छोटी unit चुनकर किसी लंबाई को नापना

0:00मेज़ पर कागज़ की एक लंबी पट्टी है, और उसके पास एक पेंसिल। हम तय करते हैं कि ये पूरी पट्टी हमारी इकाई है — यानी 1। पट्टी में ऐसा कुछ ख़ास नहीं है। वो 1 इसलिए है, क्योंकि हमने उसे 1 कहा। अब सवाल: ये पेंसिल कितनी पट्टी लंबी है? पेंसिल पट्टी से छोटी है। उसमें पूरी एक पट्टी भी नहीं समाती। पर नापना छोड़ना नहीं है। इकाई को छोटा कीजिए, तब तक, जब तक वो ठीक-ठीक बैठ न जाए, और फिर गिनिए।

0:34और इकाई छोटी करने का सबसे आसान तरीका है — पट्टी को मोड़ना। हर मोड़, एक नई और छोटी इकाई बनाता है। पट्टी के दोनों सिरे मिलाइए, और बीच से मोड़ दीजिए। अब खोलिए, तो बीच में एक मोड़ का निशान दिखता है। 1 निशान, और 2 बराबर हिस्से — निशान के दोनों तरफ़ एक-एक। लंबाई के ये 2 टुकड़े, पर नाम एक ही: हर एक पट्टी का 1 बटा 2 है।

1:02आधे के 2 कदम, पूरी पट्टी नाप देते हैं। क्या आधी पट्टी पेंसिल में ठीक बैठती है? बिल्कुल नहीं, पेंसिल आधी पट्टी से लंबी है, पर पूरी से छोटी। तो इकाई को और छोटा करना होगा। अब फिर से मोड़िए — एक बार आधे में, और फिर उसे दोबारा आधे में। बहुत से लोग सोचते हैं कि 2 बार मोड़ने से 3 हिस्से बनेंगे। खोलने से पहले आप क्या कहेंगे?

1:31अब खोलिए, और गिनिए: निशान 3 हैं, और हिस्से 4। दूसरे मोड़ ने, दोनों आधों को फिर से आधा कर दिया। तो हर हिस्सा पट्टी का 1 बटा 4 है — पाव, तिहाई नहीं। हर बार पट्टी खोलें, तो गिनती ज़ोर से बोलिए — निशान कितने, और हिस्से कितने। अंदाज़े से धोखा हो जाता है, गिनती से नहीं। अब इस पाव को एक कदम मानिए, और गिनिए। एक कदम: 1 बटा 4।

2:022 कदम: 2 बटा 4। 3 कदम, यानी 3 बटा 4। और 4 कदम, ठीक पट्टी के आख़िरी सिरे पर पहुँचते हैं। 4 बटा 4, यानी पूरी पट्टी। अब पेंसिल को पट्टी के बगल में रखिए। वो ठीक तीसरे निशान पर ख़त्म होती है। तो पेंसिल की लंबाई है 3 पाव — 3 बटा 4 पट्टी। पेंसिल के लिए किसी नई तरह की संख्या नहीं चाहिए थी। बस एक छोटी इकाई, और फिर गिनती।

2:36अब 3 बार मोड़िए, हर बार आधे में। खोलिए, और पहले निशान गिनिए, फिर हिस्से। 7 निशान, और 8 बराबर हिस्से। हर हिस्सा पट्टी का 1 बटा 8 है। हर मोड़ हिस्सों को दुगना कर देता है: पहले 2, फिर 4, फिर 8। अब निशानों और हिस्सों को साथ रखकर देखिए। 1 निशान, 2 हिस्से। 3 निशान, 4 हिस्से। 7 निशान, 8 हिस्से। हर बार हिस्से, निशानों से ठीक एक ज़्यादा होते हैं।

3:12क्योंकि पट्टी के 2 सिरे हैं, और हर नया निशान, एक टुकड़े को 2 में बाँटकर एक हिस्सा बढ़ा देता है। इसलिए इकाई का नाम रखते वक़्त हिस्से गिनिए, निशान नहीं। अब 1 बटा 8 को कदम बनाकर गिनिए, एक-एक करके। 1 बटा 8, 2 बटा 8, 3 बटा 8, 4 बटा 8। फिर 5 बटा 8, 6 बटा 8, 7 बटा 8। अब बताइए, 8वाँ कदम कहाँ पहुँचेगा? ठीक पट्टी के सिरे पर।

3:468 बटा 8, पूरी पट्टी। और रास्ते में ध्यान दीजिए: 2 बटा 8 वहीं है जहाँ पाव वाला निशान था, 4 बटा 8 ठीक बीच में, और 6 बटा 8, 3 बटा 4 वाले निशान पर। और 3 बटा 8? वो पाव वाले निशान और बीच वाले निशान के बीच में आता है। बिना किसी हिसाब के, सिर्फ़ पट्टी देखकर। और पेंसिल को 1 बटा 8 से नापें, तो 6 कदम लगते हैं — ठीक उतनी ही लंबाई, जितनी 3 पाव।

4:19ये गिनती हर बार पूरी पट्टी पर ही क्यों लौटती है? क्योंकि 1 बटा 8 बना ही इसी तरह था — पूरी पट्टी को 8 बराबर हिस्सों में बाँटकर। तो सारे 8 हिस्से वापस जोड़ दें, तो पट्टी फिर से पूरी हो जाती है। 8 बटा 8 लिखने में भिन्न जैसा दिखता है, पर वो ठीक 1 है। इसमें कोई टकराव नहीं। ठीक वैसे ही, जैसे 4 बटा 4 पूरी पट्टी था, और 2 बटा 2 भी पूरी पट्टी होता।

4:48जो भी इकाई पूरी चीज़ को काटकर बनी हो, उसके उतने ही कदम, जितने हिस्से थे, वापस पूरी चीज़ बना देते हैं। चिह्न को नहीं, पट्टी को देखिए, तो बात अपने-आप साफ़ है। आज की सबसे बड़ी बात एक वाक्य में। एक बार इकाई भिन्न चुन ली, तो कोई भी हिस्सा नापा जा सकता है। और नापने का मतलब है गिनना: कितनी इकाइयाँ उसमें समाती हैं। जो चीज़ पूरी इकाई से छोटी है, वो बिना नाप की नहीं है।

5:18बस इकाई बड़ी थी। पेंसिल में पूरी पट्टी नहीं समाई थी, पर 3 पाव ठीक समा गए। अब इसी पाव वाली इकाई से एक रबड़ नापिए। रबड़ में ठीक 1 पाव समाता है। तो रबड़ 1 बटा 4 पट्टी लंबा है। अब एक किताब, जो पट्टी से भी लंबी है। उसमें 5 पाव लगते हैं: पूरी 1 पट्टी, और 1 पाव ऊपर से। यानी 5 बटा 4। चीज़ छोटी हो या बड़ी, इकाई से गिनकर नापी जा सकती है।

5:51अब एक अलग इकाई लीजिए: आधा पिज़्ज़ा। 1 आधा, यानी 1 बटा 2। 2 आधे: 2 बटा 2। और 2 आधे मिलकर, ठीक 1 पूरा पिज़्ज़ा बनाते हैं। गिनती जारी रखिए — अब 3 आधे, यानी 3 बटा 2। ये 1 पूरे पिज़्ज़ा से ज़्यादा है। यानी भिन्न 1 से बड़ा भी हो सकता है। 4 आधे: 4 बटा 2। 5 आधे, यानी 5 बटा 2। पिज़्ज़ा सामने रखकर देखिए: 4 आधे यानी 2 पूरे पिज़्ज़ा, और 5 आधे यानी 2 पूरे और एक आधा।

6:332 कदम और आगे चलिए। 6 आधे: 6 बटा 2, यानी पूरे 3 पिज़्ज़ा। 7 आधे: 7 बटा 2, यानी 3 पूरे पिज़्ज़ा, और एक आधा बचा। यानी 7 आधे, 3 और 4 पूरे पिज़्ज़ा के बीच में आते हैं। गिनती रुकती नहीं। रास्ते में पूरे पिज़्ज़ा बनते चलते हैं। हर 2 आधे, एक और पूरा पिज़्ज़ा भर देते हैं। इसलिए सम गिनती पर पूरे पिज़्ज़ा, और विषम पर एक आधा बचा रहता है।

7:06अब पाव पिज़्ज़ा लीजिए, और 5 पाव गिनिए। उनमें से 4 मिलकर एक पूरा पिज़्ज़ा बनाते हैं, और 1 पाव बचता है। यानी 1 और 1 बटा 4। और 9 पाव? 8 पाव से 2 पूरे पिज़्ज़ा बनते हैं, और 1 पाव बचता है। यानी 2 और 1 बटा 4। पाव को 4-4 के गुच्छों में रखिए। हर गुच्छा, एक पूरा पिज़्ज़ा है। जोड़ से भी यही निकलता है — 1 बटा 4 को 9 बार जोड़ें, तो वही 9 बटा 4।

7:41हर मोड़ आधे में ही हो, ज़रूरी नहीं। अब पट्टी को 3 बराबर हिस्सों में मोड़िए। एक सिरा अंदर मोड़िए, फिर दूसरा उसके ऊपर। सिरों को तब तक खिसकाइए, जब तक तीनों परतें ठीक एक के ऊपर एक न आ जाएँ। खोलिए: 2 निशान, 3 बराबर हिस्से। हर एक 1 बटा 3। अब उसी मुड़ी हुई पट्टी को, एक बार और आधे में मोड़िए। खोलिए: 5 निशान, 6 बराबर हिस्से।

8:11हर एक 1 बटा 6 — मुफ़्त में। अब 1 बटा 3 के कदम गिनिए: 1 बटा 3, 2 बटा 3, और 3 बटा 3 ठीक पट्टी के सिरे पर। उसके नीचे, 1 बटा 6 के कदम गिनिए। 2 बटा 6, पहले तिहाई वाले निशान पर पहुँचता है। 4 बटा 6, दूसरे पर। और 6 बटा 6, सिरे पर। कदम छोटे, गिनती ज़्यादा, पर पट्टी वही। अब 4 गोले हैं, और हर एक में सिर्फ़ एक हिस्सा रंगा है।

8:46हर गोला अपनी पूरी चीज़ है, जो बराबर हिस्सों में कटा है। इनमें से कौन सा 1 बटा 3 है, कौन सा 1 बटा 5, कौन सा 1 बटा 8, और कौन सा 1 बटा 6? आँख से अंदाज़ा मत लगाइए। बराबर हिस्से गिनिए। पहले में 5 हिस्से: 1 बटा 5। दूसरे में 8 हिस्से, यानी 1 बटा 8। तीसरे में 3: 1 बटा 3। चौथे में 6: 1 बटा 6।

9:16पूरी चीज़ में कितने बराबर हिस्से हैं, वही इकाई का नाम तय करता है। 1 बटा 8 पतला दिखता है और 1 बटा 3 चौड़ा — पर फ़ैसला हिस्सों की गिनती करती है, दिखावट नहीं। अब 3 बटा 4 को पढ़ें कैसे? अगर इसे 3 भाग 4 की तरह पढ़ें, तो लगता है कि पहले कोई भाग करना पड़ेगा। असल में ये है 3 बार 1 बटा 4, यानी पाव के 3 कदम।

9:43दोनों तरह पढ़ना सही है। पर आकार सिर्फ़ दूसरे तरीके से सामने दिखता है। अब दोनों संख्याएँ कुछ बताती हैं। 4 बताता है कि एक कदम कितना बड़ा है। और 3 बताता है कि कितने कदम चले। इसे 5 बटा 8 पर आज़माइए: 1 बटा 8 के 5 कदम — पूरे से 3 कदम पीछे। और 3 बटा 4 को ऐसे पढ़ें, तो उसका आकार बिना कोई हिसाब किए दिख जाता है — 1 से बस एक कदम कम।

10:13अब इन 2 संख्याओं के नाम। उदाहरण लीजिए 5 बटा 6। ऊपर वाली संख्या, 5, अंश कहलाती है। वो बताती है कि आपके पास कितनी इकाइयाँ हैं। नीचे वाली संख्या, 6, हर कहलाती है। वो बताती है कि कितनी इकाइयों से 1 पूरा बनता है। 3 बटा 4 में: अंश 3 है, और हर 4 — यानी 4 पाव से पूरा, और हमारे पास 3। ध्यान रहे: जो आपके पास है, वो नीचे वाली संख्या नहीं गिनती।

10:46वो ऊपर वाली गिनती है। 5 बटा 6: 5 कदम चले, और 6 कदम से एक पूरा होता। दोनों मिलकर पूरी बात कहते हैं — नीचे वाला कदम का आकार, और ऊपर वाला कदमों की गिनती। इस पूरी बात में, पट्टी की कोई ख़ास भूमिका नहीं थी। गोला हो, वर्ग हो, आयत हो या त्रिभुज — इकाई चुनिए, और गिनिए। तरीका हर बार वही: मोड़िए, खोलिए, हिस्से गिनिए, इकाई का नाम रखिए, और फिर इकाइयाँ गिनिए।

11:19अगली बार, इन्हीं भिन्नों को number line पर जगह देंगे।