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Chapter 7 · Fractions

हर भिन्न की number line पर एक ही जगह होती है

Fractions as numbers on a line11 मिनट

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number line पर 0, 1, 2, 3 पहले से बैठे हैं, और 0 और 1 के बीच की जगह ख़ाली दिखती है। उसे 3 बराबर कदमों में काटिए। 0 से दूसरे निशान तक की पट्टी कितनी लंबी है? पहले निशान पर 1 बटा 3 लिखा है, पर पट्टी 2 कदम घेरती है — वो 2 बटा 3 है। भिन्न निशान नहीं, 0 से निशान तक की लंबाई है।

मुख्य idea

अब तक भिन्न किसी चीज़ की मात्रा रही है — रोटी का हिस्सा, slab का टुकड़ा, मोड़ी हुई पट्टी का एक भाग। उसे number line पर रखना वह पल है जब वह किसी चीज़ की मात्रा होना छोड़कर अपने आप में एक संख्या बन जाती है, क्योंकि line पर पहले से 1, 2 और 3 हैं और अब उसे जगह बनानी पड़ती है। और वह बनाती है: 0 से 1 तक के फ़ासले को बराबर क़दमों में काटो, और उस denominator वाली हर भिन्न को ठीक एक पता मिल जाता है। क्योंकि क़दमों की गिनती आप अपनी मर्ज़ी से चुन सकते हैं, पूर्ण संख्याओं के बीच के फ़ासले ख़ाली नहीं हैं — वे भरे हुए हैं, और दो निशान चाहे कितने भी पास हों, उनके बीच हमेशा एक और भिन्न रखी जा सकती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • लगातार आने वाली दो पूर्ण संख्याओं के बीच के फ़ासले को बताई गई गिनती के बराबर हिस्सों में बाँटना और हर नए निशान पर label लगाना
  • number line पर बनी किसी पट्टी (bar) की लंबाई को भिन्न के रूप में पढ़ना
  • zero से लंबाई और जिस tick पर वह ख़त्म होती है, इन दोनों में फ़र्क़ करना, और किसी से भी उसी भिन्न का नाम लेना
  • दी गई भिन्नों को, 1 से आगे वाली भिन्नों समेत, ख़ुद बनाई line पर mark करना
  • बताना कि 0 और 1 के बीच कितनी भिन्न हैं, और फ़ासले को और बाँटकर जवाब सही ठहराना
  • समझाना कि 1 से आगे की भिन्न भी 0 से नापी गई एक लंबाई ही क्यों है
  • एक वाक्य में बताना कि number line भिन्नों के बारे में वह क्या साबित करती है जो बाँटने वाले चित्रों ने नहीं किया

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
number lineएक सीधी line जिस पर बराबर दूरी पर 0, 1, 2, … हों, और जिस पर लंबाइयाँ पढ़ी जा सकेंसंख्या रेखा§7.4 के शीर्षक में और पूरे section में छपा, p.159
unit0 से 1 तक की दूरी, जिससे हर भिन्न नापी जाती हैइकाई§7.4, p.159 पर छपा
distanceकोई निशान 0 से कितनी दूर है, line के साथ-साथ नापा हुआदूरी§7.4, p.159 पर छपा
equal partsबराबर चौड़ाई के खाने जिनमें unit वाला फ़ासला काटा जाता हैबराबर भाग§7.4, p.159 पर छपा
fractional unitऐसे एक खाने की चौड़ाईइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा; §7.4, p.159 पर फिर इस्तेमाल
blue line / black lineकिताब की दो बनी हुई bars — एक unit से कम वाली और एक unit से ज़्यादा वालीनीली रेखा / काली रेखा§7.4, pp.159–160 पर छपा
pointline पर वह अकेली जगह जिस पर कोई भिन्न बैठती हैबिंदुSummary, p.186 पर छपा
markकिसी भिन्न को line पर उसकी जगह पर रखनाअंकित करना§7.4 के शीर्षक में और p.159 पर छपा
coordinateline पर पते की तरह इस्तेमाल होने वाली संख्यानिर्देशांकयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
denseआप जो भी दो भिन्न बताएँ, उनके बीच एक और भिन्न होनासघनयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "tick के निशान ही भिन्न हैं।" भिन्न 0 से लंबाई है। tick वह जगह है जहाँ वह लंबाई ख़त्म होती है। जो student लंबाई की जगह ticks पढ़ता है, वह bar के दूसरे tick पर ख़त्म होने पर भी एक तिहाई गिनेगा, क्योंकि label पहले tick पर लगा था।
  • "भिन्न 0 और 1 के बीच रहती हैं, और पूर्ण संख्याएँ बाहर।" p.160 पर bars जान-बूझकर 1 से आगे जाती हैं। भिन्न पूरी line पर फैली हैं, और उनमें से कुछ ठीक पूर्ण संख्याओं के निशानों पर बैठती हैं।
  • "number line को सिर्फ़ एक ही तरह बाँटा जा सकता है।" एक ही पन्ने पर वही 0-to-1 वाला फ़ासला दो, तीन, पाँच और आठ में काटा गया है। line नहीं बदलती; सिर्फ़ क़दम का चुनाव बदलता है।
  • "0 और 1 के बीच उतनी ही भिन्न हैं जितने ticks मैं बना सकता हूँ।" p.160 का चर्चा वाला सवाल इसी ग़लतफ़हमी पर है। इसका जवाब किसी फ़ासले को आधा करके, फिर बचे हुए को आधा करके, और रुकने से इनकार करके दो।
  • "0 और 1 के बीच, एक आधे के ठीक बाद वाली कोई भिन्न है।" नहीं है। student जो भी भिन्न बताए, उसके और एक आधे के बीच एक और भिन्न बैठी होती है।
  • "लंबी bar का मतलब हमेशा बड़ा denominator।" उसका मतलब है ज़्यादा क़दम लिए गए, छोटा क़दम नहीं। हर frame में क़दम का आकार दिखता रहे, ताकि दोनों भूमिकाएँ आपस में न मिलें।

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पूरा transcript1,571 शब्द

अब तक भिन्न हमेशा किसी चीज़ की मात्रा था — केक का हिस्सा, चॉकलेट का टुकड़ा, मुड़ी हुई पट्टी का एक भाग। आज भिन्न किसी चीज़ का हिस्सा नहीं रहेगा। आज वो अपने आप में एक संख्या बनेगा। संख्याएँ जहाँ रहती हैं, वो जगह है number line। उस पर पहले से 0, 1, 2, 3 बैठे हैं। अब उसे भिन्नों के लिए भी जगह बनानी होगी। और वो बनाती है।

हर भिन्न को उस पर ठीक एक पता मिलता है। एक सीधी line खींचिए, और बाईं तरफ़ 0 का निशान लगाइए। फिर हर बार बराबर दूरी चलकर निशान लगाइए: 1, 2, 3। 0 से 1 तक की दूरी हमारी इकाई है। हर भिन्न इसी दूरी से नापा जाएगा। line पर कोई भी संख्या, असल में 0 से एक दूरी है। 2 का मतलब है, 0 से 2 इकाई दूर। ये कदम हर जगह एक जैसे हैं।

line को कहीं भी खींचने या दबाने की इजाज़त नहीं। 0 और 1 के बीच line ख़ाली दिखती है। पर क्या सच में ख़ाली है? 0 से 1 वाली दूरी को 2 बराबर हिस्सों में काटिए। इसके लिए बीच में एक नया निशान लगाना होगा। अब 0 से उस निशान तक एक पट्टी खींचिए। ये पट्टी इकाई के 2 बराबर हिस्सों में से एक है। तो इसकी लंबाई 1 बटा 2 है।

इसलिए उस निशान का पता है 1 बटा 2। यहाँ एक बारीक बात पर ध्यान दीजिए: भिन्न वो निशान नहीं है। भिन्न है 0 से उस निशान तक की लंबाई। निशान बस वो जगह है, जहाँ लंबाई ख़त्म होती है। जैसे किसी सड़क पर मील का पत्थर, दूरी नहीं होता — वो बस बताता है कि दूरी कहाँ तक पहुँची। हमेशा लंबाई पढ़िए, निशान नहीं। तब कोई चित्र आपको धोखा नहीं दे पाएगा।

मान लीजिए 0 से 1 की दूरी को 2 हिस्सों में काटा, पर हिस्से बराबर नहीं। तब उस निशान तक की पट्टी आधी नहीं है। वो कोई भी लंबाई हो सकती है। 1 बटा 2 नाम अपने आप में एक वादा है: ऐसे 2 बराबर कदम, और पूरी इकाई बन जाती है। इस line पर हर काट यही वादा निभाएगा: कदम बराबर, और गिनती हमेशा 0 से। अब उसी 0 से 1 की दूरी को 3 बराबर हिस्सों में काटिए।

अंदर 2 निशान लगेंगे। पहले निशान पर लिखा है 1 बटा 3। अब 0 से दूसरे निशान तक एक पट्टी खींची गई है। इसकी लंबाई क्या है? जो निशान पर लिखा है, सिर्फ़ उसे पढ़ें, तो लगेगा कि 1 बटा 3। ये गलत है। कदम गिनिए: पट्टी 1 बटा 3 के 2 कदम घेरती है। तो इसकी लंबाई है 2 बटा 3। और तीसरा कदम लीजिए, तो आप ठीक 1 पर पहुँचते हैं।

3 बटा 3 यानी पूरी इकाई। अब 5 बराबर हिस्से। अंदर 4 निशान। एक छोटी पट्टी दूसरे निशान पर ख़त्म होती है। 2 कदम, यानी 2 बटा 5। एक लंबी पट्टी चौथे निशान पर रुकती है। 4 कदम, यानी 4 बटा 5। इकाई वही रही। बदला सिर्फ़ कदम का आकार — अब हर कदम 1 बटा 5 है। इसीलिए 2 बटा 5 बीच से थोड़ा पहले बैठता है, और 4 बटा 5, 1 के काफ़ी पास।

अब 8 बराबर हिस्से। अंदर 7 निशान लगते हैं। निशानों के पते: 1 बटा 8, 2 बटा 8, 3 बटा 8, और ऐसे ही आगे। पूरी सूची रटने की ज़रूरत नहीं। असल बात एक पैटर्न की है — हर निशान पर एक कदम और। और काट कितना भी हो, आख़िरी कदम हमेशा 1 पर पहुँचता है: 2 बटा 2, 3 बटा 3, 5 बटा 5, 8 बटा 8। जितने ज़्यादा हिस्से, उतना छोटा कदम: आधा, फिर 1 बटा 3, फिर 1 बटा 5, फिर 1 बटा 8।

line पर हर भिन्न, असल में 2 निर्देश है। 3 बटा 8 लीजिए। नीचे का 8 कहता है: इकाई को 8 बराबर कदमों में काटो। और ऊपर का 3 कहता है: 0 से ऐसे 3 कदम चलो। जहाँ आप रुकते हैं, बीच से थोड़ा पहले, वहीं 3 बटा 8 का घर है। इसी तरीके से, हर भिन्न को line पर उसकी जगह पर रखा जा सकता है। ऐसा लग सकता है कि हर चित्र में अलग line थी।

पर line वही थी। 0 और 1 अपनी जगह से हिले तक नहीं। चारों काटों को एक ही line पर रख दीजिए। सारे निशान एक साथ बैठ जाते हैं, बिना किसी टकराव के। कदम कितना बड़ा हो, ये आपकी मर्ज़ी है। line सबको जगह देती है। अब आपकी बारी है — एक ही line पर 1 बटा 10, 3 बटा 10, और 4 बटा 5 दिखाइए। अगर 5 हिस्सों में काटें, तो 1 बटा 10 के लिए कोई निशान ही नहीं मिलता।

इसलिए 10 हिस्सों में काटिए। अब 1 बटा 10 पहले निशान पर, और 3 बटा 10 तीसरे निशान पर। और 4 बटा 5? वो 8वें निशान पर ख़त्म होता है, क्योंकि हर 1 बटा 5 में 1 बटा 10 के 2 कदम हैं। इस सवाल में एक छुपी सीख है — ऐसा कदम चुनिए, जो सारे भिन्नों पर ठीक बैठे। ध्यान दीजिए: 10 वाले काट में 5 वाले काट के सारे निशान मौजूद हैं, पर 5 वाले काट में 10 वाले नहीं।

अब एक बड़ा सवाल: 0 और 1 के बीच कितने भिन्न समा सकते हैं? दूरी को आधा कीजिए: 1 बटा 2 मिला। अब 0 की तरफ़ बची दूरी को फिर आधा कीजिए: 1 बटा 4। फिर 1 बटा 8। फिर 1 बटा 16। फिर 1 बटा 32, फिर 1 बटा 64। निशान इतने पास आ जाते हैं कि खींचना मुश्किल हो जाए। पर आधा करना कभी रुकना ज़रूरी नहीं। इसलिए जवाब है: उनकी कोई गिनती ख़त्म नहीं होती।

वो अनगिनत हैं। अब कोशिश कीजिए: 1 बटा 2 के ठीक बाद वाला भिन्न बताइए। 3 बटा 4? पर 1 बटा 2 और 3 बटा 4 के ठीक बीच में 5 बटा 8 बैठा है। तो 5 बटा 8? उसके और 1 बटा 2 के बीच 9 बटा 16 है। 51 बटा 100? फिर भी बीच में 101 बटा 200। 501 बटा 1000? दूरी फिर आधी कीजिए, और बीच में फिर एक नया भिन्न मिल जाता है — बोर्ड पर देखिए।

हर नया भिन्न, पिछले वाले से 1 बटा 2 के ज़्यादा पास है, फिर भी उसे छूता नहीं। आप जो भी भिन्न बताएँ, दूरी को आधा करके उससे भी पास वाला मिल जाता है। ठीक अगला कोई नहीं। तो 0 और 1 के बीच जो दूरी ख़ाली दिख रही थी, वो असल में भरी हुई है। कोई भी 2 भिन्न बताइए, उनके बीच एक और भिन्न ज़रूर समाएगा। और उनके बीच फिर एक, और फिर एक — इसका कोई अंत नहीं।

1 बटा 2 और 5 बटा 8 के बीच 9 बटा 16 मिला था। और उनके बीच भी, और भिन्न छुपे हैं। पूरे अंक एक दूसरे से दूर-दूर बैठते हैं। भिन्न उनके बीच की सारी जगह भर देते हैं। पर भिन्न सिर्फ़ 0 और 1 के बीच क़ैद नहीं हैं। आधे-आधे के कदम 1 के आगे भी चलते रहिए: 1 बटा 2, फिर 1, फिर एक आधा और। 0 से तीसरे आधे वाले निशान तक पट्टी खींचिए।

3 आधे कदम, यानी 3 बटा 2। ये भी 0 से नापी गई लंबाई ही है — बस इकाई से लंबी। रास्ते में, 2 आधे कदम ठीक 1 पर पहुँचे थे। 3 बटा 2 उससे एक आधा कदम आगे है। 3 बटा 2 का मतलब है: पूरा 1, और आधा ऊपर। अब 1 बटा 5 के कदम, 1 के आगे भी। 1 के बाद पहला कदम: 6 कदम हुए, यानी 6 बटा 5।

फिर 7 बटा 5, 8 बटा 5, 9 बटा 5 — हर पट्टी पिछली से एक कदम लंबी। हर एक, पूरा 1 और कुछ 1 बटा 5 है: 1 और 1 बटा 5 से लेकर, 1 और 4 बटा 5 तक। और अगला कदम, 10 बटा 5, ठीक 2 पर पहुँचेगा। एक और गलतफ़हमी: कि भिन्न सिर्फ़ पूरे अंकों के बीच रहते हैं, और पूरे अंक बाहर। पर 5 बटा 5 ठीक 1 के निशान पर बैठता है।

और 10 बटा 5, ठीक 2 पर। ऐसे ही 2 बटा 2, 3 बटा 3, और 8 बटा 8 — ये सब भी 1 के निशान पर हैं। भिन्न पूरी line पर फैले हैं, और कुछ तो पूरे अंकों की जगह पर ही बैठे हैं। अब आधे, 1 बटा 8 वाले, और 1 बटा 10 वाले — तीनों काट एक ही line पर रखिए। 1 बटा 2, 4 बटा 8, और 5 बटा 10 — तीनों बिल्कुल एक ही बिंदु पर पहुँचते हैं।

ऐसे ही 2 बटा 5 और 4 बटा 10 भी एक ही जगह हैं। एक संख्या, एक जगह — नाम चाहे अलग हों। इस पर आगे विस्तार से बात करेंगे। एक आख़िरी सावधानी: लंबी पट्टी का मतलब ये नहीं कि नीचे वाली संख्या बड़ी है। 4 बटा 5, 3 बटा 10 से लंबी है — क्योंकि वो ज़्यादा दूरी तय करती है: 1 बटा 10 के 8 कदम, बनाम 3।

नीचे वाली संख्या कदम का आकार तय करती है। ऊपर वाली, कदमों की गिनती। इसलिए 1 बटा 8, 1 बटा 2 से छोटा है। नीचे की बड़ी संख्या का मतलब है छोटा कदम। कदम हमेशा आँखों के सामने रखिए, तो ये दोनों बातें कभी गड़बड़ नहीं होंगी। तो line ने क्या साबित किया? हर भिन्न एक संख्या है, जिसका line पर ठीक एक बिंदु है — 0 से उसकी दूरी।

अब वो किसी केक का हिस्सा भर नहीं, बल्कि 1 और 2 की तरह, line पर एक पक्की जगह है। अगली बार: 1 से बड़े भिन्न, और उन्हें लिखने के तरीके।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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