं रहेगा। अब 3 जोड़ियाँ खुद आज़माइए। हर एक को बँटवारे के वाक्य में बोलकर देखिए। अब पहली जोड़ी — 1 बटा 3, या 1 बटा 8?

कौन सा बड़ा है? एक केक, 3 लोगों में, या 8 लोगों में। 3 लोग कम हैं, तो हर एक को ज़्यादा मिलेगा। जवाब है 1 बटा 3। अब दूसरी जोड़ी — 1 बटा 12, या 1 बटा 7? 7 लोग, 12 से कम हैं। तो बड़ा हिस्सा है 1 बटा 7 — भले ही 12 लिखने में बड़ा दिखे। तीसरी जोड़ी: 1 बटा 50, या 1 बटा 10? 10 लोग, 50 से बहुत कम हैं।

तो 1 बटा 10 बड़ा है। हर बार जवाब लोगों को गिनकर आया, अंकों की तुलना से नहीं। अब इसे दूर तक ले चलिए: 1 बटा 100, और 1 बटा 200। 100 टुकड़े बोर्ड पर दिखेंगे नहीं, इतने पतले होंगे। इसलिए एक लंबी पट्टी को 10 और 20 में काटते हैं — तर्क वही रहेगा। देखिए, 1 बटा 10 वाले हर टुकड़े को बीच से काटें, तो 2 टुकड़े 1 बटा 20 के बनते हैं।

ठीक ऐसे ही, 1 बटा 100 का हर टुकड़ा, 1 बटा 200 के 2 टुकड़ों के बराबर है। तो 1 बटा 100 बड़ा है — 1 बटा 200 का ठीक दुगना। इन सब हिस्सों का एक नाम है। एक पूरी चीज़, बराबर हिस्सों में कटी, और उनमें से एक हिस्सा — इसे कहते हैं fractional unit, यानी इकाई भिन्न। इसका दूसरा नाम है unit fraction। चीज़ वही है, बस नाम 2 हैं।

1 बटा 2, 1 बटा 3, 1 बटा 4, 1 बटा 5 — और आगे 1 बटा 10, 1 बटा 50, 1 बटा 100। हर एक में ऊपर 1 है। और सूची में हर अगला, पिछले से छोटा है। ये सूची कभी खत्म नहीं होती। 1 बटा 1000 भी है, और वो 1 बटा 100 से भी छोटा है। अब तक एक छोटी सी शर्त चुपचाप साथ चल रही थी।

हर तुलना में दोनों केक एक ही नाप के थे। अब मान लीजिए, एक बड़ा केक 8 चौड़ा है। उसका पाव हिस्सा 2 चौड़ा होगा। और एक छोटा केक, जिसकी चौड़ाई सिर्फ़ 2 है। उसका आधा हिस्सा 1 चौड़ा होगा। यहाँ पाव हिस्सा, आधे हिस्से से बड़ा निकला। वजह ये कि दोनों पूरे केक ही अलग नाप के थे। तो हिस्सों की तुलना तभी कीजिए, जब पूरी चीज़ एक जैसी हो।

और एक सवाल आगे के लिए छोड़ते हैं: क्या बराबर हिस्सों की शक्ल भी एक जैसी होनी ज़रूरी है? पूरी चीज़ का केक होना ज़रूरी नहीं है। 3 सेब हैं, लगभग एक जैसे, और तीनों मिलाकर 1 किलो के हैं। एक सेब का वज़न कितना है? यहाँ 1 किलो, 3 सेबों में बराबर बँटा है। तो हर सेब 1 बटा 3 किलो का है। अब 1 किलो चावल, 4 बराबर पैकेटों में भरा गया।

हर पैकेट में 1 बटा 4 किलो, यानी पाव भर। तरीका हर बार वही: पहले देखिए क्या बँट रहा है, फिर कितनों में, और फिर एक का हिस्सा। अब 4 दोस्त हैं, और जूस के 3 गिलास। सबको बराबर मिलना चाहिए। यहाँ पहली बार, बँटने वाली चीज़ एक नहीं, 3 हैं। हर गिलास को अलग-अलग बाँटिए। एक गिलास, 4 दोस्त — हर दोस्त को 1 बटा 4 गिलास। यही तीनों गिलासों के साथ कीजिए।

अब हर दोस्त के पास 1 बटा 4 के 3 हिस्से हैं। कुल मिलाकर 3 बटा 4 गिलास। तो हिस्सा हमेशा एक टुकड़ा नहीं होता। यहाँ हर हिस्सा, 3 टुकड़ों से बना है। और ये पूरे गिलास से कम है — क्योंकि गिलास कम हैं, और दोस्त ज़्यादा। एक बड़ी मछली 1 बटा 2 किलो की है, और एक छोटी मछली 1 बटा 4 किलो की। दोनों मिलाकर कितनी भारी हैं?

दोनों हिस्से अलग नाप के हैं। पहले इन्हें एक ही किस्म का बनाना होगा। आधा किलो, ठीक 2 पाव किलो है। तो 2 पाव और 1 पाव मिलकर 3 पाव हुए — 3 बटा 4 किलो। टुकड़े एक नाप के हो जाएँ, तो बस गिनकर जोड़ दीजिए। क्या भिन्न कोई नई चीज़ है, जो सिर्फ़ स्कूल में पढ़ाई जाती है? बिल्कुल नहीं — ऋग्वेद में भी 3 बटा 4 के लिए एक शब्द है: त्रिपाद।

आज हिंदी में इसे कहते हैं 3 पाव, और तमिल में, मुक्काल। किसी के एक संख्या को दूसरी के ऊपर लिखने से बहुत पहले ही, लोग इन हिस्सों के नाम रख चुके थे। अपने घर में सुनिए — कौन से शब्द हिस्सों के लिए बोले जाते हैं? उन्हें लिखकर रखिए। उनमें से हर शब्द, किसी न किसी भिन्न का नाम है। ये रहे 6 बोलचाल वाले शब्द, उल्टे-सीधे क्रम में: डेढ़, पाव, ढाई, पौना, आधा, सवा।

इन्हें सबसे छोटे से सबसे बड़े तक लगाइए। पाव है 1 बटा 4। आधा है 1 बटा 2। पौना है 3 बटा 4। ये तीनों, एक पूरे से कम हैं। सवा है 1 और 1 बटा 4। डेढ़ है 1 और 1 बटा 2। ढाई का मतलब, 2 पूरे और 1 बटा 2। तो क्रम हुआ: पाव, आधा, पौना, सवा, डेढ़, ढाई। और ध्यान दीजिए: 3 पाव ठीक पौना है।

आज की बात एक वाक्य में। भिन्न में नीचे वाली संख्या, बाँटने वालों को गिनती है — आपके टुकड़ों को नहीं। इसलिए नीचे ज़्यादा, तो हाथ में कम। 9, 5 से बड़ा है, और 1 बटा 5, 1 बटा 9 से बड़ा है — दोनों एक ही वजह से। अगली बार देखेंगे कि बराबर हिस्से, अलग-अलग शक्ल के भी कैसे हो सकते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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